Giải tích hàm của nguyễn hoàng

MATHEDUCARE.COM ĐẠI HỌC HUẾ Trường Đại học Sư phạm NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM (Dành cho Học viên Cao học chuyên ngành Toán) Huế, tháng năm 2014 matheducare.com MATHEDUCARE.COM i `.I GIO ´.I THIE ˆ. U LO ´ c d¯ôí tu.o ng Gia’i tıćh ha`m la` mô.t nha ´ nh cu’a gia’i tıćh toa ´ n ho.c nghiên c´ u.u ca ´ t ho.n nh˜ u.ng sô´ hay không gian va` câú tru ´ c toa ´ n ho.c tr` u.u tu.o ng, tô’ng qua ét qua’ va` phu.o.ng ´ c ha`m sô´ va` không gian ha`m. Ca ´ c kˆ to.a d¯ô. Rn , ch˘a’ng ha.n ca èu nga`nh kha ét phu.o.ng trı`nh pha ´ p cu’a no ´ thâm nhâ.p vaò nhiˆ ´ c nhu. ly ´ thuyˆ ét ca ´ thuyˆ ´ c baì toa ´ n cu c tri. vi phân thu.ò.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riêng, ly é ky’ 20, én phân, phu.o.ng pha ´ p tıńh, . Ra d¯ò.i vaò nh˜ u.ng n˘am d¯`âu cu’a thˆ va` biˆ ˜ y d¯u.o c nh˜ u.ng tha`nh tu u quan tro.ng va` no ´ d¯ã tro’. d¯´ên gia’i tıćh ha`m tıćh lu én th´ u.u va` trı`nh ba`y ca ´ c kiˆ u.c toa ´ n ho.c. tha`nh chuâ’n mu c viê.c nghiên c´ - ây la` mô.t nh˜ D u.ng môn ho.c co. ba’n da`nh cho tâ´t ca’ ho.c viên ca ´ c ló.p - a.i ho.c Huˆ é ´ n, Tru.ò.ng d¯a.i ho.c Su. pha.m, D cao ho.c nga`nh toa ´ n ho.c o’. Khoa Toa . ´ c nhau. cho du` sau d¯ó ho. theo ho.c nh˜ u ng chuyên nga`nh kha àn Gia’i Ta ´ c gia’ c˘an c´ u. vaò chu.o.ng trı`nh d¯aò ta.o cao ho.c hiê.n ha`nh, ho.c phˆ ét. Hai ét nên gia òm chu.o.ng ly ´ thuyˆ tıćh ha`m d¯ê’ viˆ ´ o trı`nh na`y. Nô.i dung gˆ . . . . . . én th´ u ng kiˆ u c d¯a.i cu o ng cu`ng vó.i mô.t chu o ng d¯`âu da`nh cho viê.c trı`nh ba`y nh˜ én tıńh liên tu.c sô´ vı´ du., hı`nh mâ˜u cu’a không gian d¯i.nh chuâ’n, ca ´ c toa ´ n tu’. tuyˆ én tıńh. Ca va` mô.t sô´ ca ´ c d¯i.nh ly ´ quan tro.ng cu’a gia’i tıćh ha`m tuyˆ ´ c chu.o.ng ´ c tıńh châ´t d¯˘a.c co`n la.i xe ´ t ca ´ c vâń d¯`ê cu. thê’ ho.n nhu. không gian Hilbert va` ca . . én tıńh liên tu.c. Ca ét ´ n tu’ tuyˆ ´ c nô.i dung na`y cung câ´p ý tu.o’.ng, kˆ tru ng cu’a toa ˜e n d¯a.t va` ý nghıã cu’a nh˜ ´ i niê.m tô’ng qua ´ t, tr` u.u tu.o ng cu’a qua’, ca ´ ch diˆ u.ng kha nga`nh gia’i tıćh. Chu ´ ng tôi cho.n lo.c va` trı`nh ba`y ca ´ c vâń d¯`ê theo hu.ó.ng co. ba’n va` tinh gia’n, giu ´ p ho.c viên co ´ ca ´ i nhı`n nhâ´t qua ´ n d¯ôí vó.i ca ´ c bô. môn gia’i tıćh én th´ ˜ ng la` kiˆ u.c mo’. d¯u.ò.ng d¯ê’ d¯i vaò nh˜ u.ng d¯ã ho.c tru.ó.c d¯ó . Tuy nhiên d¯ây cu ´ c chuyên nga`nh he. p gia’i tıćh nhu. nô.i dung ph´ u.c ta.p, chuyên sâu cu’a ca én, baì toa ´ n tôí u.u, . . . gia’i tıćh không tro.n, gia’i tıćh phi tuyˆ ét trên co. so’. Baì gia’ng Gia’i tıćh ha`m d¯ã gia’ng cho Gia ´ o trı`nh na`y viˆ èu nô.i èu kho ´ ng tôi hê. thôńg ho ´ a, bô’ sung kha ´ nhiˆ ho.c viên nhiˆ ´ a tru.ó.c d¯ây. Chu ´ c baì dung d¯ê’ d¯á p u ´.ng chu.o.ng trı`nh cao ho.c hiê.n ha`nh d¯`ông thò.i t˘ang cu.ò.ng ca . . èu kiˆ én th´ tâ.p kho ´ , thu ´ vi M˘a.c du` nhiˆ u c o’ d¯ây ho.c viên d¯ã g˘a.p chu.o.ng ét ca trı`nh d¯a.i ho.c nhu.ng d¯ê’ hiê’u sâu s˘ać, biˆ ´ ch vâ.n du.ng vaò ca ´ c môn ho.c kha ´ c, . . . àn pha’i ho.c u ng baì tâ.p “không qua ´ kho ´ ”, ho.c viên cˆ nhâ´t la` pha’i gia’i d¯u o. c nh˜ matheducare.com MATHEDUCARE.COM ii én th´ è không gian mêtric, tô pô, ly ét tâ.p nghiêm tu ´ c, ch˘am chı’ . Ca ´ c kiˆ u.c vˆ ´ thuyˆ . ˜ ng nhu mô.t sô´ ky˜ n˘ang tıńh toa d¯ô. d¯o, tıćh phân Lebesgue cu ´ n cu’a gia’i tıćh cô’ - ê’ giu én th´ àn pha’i ôn tâ.p thu.ò.ng xuyên. D ´ p ho.c viên vâ.n du.ng kiˆ u.c d¯ã d¯iê’n cˆ ˜e d¯i.nh hu.ó.ng la`m toa àn ló.n baì tâ.p d¯u.o c s˘a´p xˆ ép o’. cuôí mô˜i ´ n, phˆ ho.c va` dˆ ´.ng cu’a ca ´ c chu.o.ng. mu.c tu.o.ng u Ngu.ò.i biên soa.n xin chân tha`nh ca ´ m o.n ca ´ c d¯`ông nghiê.p o’. Tô’ Gia’i tıćh - a.i ho.c Huˆ é d¯ã d¯ó ng go én va` ta.o ´ p ý kiˆ Khoa Toa ´ n, Tru.ò.ng d¯a.i ho.c Su. pha.m, D èu ho.c viên èu kiê.n d¯ê’ gia ˜ ng xin ca ´ c gia’ cu ´ m o.n nhiˆ d¯iˆ ´ o trı`nh na`y d¯ò.i. Ta . . òi h˜ u u ćh ı qua ´ trı`nh ho.c tâ.p, nghiên c´ u.u bô. môn. d¯ã co ´ nh˜ u ng pha’n hˆ u.ng phê bı`nh, go ´ p ý d¯ê’ tâ.p gia ´ o trı`nh na`y d¯u.o c Chu ´ ng tôi mong nhâ.n d¯u.o c nh˜ én tô´t ho.n. bô’ sung va` ca’i tiˆ Ngu.` o.i biˆ en soa.n matheducare.com MATHEDUCARE.COM MU . C LU .C L` o.i gi´ o.i thiˆ e.u Mu.c lu.c . . Chu.o.ng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . ´ Khˆ ong gian tuyˆ en tı ńh d ¯i.nh chuˆ a’n én tıńh §1. Không gian tuyˆ . §2. Không gian d¯i.nh chuâ’n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . 51 §3. Mô.t sô´ ca ´ c không gian ha`m . . én tıńh liên tu.c §4. Toa ´ n tu’. tuyˆ . . èu . . . §5. Không gian h˜ u.u ha.n chiˆ Chu.o.ng 2. Ca ´ c nguyˆ en ly ´ co. ba’n cu’a liˆ en hiˆ e.p ćh `m va ` khˆ ong gian gia’i tı §1. Nguyên ly ´ bi. ch˘a.n d¯`êu §2. Nguyên ly ´ á nh xa. mo’. . . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . . . . . . 59 - i.nh ly §3. D ´ Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . 63 §4. Không gian liên hiê.p . . . . . . §5. Toa ´ n tu’. liên hiê.p . . . . . . . §6. Co. so’. Schauder cu’a không gian Banach . . . . . . . 69 . . . . . . . 82 . . . . . . . 85 éu va` su hô.i tu. yˆ éu . . . §7. Tôpô yˆ Chu.o.ng 3. Khˆ ong gian Hilbert . . . . . . . . . 90 §1. Kha ´ i niê.m không gian Hilbert . §2. Kha ´ i niê.m tru c giao-Chuô˜i Fourier . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . 104 §3. Không gian liên hiê.p . . . . . . . §4. Toa ´ n tu’. liên hiê.p không gian Hilbert §5. Mô.t sô´ toa ´ n tu’. tu liên hiê.p . . . . . . . . . . . 119 . . . . . . 122 . . . . . . 128 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chu.o.ng 4. Toa ´ n tu’. compact va ` phˆ o’ cu’a toa ´ n tu’. §1. Toa ´ n tu’. compact . . . . . . . . . . . . . . 135 §2. Phô’ cu’a toa ´ n tu’. liên tu.c . . . . . . . . . §3. Toa ´ n tu’. compact tu liên hiê.p không gian Hilbert ´.ng du.ng vaò phu.o.ng trı`nh tıćh phân . . . . . §4. U . . . 140 . . . 144 . . . 152 T` liˆ e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Chı’ mu.c . . . . . . . . . . . . . . . 156 . . . . matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chu.o.ng ˆ ˆŃ TÍNH D ˆ’ N - I.NH CHUA KHONG GIAN TUYE o.i sa ´ ng lˆ a.p nga `nh Gia’ i tıćh `m Stefan Banach (1892-1945), ngu.` u.ng khái Không gian tuyêń t´ınh (hay không gian vecto.) là mô.t nh˜ niê.m quan tro.ng và co. ba’n cu’a toán ho.c hiê.n d¯a.i. Các vâń d¯`ê cu’a d¯a.i sô´ tuyêń y thuyê´t d¯.inh th´ u.c, ma trâ.n, hê. phu.o.ng tr`ınh tuyêń t´ınh, . . . d¯u.o c t´ınh nhu. l´ uc cu’a không phát biê’u và tr`ınh bày mô.t cách nhâ´t quán theo ngôn ng˜ u. và câú tr´ . . ˜ ng nhu khoa’ng ca ´ c phe ´ p toa ´ n sô´ ho.c cu ´ ch gian vecto . Trong gia’i tıćh cô’ d¯iê’n, ca . . . n . . àn tu’ ca gi˜ u a ca ´ c phˆ ´ c tâ.p sô´ thu. c R hay R d¯u o. c xa ´ c d¯.inh mô.t ca ´ ch kha ´ . . . . . . . y thuyê´t phu o ng tr`ınh tu. nhiên nhu ng bu ó c vào các l˜ınh vu. c khác, ch˘a’ng ha.n l´ vi phân, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phân, pha’i thu.ò.ng xuyên làm viê.c vó.i d¯ôí tu.o ng àn xây du ng các câú tr´ uc không gian d¯a.i sô´ phu` ho p d¯ê’ thu c la` ca ´ c hàm sô´ ta cˆ hiê.n ca ´ c phe ´ p toa ´ n trên tâ.p các hàm sô´ d¯ó. M˘a.t kha ´ c, d¯ê’ có thê’ làm toán gia’i uc mêtric vào cho ch´ ung. t´ıch d¯u.o c trên các không gian âý, ta pha’i d¯u.a câú tr´ . . Tuy nhiên nêú nghiên c´ u u riêng r˜e câú tr´ uc không gian vecto và câú tr´ uc không èu g`ı mó.i. èn cho tru.ó.c th`ı s˜e không thu d¯u.o c d¯iˆ ˜ ng mô.t tâ.p nˆ gian mêtric trên cu é d¯ã nhu. vâ.y), vó.i su kê´t ho p nhâ´t d¯.inh gi˜ u.a hai Ta hy vo.ng r˘à ng (va` thu c tˆ ung nh˜ u.ng kê´t qua’ mó.i s˜e xuâ´t hiê.n câú tr´ uc này th`ı các vâń d¯`ê nghiên c´ u.u c` - a.i sô´ tuyˆ éu D én tıńh ngu.ò.i ta thu.ò.ng xe èu ho.n. Nˆ ´ t d¯´ên ca ´ c không nhiˆ én tıńh h˜ èu thı` Gia’i tıćh ha`m, ca én gian tuyˆ u.u ha.n chiˆ ´ c không gian tuyˆ èu la` ca tıńh vô ha.n chiˆ ´ c d¯ôí tu.o ng d¯u.o c quan tâm d¯˘a.c biê.t. àn lu.o t qua các chu.o.ng, mu.c cu’a Các nô.i dung no ´ i trên s˜e d¯u.o c tr`ınh bày lˆ tâ.p gia ´ o trı`nh này. Chu.o.ng mo’. d¯`âu bo’.i mu.c §1 da`nh cho viê.c ôn la.i các khái matheducare.com MATHEDUCARE.COM ét liên quan d¯êń không gian vecto Ca niê.m và t´ınh châ´t d¯ã biˆ ´ c mu.c kha ´ c la` nô.i . . . dung mó i cu’a chu o ng na`y. ˆ ˆŃ TÍNH §1. KHONG GIAN TUYE - i.nh ngh˜ıa. Mô.t khˆ én tıńh hay khˆ 1.1 D ong gian tuyˆ ong gian vecto. X trên tru.ò.ng K là mô.t tâ.p ho p khác trôńg X, có trang bi. hai phép toán cô.ng (+) và ńg các tiên d¯`ê sau: phép nhân ngoài (nhân vô hu.ó.ng) nghiê.m d¯u àn tu’. cu’a X, ((x, y) ∈ 1. (X, +) là mô.t nhóm Abel, ngh˜ıa là: vó.i mô˜i c˘a.p phˆ àn tu’. cu’a X k´ X × X) cho u ´.ng vó.i mô.t phˆ y hiê.u x + y, go.i là tˆ o’ng cu’a x và y, thoa’ mãn a) x + y = y + x, vó.i mo.i x, y ∈ X. b) (x + y) + z = x + (y + z), vó.i mo.i x, y, z ∈ X. àn tu’. khˆ òn ta.i phˆ àn tu’. ∈ X, go.i là phˆ ong cho c) Tˆ ∀x ∈ X, x + = + x = x. òn ta.i mô.t phˆ àn tu’. k´ àn tu’. d¯ˆ d) Vó.i mo.i x ∈ X tˆ y hiê.u −x, go.i là phˆ oí cu’a x cho x + (−x) = 0. u.c là mô˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X u ´.ng 2. X c` ung phép nhân vô hu.ó.ng trên X, t´ àn tu’. cu’a X, k´ vó.i mô.t phˆ y hiê.u αx, thoa’ mãn a) α(x + y) = αx + αy vó.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X. b) (α + β)x = αx + βx vó.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X. c) α(βx) = (αβ)x, α, β ∈ K, x ∈ X. d) 1x = x, ∀x ∈ X. àn tu’. cu’a X go.i là các vecto., co`n α ∈ K go.i là vô hu.ó.ng. Trong Các phˆ giáo tr`ınh này ta chı’ làm viê.c vó.i tru.ò.ng K là R (tru.ò.ng các sô´ thu c) ho˘a.c C (tru.ò.ng các sô´ ph´ u.c). 1.2 V´ı du 1. Tâ.p ho p K n = K × . . . × K vó.i các phép toán cô.ng và nhân vô hu.ó.ng: àn n lˆ x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), αx = (αx1 , . . . , αxn ), matheducare.com MATHEDUCARE.COM d¯ó α ∈ K, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ K n , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ K n là mô.t không - a˘. c biê.t n = th`ı K là mô.t không gian vecto. trên ch´ınh nó. gian vecto D 2. Tâ.p ho p các d¯a th´ u.c mô.t biêń thu c trên R, k´ y hiê.u là P vó.i phép cô.ng u.c d¯u.o c xác d¯i.nh theo cách thông hai d¯a th´ u.c, phép nhân mô.t sô´ vó.i d¯a th´ ung là mô.t không gian vecto. trên tru.ò.ng R. thu.ò.ng c˜ 3. Tâ.p ho p tâ´t ca’ các hàm sô´ thu c ho˘a.c ph´ u.c xác d¯i.nh trên mô.t tâ.p A khác trôńg vó.i các phép toán ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x), y hiê.u là F(A). là mô.t không gian vecto., ta k´ 4. Tâ.p ho p các dãy sô´ thu c (ho˘a.c ph´ u.c) vó.i các phép cô.ng và phép nhân vô hu.ó.ng d¯u.o c xác d¯i.nh theo cách thông thu.ò.ng lâ.p thành không gian vecto., k´ y hiê.u là s. Thâ.t ra, theo k´ y hiê.u o’. v´ı du. 3, ta có s = F(N), vó.i N là tâ.p các sô´ tu nhiên. 1.3 Tˆ o’ ho p tuyˆ eń t´ınh - Co. so’. Hamel. 1.3.1 Gia’ su’. X là mô.t không gian vecto. và x1 , x2 , . . . , xn là các vecto. thuô.c X. Tô’ng n α1 x1 + · · · + αn xn = αi xi , i=1 o’ ho p tuyêń t´ınh cu’a các vecto. x1 , . . . , xn d¯ó các αi ∈ K d¯u.o c go.i là mô.t tˆ o´ α1 , . . . , αn . vó.i các hê. sˆ Cho M là mô.t tâ.p cu’a X. Ta go.i M là mô.t tâ.p ho p d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyêń t´ınh àn tu’. {x1 , . . . , xn } ⊂ M va` ca ´ c phˆ ´ c sô´ α1 , . . . , αn ∈ K, nêú mo.i tâ.p h˜ u.u ha.n ca éu nˆ n αi xi = th`ı αi = 0, i = 1, . . . , n, i=1 d¯ó n là sô´ tu nhiên bâ´t k` y. o.c Tru.ò.ng ho p M không pha’i là d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh th`ı ta go.i M là phu. thuˆ tuyêń t´ınh. 1.3.2 Cho B là mô.t tâ.p khác trôńg cu’a không gian vecto. X. Tâ.p B d¯u.o c go.i là mô.t co. so’. (hay co. so’. Hamel) cu’a X nêú matheducare.com MATHEDUCARE.COM a) B là mô.t tâ.p ho p d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh. b) B sinh X, ngh˜ıa là vó.i mo.i x ∈ X, x là mô.t tô’ ho p tuyêń t´ınh cu’a àn tu’. cu’a B : mô.t sô´ h˜ u.u ha.n các phˆ n ∀x ∈ X ∃ α1 , . . . , αn ∈ K; x1 , . . . , xn ∈ B : x= αi xi (1.2) i=1 è. Gia’ su’. B l` a mˆ o.t co. so’. cu’ a khˆ ong gian vecto. X. Khi d¯´ o 1.3.3 Mˆ e.nh d ¯ˆ ˜e n cu’ a vecto. x ∈ X cho bo’.i (1.2) d¯u.o c x´ ac d¯.inh mˆ o.t c´ ach nhˆ a´t. biê’u diˆ Ch´ u ý. Trong phát biê’u cu’a mê.nh d¯`ê này ta qui u.ó.c r˘a` ng, o’. tô’ng (1.2) các ´ m˘a.t các ha.ng tu’. da.ng 0xj và ho.n u.ng d¯ôi mô.t, không co vecto. xj khác t` ´ n cu’a phe ´ p + nên ta không tıńh d¯´ên th´ u. tu cu’a các n˜ u.a, tıńh châ´t giao hoa ha.ng tu’ ˜e n khác nhau: Ch´ u.ng minh. Gia’ su’. có hai cách biê’u diˆ x = α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym , vó.i αi = 0, βj = 0, i = 1, . . . , n, j = . . . , m. Ta loa.i bo’ các ha.ng tu’. αj xj và βk yk o’. hai vê´ nêú αj = βk và xj = yk . L´ uc . d¯ó các ha.ng tu’ αj xj và βk yk còn la.i s˜e xa’y ho˘a.c xj = yk ho˘a.c nêú xj = yk è mô.t vê´ các ha.ng tu’. d¯ó và viê´t la.i thành th`ı αj = βk . Chuyê’n vˆ µ1 v1 + · · · + µr vr = 0, < r ≤ n + m. - iˆ èu này Do B là mô.t tâ.p ho p d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh nên µ1 = · · · = µr = 0. D vô l´ y v`ı mô˜i µl pha’i là αj ho˘a.c βk thı` khác không ho˘a.c µl = αj − βk = 0. u.u Bây giò. gia’ su’. B là mô.t co. so’. cu’a không gian vecto. X và B là tâ.p h˜ àn tu’ Khi d¯ó mo.i tâ.p d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh cu’a X có tôí d¯a k ha.n có k phˆ én èu d¯ó nhu. la` ca én th´ àn tu’. (Hãy ch´ u.ng minh d¯iˆ ´ ch ôn la.i kiˆ u.c cu’a d¯a.i sô´ tuyˆ phˆ . . èu, sô´ phˆ àn tu’ cu’a B gˆ òm k tıńh!) L´ uc này ta nói X là khˆ ong gian h˜ u u ha.n chiˆ èu cu’a X và k´ àn tu’. d¯u.o c go.i là sˆ o´ chiˆ y hiê.u là dim X = k. Nêú X không phˆ èu th`ı ta go.i nó là khˆ èu và ong gian vˆ o ha.n chiˆ pha’i là không gian h˜ u.u ha.n chiˆ viê´t dim X = ∞. - ê’ nhâ.n biê´t B là co. so’. cu’a không gian vecto. Cho B là tâ.p cu’a X. D X, ta còn có: matheducare.com MATHEDUCARE.COM - i.nh l´ 1.3.4 D y. Tˆ a.p ∅ = B ⊂ X l` a co. so’. cu’ a khˆ ong gian vecto. X v` a . chı’ B l` a tˆ a.p ho. p d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyêń t´ınh tˆ oí d¯a.i (ngh˜ıa là B d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh và nêú M B th`ı M phu. thuô.c tuyêń t´ınh). Ch´ u.ng minh. - iˆ èu kiê.n cˆ àn. Cho M B. Gia’ su’. x ∈ M và x ∈ / B. Khi d¯ó theo d¯.inh a) D ngh˜ıa co. so’., pha’i có x1 , . . . , xn ∈ B, α1 , . . . , αn ∈ K cho n n αi xi hay x= i=1 αi xi − 1x = 0. n=1 Hê. {x1 , . . . , xn , x} phu. thuô.c tuyêń t´ınh nên M phu. thuô.c tuyêń t´ınh. - iˆ èu kiê.n d¯u’. Vó.i x ∈ X, nêú x ∈ B th`ı x = 1x. Nêú x ∈ / B th`ı b) D . òn ta.i mô.t tô’ ho. p tuyêń t´ınh B ∪ {x} phu. thuô.c tuyêń t´ınh nên tˆ α1 x1 + · · · + αn xn = cho tâ´t ca’ các α1 , . . . , αn không d¯`ông thò.i b˘a` ng không. Trong các vecto. xi này pha’i có m˘a.t vecto. x, ch˘a’ng ha.n x = x1 và d¯ó α1 = v`ı nêú không pha’i nhu. vâ.y th`ı B s˜e phu. thuô.c tuyêń t´ınh. Do d¯ó −1 x = x1 = −(α−1 α2 x2 + · · · + α1 αn xn ). Vâ.y B là mô.t co. so’. cu’a X. - i.nh l´ 1.3.5 D y. Gia’ su’. X l` a mˆ o.t khˆ ong gian vecto. v` a ∅ = M l` a mˆ o.t tˆ a.p . . . òn ta.i mˆ o.c lˆ a.p tuyêń t´ınh X. L´ uc d¯´ o tˆ o.t co so’ B cu’ a X cho ho. p d¯ˆ B ⊃ M. én No ´ i ca ´ ch kha ´ c, ta co ´ thê’ bô’ sung ca ´ c vecto. vaò mô.t tâ.p d¯ô.c lâ.p tuyˆ . . . tıńh cu’a X d¯ê’ ta.o mô.t co so’ cu’a không gian vecto X. Ch´ u.ng minh. K´ y hiê.u F là tâ.p ho p tâ´t ca’ các tâ.p ho p N d¯ô.c lâ.p tuyêń u. tu t´ınh X ch´ u.a M . Khi d¯ó F = ∅ v`ı M ∈ F. Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hê. th´ trên F nhu. sau: vó.i N1 , N2 ∈ F, N1 ≤ N2 và chı’ N1 ⊂ N2 . Gia’ su’. A ⊂ F là mô.t tâ.p s˘a´p th˘a’ng cu’a F. Ta d¯˘a.t N0 b˘a` ng ho p cu’a tâ´t ca’ các tâ.p N thuô.c A. L´ uc d¯ó N0 là mô.t câ.n trên cu’a A. Do F thoa’ mãn các gia’ thiê´t cu’a òn ta.i mô.t phˆ àn tu’. tôí d¯a.i B. Vâ.y B là co. so’. pha’i bô’ d¯`ê Zorn nên F tˆ t`ım. òn ta.i co. so’ 1.3.6 Hˆ e. qua’. Mo.i khˆ ong gian vecto. X = {0} d¯`êu tˆ matheducare.com MATHEDUCARE.COM 141 o.i mô.t co. so’. X th`ı σ(A) l` a tˆ a.p ho p nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh l` aAu ´.ng v´ d¯˘ a.c tru.ng det (A − λI) = 0. -ˆ èu th`ı có nh˜ ong gian vˆ o ha.n chiˆ u.ng gi´ a tri. cu’a phˆ o’ khˆ ong pha’i c) D oí v´ o.i khˆ 2 én → la ` toa ´ n tu’. tuyˆ l` a gi´ a tri. riêng. Thˆ a.t vˆ a.y, ta xe ´ t vı´ du. sau. Cho A : tıńh liên tu.c xa ´ c d¯.inh bo’.i x = (x1 , . . . , xn , . . . ) → Ax = (0, x1 , x2 , . . . , xn , . . . ). òn ta.i to´ A khˆ ong pha’i l` a to` an ańh nên A−0I = A khˆ ong tˆ an tu’. ngu.o c. Tuy nhiên sô´ khˆ ong pha’i l` a gi´ a tri. riêng v`ı nêú thê´ th`ı pha’i có vecto. x = (x1 , x2 , . . . ) = o l´ y. u.c là x = (0, 0, . . . ) hay x = 0, vˆ d¯ê’ Ax = (0, x1 , x2 , . . . ) = 0x = t´ 2.1.4 Sˆ o´ µ khˆ ong thuˆ o.c tâ.p phˆ o’ σ(A) th`ı µ d¯u.o c go.i l` a mô.t gi´ a tri. ch´ınh . . −1 òn ta.i to´ a tˆ an tu’ (A − µI) ∈ L(X). Tâ.p C \ σ(A) quy cu’a to´ an tu’ A ngh˜ıa l` a tˆ a.p ho p gia’ i cu’a to´ an tu’. A, k´ y hiê.u ρ(A) còn to´ an tu’. (A − µI)−1 d¯u.o c go.i l` u.c cu’a to´ an tu’. A, k´ y hiê.u Rµ (A). go.i l` a to´ an tu’. gia’ i hay gia’ i th´ 2.1.5 Gia’ su’. A ∈ L(X). T` u. d¯ˆ ay tro’. d¯i, ta d` ung các k´ y hiê.u sau Aλ = A − λI, N (A) = Ker A, R(A) = Im A. Nêú λ l` a mô.t gi´ a tri. riêng th`ı khˆ ong gian . . a khˆ ong gian riêng cu’a to´ an N (Aλ ) = {x ∈ X : Ax = λx} d¯u o. c go.i l` ´.ng v´ o.i λ. tu’. A u 2.1.6 Gia’ su’. Y l` a khˆ ong gian cu’a khˆ ong gian X va ` A ∈ L(X). Nêú . . a khˆ ong gian bˆ a´t biêń cu’a to´ an tu’. A. Ch˘ a’ng ha.n A(Y ) ⊂ Y th`ı Y d¯u o. c go.i l` én cu’a éu µ la ` mô.t khˆ ong gian bˆ a´t biˆ nˆ ` mô.t gia ´ tri. riêng cu’a A thı` N (Aµ ) la A. 2.2 C´ ac t´ınh chˆ a´t. - i.nh l´ 2.2.1 D y. Cho X l` a mˆ o.t khˆ ong gian Banach v` a to´ an tu’. A ∈ L(X). Nêú |λ| > lim An 1/n n o.i da.ng th`ı λ ∈ ρ(A) v` a to´ an tu’. gia’ i d¯u.o c khai triê’n du.´ Rλ (A) = (A − λI) −1 ∞ =− An λn+1 n=0 (2.1) matheducare.com MATHEDUCARE.COM 142 òn ta.i h˜ o.c hê´t ta ch´ u.ng minh lim An 1/n tˆ Ch´ u.ng minh. Tru.´ u.u ha.n. Thâ.t n uc d¯ó vˆ a.y, lˆ aý k ∈ N tu` yy ´. V´ o.i mo.i n ∈ N ta viê´t n = kp + r, ≤ r < k. L´ r p = − . n k kn Nhu. vˆ a.y An 1/n = Akp+r 1/n ≤ Ak p/n ≤ Ak r k − kn A r/n A é n → ∞ ta có lim An 1/n ≤ Ak Lâý lim sup hai vˆ n→∞ yy ´ nên la.i lˆ aý lim inf hai vê´ ta d¯u.o c v´ o.i mo.i k tu` lim n→∞ An 1/n ≤ lim Ak 1/k k→∞ r/n . 1/k - iˆ èu n` .D ay d¯u ńg . òn ta.i h˜ tˆ u.u ha.n. o˜i (2.1) hˆ o.i tu. tuyê.t d¯ˆ oí Tiê´p theo ta ch´ u.ng minh chuˆ n 1/n . Thˆ a.t vˆ a.y, a´p du.ng tiêu chuˆ a’n hˆ o.i tu. Cauchy-Hadamard |λ| > lim A n ta thˆ aý chuˆ o˜i ∞ An |λ|n+1 n=0 Vˆ a.y lim An n→∞ 1/n lim An hˆ o.i tu. v` a chı’ 1/n n < hay |λ| > lim An |λ| n 1/n . ∞ An ˜ è mô.t V`ı L(X) l` a mô.t khˆ ong gian Banach nên chuˆ oi − hˆ o.i tu. vˆ n+1 n=0 λ to´ an tu’. B ∈ L(X) v` a d¯`ˆ ong th` o.i An lim = 0. n→∞ λn+1 Ngo` ta c´ o ∞ (A − λI)B = −(A − λI) n=0 k An λn+1 k An An An+1 = lim = lim (λI − A) − − n+1 n+1 n k→∞ k→∞ λ λ λ n=0 n=0 Ak+1 = I. k→∞ λk+1 = I − lim matheducare.com MATHEDUCARE.COM 143 én tıńh liên ung có B(A − λI) = I. Vˆ a.y A − λI la ` song á nh tuyˆ Tu.o.ng tu ta c˜ én tıńh theo d¯i.nh ly tu.c nên no ´ la ` phe ´ p d¯`ˆ ong phˆ oi tuyˆ ´ Banach d¯`ˆ ong th` o.i B l` a to´ an tu’. ngu.o c cu’a A − λI hay Rλ (A) = (A − λI) −1 ∞ =− n=0 An . λn+1 2.2.2 Hˆ e. qua’. Cho X l` a khˆ ong gian Banach v` a A ∈ L(X). Nêú sˆ o´ λ thoa’ −1 . èu kiê.n |λ| > A th`ı λ ∈ ρ(A) v` ac d¯.inh bo’ i cˆ m˜ an d¯iˆ a (A − λI) x´ ong th´ u.c (2.1). Ch´ u.ng minh. V`ı An ≤ A n nên v´ o.i gia’ thiê´t th`ı ta có |λ| > A ≥ An Vâ.y lim An n→∞ 1/n 1/n . ´ du.ng D - .inh l´ ≤ A < |λ|. Ap y 2.2.1 ta c´ o kê´t qua’. 2.2.3 Hˆ e. qua’. Gia’ su’. X l` a khˆ ong gian Banach, A ∈ L(X) v` a A < 1. òn ta.i v` a Khi d¯´ o (A + I)−1 tˆ (A + I) −1 ∞ = (−A)n. n=0 2.2.4 Hˆ e. qua’. Nêú A l` a mˆ o.t to´ an tu’. bi. ch˘ a.n khˆ ong gian Banach X o |λ| ≤ lim An 1/n . th`ı v´ o.i λ ∈ σ(A) ta c´ n→∞ - i.nh l´ 2.2.5 D y. Gia’ su’. X l` a khˆ ong gian Banach v` a A ∈ L(X). Khi d¯´ o ρ(A) . l` a tˆ a.p mo’ C. - i.nh l´ ung D y 4.3.3 Chu.o.ng 1, (trang 47) n´ oi lên r˘ a` ng Ch´ u.ng minh. Ta d` Isom (X, X) = Isom (X) l` a tˆ a.p mo’. L(X). Nêú λ0 ∈ ρ(A) th`ı A − λ0 I ∈ Isom (X). Do d¯´ o v´ o.i mo.i λ thoa’ |λ − λ0 | < (A − λ0 I)−1 −1 = r ta s˜e có (A − λ0 I) − (A − λI) = |λ − λ0 | < (A − λ0 I)−1 −1 = r. òn ta.i thuˆ o.c L(X) ngh˜ıa l` a B(λ0 , r) ⊂ ρ(A) nên ρ(A) l` a tˆ a.p Vˆ a.y (A − λI)−1 tˆ mo’ matheducare.com MATHEDUCARE.COM 144 ` TA ˆP BAI . ` khˆ ong gian cu’a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n X 2.1 Gia’ su’. X1 , X2 la èu kiê.n A(X1) ⊂ X2 , A(X2 ) ⊂ X1 . ` A ∈ L(X) tho’a d¯iˆ cho X = X1 ⊕ X2 va ` ng nˆ éu λ la ˜ ng vˆ a ` mô.t gia ´ tri. riêng cu’a A thı` −λ cu a.y. Ch´ u.ng minh r˘ 2.2 Cho X la ` mô.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` A ∈ L(X). òn ta.i mô.t da ˜ y (xn )n ⊂ X v´ o.i xn = va ` a) Gia’ su’. λ ∈ C cho tˆ . Axn − λxn → n → ∞. Ch´ u ng minh λ ∈ σ(A). . ` Banach, λ ∈ ρ(A) va ` µ ∈ C cho |µ| ≤ (A − b) Gia’ su’ thêm X la −1 −1 . . Ch´ u ng minh λ − µ ∈ ρ(A). λI) 2.3 Cho X la ` mô.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` A ∈ L(X) la ` mô.t toa ´ n tu’. ` èu. compact, λ = 0. Ch´ u.ng minh r˘ a ng N (Aλ) la ` mô.t khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆ ˆ HIE ˆ. P TRONG KHONG ˆ ´ TU’. COMPACT TU. . LIEN GIAN HILBERT §3. TOAN ` ng, to´ a mô.t khˆ ong gian Hilbert. Nh˘ ać la.i r˘ a an tu’. A ∈ L(H) Gia’ su’. H l` a tu liên hiê.p nêú A∗ = A. N´ oi cách kh´ ac, v´ o.i mo.i x, y ∈ H d¯a˘’ ng d¯u.o c go.i l` ´ sau. th´ u.c x, Ay = Ax, y d¯u.o c tho’a mãn. Ta có d¯i.nh ly - i.nh ly ong gian Hilbert H v` a 3.1 D ´ . Nêú A l` a to´ an tu’. tu liên hiê.p khˆ µ l` a mˆ o.t gi´ a tri. riêng cu’ a A th`ı µ l` a mˆ o.t sˆ o´ thu c. òn ta.i vecto. x = a.t vˆ a.y, nêú µ l` a mô.t gi´ a tri. riêng th`ı s˜e tˆ Ch´ u.ng minh. Thˆ cho Ax = µx. V`ı Ax, x = x, Ax nên µx, x = x, µx hay µ x = µ x 2. a µ ∈ R. Suy µ = µ ngh˜ıa l` - i.nh l´ 3.2 D y. Gia’ su’. H l` a mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert, A ∈ L(H) l` a mˆ o.t to´ an . . a hai gi´ a tri. riêng kh´ ac cu’ a A. Khi d¯´ o hai khˆ ong tu’ tu. liên hiê.p, λ, µ l` . . . . . ´ ng N (Aµ), N (Aλ ) tru. c giao v´ o i nhau. gian riêng tu o ng u a y ∈ N (A ). Ta có λ, µ ∈ R v` a Ch´ u.ng minh. Gia’ su’. x ∈ N (A ) v` λ µ λ x, y = λx, y = Ax, y = x, Ay = x, µy = µ x, y Do d¯ó (λ − µ) x, y = 0. V`ı λ = µ nên x, y = 0. Vˆ a.y N (Aλ) ⊥ N (Aµ ). matheducare.com MATHEDUCARE.COM 145 - i.nh l´ a mˆ o.t to´ an tu’. compact tu liên hiê.p 3.3 D y. Gia’ su’. = A ∈ L(H) l` khˆ ong gian Hilbert H. L´ uc d¯´ o A c´ o mˆ o.t gi´ a tri. riêng λ cho |λ| = A . - .inh l´ u. D y 4.2.1 Chu.o.ng 3, ta c´ o A = sup | Ax, x |. Theo Ch´ u.ng minh. T` x =1 òn ta.i d˜ d¯i.nh ngh˜ıa cu’a supremum, tˆ ay xn ∈ H, xn = cho | Axn , xn | → ung k´ y hiê.u l` a Axn , xn A . Khi d¯ó s˜e có mô.t d˜ ay cu’a d˜ ay Axn , xn ta c˜ . - ê’ y a.c λ = − A (v`ı Axn , xn l` ´ a sô´ thu c). D hˆ o.i tu. d¯êń sˆ o´ λ v´ o i λ = A ho˘ ` ng r˘ a ≤ Axn − λxn = Axn − λxn , Axn − λxn = Axn ≤ A − 2λ Axn , xn + λ2 xn − 2λ Axn , xn + λ2 → (n → ∞). ay (Axnk )k Vˆ a.y Axn − λxn → (n → ∞). V`ı A compact nên có mô.t d˜ è c` ay (λxnk )k hˆ o.i d˜ ay cu’a d˜ ay (Axn)n hˆ o.i tu Nhu. thê´ d˜ o.i tu. vˆ ung gi´ o.i ha.n v´ −1 -˘ a.t y = lim λxnk = v` a x = λ y. Ta có (Axnk )k . D k Ax − λx = A(λ−1 y) − y = λ−1 lim A(λxnk ) − lim λxnk k k = lim (Axnk − λxnk ) = 0. k→∞ Th` anh Ax = λx hay λ l` a mô.t gi´ a tri. riêng cu’a A. - i.nh l´ 3.4 D y. Tˆ a.p ho p Λ tˆ a´t ca’ c´ ac gi´ a tri. riêng kha ´ c cu’ a mˆ o.t to´ an tu’. ong gian Hilbert H l` a h˜ u.u ha.n ho˘ a.c d¯ê´m compact tu liên hiê.p A ∈ L(H) khˆ . . . . . è 0. a.p ho. p d¯´ o ta.o th` anh mˆ o.t d˜ ay hˆ o.i tu. vˆ d¯u o. c. Nêú d¯ê´m d¯u o. c th`ı tˆ -˘ a.t Λn l` a´t ca’ các giá tri. riêng cu’a A có gi´ a tri. a tˆ a.p ho p tˆ Ch´ u.ng minh. D u.ng minh Λn h˜ o.i mo.i n ∈ N. Thˆ a.t vˆ a.y, gia’ su’. u.u ha.n v´ tuyê.t d¯ˆ oí ≥ . Ta ch´ n òn ta.i vˆ a có n0 cho tˆ o ha.n gi´ a tri. riêng λα mà |λα| ≥ . Lâý ngu.o c la.i l` n0 xn -˘ . L´ uc a.p các vecto. riêng tu.o.ng u ´.ng (xα )α . D u. tˆ a.t yn = mô.t d˜ ay (xn )n t` xn d¯´ o yn = v` a Ayn = λn yn . Ta có 1 yn = ≤ n0 . λn λn òn ta.i mô.t d˜ a.y d˜ ay (λ−1 a.n. V`ı A compact nên tˆ ay (λ−1 Nhu. vˆ n yn )n bi. ch˘ nk ynk )k −1 . éu k = l th`ı λnk = λnl cho A(λnk ynk ) = ynk hˆ o.i tu M˘ a.t kh´ ac, vó i mo.i k, l, nˆ matheducare.com MATHEDUCARE.COM 146 nên ynk ⊥ ynl d¯´ o ynk − ynl = ynk + ynl =2 - iˆ èu mˆ au thuˆ añ n` ay ch´ u.ng to’ Λn ong thê’ l` a d˜ ay co. ba’n d¯u.o c. D nên (ynk )k khˆ o.i mo.i n ∈ N. Vˆ a.y tˆ a.p tˆ a´t ca’ các giá tri. riêng kha ´ c ky ´ hiê.u la ` l` a h˜ u.u ha.n v´ ∞ ˜e thˆ ` Λ= aý r˘ a ng nêú Λ d¯ê´m d¯u.o c th`ı v´ o.i Λn l` a h˜ u.u ha.n hay d¯ê´m d¯u.o c. Dˆ n=1 àu hê´t n nên n´ è 0. > t` uy y ´, ta c´ o |λn | < v´ o lˆ a.p th` anh mˆ o.t d˜ ay hˆ o.i tu. vˆ o.i hˆ ` ng nˆ éu u.ng minh d¯i.nh ly ´ trên, tu.o.ng tu ta thˆ aý r˘ a Nhˆ a.n xe ´ t. T` u. viê.c ch´ . . µ = la ` mô.t gia ´ tri. riêng cu’a toa ´ n tu’ compact tu. liên hiê.p A thı` dimN (Aµ) < ∞ a’n d¯´êm d¯u.o c ca ´ c vecto. riêng vı` tra ´ i la.i thı` co ´ thê’ tı`m mô.t hê. tru c chuˆ ˜ y na ˜ y (Aen)n o.i gia ´ tri. riêng µ ma` khˆ ong co ´ da ò cu’a da ´.ng v´ {en , n ∈ N} u - iˆ èu na hˆ o.i tu D `y mâu thuˆ añ v´ o.i tıńh compact cu’a A. a mô.t to´ an tu’. compact tu liên hiê.p khˆ ong gian Hilbert Bây gi` o. cho A l` - .inh l´ H. Theo D y 3.4, c´ ac giá tri. riêng kh´ ac cu’a A lˆ a.p th` anh mˆ o.t d˜ ay (h˜ u.u ha.n ho˘ a.c vô ha.n) có da.ng |µ1 | ≥ |µ2 | ≥ . . . -˘ D a.t qn = dim N (Aµn ) thı` theo nhˆ a.n xe ´ t trên, qn l` a mô.t sô´ tu nhiên, d¯u.o c go.i l` a bˆ o.i cu’a gi´ a tri. riêng µn . Ta k´ y hiê.u: a’n cu’a khˆ ong gian N (Aµ1 ), a mô.t co. so’. tru c chuˆ {e1 , . . . , eq1 } l` a’n cu’a khˆ ong gian N (Aµ2 ), a co. so’. tru c chuˆ {eq1 +1 , . . . , eq1 +q2 } l` . . a´t ca’ các co. so’. tru c chuˆ a’n cu’a các khˆ ong gian N (Aµi ) (t´ a.p u.c là tˆ Ho p tˆ . . o i en ⊥ em , (m = n)) lˆ a.p th` anh mˆ o.t hê. thˆ ońg tru. c chuˆ {en , n = 1, . . . } v´ a’n a hê. thˆ ońg tru c chuˆ a’n c´ ac vecto. khˆ ong gian Hilbert H. Hê. n` ay d¯u.o c go.i l` o.i các giá tri. riêng kh´ ac cu’a A. riêng u ´.ng v´ -˘ D a.t λ1 = λ2 = · · · = λq1 = µ1 , λq1 +1 = · · · = λq1 +q2 = µ2 , . . . λq1 +···+qn−1 +1 = · · · = λq1 +···+qn = µn , . . matheducare.com MATHEDUCARE.COM 147 a d˜ ay các giá tri. riêng tu.o.ng u ´.ng v´ o.i hê. thˆ ońg tru c chuâ’n D˜ ay (λn )n d¯u.o c go.i l` òm tâ´t các vecto. riêng {en , n = 1, . . . } cu’a to´ a.y (λn )n bao gˆ an tu’. A. Nhu. vˆ ac cu’a A, mô˜i gi´ a tri. µn d˜ ay n` ay d¯u.o c l˘a.p la.i ca’c các giá tri. riêng µn kh´ ` ng bˆ y sau b˘ a o.i cu’a µn . Ta có d¯i.nh l´ - i.nh l´ 3.5 D y. Cho H l` a mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert, A ∈ L(H) l` a mˆ o.t to´ an . . . òn ta.i nhˆ àn tu’. o v´ o i mo.i x ∈ H, tˆ a´t mˆ o.t phˆ tu’ compact tu. liên hiê.p. Khi d¯´ ˜e n du.´ x0 ∈ H m` o.i da.ng a Ax0 = cho x d¯u.o c biê’u diˆ x= x, en en + x0 , n d¯´ o {en , n = 1, . . . } l` a’n c´ ac vecto. riêng cu’ a A u ´.ng a hê. thˆ ońg tru c chuˆ ac gi´ a tri. riêng kh´ ac 0. v´ o.i c´ y hiê.u M l` a khˆ ong gian d¯óng sinh bo’.i {en , n = 1, . . . }. Ch´ u.ng minh. K´ ˜e n mˆ o.t cách nhˆ a´t du.´ o.i da.ng x = x1 + x0 Khi aˆý x ∈ H d¯u.o c biê’u diˆ an tu’. a x0 ∈ M ⊥ = N. V`ı M l` a khˆ ong gian bˆ a´t biêń d¯ôí v´ o.i to´ d¯´ o x1 ∈ M v` ung l` a khˆ ong gian bˆ a´t biêń cu’a A. Thˆ a.t vˆ a.y, v´ o.i mo.i tu liên hiê.p A nên N c˜ y ∈ N v` a v´ o.i mo.i sô´ tu nhiên n, ta có Ay, en = y, Aen = y, λnen = λn y, en = Nhu. thê´ Ay ∈ M ⊥ = N. Vâ.y A(N ) ⊂ N. -˘ a mô.t khˆ ong gian d¯ońg cu’a H nên ba’n thˆ an n´ o D a.t A1 = A N . V`ı N l` - i.nh l´ òn ta.i mô.t gi´ c˜ ung l` a khˆ ong gian Hilbert. Theo D y 3.2 pha’i tˆ a tri. riêng λ . . o.i gi´ a tri. a vecto riêng cu’a A1 u ´ ng v´ cu’a A1 cho |λ| = A1 . Go.i xλ ∈ N l` . ao d¯ó riêng n` ay. V`ı λ c˜ ung l` a gi´ a tri. riêng cu’a A nên nêú λ tr` ung v´ o i mô.t λn n` . . ’ èu n` a gi´ a tri. ay khˆ ong thê d¯u o. c v`ı M ∩ N = {0}. Do d¯ó λ pha’i l` th`ı xλ ∈ M. Diˆ . ` ng 0. Vˆ riêng b˘ a a.y A1 ≡ t´ u c là A(N ) = 0, suy Ax0 = 0. Còn x1 ∈ M nên anh chuˆ o˜i Fourier theo các vecto. en : x1 d¯u.o c khai triê’n th` x1 = x1 , en en = n x1 + x0 , en en = n x, en en n ˜e n cu’a x d¯ã d¯u.o c thiê´t lˆ v`ı x0 , en = 0. Nhu. thê´ biê’u diˆ a.p. - i.nh l´ a mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert, A ∈ L(H) l` a mˆ o.t to´ an 3.6 D y. Gia’ su’. H l` . . . a {en , n = 1, . . . } l` a’n c´ ac vecto. a hê. thˆ ońg tru. c chuˆ tu’ compact tu. liên hiê.p v` matheducare.com MATHEDUCARE.COM 148 riêng u ´.ng v´ o v´ o.i mo.i x ∈ H ta c´ o.i c´ ac gi´ a tri. riêng λn = cu’ a A. Khi d¯´ o Ax = λn x, en en . n - i.nh l´ òn ta.i x0 ∈ H cho y 3.5, tˆ Ch´ u.ng minh. Theo D x = x0 + x, en en , Ax0 = 0. n Nhu. thê´ Ax = A( x, en en) = n x, en Aen = n λn x, en en . n - i.nh l´ u.ng minh. D y d¯u.o c ch´ a A ∈ L(H) l` a to´ an tu’. 3.7 Hˆ e. qua’. Cho H l` a khˆ ong gian Hilbert kha’ ly v` òn ta.i mˆ òm c´ o H tˆ o.t co. so’. tru c chuˆ a’n gˆ ac compact tu liên hiê.p. Khi d¯´ . . an tu’ A. vecto riêng cu’ a to´ - i.nh l´ Ch´ u.ng minh. Theo Ch´ u.ng minh cu’a D y 3.5, không gian Hilbert . . N là không gian riêng cu’a A u ´ ng vó i giá tri. riêng λ = (nêú N = {0}). V`ı H kha’ ly nên N kha’ ly, nhu. thê´ nó có co. so’. tru c chuâ’n {fm , m = 1, . . . } N. Ho p cu’a {en , n = 1, . . . } và {fm , m = 1, . . . } lâ.p thành co. so’. tru c - iˆ ˜e n x = x1 + x0 . èu này suy t` chuâ’n cu’a H. D u. cách biê’u diˆ è. Gia’ su’. A ∈ L(H) l` a mˆ o.t to´ an tu’. compact tu liên hiê.p 3.8 Bˆ o’ d ¯ˆ khˆ ong gian Hilbert v` a λ la ` mˆ o.t sˆ o´ kha ´ c 0. L´ uc d¯´ o R(Aλ ) = R(A − λI) l` a mˆ o.t khˆ ong gian d¯´ ong cu’ a H. - i.nh ly ´ hiê.u M = R(Aλ)∗ thı` theo D ´ 4.1.2 Chu.o.ng 3, Ch´ u.ng minh. Ky ˜e n H = N (Aλ) ⊕ M. Khi âý vó.i mo.i x ∈ H d¯u.o c viˆ ét mô.t ca ´ ch ta biê’u diˆ . . nhâ´t du ó i da.ng x = u + v nên Aλ x = Aλ u + Aλ v = Aλ v tha`nh thu’. àn ch´ u.ng minh Y = Aλ (M ) la` không gian R(Aλ) = Aλ (M ) ⊂ H. Nhu. vâ.y chı’ cˆ ét ta kh˘a’ng d¯.inh r˘à ng tˆ òn ta.i r > cho d¯ó ng. Tru.ó.c hˆ Aλ x ≥ r x , vó.i mo.i x ∈ M. (3.1) òn ta.i xn ∈ M, xn = cho Gia’ su’. ngu.o c la.i, d¯ó vó.i mo.i n ∈ N tˆ Axn − λxn < n (3.2) matheducare.com MATHEDUCARE.COM 149 òn ta.i dãy (xnk )k cho Axnk → x0 V`ı A compact và dãy (xn )n bi. ch˘a.n nên tˆ . L´ uc d¯ó t` u (3.2) suy Axnk − λxnk → va` ta có M λxnk = Axnk − (Axnk − λxnk ) → x0 nên x0 ∈ M, d¯`ông thò.i x0 = lim λxnk = |λ| = 0. M˘a.t kha ´ c, k→∞ Ax0 = lim A(λxnk ) = λ lim Axkn = λx0 . k→∞ k→∞ u.ng minh. ´ . Vâ.y kh˘a’ng d¯.inh d¯u.o c ch´ Nhu. thê´ x0 ∈ N (Aλ ) ∩ M = {0} vô ly Bây giò. cho yn ∈ Y, yn → y0 . L´ uc d¯ó có xn ∈ M d¯ê’ yn = Axn − λxn = Aλ xn (3.3) Do bâ´t d¯˘a’ng th´ u.c (3.1) ta có 1 Aλ xn − Aλ xm = yn − ym → (m, n → ∞). r r è x0 ∈ M. Cho n → ∞ Nhu. vâ.y (xn )n là dãy co. ba’n nên pha’i hô.i tu. vˆ (3.3) ta d¯u.o c y0 = (A − λI)x0 . Vâ.y y0 ∈ Y . Nói cách khác Y = R(Aλ) là không gian d¯óng cu’a H. xn − xm ≤ è. Cho A ∈ L(H) l` ong 3.9 Bˆ o’ d ¯ˆ a mˆ o.t to´ an tu’. compact tu liên hiê.p khˆ èu H. Khi ˆ éu λ = va gian Hilbert vˆ o ha.n chiˆ aý nˆ ` λ ∈ σ(A) thı` λ la ` mˆ o.t gi´ a tri. riêng cu’ a A. éu A = A∗ ta co Ch´ u.ng minh. Cho µ ∈ K, d¯ê’ ý r˘à ng nˆ ´ (Aµ)∗ = (A−µI)∗ = A∗ − µI ∗ = A − µI = Aµ . Bây giò. gia’ su’. λ = va` λ không pha’i là giá tri. riêng ˜ ng không pha’i la` gia ´ tri. riêng cu’a A. Khi d¯ó cu’a A thı` Aλ la` d¯o.n á nh va` λ cu . ˜e n N (Aλ ) = {0}. T` u Bô’ d¯`ê 3.8 và biê’u diˆ H = N (Aλ ) ⊕ R(Aλ)∗ = R(Aλ) = R(Aλ) ta thâý Aλ là toàn ánh. y ánh xa. mo’., Aλ là phép d¯`ông phôi. Nhu. Vâ.y Aλ là song ánh và theo d¯.inh l´ thê´ λ không pha’i là giá tri. phô’ cu’a toán tu’. A. - i.nh l´ 3.10 D y. Cho H l` a mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert, A ∈ L(H) l` a to´ an tu’. compact tu liên hiê.p, {en , n = 1, . . . } l` a’n c´ ac vecto. riêng a hê. thˆ ońg tru c chuˆ ´.ng. Khi d¯´ o nêú λ = v` a λ = λn a d˜ ay c´ ac gi´ a tri. riêng tu.o.ng u cu’ a A v` a (λn )n l` matheducare.com MATHEDUCARE.COM 150 v´ o.i mo.i n th`ı v´ o.i mo.i y ∈ H, phu.o.ng tr`ınh Ax − λx = y s˜e c´ o mˆ o.t nghiê.m . . . . ˜e n du ´ nhˆ a´t x d¯u o. c biê’u diˆ o i da.ng x= λ n λn y, en en − y λn − λ Ch´ u.ng minh. V`ı λ = và λ = λn nên theo Bô’ d¯`ê 3.9, λ là mô.t giá tri. ch´ınh quy cu’a A. Do d¯ó toán tu’. (A − λI) là mô.t phép d¯`ông phôi. Vâ.y vó.i - i.nh l´ òn ta.i nhâ´t x ∈ H d¯ê’ Ax − λx = y. Theo D mo.i y ∈ H tˆ y 3.6 ta có Ax = λn x, en en nên n x= - ê’ y D ´ r˘à ng λ λn x, en en − y (3.4) n λ x, en = Ax − y, en = Ax, en − y, en . M˘a.t khác Ax, en = x, Aen = x, λnen = λn x, en . Do d¯ó λ x, en = λn x, en − y, en hay x, en (λn − λ) = y, en . Suy y, en àn ch´ . Thay vào (3.4) ta có d¯u.o c d¯˘a’ng th´ u.c cˆ u.ng minh. x, en = λn − λ . . Tru ò ng ho p λ tr` ung vó.i mô.t các giá tri. λn , ta có d¯.inh l´ y sau - i.nh l´ 3.11 D y. Cho A ∈ L(H) l` a mˆ o.t to´ an tu’. compact tu liên hiê.p a’n c´ ac vecto. riêng khˆ ong gian Hilbert H, {en , n = 1, . . . } l` a hê. thˆ ońg tru c chuˆ cu’ a A, (λn )n l` ´.ng. Khi d¯´ o nêú λ = l` a mˆ o.t gi´ a a d˜ ay c´ ac gi´ a tri. riêng tu.o.ng u . . tri. riêng c´ o bˆ o.i q: λ = λm+1 = · · · = λm+q th`ı phu o ng tr`ınh Ax − λx = y (3.5) c´ o nghiê.m v` a chı’ y ∈ N (Aλ )⊥ . L´ uc d¯´ o nêú x l` a nghiê.m cu’ a phu.o.ng ˜e n du.´ o.i da.ng tr`ınh (3.5) th`ı n´ o d¯u.o c biê’u diˆ x= λ n λn y, en en − y + c1 em+1 + · · · + cq em+q λn − λ (3.6) on c1 , . . . , cm l` a d¯´ o tˆ o’ng lˆ aý theo tˆ a´t ca’ c´ ac n kh´ ac v´ o.i m + 1, . . . , m + q, c` c´ ac sˆ o´ tu`y ý. - i.nh l´ y 4.1.2 Chu.o.ng 3, ta có Ch´ u.ng minh. Theo Bô’ d¯`ê 3.8 và D H = N (Aλ ) ⊕ R(Aλ). matheducare.com MATHEDUCARE.COM 151 Do d¯ó phu.o.ng tr`ınh có nghiê.m và chı’ y ∈ R(Aλ). V`ı N (Aλ)⊥ = R(Aλ) èu này tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i y ∈ N (Aλ )⊥ . nên d¯iˆ Bây giò. gia’ su’. x là nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5). Khi d¯ó x= 1 (Ax − y) = ( λ λ λn x, en en − y) n - i.nh l´ u.ng minh D y 3.10, ta có Tu.o.ng tu nhu. ch´ (λn − λ) x, en = y, en , Do d¯ó x, en = vó.i mo.i n. (3.7) y, en λn − λ λn = λ (t´ u.c là n = m + 1, . . . , m + q). Còn nêú n = m + k, k = 1, . . . , q th`ı y, em+k = va` λn − λ = nên (3.7) tro’. tha`nh d¯˘a’ng th´ u.c vó.i bâ´t ky` yy ´. Nhu. vâ.y ta x, en . Do d¯ó có thê’ cho.n x, en = cn d¯ó cn là các sô´ tu` ˜e n cu’a nghiê.m x cho bo’.i công th´ u.c (3.6). có d¯u.o c biê’u diˆ Ch´ u ý: Nêú y ⊥ N (Aλ) th`ı mo.i x có da.ng (3.6) s˜e là nghiê.m cu’a phu.o.ng - ô.c gia’ tu kiê’m tra d¯iˆ èu này b˘a` ng cách d¯ê’ y ´ r˘à ng, nghiê.m tô’ng tr`ınh (3.5). D quát cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5) b˘a` ng tô’ng cu’a nghiê.m tô’ng quát cu’a phu.o.ng tr`ınh u.ng minh Ax − λx = và mô.t nghiê.m nào d¯ó cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5). Xem ch´ chi tiê´t, ch˘a’ng ha.n [1,5]. ` TA ˆP BAI . 3.1 Gia’ su’. H la` mô.t không gian Hilbert, A ∈ L(H) la` mô.t toa ´ n tu’. tu liên hiê.p. Cho λ ∈ C. Ch´ u.ng minh r˘à ng éu H = R(Aλ) thı` λ la` mô.t gia ´ tri. riêng cu’a A. a) Nˆ éu H = R(Aλ) va` H = R(Aλ) thı` λ ∈ σ(A) nhu.ng λ không pha’i la` gia ´ b) Nˆ tri. riêng cu’a A. éu H = R(Aλ) thı` λ la` mô.t gia ´ tri. chıńh quy cu’a A. c) Nˆ 3.2 Cho H la` mô.t không gian Hilbert, A ∈ L(H) la` mô.t toa ´ n tu’. tu liên ´ c vecto. riêng u ´.ng hiê.p compact va` gia’ su’. {en , n ∈ N} la` hê. thôńg tru c chuâ’n ca ´ c gia ´ tri. riêng kha ´ c cu’a A. Ch´ u.ng minh r˘à ng {en , n ∈ N} la` co. so’. tru c vó.i ca chuâ’n cu’a H va` chı’ A la` mô.t d¯o.n á nh ho˘a.c tâ.p R(A) tru` mâ.t H. matheducare.com MATHEDUCARE.COM 152 ´.NG DU ` PHU.O.NG TRÌNH TÍCH PHAN ˆ §4. U . NG VAO - i.nh nghıã. Phu.o.ng trı`nh tıćh phˆ an la` phu.o.ng trı`nh co ´ ch´ u.a â’n 4.1 D ´: ha`m du.ó.i dâú tıćh phân. Cu. thê’ ho.n ta co Gia’ su’. f ∈ C[a,b], K ∈ C[a,b]2 . Lu ´ c d¯ó phu.o.ng trı`nh sau d¯ây (â’n la` x) la` én tıńh vó.i nhân K(s, t). an tuyˆ mô.t phu.o.ng trı`nh tıćh phˆ b K(s, t)x(t)dt = f (s), s ∈ [a, b]. x(s) − a ´ c phu.o.ng trı`nh tıćh phân sau d¯ây Ta thu.ò.ng go.i ca b K(s, t)x(t)dt = f (s) a b x(s) − K(s, t)x(t)dt = f (s) a theo th´ u. tu la` phu.o.ng trı`nh Fredholm loa.i va` loa.i 2, co`n ca ´ c phu.o.ng trı`nh s K(s, t)x(t)dt = f (s) a s K(s, t)x(t)dt = f (s) x(s) − a la` phu.o.ng trı`nh Volterra loa.i va` loa.i 2. ˜ ng nhu. nghiê.m cu’a ca ´ c phu.o.ng trı`nh no ´ i trên tu`y Ca ´ c d˜ u. kiê.n d¯u.o c cho cu ˜ d¯u.o c xe ´ t không gian ca ´ c ha`m liên tu.c hay ca ´ c ha`m t` u.ng tru.ò.ng ho p se kha’ tıćh bâ.c p xa ´ c d¯.inh trên [a, b] hay [a, b] . ´ ch´ u.a tham sô´. Sau d¯ây ta kha’o sa ´ t ca ´ c phu.o.ng trı`nh loa.i co ćh phˆ an Fredholm 4.2 Phu.o.ng trı`nh tı ´ ch´ u.a tham sô´ µ sau: Xe ´ t phu.o.ng trı`nh tıćh phân co b x(s) − µ K(s, t)x(t)dt = y(s), (4.1) a d¯ó y ∈ L2 ([a, b]), K ∈ L2 ([a, b]2). - ˘a.t A : L2 ([a, b]) → L2 ([a, b]) xa u.c ´ c d¯i.nh bo’.i công th´ D b K(s, t)x(t)dt, s ∈ [a, b]. (Ax)(s) = a matheducare.com MATHEDUCARE.COM 153 én tıńh liên tu.c va` Khi aˆý A la` mô.t toa ´ n tu’. tuyˆ |K(s, t)|2dtds A ≤ 1/2 = K(s, t) L2([a,b]2) . (4.2) [a,b]2 én tıńh liên tu.c xa ˜ ng go.i A la` toa ´ c d¯i.nh bo’.i nhân K(s, t). Ta cu ´ n tu’. tuyˆ ét la.i du.ó.i da.ng Khi d¯ó phu.o.ng trı`nh (4.1) d¯u.o c viˆ (I − µA)x = y, x, y ∈ L2 ([a, b]) (4.3) hay Ax − λx = y ∗ , d¯ó λ = − . µ - i.nh ly ét nêu trên thı` A la 4.2.1 D ´ . V´ o.i nh˜ u.ng ky ´ hiê.u va ` gia’ thiˆ ` mˆ o.t toa ń . én tıńh compact. tu’ tuyˆ Ch´ u.ng minh. Thâ.t vâ.y, gia’ su’. {ϕn | n ∈ N} la` mô.t co. so’. tru c chuâ’n không gian Hilbert L2 ([a, b]). Khi âý, hê. {ψm,n (s, t) = ϕm (s) · ϕm (t), m, n ∈ N} la` mô.t co. so’. tru c chuâ’n không gian L2 ([a, b]2). Vı` vâ.y K(s, t) d¯u.o c khai triê’n tha`nh chuô˜i Fourier không gian Hilbert na`y nhu. sau ∞ ∞ amn ϕm (s)ϕn(t), K(s, t) = m=1 n=1 d¯ó amn la` hê. sô´ Fourier cu’a K(s, t) d¯ôí vó.i co. so’. tru c chuâ’n {ψm,n (s, t), m, n ∈ N}. N én amn ϕm (s)ϕn (t) ∈ L2 ([a, b]2) va` AN la` toa ´ n tu’. tuyˆ - ˘a.t KN (s, t) = D m,n=1 ń tıńh xa ´ c d¯i.nh bo’.i nhân KN (s, t). Khi âý AN : L2 ([a, b]) → L2 ([a, b]) la` toa én tıńh liên tu.c h˜ èu. u.u ha.n chiˆ tu’. tuyˆ ´ Trong không gian L2 ([a, b]2) ta co ∞ K(s, t) − KN (s, t) L2([a,b]2 ) |amn |2 → = (N → ∞). (4.4) m,n=N +1 Do vâ.y, t` u. (4.2), (4.4) ta co ´: A − AN ≤ K(s, t) − KN (s, t) L2([a,b]2 ) →0 (N → ∞). matheducare.com MATHEDUCARE.COM 154 én tıńh compact vı` no Nhu. vâ.y A la` mô.t toa ´ n tu’. tuyˆ ´ la` gió.i ha.n cu’a mô.t èu. ˜ y ca da ´ c toa ´ n tu’. h˜ u.u ha.n chiˆ Bây giò., ta gia’ su’. thêm A la` mô.t toa ´ n tu’. tu liên hiê.p không gian - iˆ èu na`y tu.o.ng d¯u.o.ng vó.i L2 ([a, b]). D K(s, t) = K(t, s), ∀(t, s) ∈ [a, b]2. ´ du.ng ca - i.nh ly ét qua’ tˆ òn ta.i, nhâ´t va` biê’u Ap ć D ´ 3.10, 3.11 ta co ´ ca ´ c kˆ ˜e n nghiê.m cu’a phu.o.ng trı`nh tıćh phân Fredholm. diˆ ćh phˆ an Volterra. 4.3 Phu.o.ng trı`nh tı Xe ´ t phu.o.ng trı`nh tıćh phân sau d¯ây: s K(s, t)x(t)dt = y(s), x(s) − λ a Ta d¯˘a.t K ∗ (s, t) = K(s, t), a≤t≤s≤b 0, a ≤ s < t ≤ b. è phu.o.ng trı`nh Fredholm Khi âý phu.o.ng trı`nh Volterra d¯u.o c d¯u.a vˆ s K ∗ (s, t)x(t)dt = y(s). x(s) − λ a ét qua’ d¯ã kha’o sa Nh˜ u.ng kˆ ´ t cho phu.o.ng trı`nh Fredholm d¯u.o c chuyê’n cho ´ ch du`ng nguyên ly ´ á nh xa. co, ta co ´ phu.o.ng trı`nh Volterra. Ngoaì ra, b˘a` ng ca . . . ét qua’ sau: thê’ ch´ u ng minh d¯u o. c kˆ - i.nh ly éu trên 4.3.1 D ´ . Gia’ su’. K(s, t) la ` mˆ o.t `m d¯o d¯u.o c, bi. ch˘ a.n cˆ o´t yˆ an aý v´ o.i mo.i y ∈ L2 ([a, b]), phu.o.ng trı`nh tıćh phˆ [a, b]2. Khi ˆ s x(s) − K(s, t)x(t)dt = y(s) a òn ta.i nhˆ tˆ a´t nghiê.m khˆ ong gian L2 ([a, b]). matheducare.com MATHEDUCARE.COM 155 ’O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI . -u - a.i ho.c và Trung ho.c chuyên [ 1] Phan D ´.c Ch´ınh, Gia’i t´ıch hàm, T.1, Nxb. D nghiê.p, Ha` Nô.i 1978. [ 2] Cônmôgôrô´p, Phômin, Co. so’. l´ı thuyê´t hàm và gia’i t´ıch hàm, T.1, (ba’n di.ch tiêńg Viê.t), Nxb. Giáo du.c, Hà Nô.i 1971. [ 3] J. Dieudonné, Co. so’. gia’i tıćh hiê.n d¯a.i, T.1, (ba’n di.ch tiêńg Viê.t), Nxb. - a.i ho.c và Trung ho.c chuyên nghiê.p, Hà Nô.i 1973. D - i.nh, Nguyˆ ˜e n D ˜e n Hoa`ng, Ha`m sô´ biˆ én sô´ thu c, Nxb. Gia ´ o du.c, [ 4] Nguyˆ 1999. ˜e n Xuân Liêm, Gia’i tıćh ha`m, Nxb Giáo du.c, Hà Nô.i, 1994. [ 5] Nguyˆ [ 6] M.M.Rao and Z.D.Ren, Theory of Orlicz Spaces, New York, 1991. [ 7] Hoàng Tu.y, Gia’i t´ıch hiê.n d¯a.i, T.2, Nxb. Giáo du.c, 1978. [ 8] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, 1980. matheducare.com MATHEDUCARE.COM 156 CHỈ MỤC ánh xạ mở bao lồi, bao cân bao tuyến tính Bessel (bất đẳng thức) bị chặn cốt yếu bị chặn bị chặn điểm Bổ đề Riesz bội cân cận cốt yếu chuẩn chuẩn Euclid chuẩn tương đương chuỗi Fourier 49, 59 9 112 37 57 57 53 146 38 15 17 48 104, 111 sở Hilbert 113 sở Schauder 85 sở trực chuẩn 112 46 đẳng cự tuyến tính dạng Hermite 128 đẳng thức hình bình hành 101 định lý Banach – Alaoglu 94 định lý Banach - Steinhauss 57 định lý Hahn – Banach 63 đồ thị đóng 61 đồng phôi tuyến tính 46 giá trị quy 141 giá trị phổ 140 giải thức 141 hàm cỡ 15 hàm liên hiệp 39 hàm Young 39 hấp thụ hệ số Fourier 112 hệ trực chuẩn đầy đủ 112 hệ trực giao/trực chuẩn 105 hình chiếu trực giao 109 hoàn toàn liên tục 135 hội tụ đơn 45 45 hội tụ điểm hội tụ tuyệt đối 22 hội tụ yếu hữu hạn chiều không gian Banach không gian toán tử tuyến tính liên tục không gian bất biến không gian riêng không gian Hilbert không gian liên hiệp/đối ngẫu không gian tiền Hilbert/unita lồi nguyên lý ánh xạ mở nửa chuẩn Parseval (đẳng thức) phần bù trực giao phản xạ phép đẳng cấu phiếm hàm Minkowski phổ phương trình tích phân sơ chuẩn song trực giao tập giải tích vô hướng tô pô *-yếu tô pô yếu toán tử chiếu toán tử compact toán tử đóng toán tử dương toán tử giải toán tử liên hiệp/phó toán tử tuyến tính toán tử tuyến tính bị chặn tổng trực tiếp trực giao trực giao hóa Schmidth tự liên hiệp 90 51 20 45 141 141 96 69 97 59 14 113 109 80 117 15 140 152 14 88 141 96 93 90 129 135 62 131 141 82 11 42 10 104 106 125 matheducare.com . ĐẠI HỌC HUẾ Trường Đại học Sư phạm NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM (Dành cho Học viên Cao học các chuyên ngành Toán)

Định dạng
Số trang	159
Dung lượng	4,18 MB