Tiểu luận hàm suy rộng 3

MỤC LỤC MỤC LỤC ………………………………………………………………………1 I.LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………………… II.TỔNG QUAN…………………………………………………………………3 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………………… 2. Kiến thức liên quan…………………………………………………… …3 III. NỘI DUNG………………………………………………………………… 1.Xây dựng hàm sở phương pháp trung bình hóa……………… …5 2.Phép phân hoạch đơn vị………………………………………………… 3.Nhận xét, mở rộng………………………………………………………. 11 IV.KẾT LUẬN………………………………………………………………….12 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………… 13 LỜI NÓI ĐẦU Hàm bản, hàm suy rộng nội dung đưa vào giảng dạy cho học viên Cao học ngành Giải tích. Để nghiên cứu tính địa phương hàm suy rộng vi phân việc xây dựng hàm sở phép phân hoạch đơn vị công cụ hữu hiệu. Trong tiểu luận này, xin trình bày cách xây dựng hàm sở phương pháp trung bình hóa liên tục phép phân hoạch đơn vị ứng với phủ mở bị chặn, hữu hạn địa phương R n . Tiểu luận chia làm phần: Phần I. Tổng quan, nhắc lại số kiến thức liên quan số kiến thức chuẩn bị Phần II. Nội dung gồm phần 1. Xây dựng hàm sở phương pháp trung bình hóa liên tục 2. Phép phân hoạch đơn vị Phần III. Nhận xét, mở rộng Để hoàn thành tiểu luận này, xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Viết Ngư tận tình giảng dạy học phần Lý thuyết phân bố. Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị học viên Cao học Toán K22, chuyên ngành Giải tích giúp đỡ, động viên trình làm tiểu luận Trong thời gian ngắn phải hoàn thành tiểu luận, nên chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Huế, tháng 11 năm 2014 Mai Xuân Tú TỔNG QUAN 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm sở - Không gian hàm sở Định nghĩa 1. Hàm số  : R n  R gọi hàm tiêu hạn  ( x) không miền bị chặn R n . Định nghĩa 2. Tập hợp K tất hàm thực  ( x) , tiêu hạn, có đạo hàm liên tục cấp gọi không gian hàm sở (không gian sở). Mỗi hàm  ( x) gọi hàm sở. Nhận xét 1. Ta nhận thấy  Tổng hai hàm sở hàm sở.  Tích số thực với hàm sở hàm sở. Từ suy K không gian tuyến tính. Định nghĩa 3. Ta nói dãy 1 ( x),2 ( x), .,n ( x), . hàm sở hội tụ không không gian K, tất hàm dãy đều: a. Bằng miền bị chặn. b. Hội tụ không với đạo hàm cấp chúng. (K ) Kí hiệu: n   K n    hay lim n  n  0 . n  Ta nói rằng, dãy 1 ( x),2 ( x), .,n ( x), . hàm sở hội tụ hàm sở  n K dãy n ( x)   ( x) n hội tụ không K. Định lý 4. Nếu F tập đóng, bị chặn U miền mở chứa F, tồn hàm sở  ( x ) F, U nhận giá trị điểm lại. 2. Kiến thức liên quan Định nghĩa 5. Không gian tôpô (X, ) gọi T1  không gian với cặp điểm phân biệt x, y  X tồn lân cận V chứa x mà không chứa y lân cận U chứa y mà không chứa x . Định nghĩa 6. Không gian tôpô (X, ) gọi T4  không gian X T1  không gian với A, B đóng X mà A  B   tồn tập mở U, V cho A  U , B  V U  V   . Nhận xét 2. R n với tôpô cảm sinh từ chuẩn Euclid T4  không gian. Định lý 7. Cho (X, ) T4  không gian, giả sử F tập đóng, U tập mở X, F  U . Khi tồn tập mở V X cho F  V  V  U . NỘI DUNG I. XÂY DỰNG HÀM CƠ SỞ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUNG BÌNH HÓA LIÊN TỤC 1.1 Định lý 8: Với hàm f (x) liên tục cho trước, xây dựng dãy hàm khả vi vô hạn f (x) mà f (x) hội tụ f (x)    , miền bị chặn đó. Chứng minh:    , x    2 x Xét hàm số  ( x,  )  e 0 , x    C   ( x, ) dx x  Với f (x) liên tục cho, ta lập dãy hàm f (x) f ( x )  C  f ( y ) ( x  y,  ) dy (1) x  y  Do f ( x ) liên tục hàm  ( x  y,  ) khả vi vô hạn nên hàm f (x) khả vi vô hạn. Mặt khác f ( x)  f ( x)  C  f ( x) ( x  y,  ) dy  C x  y   C  f ( y ) ( x  y ,  ) dy  x y  2 [f ( x)  f ( y )] ( x  y,  ) dy x  y  Vì f (x ) liên tục theo x, nên miền bị chặn U ta có:   0,   0, x  y   f ( x )  f ( y )   Khi từ (2) ta có f ( x )  f ( x )  C   ( x  y ,  )dy   .C x y   x y   ( x  y,  )dy   Tức f (x) hội tụ f (x)    U. 1.2 Hệ quả: i. Nếu f (x) tiêu hạn f (x) tiêu hạn. ii. Nếu f ( x)  f ( x0 ) với x  x0   f ( x )  C . f ( x0 )   ( x  y ,  )dy  f ( x0 ) Rn iii. Nếu  f ( x)   f ( x)  Chứng minh i f ( x )  C  f ( y ) ( x  y,  ) dy x  y  Đặt B (suppf , )  - lân cận f (x) , ta có B(suppf ,  )  ( z  R n / d ( z ,supp f )   ) x0  R n , x0  B (suppf ,  )  d ( x0 ,suppf )    x0  y   y  suppf  f ( y )   f ( x0 )  Vậy f (x) tiêu hạn f (x) tiêu hạn. Cụ thể f (x) không  - lân cận giá hàm f (x) . ii. f ( x )  C  f ( y ) ( x  y , ) dy x  y   C . f ( x0 )  ( x  y, ) dy  x  y   C . f ( x0 )   ( x,  )dy  f ( x0 ) x  iii. f ( x )  C  f ( y ) ( x  y ,  )dy  f ( y ) ( x  y , ) dy 0 x y  f ( x )  C x  y   C   ( x  y, ) dy 1 x y  1.3 Định lý 9: Cho F tập đóng, bị chặn U miền mở chứa F. Khi tồn hàm sở  ( x) thỏa i , ( x )  1, x  F ii, ( x)  0, x U iii,0   ( x)  1, x U \ F Chứng minh: Do F bị chặn nên chứa U với  lân cận nó, với   0. Ta kí hiệu F1  - lân cận đóng F U1 2 - lân cận mở F W phần bù đóng U1 không gian R n . Gọi d mêtric xác định R n Đặt d( x, W)  inf d( x, y )  inf d( x, y)  0, x U1 yW yW Do d( x, W) hàm liên tục nên tập đóng F1 , d( x, W) đạt GTNN   0. 1  Xét f ( x)   d( x, W),1   Khi f liên tục theo x f ( x)  1, x  F1 d( x, W)   F1 f ( x)  0, x U1 d( x, W)  0, x  W  f ( x )  1, x U1 \ F1 . Theo công thức (1), lấy    f  ( x)  C 3  x y   f (y) ( x  y , )dy Khi đó, ta có f  ( x) khả vi vô hạn có tính chất f (x) . Đặt  ( x )  f  ( x)  ( x) hàm sở thỏa mãn định lý. II. PHÉP PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ  2.1. Định nghĩa 10: Cho tập mở U  R n . Họ tập mở U i i 1 gọi  phủ mở U U   U i . i 1 Nếu họ U i  hữu hạn phủ U i  gọi phủ hữu hạn ( với điểm x  R n phủ hữu hạn số tập U i , i  1,2, . ). 2.2 Định nghĩa 11: Cho U  R n U i  phủ mở hữu hạn U. Khi họ hàm ei ( x ) gọi phân hoạch đơn vị U ứng với phủ mở U i  thỏa mãn điều kiện sau: i , ei ( x )  C0 (U i ),suppei  U i ( khả vi vô hạn có giá nằm U i ) ii,0  ei ( x )  1, x  U i iii,  ei ( x)  1, x U 2.3. Định lý 12: Với phủ hữu hạn địa phương U i  R n , xây dựng phân hoạch đơn vị ei ( x ) tương ứng. Chứng minh: Trước hết ta xây dựng miền mở V ,V2 , .,Vi , . phủ không gian R n cho Vi  Vi  U i sau:   k 2 k 1 Đặt F1  R n \  U k F1 đóng F1  U1 (do U k mở R n   U k ). Do tồn tập mở V1 cho F1  V1  V1  U1 (do R n T4  không gian).   k 2 k 2 Ta có: R n  F1  (  U k )  V1  (  U k ) , nên V1 ,U , .,U k , . phủ mở hữu hạn địa phương R n .  Tiếp tục đặt F2  R n \ [(  U k )  V1 ] F2 đóng F2  U , tồn k 3 tập mở V2 cho F2  V2  V2  U V1 ,V2 ,U , .,U k , . phủ mở hữu hạn địa phương R n .  i 1 k i 1 k 1 Tổng quát lên, ta đặt Fi  R \ [(  U k )  (  Vk )], i  N * , Fi đóng n Fi  U i , tồn tập mở Vi cho Fi  Vi  Vi  U i V1 ,V2 , .Vi ,U i 1 , . phủ mở hữu hạn địa phương R n . Từ ta xây dựng tập hợp Vi iN * phủ mở hữu hạn địa phương R n . Vi đóng, bị chặn, chứa U i , i  1,2, . nên theo định lý tồn hàm khả vi vô hạn (hàm sở) hi ( x) nhận giá trị hầu hết 1, Vi U i .  Đặt h( x)  n  h ( x), x  R , m i x  N * cho x thuộc vào tập i 1 mx U i1 ,U i2 , .,U im . Khi  hi ( x)  1, i  N * nên h( x)   hik ( x)  mx   , x k 1 tức h( x) tồn hữu hạn.  Mặt khác: x  R n   Vi i 1 tồn j  N * cho x V j  V j , h j ( x)  , h( x)  h j ( x)  1. Vậy  h(x)   với x  R n . Từ ta đặt ei ( x )  hi ( x ) , i  1,2, . thì: h( x) +  ei ( x )  1; i  1,2, . + ei ( x)  miền U i ; i  1,2, .  +   ei ( x)   i 1 i 1 hi ( x)  1, x  R n h( x) Vậy ei ( x)iN * phân hoạch đơn vị ứng với U i iN * . Nhận xét 3. i.Giả sử ei  i phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ hữu hạn địa phương Ui  R n ,  ( x ) hàm sở bất kỳ. Đặt i ( x)   (x)ei ( x) i ( x ) hàm sở nhận giá trị miền U i , i  1,2, . Khi ta có:   ( x)   i ( x ) (*) i 1 Nếu với n  N * , hình cầu đóng B '(0, n ) giao hữu hạn miền U i cho vế phải (*) tổng gồm hữu hạn số hạng. ii. Nếu n ( x )  K n   ni ( x )   n ( x )ei ( x )  K n   . 10 NHẬN XÉT MỞ RỘNG Trong khuôn khổ tiểu luận này, đề cập đến vấn đề xây dựng hàm sở phương pháp trung bình hóa liên tục việc xây dựng phép phân hoạch đơn vị ứng với phủ mở, bị chặn hữu hạn địa phương U i i R n . Các hàm khả vi vô hạn ei ( x) phép phân hoạch phụ thuộc vào tập mở, bị chặn U i . Tính chất hữu hạn địa phương phủ mở U i i gây nhiều hạn chế việc lựa chọn phép phân hoạch hàm sở. Tuy nhiên, mở rộng khái niệm cách thay phủ mở, bị chặn hữu hạn địa phương U i i phủ U i i R n . Khi đó, M N tập compact R n U i i 1 phủ hữu hạn M ta xác N định phép phân hoạch đơn vị gồm hữu hạn hàm khả vi vô hạn ei ( x )i 1 M. Kết trình bày [2] ( Tài liệu tham khảo). 11 KẾT LUẬN Như qua tiểu luận nhận thấy với hàm f ( x) liên tục cho trước miền bị chặn xây dựng hàm sở ứng với phủ mở, bị chặn, hữu hạn địa phương tồn phép phân hoạch đơn vị tương ứng. Tuy nhiên hạn chế kiến thức khuôn khổ đề tài tiểu luận nên số hướng mà tác giả chưa khai thác được. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn bè. 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. PGS. Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố), Tài liệu dành cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 1998. 2. Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev, Hà nội, 2005. 13 [...]... bày trong [2] ( Tài liệu tham khảo) 11 KẾT LUẬN Như vậy qua trong tiểu luận chúng ta nhận thấy rằng với hàm f ( x) liên tục cho trước trong một miền bị chặn nào đó luôn xây dựng được hàm cơ sở và ứng với một phủ mở, bị chặn, hữu hạn địa phương luôn tồn tại một phép phân hoạch đơn vị tương ứng Tuy nhiên do hạn chế về kiến thức và trong khuôn khổ một đề tài tiểu luận nên còn một số hướng mà tác giả chưa... chưa khai thác được Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 PGS Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (hay Lý thuyết phân bố), Tài liệu dành cho học viên Cao học chuyên nhành giải tích, Huế 1998 2 Đặng Anh Tuấn, Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Hà nội, 2005 13 ...NHẬN XÉT MỞ RỘNG Trong khuôn khổ tiểu luận này, chúng ta chỉ đề cập đến vấn đề xây dựng hàm cơ sở bằng phương pháp trung bình hóa liên tục và việc xây dựng phép phân hoạch đơn vị ứng với một phủ mở, bị chặn và hữu hạn địa phương U i i của R n Các hàm khả vi vô hạn ei ( x) trong phép phân hoạch này chỉ phụ thuộc vào các tập mở,... trong việc lựa chọn các phép phân hoạch của một hàm cơ sở Tuy nhiên, chúng ta có thể mở rộng khái niệm này bằng cách thay thế phủ mở, bị chặn và hữu hạn địa phương U i i bằng một phủ bất kỳ U i i của R n Khi đó, M là N một tập compact của R n và U i i 1 là một phủ hữu hạn của M thì ta có thể xác N định được phép phân hoạch đơn vị gồm hữu hạn các hàm khả vi vô hạn ei ( x )i 1 của M Kết quả . Hàm cơ bản, hàm suy rộng là một nội dung được đưa vào giảng dạy cho học viên Cao học ngành Giải tích. Để nghiên cứu tính địa phương của hàm suy rộng và vi phân của nó thì việc xây dựng hàm. thức (1), khi lấy 3    thì 3 3 3 ( ) (y) ( , ) 3 x y f x C f x y dy           Khi đó, ta có 3 ( ) f x  khả vi vô hạn và có các tính chất như ) ( x f . Đặt 3 ( ) ( ) x f x    . thấy rằng  Tổng hai hàm cơ sở là một hàm cơ sở.  Tích của một số thực với một hàm cơ sở là một hàm cơ sở. Từ đó suy ra K là một không gian tuyến tính. Định nghĩa 3. Ta nói rằng dãy 1 2 (