Tiểu luận hàm suy rộng 1

MỤC LỤC I.MỞ ĐẦU . II-KIẾN THỨC LIÊN QUAN . 2.1 Định Nghĩa : . 2.2. Mệnh Đề . 2.3. Nhận Xét . 2.4. Định Lý Haine- Borel 2.5. Định nghĩa III- NỘI DUNG CHÍNH . 3.1. TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG 3.1.1.Các Định Nghĩa : . 3.1.2.Định Lý 3.1.3.Nhận Xét . 3.1.4.Mệnh Đề . 3.1.5.Định Lý 3.2-.TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA PHÉP TOÁN VI PHÂN 3.2. Định Lý . 3.2.2.Nhận Xét : . IV-KẾT LUẬN VÀ MỞ RỘNG . 11 4.1.Kết Luận : 11 4.2.Nhận Xét Mở Rộng : 11 I.MỞ ĐẦU Hàm suy rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định không gian hàm sở K hàm suy rộng giá trị điểm riêng biệt. Như ta nói hàm suy rông f không xo. Tuy nhiên ta nói hàm suy rộng f không lân cận xo. Do ta định nghĩa nghiên cứu tính chất hàm suy rộng trong lân cận cụ thể điểm xo hay nói cách khác ta cần nghiên cứu tính địa phương hàm suy rộng, từ ta mở rộng thêm để xét tính địa phương phép toán vi phân. Ở tiểu luận ta tập trung định nghĩa tính địa phương theo cách khác chúng hoàn toàn tương đương nhau, từ rút tính chất nhận xét hàm suy rộng dựa định nghĩa đó, bên cạnh đưa đinh lý việc xây dựng hàm suy rộng dựa vào giá trị địa phương nó. Bằng cách tương tự ta đưa định lý vài nhận xét, ví dụ tính địa phương phép toán vi phân. Tiểu luận có phần chính: phần I mở đầu : Nêu lý chọn đề tài, mục tiêu nội dung tiểu luận, phần II : nêu kiến thức chuẩn bị cần thiết liên quan cho việc nghiên cứu tiểu luận, phần III: trình bày nội dung tiểu luận, phần IV: kết luận tóm tắt lại nội dung trình bày vài mở rộng liên quan đến tiểu luận. Để hoàn thành tiểu luận này, xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Viết Ngư tận tình giảng dạy học phần Lý thuyết phân bố. Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị học viên Cao học Toán K22, chuyên ngành Giải tích giúp đỡ, động viên trình làm tiểu luận Trong thời gian ngắn phải hoàn thành tiểu luận, nên chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Huế, tháng 11 năm 2014 II-KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2.1 Định Nghĩa :  Cho hàm số φ : n → ℝ gọi hàm tiêu hạn φ(x) không miền bị chặn n .  Tập hợp K hàm thực φ(x) tiêu hạn , có đạo hàm liên tục cấp gọi không gian hàm sở.  Ta gọi xo điểm thực chất phiếm hàm f hàm suy rộng f khác không lân cận điểm xo . Tập hợp điểm thực chất phiếm hàm f gọi giá hàm suy rộng f. Kí hiệu : suppf  Giả sử f hàm suy rộng bất kỳ, hàm suy rộng g cho công thức (g; φ ) = (f; -φ’) ,∀φ ∈ K gọi đạo hàm hàm suy rộng f. Kí hiệu : f ’ f  xj 2.2. Mệnh Đề: Mọi quy tắc lấy đạo hàm hàm số thông thường áp dụng cho hàm suy rộng ( với phép toán định nghĩa không gian K). Cụ thể : (f + g)’ = f ’ + g’ , ∀f; g ∈ K’ (∝f)’ =∝.f ’ , ∀∝ ∈ ℝ ,∀f ∈ K’ (af)’ =a’f+ af ’ , ∀a ∈ C  ( n ) ,∀f ∈ K’. 2.3. Nhận Xét 1) Mọi hàm suy rộng khả vi vô hạn ( f (k), φ(x)) = (f, (-1)k.φ(k) (x)) : k=1,2……. ( xem thêm nhận xét 2.6.6 chương I trang 23) 2) Giả sử {ei} phân hoạch đơn vị tương ứng phủ hữu hạn địa phương {ui} n . Khi hàm sở φ(x) ta có  φ(x)=  i (x) i=1 (6) Với φi(x) = φ(x).ei (x) hàm sở miền ui Trong số số hạng bên phải (6) hữu hạn thêm điều kiện : hình cầu |x| ≤ n giao với hữu hạn miền u i cho. ( xem thêm nhận xét 2.3 chương II trang 31). 2.4. Định Lý Haine- Borel Đối với tập A không gian Euclide n , mệnh đề sau tương đương: 1) A tập đóng bị chặn 2) Mỗi phủ mở A tồn phủ hữu hạn, điều có nghĩa A tập compact 2.5. Định nghĩa . Ta nói dãy φ1(x), φ2(x), …, φn(x), … hàm sở hội tụ không không gian K, tất hàm dãy đều: 1) Bằng miền bị chặn. 2) Hội tụ không với đạo hàm cấp chúng. III. NỘI DUNG CHÍNH 3.1. TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG 3.1.1.Các Định Nghĩa : 3.1.1.1. Định Nghĩa : Hàm suy rộng f không lân cận điểm x o cho với hàm sở φ ∈ K, khác không lân cận ta có (f, φ) = 0. Hàm suy rộng f không miền G không lân cận điểm thuộc G. 3.1.1.2.Định Nghĩa : Hàm suy rộng f không miền G với hàm sở tùy ý khác không Q  G với bao đóng Q ta có (f, φ) = 0.  Nhận Xét :  Định nghĩa định nghĩa mang tính địa phương thông thường  Định nghĩa mang tính trực quan « không địa phương » Tuy vậy, ta chứng minh hai định nghĩa tương đương 3.1.2.Định Lý : Định nghĩa hàm suy rộng theo cách hoàn toàn tương đương.  Chứng minh :  Định nghĩa suy định nghĩa : Giả sử f không miền G theo nghĩa định nghĩa 2. Khi ∀x ∈ G, xét φ(x) ∈ K mà φ(x) = 0, ∀x∉ Q  G (f, φ(x)) = 0. Chọn Ux = Q lân cận điểm x. f không lân cận Ux. Do f không miền G theo nghĩa định nghĩa 1.  Định nghĩa suy định nghĩa : Giả sử f không theo nghĩa định nghĩa 1, xét hàm sở φ(x) mà: φ(x) = 0, ∀x ∉ Q  G, Q  G. ∀x ∈ Q ⇒ x∈G nên tồn lân cận U x mà hàm suy rộng f không Ux ( theo nghĩa định nghĩa 1). Không tính tổng quát ta giả thiết U x bị chặn. Q   U x hay Ux phủ mở tập Q . xQ Theo định lý Haine- Borel từ phủ tìm phủ đếm U1 , U ,……., U m có tính chất hình cầu |x| ≤ n giao với hữu hạn số lân cận U i , theo nhận xét phần 2.3  φ(x)=  i (x) (6) i=1 Trong φi(x) = ,∀x ∉ Ui ,đồng thời số số hạng bên phải (6) hữu hạn. Do theo định nghĩa (f , φi(x)) = ,∀i=1,2,…….  ⇒ (f, φ(x)) = (f ,  i (x) ) = i=1   (f, i (x)) = 0. i=1 Hay hàm suy rộng f không theo nghĩa định nghĩa 2. Vậy định nghĩa hàm suy rộng theo cách tương đương. 3.1.3.Nhận Xét 1) Hàm suy rộng f không lân cận điểm hàm không (theo định nghĩa ) 2) Nếu φ(x) = 0, ∀x∈U, U lân cận giá F hàm suy rộng f (f, φ) =  Chứng minh : Hàm suy rộng f = giá F(theo định nghĩa). Khi U c  Fc , xét φ(x) ∈ K mà φ(x) = , ∀x∈ U ⟹ φ(x) khác x ∈ Uc . Do theo định nghĩa (f, φ) = 3) Sự thay đổi giá trị hàm sở φ(x) lân cận giá F hàm suy rộng f không ảnh hưởng đến giá trị (f , φ) .  Chứng minh : Giả sử φ thay đổi tức bổ sung thêm hàm ω để có hàm sở φ + ω với ω = lân cận giá F. theo 2) (f, ω) = . Do (f, φ + ω) = (f, φ) + (f, ω) = (f, φ) . Vậy (f, φ) không thay đổi. 4) Hàm suy rộng f g gọi trùng miền G f - g không miền Nếu f g trùng lân cận điểm f g trùng tức (f, φ) = (g, φ). 3.1.4.Mệnh Đề : Mỗi hàm suy rộng xác định cách đơn trị giá trị địa phương nó.  Chứng minh : Giả sử tồn lân cận Ux điểm x mà hàm suy rộng không xác định đơn trị tức tồn hàm suy rộng f g cho (f, φ) = (g, φ), ∀φ(x) ∈ K, φ(x) = 0, ∀x ∉ Ux. Khi (f - g, φ) = (f, φ ) - (g, φ) = 0, ∀φ(x) ∈ K, φ(x)=0, ∀x ∉ Ux. Do theo định nghĩa 1thì f - g=0 lân cận Ux hay f trùng g lân cận U x.Điều mâu thuẫn với giả thiết trên. Vậy hàm suy rộng f xác định cách đơn trị.  Nhận Xét : Điều nói lên khác biệt lớn hàm suy rộng hàm cổ điển,từ giá trị địa phương ta xây dựng nhiều hàm cổ điển xấp xỉ có giá trị địa phương trùng với với độ sai lệch khác Từ mệnh đề ta thấy hàm suy rộng xác định đơn trị giá trị dịa phương ta xây dựng hàm suy rộng dựa giá trị địa phương, điều thể qua định lý sau : 3.1.5.Định Lý 2: Tại điểm x o∈ n có lân cận U(xo) cho : ∀φ(x) ∈ K, φ(x) ≠ 0, ∀x∈ U(xo). Cho trước số (f, φ) phụ thuộc tuyến tính , liên tục vào φ mà không phụ thuộc xo. Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục K trùng với hàm suy rộng f φ(x) mà f xác định.  Chứng minh :  ∀x o ∈ n tồn U(xo) n  U(x o ) không tính tổng x  n quát ta giả thiết lân cận bị chặn  Lặp lại bước chứng minh định lý ta φ(x) =  (x) i i=1  Xét (g.φ) =  (f ,  (x)) (7) i . Rõ ràng g phiếm hàm tuyến tính i=1   mà   → j → ∞, Theo nhận xét 2) phần 2.3 : Cho dãy j j j j   j (x) =  i 1 ji (x) → K j → ∞, hội tụ xảy tổng (7) hữu hạn.  Tóm lại : (g, φ) =  (g, ij ) → j → ∞ hay g liên tục K i=1  Mặt khác : (g, φ) =  (f ,  i (x)) = (f, i=1   i ) =(f, φ) f trùng với g i=1 Nếu {Vi} phủ khác có tính chất {Ui} g1 phiếm hàm nhận cách xây dựng trên. Khi g1≡ g địa phươngtheo nhận xét 4) phần 3.1.3 g1≡ g toàn bô không gian K. việc xây dựng phiếm hàm g không phụ thuộc việc chon phủ {Ui}  Nhận Xét : Qua định lý ta thấy từ giá tri địa phương hàm suy rộng ta xây dựng nên hàm suy rộng không phụ thuộc vào việc chon phủ mở. 3.2-.TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA PHÉP TOÁN VI PHÂN Kết thúc việc xét tính địa phương hàm suy rộng ta mở rộng qua tính địa phương phép toán vi phân . Trước tiên ta có kết đơn giản giống hệt lý thyết hàm cổ điển : 3.2. Định Lý : Nếu hàm suy rộng f không lân cận điểm xo tất đạo hàm hàm suy rộng f không lân cận đó.  Chứng minh : Giả sử hàm suy rộng f = lân cận U(xo) Tức ∀φ(x) ∈ K, φ(x) = 0, ∀x U(xo) Thì ta có (f, φ(x)) = 0. Do φ(x) khác không U(xo) nên đạo hàm cấp khác không U(xo). (  hàm sở. :  xj f  , φ) = (f, ) = lân cận U(xo)  xj xj Lập luận tương tự cho đạo hàm cấp cao đạo hàm theo biến độc lập ta có điều phải chứng minh. 3.2.2.Nhận Xét : 1) Các hàm suy rộng trùng miền G đạo hàm cấp tùy ý trùng trên G  Chứng minh : Giả sử f g trùng G ⇒ f - g không G ⇒ (f - g)’ = f ’- g’ = G (theo định lý 3) Hay f ’ g’ trùng G Lập luận tương tự cho đạo hàm cấp cao  f 2 f 2) Nếu hàm suy rộng f tập trung F thì đạo hàm , ,… ,  x j  x j2 tập trung F  Chứng minh : Giả sử f tập trung F, ∀x ∈ F, hàm suy rộng f khác không lân f cận Ux x. Do theo định lý khác không U x  xj điểm x hay f f tập trung tập F.Lập luận tương tự thay vai trò xj f ta điều phải chứng minh. xj  Ví Dụ : Xét hàm  (x - x o ) hàm tập trung xo tức  (x - x o ) khác không lân cận điểm x0 . Lúc đạo hàm cấp  (x  x ) tập trung xo. Thật ∀ φ∈K, ta có : ( (k) (x - x o ),  ) = (  (x - x o ) , (-1)(k).φ(k)(x)) = (-1)(k).φ(k)(x o) . chứng tỏ  (k ) (x - x o ) tập trung x o. 10 IV-KẾT LUẬN VÀ MỞ RỘNG 4.1.Kết Luận : Trong tiểu luận tìm hiểu định nghĩa tính địa phương hàm suy rộng phép toán vi phân, qua thấy số tính chất hàm suy rộng phép toán vi phân thể qua mệnh đề, định lý nhận xét liên quan, điều giúp ta hiểu thêm phần chất hàm suy rộng . Hàm suy rộng mở rộng hàm cổ điển, tính địa phương hàm suy rộng hàm cổ điển có giống hay không? Các kết biết hàm suy rộng có hàm cổ điển hay không? Ta tìm hiểu điều qua vài nhận xét mở rộng sau: 4.2.Nhận Xét Mở Rộng : 1) Định nghĩa tính địa phương hàm suy rộng theo cách không tương đương hàm cổ điển : 1 , x   Thậy : xét hàm số f(x)=  rõ ràng hàm số f (x) , x   \   không địa phương theo định nghĩa tập ℝ\ℕ ∀x∈ ℝ\ℕ ,∃ U x cho f(x) = , ∀x∈ U x f(x) không không theo định nghĩa không tồn lân cận ℝ\ℕ cho f (x) không lân cận đó. 2) Mệnh đề 3.1.4 nói lên từ giá trị địa phương hàm suy rộng ta xây dựng nên phiếm hàm suy rộng cho trùng với giá trị (f,φ) mà hàm suy rộng f xác định điều không hàm cổ điển từ giá trị địa phương ta xây dựng nên nhiều hàm cổ điển xấp xỉ mà giá trị địa phương chúng . Cụ thể sử dụng phương pháp xấp xỉ Taylor hay phương pháp tính khác cho hàm xấp xỉ với độ sai lệch khác nhau. 3) Ở nhận xét 4) phần 3.1.3 ta nêu lên khái niệm hai “hàm suy rộng trùng nhau”, khái niệm tương ứng khái niêm “ hầu khắp nơi“ hàm cổ điển. Do thay khái niệm hàm suy rộng khái niệm hàm cổ điển, “ hàm suy rộng trùng nhau” “bằng hầu khắp nơi” nhận xét 1) nhận xét 3.2.2 đúng. Cụ thể hai hàm cổ điển f g “ hầu khắp nơi” G đạo hàm cấp tùy ý “ hầu khắp nơi” G. 11 4) Nhận xét 2) phần 3.2.2 f hàm cổ điển . Cụ thể f tập f 2 f trung F, tức f khác không F , khác  x j  x j2 không F. 5) Định lý ta thay hàm suy rộng hàm cổ điển tức hàm cổ điển f không lân cận điểm xo đạo hàm cấp tùy ý đạo hàm riêng theo biến không. Tuy nhiên hạn chế kiến thức khuôn khổ đề tài tiểu luận nên số hướng mà tác giả chưa khai thác được. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn bè. 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. PGS. Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố), Tài liệu dành cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 1998. 2. Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev, Hà nội, 2005. 13 [...]...IV-KẾT LUẬN VÀ MỞ RỘNG 4 .1. Kết Luận : Trong tiểu luận này chúng ta đã tìm hiểu được định nghĩa của tính địa phương của hàm suy rộng và phép toán vi phân, cũng như qua đó thấy được một số tính chất cơ bản của hàm suy rộng và phép toán vi phân thể hiện qua các mệnh đề, định lý và nhận xét liên quan, điều đó giúp ta hiểu thêm phần nào bản chất của hàm suy rộng Hàm suy rộng là sự mở rộng của hàm cổ điển,... địa phương của hàm suy rộng và hàm cổ điển có giống nhau hay không? Các kết quả đã biết của hàm suy rộng có còn đúng đối với hàm cổ điển hay không? Ta sẽ tìm hiểu điều đó qua một vài nhận xét mở rộng sau: 4.2.Nhận Xét Mở Rộng : 1) Định nghĩa tính địa phương của hàm suy rộng theo 2 cách trên không còn tương đương trong các hàm cổ điển : 1 , x   Thậy vậy : xét hàm số f(x)=  rõ ràng hàm số f (x) bằng... nhau hầu khắp nơi“ trong hàm cổ điển Do đó nếu thay khái niệm hàm suy rộng bằng khái niệm hàm cổ điển, “ hàm suy rộng trùng nhau” bằng “bằng nhau hầu khắp nơi” thì nhận xét 1) của nhận xét 3.2.2 vẫn còn đúng Cụ thể hai hàm cổ điển f và g “ bằng nhau hầu khắp nơi” trên G thì đạo hàm cấp tùy ý cũng “ bằng nhau hầu khắp nơi” trên G 11 4) Nhận xét 2) phần 3.2.2 vẫn còn đúng khi f là hàm cổ điển Cụ thể f... nếu ta thay hàm suy rộng bằng các hàm cổ điển tức là hàm cổ điển f bằng không trong lân cận điểm xo thì đạo hàm cấp tùy ý và đạo hàm riêng theo các biến đều bằng không Tuy nhiên do hạn chế về kiến thức và trong khuôn khổ một đề tài tiểu luận nên còn một số hướng mà tác giả chưa khai thác được Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 PGS Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay... địa phương theo định nghĩa 1 trên tập ℝ\ℕ vì ∀x∈ ℝ\ℕ ,∃ U x sao cho f(x) = 0 , ∀x∈ U x nhưng f(x) không bằng không theo định nghĩa 2 vì không tồn tại lân cận nào của ℝ\ℕ sao cho f (x) bằng không trên lân cận đó 2) Mệnh đề 3 .1. 4 nói lên rằng từ các giá trị địa phương của hàm suy rộng ta có thể xây dựng nên phiếm hàm suy rộng sao cho nó trùng với giá trị (f,φ) mà tại đó hàm suy rộng f xác định nhưng điều... định nhưng điều này không còn đúng trong hàm cổ điển vì từ các giá trị địa phương ta có thể xây dựng nên nhiều hàm cổ điển xấp xỉ nhau mà tại các giá trị địa phương chúng bằng nhau Cụ thể sử dụng phương pháp xấp xỉ Taylor hay các phương pháp tính khác sẽ cho các hàm xấp xỉ với độ sai lệch khác nhau 3) Ở nhận xét 4) phần 3 .1. 3 ta đã nêu lên khái niệm hai hàm suy rộng trùng nhau”, khái niệm này tương... thầy cô và bạn bè 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 PGS Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố), Tài liệu dành cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 19 98 2 Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Hà nội, 2005 13 . IV-KẾT LUẬN VÀ MỞ RỘNG 11 4 .1. Kết Luận : 11 4.2.Nhận Xét Mở Rộng : 11 2 I.MỞ ĐẦU Hàm suy rộng là phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian các hàm cơ. chất của hàm suy rộng . Hàm suy rộng là sự mở rộng của hàm cổ điển, do đó tính địa phương của hàm suy rộng và hàm cổ điển có giống nhau hay không? Các kết quả đã biết của hàm suy rộng có còn. không cùng với đạo hàm mọi cấp của chúng. 5 III. NỘI DUNG CHÍNH 3 .1. TÍNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM SUY RỘNG 3 .1. 1.Các Định Nghĩa : 3 .1. 1 .1. Định Nghĩa 1 : Hàm suy rộng f bằng không