Giải tích hàm của nguyễn hoàng

c trˆen c´ac khˆong gian ˆa´y, ta pha’i d¯u.a cˆa´u tr´uc mˆetric v`ao cho ch´ung.Tuy nhiˆen nˆe´u nghiˆen c´u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´uc khˆong gian vecto... Mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n tı´

ĐẠI HỌC HUẾ Trường Đại học Sư phạm

L ` O . I GI ´ O . I THI ˆ E U

Gia’i tı´ch ha`m la` mˆo.t nha´ nh cu’a gia’i tı´ch toa´ n ho.c nghiˆen c´u.u ca´c d¯ˆo´i tu.o ng

va` cˆa´u tru´ c toa´ n ho.c tr`u.u tu.o ng, tˆo’ng qua´t ho.n nh˜u.ng con sˆo´ hay khˆong gianto.a d¯ˆo Rn , ch˘a’ng ha.n ca´ c ha`m sˆo´ va` khˆong gian ha`m Ca´ c kˆ´t qua’ vae ` phu.o.ngpha´ p cu’a no´ thˆam nhˆa.p va`o nhiˆe` u nga`nh kha´ c nhau nhu ly´ thuyˆ´t phu.o.ng trı`nhe

vi phˆan thu.`o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ly´ thuyˆ´t cae ´ c ba`i toa´ n cu. c tri.

va` biˆ´n phˆe an, phu.o.ng pha´ p tı´nh, Ra d¯`o.i va`o nh˜u.ng n˘am d¯ˆ` u cu’a thˆea ´ ky’ 20,

d¯ˆ´n nay gia’i tı´ch hae `m tı´ch lu˜ y d¯u.o. c nh˜u.ng tha`nh tu. u quan tro.ng va` no´ d¯a˜ tro.’tha`nh chuˆa’n mu. c trong viˆe.c nghiˆen c´u.u va` trı`nh ba`y ca´c kiˆe´n th´u.c toa´n ho.c

D- ˆay la` mˆo.t trong nh˜u.ng mˆon ho.c co ba’n da`nh cho tˆa´t ca’ ho.c viˆen ca´c l´o.pcao ho.c nga`nh toa´ n ho.c o’ Khoa Toa. ´ n, Tru.`o.ng d¯a.i ho.c Su pha.m, D-a.i ho.c Huˆe´cho du` sau d¯o´ ho theo ho.c nh˜u.ng chuyˆen nga`nh kha´c nhau

Ta´ c gia’ c˘an c´u va`o chu.o.ng trı`nh d¯a`o ta.o cao ho.c hiˆe.n ha`nh, ho.c phˆa` n Gia’i

tı´ch ha`m d¯ˆe’ viˆ´t nˆen giae ´ o trı`nh na`y Nˆo.i dung gˆo` m 4 chu.o.ng ly´ thuyˆ´t Haiechu.o.ng d¯ˆ` u daa `nh cho viˆe.c trı`nh ba`y nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c d¯a.i cu.o.ng cu`ng v´o.i mˆo.t

sˆo´ vı´ du., hı`nh mˆa˜u cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, ca´ c toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c

va` mˆo.t sˆo´ ca´ c d¯i.nh ly´ quan tro.ng cu’a gia’i tı´ch ha`m tuyˆe´n tı´nh Ca´ c chu.o.ng

co`n la.i xe´ t ca´ c vˆa´n d¯ˆ` cu thˆe’ ho.n nhu khˆong gian Hilbert va` ca´c tı´nh chˆa´t d¯˘a.cetru.ng cu’a toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c Ca´c nˆo.i dung na`y cung cˆa´p y´ tu.o.’ng, kˆe´tqua’, ca´ ch diˆ˜n d¯a.t va` y´ nghı˜a cu’a nh˜u.ng kha´i niˆe.m tˆo’ng qua´t, tr`u.u tu.o ng cu’aenga`nh gia’i tı´ch Chu´ ng tˆoi cho.n lo.c va` trı`nh ba`y ca´ c vˆa´n d¯ˆ` theo hu.´e o.ng co ba’n

va` tinh gia’n, giu´ p ho.c viˆen co´ ca´ i nhı`n nhˆa´t qua´ n d¯ˆo´i v´o.i ca´ c bˆo mˆon gia’i tı´ch

d¯a˜ ho.c tru.´o.c d¯o´ Tuy nhiˆen d¯ˆay cu˜ng la` kiˆe´n th´u.c mo.’ d¯u.`o.ng d¯ˆe’ d¯i va`o nh˜u.ng

nˆo.i dung ph´u.c ta.p, chuyˆen sˆau cu’a ca´c chuyˆen nga`nh he.p trong gia’i tı´ch nhu.gia’i tı´ch khˆong tro.n, gia’i tı´ch phi tuyˆ´n, bae `i toa´ n tˆo´i u.u,

Gia´ o trı`nh na`y viˆ´t ra trˆen co so.e ’ Ba`i gia’ng Gia’i tı´ch ha`m d¯a˜ gia’ng choho.c viˆen nhiˆe` u kho´ a tru.´o.c d¯ˆay Chu´ ng tˆoi hˆe thˆo´ng ho´ a, bˆo’ sung kha´ nhiˆ` u nˆe o.idung d¯ˆe’ d¯a´ p ´u.ng chu.o.ng trı`nh cao ho.c hiˆe.n ha`nh d¯ˆo` ng th`o.i t˘ang cu.`o.ng ca´ c ba`i

tˆa.p kho´ , thu´ vi M˘a.c du` nhiˆe` u kiˆe´n th´u.c o.’ d¯ˆay ho.c viˆen d¯a˜ g˘a.p trong chu.o.ngtrı`nh d¯a.i ho.c nhu.ng d¯ˆe’ hiˆe’u sˆau s˘a´c, biˆe´t ca´ch vˆa.n du.ng va`o ca´c mˆon ho.c kha´c,nhˆa´t la` pha’i gia’i d¯u.o. c nh˜u.ng ba`i tˆa.p “khˆong qua´ kho´ ”, ho.c viˆen cˆa` n pha’i ho.c

tˆa.p nghiˆem tu´ c, ch˘am chı’ Ca´ c kiˆ´n th´e u.c vˆ` khˆe ong gian mˆetric, tˆo pˆo, ly´ thuyˆ´te

d¯ˆo d¯o, tı´ch phˆan Lebesgue cu˜ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ang tı´nh toa´n cu’a gia’i tı´ch cˆo’

d¯iˆe’n cˆ` n pha’i ˆa on tˆa.p thu.`o.ng xuyˆen D- ˆe’ giu´ p ho.c viˆen vˆa.n du.ng kiˆe´n th´u.c d¯a˜

ho.c va` dˆe˜ d¯i.nh hu.´o.ng khi la`m toa´n, phˆa` n l´o.n ba`i tˆa.p d¯u.o c s˘a´p xˆe´p o.’ cuˆo´i mˆo˜imu.c tu.o.ng ´u.ng cu’a ca´c chu.o.ng

Ngu.`o.i biˆen soa.n xin chˆan tha`nh ca´ m o.n ca´ c d¯ˆ` ng nghiˆe.p o.’ Tˆo’ Gia’i tı´choKhoa Toa´ n, Tru.`o.ng d¯a.i ho.c Su pha.m, D-a.i ho.c Huˆe´ d¯a˜ d¯o´ng go´p y´ kiˆe´n va` ta.o

d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’ gia´o trı`nh na`y ra d¯`o.i Ta´c gia’ cu˜ng xin ca´m o.n nhiˆee ` u ho.c viˆen

d¯a˜ co´ nh˜u.ng pha’n hˆ` i h˜o u.u ı´ch trong qua´ trı`nh ho.c tˆa.p, nghiˆen c´u.u bˆo mˆon

Chu´ ng tˆoi mong nhˆa.n d¯u.o c nh˜u.ng phˆe bı`nh, go´p y´ d¯ˆe’ tˆa.p gia´o trı`nh na`y d¯u.o c

bˆo’ sung va` ca’i tiˆ´n tˆe o´t ho.n

Ngu.` o.i biˆ en soa n

MU C LU C

L` o.i gi´ o.i thiˆ e.u i

Mu c lu c 1

Chu.o.ng 1 Khˆ ong gian tuyˆ e ´n tı ´nh d ¯i.nh chuˆa’n §1 Khˆong gian tuyˆ´n tı´nhe 3

§2 Khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n 15

§3 Mˆo.t sˆo´ ca´ c khˆong gian ha`m 28

§4 Toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c 41

§5 Khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe` u 51

Chu.o.ng 2 Ca ´ c nguyˆ en ly ´ co ba’n cu’a gia’i tı ´ch ha `m va ` khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p §1 Nguyˆen ly´ bi ch˘a.n d¯ˆe` u 57

§2 Nguyˆen ly´ a´ nh xa mo. 59

§3 D- i.nh ly´ Hahn-Banach 63

§4 Khˆong gian liˆen hiˆe.p 69

§5 Toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p 82

§6 Co so.’ Schauder cu’a khˆong gian Banach 85

§7 Tˆopˆo yˆ´u vae ` su. hˆo.i tu yˆe´u 90

Chu.o.ng 3 Khˆ ong gian Hilbert §1 Kha´ i niˆe.m khˆong gian Hilbert 96

§2 Kha´ i niˆe.m tru c giao-Chuˆ. o˜i Fourier 104

§3 Khˆong gian liˆen hiˆe.p 119

§4 Toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert 122

§5 Mˆo.t sˆo´ toa´ n tu.’ tu. liˆen hiˆe.p 128

Chu.o.ng 4 Toa ´ n tu ’ compact va ` phˆ o’ cu’a toa ´ n tu ’

§1 Toa´ n tu.’ compact 135

§2 Phˆo’ cu’a toa´ n tu.’ liˆen tu.c 140

§3 Toa´ n tu.’ compact tu. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert 144

§4 ´U.ng du.ng va`o phu.o.ng trı`nh tı´ch phˆan 152

T` ai liˆ e.u tham kha’o 155 Chı’ mu c 156

Chu.o.ng 1

KH ˆ ONG GIAN TUY ˆ E ´N T´INH D - I.NH CHU ˆ A ’ N

Stefan Banach (1892-1945), ngu.` o.i sa ´ ng lˆ a p ra nga `nh Gia’i tı ´ch ha `m

Khˆong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆong gian vecto.) l`a mˆo.t trong nh˜u.ng kh´ainiˆe.m quan tro.ng v`a co ba’n cu’a to´an ho.c hiˆe.n d¯a.i C´ac vˆa´n d¯ˆe` cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´nt´ınh nhu l´y thuyˆe´t d¯i.nh th´u.c, ma trˆa.n, hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, d¯u.o c

ph´at biˆe’u v`a tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach nhˆa´t qu´an theo ngˆon ng˜u v`a cˆa´u tr´uc cu’a khˆonggian vecto Trong gia’i tı´ch cˆo’ d¯iˆe’n, ca´ c phe´ p toa´ n sˆo´ ho.c cu˜ ng nhu khoa’ng ca´ chgi˜u.a ca´ c phˆ` n tu.a ’ trong ca´ c tˆa.p sˆo´ thu c R hay R. n d¯u.o. c xa´ c d¯i.nh mˆo.t ca´ ch kha´

tu. nhiˆen nhu.ng bu.´o.c v`ao c´ac l˜ınh vu. c kh´ac, ch˘a’ng ha.n l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh

vi phˆan, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan, khi pha’i thu.`o.ng xuyˆen l`am viˆe.c v´o.i d¯ˆo´i tu.o ng

la` ca´ c h`am sˆo´ta cˆ` n xˆa ay du. ng c´ac cˆa´u tr´uc khˆong gian d¯a.i sˆo´ phu` ho p d. ¯ˆe’ thu. chiˆe.n ca´ c phe´ p toa´ n trˆen tˆa.p c´ac h`am sˆo´ d¯´o M˘a.t kha´ c, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l`am to´an gia’it´ıch d¯u.o. c trˆen c´ac khˆong gian ˆa´y, ta pha’i d¯u.a cˆa´u tr´uc mˆetric v`ao cho ch´ung.Tuy nhiˆen nˆe´u nghiˆen c´u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´uc khˆong gian vecto v`a cˆa´u tr´uc khˆonggian mˆetric trˆen cu˜ ng mˆo.t tˆa.p nˆe` n cho tru.´o.c th`ı s˜e khˆong thu d¯u.o. c d¯iˆ` u g`ı m´e o.i

Ta hy vo.ng r˘a`ng (va` thu c tˆ. ´ d¯ae ˜ nhu vˆa.y), v´o.i su kˆe´t ho p nhˆa´t d¯i.nh gi˜u.a hai

cˆa´u tr´uc n`ay th`ı c´ac vˆa´n d¯ˆ` nghiˆen c´e u.u c`ung nh˜u.ng kˆe´t qua’ m´o.i s˜e xuˆa´t hiˆe.nnhiˆ` u ho.n Nˆee ´u trong D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh ngu.`o.i ta thu.`o.ng xe´t d¯ˆe´n ca´c khˆonggian tuyˆ´n tı´nh h˜e u.u ha.n chiˆe` u thı` trong Gia’i tı´ch ha`m, ca´ c khˆong gian tuyˆ´ne

tı´nh vˆo ha.n chiˆe` u la` ca´ c d¯ˆo´i tu.o. ng d¯u.o. c quan tˆam d¯˘a.c biˆe.t

C´ac nˆo.i dung no´ i trˆen s˜e d¯u.o. c tr`ınh b`ay lˆ` n lu.o.a t qua c´ac chu.o.ng, mu.c cu’a

tˆa.p gia´ o trı`nh n`ay Chu.o.ng 1 mo.’ d¯ˆ` u bo.a ’ i mu.c §1 da`nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ai

niˆe.m v`a t´ınh chˆa´t d¯a˜ biˆ´t liˆen quan d¯ˆe´n khˆe ong gian vecto Ca´ c mu.c kha´ c la` nˆo.idung m´o.i cu’a chu.o.ng na`y.

§1 KH ˆONG GIAN TUY ˆE´N T´INH

1.1 D- i.nh ngh˜ıa Mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n tı´nh hay khˆong gian vecto X trˆen

tru.`o.ng K l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´. ac trˆo´ng X, c´o trang bi hai ph´ep to´an cˆo.ng (+) v`aph´ep nhˆan ngo`ai (nhˆan vˆo hu.´o.ng) nghiˆe.m d¯´ung c´ac tiˆen d¯ˆe` sau:

1 (X, +) l`a mˆo.t nh´om Abel, ngh˜ıa l`a: v´o.i mˆo˜i c˘a.p phˆa`n tu.’ cu’a X, ((x, y) ∈

X × X) cho ´u.ng v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a X k´y hiˆe.u x + y, go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y,

2 X c`ung ph´ep nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X, t´u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X ´u.ng

v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a X, k´y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an a) α(x + y) = αx + αy v´ o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X.

b) (α + β)x = αx + βx v´ o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X.

c) α(βx) = (αβ)x, α, β ∈ K, x ∈ X.

d) 1x = x, ∀x ∈ X.

C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a X go.i l`a c´ac vecto., co`n α ∈ K go.i l`a vˆo hu.´o.ng Trong

gi´ao tr`ınh n`ay ta chı’ l`am viˆe.c v´o.i tru.`o.ng K l`a R (tru.`o.ng c´ac sˆo´ thu c) ho˘a.c C

(tru.`o.ng c´ac sˆo´ ph´u.c)

trong d¯´o α ∈ K, x = (x1, , x n ) ∈ K n , y = (y1, , y n ) ∈ K n l`a mˆo.t khˆonggian vecto D- ˘a.c biˆe.t khi n = 1 th`ı K l`a mˆo.t khˆong gian vecto trˆen ch´ınh n´o.

2 Tˆa.p ho p c´. ac d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n thu c trˆ. en R, k´y hiˆe.u l`a P v´o.i ph´ep cˆo.nghai d¯a th´u.c, ph´ep nhˆan mˆo.t sˆo´ v´o.i d¯a th´u.c d¯u.o c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆongthu.`o.ng c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto trˆen tru.`o.ng R.

3 Tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac h`am sˆo´ thu. c ho˘a.c ph´u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆa.p A

kh´ac trˆo´ng v´o.i c´ac ph´ep to´an

∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x),

(λf )(x) = λf (x),

l`a mˆo.t khˆong gian vecto., ta k´y hiˆe.u l`a F(A).

4 Tˆa.p ho p c´. ac d˜ay sˆo´ thu. c (ho˘a.c ph´u.c) v´o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan

vˆo hu.´o.ng d¯u.o. c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng lˆa.p th`anh khˆong gian vecto.,k´y hiˆe.u l`a s Thˆa.t ra, theo k´y hiˆe.u o ’ v´ı du 3, ta c´o s = F(N), v´o.i N l`a tˆa.p c´ac.

sˆo´ tu. nhiˆen

1.3 Tˆ o’ ho p tuyˆ e´n t´ ınh - Co so ’ Hamel.

1.3.1 Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a x1, x2, , x n l`a c´ac vecto.thuˆo.c X Tˆo’ng

Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X Ta go.i M l`a mˆo.t tˆa.p ho p d. ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh

nˆe´u mo.i tˆa.p h˜u.u ha.n ca´c phˆa`n tu.’ {x1, , x n } ⊂ M va` ca´ c sˆo´ α1, , α n ∈ K,

trong d¯´o n l`a sˆo´ tu. nhiˆen bˆa´t k`y

Tru.`o.ng ho. p M khˆong pha’i l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l`a phu thuˆo.c

tuyˆ e´n t´ınh.

1.3.2 Cho B l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a khˆong gian vecto X Tˆa.p B

d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t co so.’ (hay co so.’ Hamel) cu’a X nˆe´u

a) B l`a mˆo.t tˆa.p ho p d. ¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh.

b) B sinh ra X, ngh˜ıa l`a v´o.i mo.i x ∈ X, x l`a mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆ. e´n t´ınh cu’a

mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa`n tu.’ cu’a B :

Ch´ u ´ y Trong ph´at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯ˆe` n`ay ta qui u.´o.c r˘a`ng, o.’ tˆo’ng (1.2) c´ac

vecto x j kh´ac nhau t`u.ng d¯ˆoi mˆo.t, khˆong co´ m˘a.t c´ac ha.ng tu’ da.ng 0x. j v`a ho.nn˜u.a, do tı´nh chˆa´t giao hoa´ n cu’a phe´ p + nˆen ta khˆong tı´nh d¯ˆ´n th´e u tu. cu’a c´acha.ng tu’ .

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ c´o hai c´ach biˆe’u diˆe˜n kh´ac nhau:

x = α1x1+ · · · + α n x n = β1y1+ · · · + β m y m ,

v´o.i α i 6= 0, β j 6= 0, i = 1, , n, j = 1 , m.

Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’ α. j x j v`a β k y k o.’ hai vˆe´ nˆe´u α j = β k v`a x j = y k L´uc

d¯´o c´ac ha.ng tu’ α. j x j v`a β k y k c`on la.i s˜e xa’y ra ho˘a.c x j 6= y k ho˘a.c nˆe´u x j = y k th`ı α j 6= β k Chuyˆe’n vˆ` mˆe o.t vˆe´ c´ac ha.ng tu’ d¯´. o v`a viˆe´t la.i th`anh

µ1v1+ · · · + µ r v r = 0, 0 < r ≤ n + m.

Do B l`a mˆo.t tˆa.p ho p d. ¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µ r = 0 D- iˆe` u n`ay

vˆo l´y v`ı mˆo˜i µ l pha’i l`a α j ho˘a.c β k thı` kh´ac khˆong ho˘a.c µ l = α j − β k 6= 0. 

Bˆay gi`o gia’ su.’ B l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian vecto X v`a B l`a tˆa.p h˜u.u ha.n c´o k phˆa` n tu.’ Khi d¯´o mo.i tˆa.p con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆo´i d¯a k

phˆ` n tu.a ’ (H˜ay ch´u.ng minh d¯iˆ` u d¯´e o nhu la` ca´ ch ˆon la.i kiˆe´n th´u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n

tı´nh!) L´uc n`ay ta n´oi X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha n chiˆ ` u, sˆ e o´ phˆ` n tu.a ’ cu’a B gˆ ` m kophˆ` n tu.a ’ d¯u.o. c go.i l`a sˆ o´ chiˆ ` u cu’a X v` e a k´y hiˆe.u l`a dim X = k Nˆe´u X khˆong

pha’i l`a khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe` u th`ı ta go.i n´o l`a khˆong gian vˆo ha.n chiˆe ` u v`aviˆe´t dim X = ∞.

Cho B l`a tˆa.p con cu’a X D - ˆe’ nhˆa.n biˆe´t B l`a co so.’ cu’a khˆong gian vecto.

X, ta c`on c´o:

1.3.4 D- i.nh l´y Tˆa.p ∅ 6= B ⊂ X l`a co so.’ cu’a khˆong gian vecto X khi v`a

chı’ khi B l` a tˆ a p ho p d . ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh tˆ o´i d ¯a i (ngh˜ıa l` a B d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınhv`a nˆe´u M % B th`ı M phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh).

Hˆe {x1, , x n , x} phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.

b) D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’ V´o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x Nˆe´u x / ∈ B th`ı do

B ∪ {x} phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆo` n ta.i mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n t´ınh

α1x1+ · · · + α n x n = 0sao cho tˆa´t ca’ c´ac α1, , α n khˆong d¯ˆ` ng th`o o.i b˘a`ng khˆong Trong c´ac vecto x i

n`ay pha’i c´o m˘a.t vecto x, ch˘a’ng ha.n x = x1 v`a khi d¯´o α16= 0 v`ı nˆe´u khˆong pha’inhu vˆa.y th`ı B s˜e phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh Do d¯´o

x = x1 = −(α−11 α2x2+ · · · + α−11 α n x n ).

Vˆa.y B l`a mˆo.t co so.’ cu’a X 

1.3.5 D- i.nh l´y Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a ∅ 6= M l`a mˆo.t tˆa.p

ho p d ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh trong X L´ uc d ¯´ o tˆ `n ta.i mˆo.t co so.’ B cu’a X sao cho o

B ⊃ M.

No´ i ca´ ch kha´ c, ta co´ thˆe’ bˆo’ sung ca´ c vecto va`o mˆo.t tˆa.p con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n

tı´nh cu’a X d¯ˆe’ ta.o ra mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian vecto X.

Ch´ u.ng minh K´y hiˆe.u F l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac tˆa.p ho p N d. ¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n

t´ınh trong X ch´ u.a M Khi d¯´o F 6= ∅ v`ı M ∈ F Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe th´u tu trˆen F nhu sau: v´ o.i N1, N2 ∈ F , N1 ≤ N2 khi v`a chı’ khi N1 ⊂ N2 Gia’ su.’

A ⊂ F l`a mˆo.t tˆa.p con s˘a´p th˘a’ng cu’a F Ta d¯˘a.t N0 b˘a`ng ho. p cu’a tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p

N thuˆ o.c A L´uc d¯´o N0 l`a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a

bˆo’ d¯ˆ` Zorn nˆen trong F tˆe ` n ta.i mˆo.t phˆao ` n tu.’ tˆo´i d¯a.i B Vˆa.y B l`a co so.’ pha’it`ım 

1.3.6 Hˆe qua’ Mo.i khˆong gian vecto X 6= {0} d¯ˆe ` u tˆ `n ta.i co so.’ o

Ch´ u.ng minh Lˆ a´y x ∈ X, x 6= 0 v`a d¯˘a.t M = {x} rˆo` i ´ap du.ng D- i.nh l´y1.3.5 

1.4 Phe ´ p toa ´ n trˆ en ca ´ c tˆ a.p con cu’a khˆong gian vecto

1.4.1 D- i.nh nghı˜a Cho X la` mˆo.t khˆong gian vecto., M, N la` 2 tˆa.p con

kha´ c trˆo´ng cu’a X va ` α ∈ K Ta d¯i.nh nghı˜a ca´ c tˆa.p m´o.i nhu sau:

a) M + N = {z = m + n | m ∈ M, n ∈ N } b) αM = {z = αx | x ∈ M }.

c) (−1)M = −M, M − N = M + (−N ).

Dı˜ nhiˆen M ± N va ` αM la` ca´ c tˆa.p con cu’a X va` M + N = N + M.

1.4.2 Nhˆ a.n xe ´ t V´o.i mo.i M ⊂ X ta co ´ 2M ⊂ M + M nhu.ng d¯iˆ` u ngu.o cela.i no´ i chung khˆong d¯u´ ng Do d¯o´ v´o.i ca´ c phe´ p toa´ n v`u.a d¯i.nh nghı˜a o’ trˆen, tˆ. a.p

P∗(X) = P(X) \ ∅ du` khˆong co´ cˆa´u tru´ c cu’a khˆong gian vecto nhu.ng cu˜ ng kha´thuˆa.n lo i trong viˆ. e.c trı`nh ba`y ca´ c vˆa´n d¯ˆ` khae ´ c

1.4.3 D- i.nh nghı˜a Cho X la` mˆo.t khˆong gian vecto va` M ⊂ X Ta co´ ca´c

kha´ i niˆe.m sau:

Tˆa.p M ⊂ X d¯u o c go.i la` mˆo.t tˆa.p lˆo`i nˆe´u

∀λ ∈ [0, 1], λM + (1 − λ)M ⊂ M.

Co`n nˆ´u M ⊂ X tho’a mae ˜ n tı´nh chˆa´t

∀λ ∈ K, |λ| ≤ 1 : λM ⊂ M,

thı` M d¯u.o. c go.i la` mˆo.t tˆa.p cˆan (hay cˆan d¯ˆo´i).

Ngoa`i ra, tˆa.p M ⊂ X d¯u o c go.i la` mˆo.t tˆa.p hˆa´p thu nˆe´u v´o.i mo.i x ∈ X, tˆo`n ta.i λ > 0 sao cho v´o i mo.i α ∈ K, |α| ≥ λ thı` x ∈ αM.

1.5 Khˆ ong gian vecto con.

1.5.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a M l`a mˆo.t tˆa.p con

kh´ac trˆo´ng cu’a X Gia’ su.’ c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X khi thu he.p la.i trˆen M c˜ung l`am cho M th`anh mˆo.t khˆong gian vecto Lu´c d¯´o ta go.i M

l`a mˆo.t khˆong gian vecto con (hay go.i t˘a´t la` khˆong gian con) cu’a X.

1.5.2 D- i.nh l´y Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a X D - iˆe ` u kiˆ e.n cˆa ` n v` a d ¯u’ d ¯ˆ e’ M tro ’ th` anh mˆ o t khˆ ong gian con cu’a X l` a:

a) M + M ⊂ M.

b) ∀α ∈ K : αM ⊂ M.

Ch´ u.ng minh D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n hiˆe’n nhiˆen Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´an cˆo.ngv`a nhˆan vˆo hu.´o.ng l`a k´ın trˆen M Ho.n n˜u.a, c´ac t´ınh chˆa´t cu’a c´ac ph´ep to´ann`ay vˆa˜n c`on d¯´ung khi ta l`am viˆe.c v´o.i c´ac phˆa` n tu.’ cu’a M nˆen ta´ m tiˆen d¯ˆ` cu’ae

mˆo.t khˆong gian vecto d¯u.o c nghiˆe.m d¯u´ng T`u d¯ˆay cho ph´ep ta suy d¯u.o c d¯iˆe`ukiˆe.n d¯u’ 

Ch´ u ´ y Trong thu. c h`anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆa.p Y n`ao d¯´o l`a khˆong gian

vecto., ngu.`o.i ta thu.`o.ng nh´ung n´o v`ao trong mˆo.t khˆong gian vecto d¯˜a biˆe´t, sau

d¯o´ kiˆe’m tra c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´y trˆen.e

|x n | < ∞ l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian s c´ac d˜ay sˆo´.

2 Tˆa.p ho p c´. ac h`am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´y hiˆe.u C [a,b] l`a

mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian c´ac h`am sˆo´ F([a, b]).

3 Tˆa.p ho p `. ∞ = {x = (x n)n ⊂ K : sup

n∈N

|x n | < ∞} c´ac d˜ay sˆo´ thu. c ho˘a.cph´u.c x = (x n)n bi ch˘a.n c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto D- o´ la` khˆong gian concu’a khˆong gian vecto s ca´ c da˜ y sˆo´

T`u D- i.nh l´y 1.5.2 ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` sau

1.5.4 Mˆ e.nh d¯ˆe` Giao mˆ o t ho tu` y ´ y c´ ac khˆ ong gian con cu’a X l` a mˆ o t khˆ ong gian con cu’a X.

Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ (M i)i∈I l`a mˆo.t ho c´ac khˆong gian con cu’a X D- ˘a.t

i∈I

M i Ta c´ o M kh´ac trˆo´ng v`ı n´o c´o ch´u.a vecto 0 Nˆe´u x, y ∈ M, (t´u.cl`a x, y ∈ M i , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ M i , αx ∈ M i v´o.i mo.i i ∈ I Do d¯´o

x + y ∈ M v` a αx ∈ M Vˆ a.y M l`a khˆong gian con cu’a X 

1.5.5 D- i.nh ngh˜ıa Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian vecto X Luˆon

luˆon tˆ` n ta.i mˆo.t khˆong gian con cu’a X ch´u.a A (ch˘a’ng ha.n ba’n thˆan khˆong giano

X) Giao cu’a ho tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian con ch´u a A c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian con

ch´u.a A Khˆong gian con n`ay d¯u.o. c go.i l`a khˆ ong gian con sinh bo ’ i A hay l` a bao

tuyˆ e´n t´ınh cu’a A v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a h A i ho˘a.c span (A) Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯ˆay

l`a khˆong gian con b´e nhˆa´t cu’a X ch´u.a tˆa.p A Tu.o.ng tu , ta cu˜ng d¯i.nh nghı˜a

d¯u.o. c bao lˆ ` i, bao cˆ o an cu’a mˆ o.t tˆa.p A Ta c´o:

1.5.6 Mˆ e.nh d¯ˆe ` Bao tuyˆ e´n t´ınh cu’a tˆ a p A l` a tˆ a p ho p tˆ . a´t ca’ c´ ac tˆ o’ ho p tuyˆ e´n t´ınh cu’a c´ ac phˆ ` n tu a ’ thuˆ o c A.

Ch´ u.ng minh D - ˘a.t M = z =

1.5.7 D- i.nh nghı˜a Gia’ su.’ M v`a N l`a hai khˆong gian con cu’a X Ta ky´

hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N } L´uc d¯´o Z c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto con cu’a X, d¯u.o. c go.i l`a tˆ o’ng cu’a M v` a N Ta dˆ˜ d`ang suy ra:e

M + N = hM ∪ N i.

Nˆe´u Z = M + N v` a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o. c go.i l`a tˆ o’ng tru c tiˆ e´p cu’a M

v`a N , k´y hiˆe.u Z = M ⊕ N Ta c´o:

1.5.8 D- i.nh l´y Cho M, N l`a c´ac khˆong gian vecto con cu’a X va` d¯˘a.t

Z = M + N D - iˆe ` u kiˆ e.n ˘a´t c´o v`a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l`a v´o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o c biˆ e’u diˆ e ˜n mˆ o t c´ ach duy nhˆ a´t du.´ o.i da ng z = x + y v´ o.i x ∈ M, y ∈ N.

Ch´ u.ng minh.

D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n Gia’ su.’ Z = M ⊕ N v` a z = x + y = x0 + y0 v´o.i x, x0 ∈

M ; y, y0 ∈ N L´uc d¯´o x − x0 = y0 − y V`ı x − x0 ∈ M, y − y0 ∈ N nˆen

x − x0 = y0 − y ∈ M ∩ N = {0} Vˆ a.y x = x0 v`a y = y0.

D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’ Ta c´o Z = M + N Gia’ su.’ x ∈ M ∩ N L´uc d¯´o ta viˆe´t

x = x + 0 = 0 + x Do t´ınh duy nhˆa´t cu’a biˆe’u diˆ˜n, ta suy ra x = 0 ngh˜ıa l`ae

M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N. 

1.6 Khˆ ong gian vecto t´ ıch–Khˆ ong gian vecto thu.o.ng.

1.6.1 Cho X1, , X n l`a n khˆong gian vecto trˆen c`ung mˆo.t tru.`o.ng K K´y

hiˆe.u X l`a t´ıch Descartes cu’a c´ac X i : X = X1× × X n V´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’

x = (x1, , x n ), y = (y1, , y n) thuˆo.c X v`a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa

x + y = (x1+ y1, , x n + y n ),

αx = (αx1, , αx n ).

L´uc d¯´o dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘a`ng v´o.i hai ph´ep to´an trˆen, X tro.e ’ th`anh

mˆo.t khˆong gian vecto v`a X d¯u.o c go.i l`a t´ıch (hay t´ıch tru c tiˆe´p) cu’a n khˆong gian vecto X1, , X n

1.6.2 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a n´o.

Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe sau:

∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M ) ⇐⇒ x − y ∈ M.

R˜o r`ang d¯ˆay l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X Cho x ∈ X Nˆe´u y ≡

x (mod M ) th`ı y − x ∈ M hay y ∈ x + M Ngu.o. c la.i nˆe´u z ∈ x + M th`ı

z − x ∈ M hay z ≡ y (mod M ) Do d¯´o l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´y hiˆe.u x ch´ınh

l`a tˆa.p x+M = {x+m | m ∈ M } Ta k´y hiˆe.u tˆa.p thu o.ng l`a X/M = {x | x ∈ X}.

trong d¯´o x, y l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ bˆa´t k`y trong c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng x, y.

Theo ch´u ´y trˆen, d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an n`ay l`a d¯´ung d¯˘a´n v`ı khˆong phu

thuˆo.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac d¯a.i diˆe.n x ∈ x, y ∈ y.

Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘a`ng v´o.i c´ac ph´ep to´an trˆen, X/M tro.e ’ th`anh

mˆo.t khˆong gian vecto., go.i l`a khˆong gian vecto thu.o.ng cu’a X theo khˆong gian con M Lu.u ´y r˘a`ng vecto 0 cu’a X/M ch´ınh l`a tˆa.p M.

1.7 ´ Anh xa tuyˆe´n t´ınh.

Cho X, Y l`a hai khˆong gian vecto trˆen tru.`o.ng K v`a mˆo.t ´anh xa A : X →

Y, x 7→ Ax Ta go.i A l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh (hay to´an tu ’ tuyˆ . e´n t´ınh) nˆe´u v´o.i

mo.i x, y ∈ X, α, β ∈ K ta c´o

A(αx + βy) = αAx + βAy.

Gia’ su.’ B la` mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian vecto X Khi d¯o´ a´nh xa tuyˆe´n tı´nh

A : X → Y hoa`n toa`n d¯u.o. c xa´ c d¯i.nh nˆe´u phˆa` n tu.’ Ab d¯u.o. c xa´ c d¯i.nh v´o.i mo.i

b ∈ B.

Cho A l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y , ta k´y hiˆe.u ImA = A(X) v`a KerA = A−1(0) lˆ` n lu.o.a t a’nh v`a ha.t nhˆan cu’a A Nˆe´u A l`a song ´anh ta n´oi A l`a

ph´ep d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh v`a X, Y l`a hai khˆong gian vecto d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i nhau

Bˆay gi`o gia’ su.’ A, B : X → Y l`a hai ´anh xa tu`y ´y Ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıathˆong thu.`o.ng vˆ` tˆe o’ng, tı´ch mˆo.t sˆo´ v´o.i ca´c a´nh xa tuyˆe´n tı´nh:

(A + B)x = Ax + Bx, (αA)x = αAx,

trong d¯´o α ∈ K, x ∈ X.

Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng nˆe´u A, B l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh th`ı A + B, αA c˜ungel`a nh˜u.ng ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y

K´y hiˆe.u L(X, Y ) l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y Khi

d¯´o v´o.i hai ph´ep to´an v`u.a x´ac d¯i.nh, L(X, Y ) lˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian vecto

Nˆe´u Y = K (R hay C) l´uc d¯´o ´anh xa tuyˆe´n t´ınh f : X → K d¯u o c go.i l`a phiˆe´m

h` am tuyˆ e´n t´ınh trˆ en X, c` on L(X, K) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a X0 v`a go.i la` khˆong gian

liˆ en hiˆ e.p d¯a.i sˆo´ cu’a khˆong gian X.

1.7.1 D- i.nh ly´ Cho f, f1, , f n l` a c´ ac phiˆ e´m h` am tuyˆ e´n t´ınh trˆ en khˆ ong gian vecto X Khi ˆ a´y f l` a mˆ o t tˆ o’ ho p tuyˆ e´n t´ınh cu’a c´ ac f1, , f n nˆ ´u va e ` chı’

V´o.i n = 1, theo gia’ thiˆ e´t th`ı Ker f1 ⊂ Ker f.

Nˆe´u f = 0 th`ı f = 0f1 Nˆ e´u f 6= 0 th`ı tˆ ` n ta.i xo 0 sao cho f1(x0) = 1 L´uc

Tru.`o.ng ho. p f = 0 l`a tˆ` m thu.`a o.ng Nˆ´u f 6= 0 th`ı c´e o thˆe’ gia’ su.’ r˘a`ng, tˆo` n

ta.i x0∈ X sao cho f n+1 (x0) = 1 D- ˘a.t

β j f j Theo nguyˆen l´y qui na.p, mˆe.nh d¯ˆe` d¯u.o. c ch´u.ng minh 

1.7.2 D- i.nh ly´ Cho X la` mˆo.t khˆong gian vecto va` {f1, , f n } la ` mˆ o t hˆ e n phiˆ ´m ha e `m d ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ ´n tı´nh trong khˆ e ong gian liˆ en hiˆ e.p d¯a.i sˆo´ X0 Khi d ¯o ´ tˆ ` n o

ta i n vecto x1, , x n ∈ X sao cho f i (x j ) = δ ij =

(

1, i = j

0, i 6= j , i, j = 1, , n. Ch´ u.ng minh Do f1, , f n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh nˆen theo D- i.nh ly´ 1.7.1 ta

1.7.3 D- i.nh ly´ Cho n vecto x1, , x n d ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ ´n tı´nh trong khˆ e ong gian vecto X Khi d ¯o ´ tˆ ` n ta.i n phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh {f o 1, , f n } ⊂ X0 sao cho

f i (x j ) = δ ij =

(

1, i = j

0, i 6= j , i, j = 1, , n.

Ch´ u.ng minh Ta bˆo’ sung va`o tˆa.p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh {x1, , x n } d¯ˆe’ d¯u.o. c

mˆo.t co so.’ Hamel B Khi ˆa´y nh˜u.ng phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh trˆen X xa´c d¯i.nh qua

co so.’ bo.’ i cˆong th´u.c f i (x i ) = 1, f i (x) = 0, ∀x ∈ B, x 6= x i la` ca´ c phiˆ´m hae `mtuyˆ´n tı´nh pha’i tı`m e

1.8 Nu ’ a chuˆ a’n.

1.8.1 D- i.nh nghı˜a Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto va` p : X → R la`

mˆo.t ha`m sˆo´

• Ta go.i p l`a mˆo.t so chuˆa’n trˆen X nˆe´u p tho’a

a) p(αx) = αp(x) v´ o.i mo.i x ∈ X v`a α > 0.

b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) v´ o.i mo.i x, y ∈ X.

D- ˆe’ ´y r˘a`ng l´uc d¯´o ta c´o p(0) = 0 v`ı p(0) = p(2.0) = 2p(0).

• Ta go.i p l`a mˆo.t nu ’ a chuˆ . a’n trˆ en X nˆ e´u p tho’a a) p(αx) = |α|p(x) v´ o.i mo.i x ∈ X v`a α ∈ K.

b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) v´ o.i mo.i x, y ∈ X.

Cho p la` nu.’ a chuˆa’n T`u d¯i.nh nghı˜a ta thˆa´y p cu˜ng la` so chuˆa’n va` thˆemn˜u.a, v´o.i mo.i x ∈ X ta co ´ 2p(x) = p(x) + p(−x) ≥ p(x − x) = p(0) = 0 nˆen

p(x) ≥ 0 v´ o.i mo.i x ∈ X.

Mˆ e.nh d¯ˆe` Cho X la ` mˆ o t khˆ ong gian vecto

1 Gia’ su ’ p(x) la ` mˆ o t nu ’ a chuˆ . a’n trong X V´ o.i mˆ o ˜i α > 0 ca ´ c tˆ a p {x ∈ X | p(x) < α} va ` {x ∈ X | p(x) ≤ α} la ` lˆ ` i, cˆ o an va ` hˆ a´p thu .

2 Ngu.o c la i, gia’ su ’ A la . ` mˆ o t tˆ a p lˆ ` i, cˆ o an va ` hˆ a´p thu trong X thı` ha `m

Bˆay gi`o v´o.i x, y ∈ X, ta lˆa´y 2 sˆo´ λ > 0, µ > 0 sao cho x ∈ λA, y ∈ µA

nghı˜a la` x = λx0, y = µy0 v´o.i x0, y0 thuˆo.c A Ta co´

Do A la` tˆa.p lˆo` i nˆen λ

g(x + y) ≤ λ + µ Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c na`y d¯u´ ng v´o.i mo.i λ > 0, µ > 0 tho’a ma˜ n

x ∈ λA, y ∈ µA nghı˜a la`

g(x + y) ≤ g(x) + g(y).

Vˆa.y g(x) la` mˆo.t nu’ a chuˆ. a’n trˆen X Nˆ ´u x /e ∈ A thı` x / ∈ λA v´ o.i mo.i λ < 1 nˆen

g(x) ≥ 1, co`n nˆ´u x ∈ A = 1.A nˆen g(x) ≤ 1 Nhu thˆee ´ tı´nh chˆa´t (1.8) d¯u.o. cch´u.ng minh

Nu.’ a chuˆa’n g(x) xa´ c d¯i.nh nhu trˆen d¯u.o c go.i la` ha`m c˜o hay phiˆe´m ha`mMinkowski d¯ˆo´i v´o.i tˆa.p A.

B ` AI T ˆ A P

1.1 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto., f1, f2 l`a hai phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınhx´ac d¯i.nh trˆen X Gia’ su’ v´. o.i mo.i x ∈ X th`ı f1(x)f2(x) = 0 Ch´u.ng minh r˘a`ng

f1 ≡ 0 hay f2 ≡ 0.

1.2 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a A : X → X l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n

t´ınh Gia’ su.’ A2 = A ◦ A = 0 Ch´u.ng minh r˘a`ng I − A l`a mˆo.t song ´anh (I l`a

to´an tu.’ d¯ˆ` ng nhˆo a´t id.)1.3 Gia’ su.’ X, Y la` 2 khˆong gian vecto v´o.i dim X = n, dim Y = m Ch´u.ngminh r˘a`ng dim L(X, Y ) = nm.

1.4 Cho f la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh trˆen khˆong gian vecto X va` Y

la` mˆo.t khˆong gian vecto con cu’a X tho’a Kerf ⊂ Y Ch´u.ng minh r˘a`ng Y = X

ho˘a.c Y = Kerf.

§2 KH ˆONG GIAN TUY ˆE´N T´INH D- I.NH CHU ˆA’N

2.1 C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa.

Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a k.k : X → R l`a mˆo.t ha`m sˆo´ Ta go.i

ha`m sˆo´ na`y la` mˆo.t chuˆa’n trˆen X nˆe´u no´ thoa’ ma˜ n 3 tiˆen d¯ˆ` sau:e

1 ∀x ∈ X : kxk ≥ 0; kxk = 0 khi v` a chı’ khi x = 0.

2 kλxk = |λ|kxk v´ o.i mo.i λ ∈ K, x ∈ X.

3 kx + yk ≤ kxk + kyk, v´ o.i mo.i x, y ∈ X v`a λ ∈ K.

Khi d¯´o c˘a.p (X, k.k) d¯u o c go.i l`a mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n t´ınh d¯i.nh chuˆa’n hay

go.n ho.n khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n.

Ta thu.`o.ng go.i tiˆen d¯ˆe` 3 la` bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam gia´ c

Nˆe´u tru.`o.ng K = R (tu.o.ng ´ u.ng, (t.u ) C) th`ı ta go.i (X, k.k) l`a khˆong gian

d ¯i.nh chuˆa’n thu c (t.u . , khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n ph´u.c) Sˆo´ thu c kxk d¯u.o c go.i l`a

chuˆ a’n hay d ¯ˆ o d` ai cu’a vecto x ∈ X Nˆe´u khˆong c´o su. nhˆ` m lˆa a˜n vˆe` chuˆa’n trˆen

X th`ı ta s˜e k´y hiˆe.u t˘a´t l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.

Nhˆ a n xe ´ t D - ˘a.t p(·) = k.k Khi d¯o´ p(·) la` nu.’a chuˆa’n Ngu.o c la.i, nˆe´u p(·) la`

mˆo.t nu’ a chuˆ. a’n va` tho’a thˆem d¯iˆ` u kiˆe.n p(x) = 0 suy ra x = 0 thı` p(·) la` mˆo.techuˆa’n trˆen X.

Cho X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n V´o.i x, y ∈ X ta d¯˘a.t

d(x, y) = kx − yk.

Khi d¯´o t`u ba tiˆen d¯ˆ` cu’a chuˆe a’n, ta suy ra ngay d l`a mˆo.t mˆetric trˆen X Ho.nn˜u.a d c`on tho’a m˜an hai tı´nh chˆa´t la`: bˆa´t biˆ´n d¯ˆe o´i v´o.i phe´ p ti.nh tiˆe´n, thuˆa` nnhˆa´t d¯ˆo´i v´o.i phe´ p vi tu , thˆ. e’ hiˆe.n nhu sau:

a) d(x + z, y + z) = d(x, y) b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y)

v´o.i mo.i x, y, z ∈ X, λ ∈ K.

Ngu.o. c la.i cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a d l`a mˆo.t mˆetric xa´c d¯i.nh trˆen

X Gia’ su ’ d thoa’ m˜an thˆem c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n a) v`a b) Ta d¯˘a.te

kxk = d(x, 0)

th`ı r˜o r`ang k.k l`a mˆo.t chuˆa’n trˆen X Do d¯´o nˆe´u X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh

chuˆa’n th`ı n´o c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric (v´o.i mˆetric sinh ra t`u chuˆa’n, t´u.cl`a d(x, y) = kx − yk).

T`u nh˜u.ng d¯iˆ` u d¯ae ˜ no´ i, tˆa´t ca’ c´ac kh´ai niˆe.m cu’a khˆong gian mˆetric d¯ˆe` u

d¯u.o. c chuyˆe’n cho khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n D- ˆe’ ´y r˘a`ng c´ac t´ınh chˆa´t a) v`a b)ch´ınh l`a mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va` nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen khˆong gian

vecto X v´o.i ha`m mˆetric Nhu thˆ´, nh`e o d¯u.a va`o kha´ i niˆe.m d¯i.nh lu.o ng (chuˆa’ncu’a mˆo.t vecto.) khiˆe´n mˆo.t sˆo´ yˆe´u tˆo´ trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n co`n d¯u.o c mˆota’ qua d¯ˆo da`i (ho˘a.c khoa’ng ca´ ch), d¯a˜ to’ ra kha´ gˆ` n gua ˜ i v´o.i nh˜u.ng hı`nh, khˆo´icu’a hı`nh ho.c so cˆa´p

2.2 C´ ac v´ ı du . 2.2.1 Tˆa.p ho p K. n c´ac bˆo n sˆo´ thu c (ho˘. a.c sˆo´ ph´u.c) x = (x1, , x n) l`a

mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n

kxk =

vuu

tXn

i=1

|x i |2.

Chuˆa’n n`ay d¯u.o. c go.i l`a chuˆa’n Euclid trong K n va` K n d¯u.o. c go.i l`a khˆong gian

Euclid n chiˆ` u De - ˘a.c biˆe.t, khi n = 1 ta c´o K l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i

kxk = |x|.

2.2.2 Tˆa.p ho p C. [a,b] c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ngv`a nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng l`a mˆo.t khˆong gian vecto Ho.n n˜u.a, nˆe´u d¯˘a.t

kxk = max

t∈[a,b] |x(t)|

th`ı n´o tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n

2.2.3 Tˆa.p ho p `. ∞ tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu. c hay ph´u.c bi ch˘a.n l`a mˆo.t khˆonggian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n

kxk = sup

n∈N

|x n |.

Khˆong gian n`ay c`on k´y hiˆe.u l`a m.

D- ˆo.c gia’ tu kiˆe’m nghiˆe.m ba tiˆen d¯ˆe` vˆe` chuˆa’n cu’a c´ac v´ı du n`ay

2.2.4 K´y hiˆe.u `2 l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu. c hay ph´u.c x = (x n)n saocho

l´uc d¯´o `2 tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n

Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ x = (x n)n , y = (y n)n ∈ `2 Ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c hiˆe’nnhiˆen

|x n + y n |2 ≤ (|x n | + |y n |)2 ≤ 2(|x n |2+ |y n |2).

n=1

|x n |2

vuu

tXk

n=1

|y n |22

.

Ta cho k → ∞ th`ı nhˆa.n d¯u.o c kx + yk2 ≤ (kxk + kyk)2 Lˆa´y c˘an hai vˆe´ ta c´o

kx + yk ≤ kxk + kyk hay l`a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam gi´ac d¯u.o. c ch´u.ng minh 

2.3 Su hˆ o.i tu trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n.

Nhu d¯˜a n´oi o.’ trˆen, khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric Tuynhiˆen do vai tr`o quan tro.ng cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n cu˜ng nhu d¯ˆo´i tu.o ng

na`y thu.`o.ng g˘a.p trong c´ac mˆon ho.c kha´ c cu`ng ca´ c ´ap du.ng thu c tiˆ. ˜n nˆen o.e ’ d¯ˆay

ta s˜e tr`ınh b`ay la.i mˆo.t sˆo´ kha´ i niˆe.m va` tı´nh chˆa´t thˆong du.ng liˆen quan d¯ˆe´n su..

hˆo.i tu theo ky´ hiˆe.u va` ngˆon ng˜u cu’a chuˆa’n

Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n

1 D˜ay (x n)n ⊂ X hˆ o i tu d¯ˆe´n x trong khˆ ong gian X, ky´ hiˆe.u limn→∞ x n = x hay x n → x (n → ∞) ngh˜ıa l`a

kx n − xk → 0 (n → ∞)

N´oi c´ach kh´ac,

lim

n→∞ x n = x

khi v`a chı’ khi

Thˆa.t vˆa.y, t`u tiˆen d¯ˆe` 3 cu’a chuˆa’n suy ra:

kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk hay kxk − kyk ≤ kx − yk

Thay d¯ˆo’i vai tr`o cu’a x v` a y ta nhˆa.n d¯u.o c

kyk − kxk ≤ kx − yk

Nhu thˆe´ bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u.o. c ch´u.ng minh

T`u d¯ˆay ta c´o:

2 Nˆ e´u x n → x th`ı kx n k → kxk N´oi c´ach kh´ac, chuˆa’n l`a mˆo.t h`am sˆo´ liˆen

tu.c trˆen X Thˆa.t vˆa.y, a´ p du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c v`u.a ch´u.ng minh o.’ trˆen ta c´o

kx n k − kxk ≤ kx n − xk → 0 khi n → ∞

v`a d¯iˆ` u n`e ay kh˘a’ng d¯i.nh kˆe´t qua’ 2

Tı´nh chˆa´t na`y thu.`o.ng d¯u.o. c viˆ´t la.i la` k lime

n→∞ x n k = lim

n→∞ kx n k d¯ˆo´i v´o.i mo.i

da˜ y (x n)n hˆo.i tu trong X.

3 Mo i d˜ ay hˆ o i tu th`ı bi ch˘ a n Thˆ a.t vˆa.y, nˆe´u (x n)n hˆo.i tu d¯ˆe´n x th`ı d˜ay

sˆo´ thu. c (kx n k) n hˆo.i tu d¯ˆe´n kxk Do d¯´o d˜ay (kx n k) n bi ch˘a.n D- iˆe` u n`ay c˜ung c´ongh˜ıa l`a d˜ay (x n)n bi ch˘a.n trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.

4 Nˆ e´u x n → x0, y n → y0 th`ı x n + y n → x0 + y0 Nˆ e´u x n → x0 v` a

α n → α0, α n , α0 ∈ K th`ı α n x n → α0x0 N´oi c´ach kh´ac, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va`nhˆan vˆo hu.´o.ng X × X → X, (x, y) → x + y v` a K × X → X, (α, x) → αx la` liˆentu.c

Thˆa.t vˆa.y, t`u c´ac d¯´anh gi´a

- i.nh nghı˜a Cho a ∈ X va` λ ∈ K, λ 6= 0 Ta go.i ca´c a´nh xa f, g : X → X

lˆ` n lu.o.a t xa´ c d¯i.nh bo’ i.

f (x) = a + x, g(x) = λx, v´o.i mo.i x ∈ X,

la` phe ´ p ti.nh tiˆe´n theo veco a va` phe´p vi tu tı’ sˆo´ λ.

T`u 4) ta suy ra:

5 C´ ac ph´ ep ti.nh tiˆe´n theo vecto a v`a ph´ep vi tu v´o.i h˘a`ng sˆo´ λ 6= 0 l`a c´ac ph´ ep d ¯ˆ `ng phˆ o oi t` u X lˆ en X.

Thˆa.t vˆa.y, ta thˆa´y ngay f, g l`a song ´anh v`a f−1(x) = −a+x, g−1(x) = λ−1x

nˆen f, g c`ung v´o.i c´ac ´anh xa ngu.o c cu’a n´o f−1, g−1 l`a liˆen tu.c

Nhˆ a n x´ et C´ac t´ınh chˆa´t 4 v`a 5 c˜ung nˆeu lˆen su. kˆe´t ho. p gi˜u.a cˆa´u tr´uc d¯a.i

sˆo´ v`a ph´ep to´an co ba’n cu’a gia’i t´ıch (ph´ep lˆa´y gi´o.i ha.n)

Ta c´o c´ac hˆe qua’ sau

a) Gia’ su. ’ A l` a tˆ a p mo ’ (t.u , d¯´ . ong) trong X th`ı x0+ A = A + x0 = {x0+ a :

a ∈ A}, λA = {λa : a ∈ A}, λ 6= 0 l` a c´ ac tˆ a p mo ’ (t.u , d¯´ . ong) trong X.

D- iˆe` u n`ay suy t`u a’nh cu’a mˆo.t tˆa.p mo’ (t.u , d¯´. ong) qua ´anh xa d¯ˆo` ng phˆoi(ca´ c phe´ p ti.nh tiˆe´n vecto x0, vi tu

tı’ sˆo´ λ 6= 0) th`ı mo.’ (t.u , d¯´ong)

b) Cho A mo. ’ , B l` a tˆ a p tu` y ´ y trong X th`ı A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} l` a tˆ a p mo ’ Thˆ . a.t vˆa.y,

A + B = ∪

b∈B (A + b)

t´u.c l`a A + B b˘a`ng ho. p cu’a mˆo.t ho c´ac tˆa.p mo’ nˆen n´. o l`a tˆa.p mo’ .

2.4 Khˆ ong gian Banach.

2.4.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho (x n)n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n

X Nh˘a´c la.i r˘a`ng (x n)n l`a mˆo.t d˜ay Cauchy (hay da˜ y co ba’n) nˆe´u d(x n , x m) =

kx n − x m k → 0 khi m, n → ∞ Nˆe´u v´o.i mˆetric sinh t`u chuˆa’n, X tro.’ th`anhkhˆong gian mˆetric d¯ˆ` y d¯u’ th`ı X d¯u.o.a c go.i l`a khˆ ong gian Banach N´oi c´ach kh´ac,

X l`a mˆo.t khˆong gian Banach nˆe´u bˆa´t c´u da˜y Cauchy na`o trong X d¯ˆe` u hˆo.i tu

vˆ` mˆe o.t d¯iˆe’m

2.4.2 V´ ı du .

– C´ac khˆong gian K n , C [a,b] , `2, l`a c´ac khˆong gian Banach

– Khˆong gian C [a,b] L khˆong pha’i l`a khˆong gian Banach

2.4.3 D - i.nh l´y vˆe ` bˆ o’ sung mˆ o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n.

Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n khˆong d¯ˆa` y d¯u’ B˘a`ng c´ach d¯ˆa` y d¯u’ho´a khˆong gian mˆetric (X, d) trong d¯´o d(x, y) = kx − yk ta d¯u.o. c khˆong gian

mˆetric d¯ˆ` y d¯u’ ˜a X va ` X tru` mˆa.t trong ˜X Tuy nhiˆen trong ˜X cˆ` n xˆa ay du. ng c´acph´ep to´an d¯ˆe’ n´o tro.’ th`anh khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, nhˆa.n X l`am khˆong gian

vecto con Ca´ ch la`m nhu sau:

Lˆa´y x, y ∈ ˜ X V`ı X = ˜ X nˆen tˆ` n ta.i c´ac d˜ay (xo n)n , (y n)n trong X hˆo.i tu

lˆ` n lu.o.a t d¯ˆe´n x, y Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng (x n + y n)n , (λx n)n l`a nh˜u.ng d˜ay Cauchy

trong X ⊂ ˜ X nˆen ta d¯i.nh ngh˜ıa

λx = lim

n λx n , x + y = lim

n (x n + y n ).

C´o thˆe’ kiˆe’m nghiˆe.m la.i r˘a`ng, c´ac d¯i.nh ngh˜ıa n`ay x´ac d¯i.nh mˆo.t c´ach d¯´ung

d¯˘a´n c´ac ph´ep to´an d¯a.i sˆo´ d¯ˆe’ biˆe´n ˜X th`anh khˆong gian vecto., nhˆa.n X l`am khˆong

gian con Ngoa`i ra ˜X tro.’ tha`nh khˆong gian Banach v´o.i chuˆa’n trˆen ˜X d¯u.o. c cho

bo.’ i cˆong th´u.c kxk = d(x, 0), trong d¯´o d l`a mˆetric trˆen ˜X T´om la.i, ta c´o thˆe’pha´ t biˆe’u d¯i.nh l´y nhu sau:

D- i.nh l´y V´o.i mo.i khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n khˆong d¯ˆa`y d¯u’ X, bao gi`o c˜ung

tˆ `n ta.i mˆo.t khˆong gian Banach ˜ o X ch´ u.a X sao cho X tr` u mˆ a t trong X.˜

2.5 Chuˆ o ˜i trong trong khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n.

Trong d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh ta chı’ d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o c tˆo’ng h˜u.u ha.n c´ac vecto cu’a

mˆo.t khˆong gian vecto X Muˆo´n d¯u.a v`ao kh´ai niˆe.m “tˆo’ng vˆo ha.n” c´ac vecto hay

c`on go.i l`a chuˆo˜i, ta cˆa` n pha’i x´et d¯ˆe´n gi´o.i ha.n cu’a nh˜u.ng tˆo’ng h˜u.u ha.n D-iˆe`un`ay co´ thˆe’ thu. c hiˆe.n d¯u.o c d¯ˆo´i v´o.i khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`ı trong d¯´o d¯˜a xˆay

du. ng ph´ep to´an gi´o.i ha.n

2.5.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho (x n)n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.

Ta lˆa.p mˆo.t d˜ay m´o.i, x´ac d¯i.nh bo.’i

Khi d¯´o d˜ay (s n)n d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t chuˆo˜i v`a ta thu.`o.ng k´y hiˆe.u chuˆo˜i n`ayl`a

∞

P

n=1

x n Ta c` on go.i s n l`a tˆ o’ng riˆ eng th´ u n cu’a chuˆo˜i, x n l`a ha ng tu ’ tˆ . o’ng qu´ at

(th´u n) cu’a chuˆo˜i ˆa´y

2.5.2 C´ ac t´ ınh chˆ a´t.

Phˆ` n l´a o.n c´ac t´ınh chˆa´t cu’a chuˆo˜i trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n giˆo´ng v´o.i

tı´nh chˆa´t cu’a chuˆo˜i sˆo´ thu. c va` ngay ca´ ch ch´u.ng minh cu˜ ng vˆa.y nˆe´u chu´ ng khˆong

su.’ du.ng d¯ˆe´n th´u tu trong R Ta nˆeu la.i mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ thu.`o.ng d`ung.

a) Ta co´ thˆe’ d¯a´ nh sˆo´ mˆo.t chuˆo˜i t`u mˆo.t sˆo´ nguyˆen na`o d¯o´ ch´u khˆong nhˆa´tthiˆ´t lae ` t`u 1, ch˘a’ng ha.n

y n l`a hai chuˆo˜i hˆo.i tu., c´o tˆo’ng lˆa` n lu.o. t l`a x v` a y c` on λ

l`a mˆo.t sˆo´ th`ı c´ac chuˆo˜i

Vˆa.y nˆe´u mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu th`ı ha.ng tu’ tˆ. o’ng qu´at dˆ` n d¯ˆe´n 0 khi n → ∞.a

d) Cho chuˆo˜i P∞

e) Tiˆ eu chuˆ a’n Cauchy Nˆe´u chuˆo˜i

∞

P

n=1

x n hˆo.i tu th`ı v´o.i mo.i  > 0 d¯ˆe`u

tˆ` n ta.i no 0 ∈N sao cho nˆe´u n ≥ n0 v`a p ∈ N ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c

v´o.i n d¯u’ l´o.n v`a p tu`y ´y ´Ap du.ng tiˆeu chuˆa’n Cauchy ta c´o kˆe´t qua’

b) Bˆay gi`o cho (x n)n l`a mˆo.t d˜ay Cauchy trong X ´Ap du.ng d¯i.nh ngh˜ıa,v´o.i mˆo˜i k ∈ N ta cho.n x nk sao cho n k < n k+1 va`

D˜ay Cauchy (x n)n c´o mˆo.t d˜ay con (x nk)k hˆo.i tu vˆe` x th`ı (x n)n c˜ung hˆo.i tu vˆe` x.

Thˆa.t vˆa.y, cho  > 0 s˜e c´o n0 d¯ˆe’ kx n − x m k < /2 v´ o.i mo.i m, n ≥ n0 M˘a.t kh´ac,

x nk → x nˆen c´o k0 d¯ˆe’ k ≥ k0 th`ı kx nk− xk < /2 Khi d¯´o nˆe´u n ≥ max (n0, n k0)th`ı

kx n − xk ≤ kx n − x nk0k + kx nk0 − xk < /2 + /2 = .

Vˆa.y mo.i d˜ay Cauchy trong X d¯ˆe` u hˆo.i tu nˆen X l`a mˆo.t khˆong gian

Ba-nach 

2.6 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n con.

2.6.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho (X, k.k) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a

mˆo.t khˆong gian vecto con cu’a n´o L´uc d¯´o h`am k.k thu he.p lˆen Y c˜ung l`a mˆo.t

chuˆa’n v`a v´o.i chuˆa’n d¯´o, Y tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n Ta go.i Y l`a

khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n con (hay v˘a´n t˘a´t, khˆong gian con) cu’a khˆong gian d¯i.nh

chuˆa’n X.

Khˆong gian con cu’a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n c´o thˆe’ d¯´ong ho˘a.c khˆong.Tuy nhiˆen ta c´o

2.6.2 D- i.nh l´y Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a mˆo.t khˆong

gian con cu’a n´ o Khi d ¯´ o bao d ¯´ ong Y cu’a Y c˜ ung l` a mˆ o t khˆ ong gian con d ¯´ ong cu’a X.

Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ x, y ∈ Y , α, β l`a hai sˆo´ Ta cˆ` n kiˆe’m tra αx+βy ∈ Y a

V`ı x, y ∈ Y nˆen tˆ` n ta.i hai d˜ay (xo n)n , (y n)n trong Y sao cho x n → x v` a y n → y.

L´uc d¯´o αx n + βy n ∈ Y v´ o.i mo.i n ∈ N d¯ˆo` ng th`o.i αx n + βy n → αx + βy Vˆa.y

αx + βy ∈ Y 

2.6.3 D- i.nh l´y Nˆe´u X l`a khˆong gian Banach v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con

d ¯´ ong cu’a X th`ı ba’n thˆ an Y c˜ ung l` a mˆ o t khˆ ong gian Banach.

Ch´ u.ng minh Nˆ ´u (ye n)n la` mˆo.t da˜ y co ba’n trong Y thı` no´ cu˜ ng co ba’n

trong X Banach nˆen hˆo.i tu vˆe` y0 ∈ X V`ı Y d¯´ong va` (y n)n ⊂ Y nˆ en y0 ∈ Y.

Vˆa.y Y la` mˆo.t khˆong gian Banach 

Bˆay gi`o gia’ su.’ M l`a mˆo.t tˆa.p con trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X Ta

thu.`o.ng quan tˆam d¯ˆ´n khˆe ong gian con h M i v`a go.i no´ l`a khˆong gian con d¯´ong

cu’a X sinh bo ’ i M

2.6.4 D- i.nh ly´ Cho M = {x1, , x n , } la ` mˆ o t tˆ a p con h˜ u.u ha n hay

d ¯ˆ e ´m d¯u.o c cu’a khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n X Khi d¯o ´ khˆ ong gian con d ¯o ´ ng cu’a X sinh bo ’ i M l` a kha’ ly.

Ch´ u.ng minh. Ta ch´u.ng minh v´o.i K = R Tru.`o.ng ho. p K = C d¯u.o. cch´u.ng minh tu.o.ng tu. D- ˘a.t Z = hMi va` Y = Z Khi d¯´o mˆo˜i phˆa`n tu.’ cu’a

Z c´o da.ng l`a mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆ. e´n t´ınh cu’a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa`n tu.’ cu’a

M Ky´ hiˆe.u C l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac tˆo’ ho. p tuyˆe´n t´ınh v´o.i hˆe sˆo´ h˜u.u tı’cu’a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa`n tu.’ cu’a M D-ˆe’ ´y r˘a`ng lu c lu.o ng cu’a C b˘a`ng

lu. c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p S

n∈N

Qn nˆen C d¯ˆe´m d¯u.o. c Ta ch´u.ng minh C tr`u mˆa.t

trong Z Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i z ∈ Z, ta co´ z = α1x1 + · · · + α k x k v´o.i x i ∈

M Cho  > 0 tu`y ´y, v´o.i mˆo˜i i, 1 ≤ i ≤ k, ta cho.n c´ac sˆo´ h˜u.u tı’ r i sao

2.7 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n tı´ch.

Cho (X, k.k1) va` (Y, k.k2) la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen cu`ng mˆo.ttru.`o.ng K Xe´ t ha`m sˆo´ k.k xa´ c d¯i.nh trˆen khˆong gian vecto tı´ch Z = X × Y, cho

bo.’ i cˆong th´u.c:

∀ (x, y) ∈ X × Y, k(x, y)k = kxk1+ kyk2.

Ro˜ ra`ng k.k la` mˆo.t chuˆa’n va` ta go.i (Z, k.k) la` khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tı´ch cu’a

X va ` Y.

Nhˆ a.n xe ´ t.

1 Ta co´ thˆe’ d¯i.nh nghı˜a tu.o.ng tu cho tı´ch cu’a n khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n

X1, , X n xa´ c d¯i.nh trˆen cu`ng mˆo.t tru.`o.ng K.

2 Da˜ y (z n)n = (x n , y n)n trong Z hˆo.i tu vˆe` (x0, y0) khi va` chı’ khi x n → x0

va` y n → y0 lˆ` n lu.o.a t trong X va ` trong Y Nhu thˆ´ ta thˆe a´y r˘a`ng khˆong gian d¯i.nhchuˆa’n tı´ch Z = X × Y la` Banach khi va` chı’ khi ca’ X va ` Y la` ca´ c khˆong gianBanach

2.8 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n thu o.ng.

Cho X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a Y

Khi d¯´o ta c´o khˆong gian vecto thu.o.ng X/Y Ta x´ac d¯i.nh chuˆa’n trong X/Y

d¯ˆe’ n´o tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nhu sau

Gia’ su.’ ξ ∈ X/Y, l´uc d¯´o ξ s˜e c´o da.ng l`a ξ = a + Y v´o i a ∈ X D- ˘a.t

kξk = inf

x∈ξ kxk

v`a kiˆe’m tra k.k l`a mˆo.t chuˆa’n trˆen X/Y Ta c´o

1 kξk ≥ 0, kξk = 0 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i inf

x∈ξ kxk = 0 Nhu vˆa.y tˆo` n ta.i

x n ∈ ξ, x n → 0 nˆ en 0 ∈ ξ v`ı ξ l`a mˆo.t tˆa.p d¯´ong trong X Do d¯´o ξ = 0 (t´u.c l`a

ngh˜ıa l`a tiˆen d¯ˆ` th´e u ba cu’a chuˆa’n d¯u.o. c ch´u.ng minh

Nhu vˆa.y ta d¯˜a xˆay du ng d. ¯u.o. c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X/Y , go.i l`a khˆong

gian d ¯i.nh chuˆa’n thu o.ng cu’a X theo khˆong gian con d¯´ong Y

B ` AI T ˆ A P

2.1 Ha˜ y kiˆe’m tra ca´ c tˆa.p va` ca´ c ha`m cho tu.o.ng ´u.ng la` ca´ c khˆong gian

d¯i.nh chuˆa’n

a) X = K n V´o.i x = (x1, , x n ) ∈ X, d¯˘a.t kxk = max i=1, ,n kx i k.

b) X = c l`a tˆa.p c´ac d˜ay sˆo´ thu c (ho˘. a.c ph´u.c) hˆo.i tu V´o.i x = (x n)n ∈ c

2.2 Gia’ su.’ (x n)n v`a (y n)n l`a hai d˜ay Cauchy trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n

X Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay sˆo´ thu. c (α n)n v´o.i α n = kx n − y n k hˆo.i tu

2.3 Ch´u.ng minh r˘a`ng trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, bao d¯´ong cu’a h`ınh

cˆ` u mo.a ’ B(x0, r) l`a h`ınh cˆ` u d¯´a ong B0(x0, r); phˆ` n trong cu’a hı`nh cˆa ` u d¯oa ´ ng

B0(x0, r) la` hı`nh cˆ` u mo.a ’ B(x0, r).

2.4 Cho A, B l`a hai tˆa.p con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X Ch´u.ng minh:

a) Nˆ´u A d¯oe ´ ng, B compact thı` A + B la` tˆa.p d¯o´ ng

b) Nˆe´u A, B l`a tˆa.p compact th`ı tˆa.p A + B c˜ung l`a tˆa.p compact.

c) Tı`m hai tˆa.p d¯o´ ng A, B trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n ma` A + B khˆong

pha’i la` tˆa.p d¯o´ ng

2.5 K´y hiˆe.u B(x0, r) l`a h`ınh cˆ` u mo.a ’ tˆam x0 b´an k´ınh r trong khˆong gian

d¯i.nh chuˆa’n X v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a X Gia’ su ’ B(x. 0, r) ⊂ Y Ch´u.ng

minh X = Y.

2.6 Cho M la` mˆo.t tˆa.p con trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X Ch´u.ng minha) Nˆe´u M lˆ` i th`ı bao d¯´o ong M c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p lˆo` i

b) H`ınh cˆ` u d¯´a ong (ho˘a.c mo’ ) trong X l`. a tˆa.p lˆo` i

2.7 Kiˆe’m tra c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n n`ao o’ b`. ai tˆa.p 2.1 l`a khˆong gianBanach

2.8 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian Banach v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a X Ch´u.ng minh khˆong gian thu.o.ng X/Y l`a Banach.

2.9 Cho M la` mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X sao cho

M va` khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n thu.o.ng X/M la` ca´c khˆong gian Banach Ch´u.ng

minh r˘a`ng khˆong gian X cu˜ ng la` Banach

2.10* Cho N la` mˆo.t tˆa.p con trong khˆong gian Banach X sao cho bˆa´t ky`

ha`m sˆo´ f : N → R liˆ en tu.c trˆen N thı` bi ch˘a.n Ch´u ng minh r˘a`ng N la` mˆo.t

tˆa.p compact

§3 M ˆO T SOˆ´ C ´AC KH ˆONG GIAN H `AM

Trong sˆo´ c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n thˆong du.ng, c´o mˆo.t l´o.p c´ac khˆong gianBanach d¯˘a.c biˆe.t quan tro.ng, thu.`o.ng g˘a.p trong l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`amriˆeng, phu.o.ng ph´ap t´ınh, d¯´o l`a c´ac khˆong gian L p , khˆong gian Orlicz, m`a

ta s˜e x´et sau d¯ˆay

3.1 Ca ´ c bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c quan tro ng.

Cho p, q l`a hai sˆo´ thu. c du.o.ng Ta go.i ch´ung l`a hai sˆo´ thu c liˆen hiˆe.p nˆe´u

ϕ0(t) > 0 va ` ϕ0(1) = 0 Do d¯´o ϕ(t) d¯a.t cu c tiˆ. e’u ta.i t = 1 v´o i ϕ(1) = 0 Kha’o

sa´ t chiˆ` u biˆee ´n thiˆen ta thˆa´y ϕ(t) > ϕ(1) = 0 v´ o.i mo.i t ∈ [0, +∞), t 6= 1 hay

q − ab ≥ 0 Vˆa.y bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u.o c ch´u.ng minh.

3.1.2 D- i.nh ly´ (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder cho 2n sˆo´) Cho 2n sˆo´ a1, b1, , a n , b n v` a p, q l` a hai sˆ o´ thu c liˆ en hiˆ e.p Khi d¯´o

|a k | p

1/pXn k=1

Khi p = q = 2, bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay go.i l`a bˆa´t d¯˘a’ng th´u c Cauchy-Schwarz

(hay bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c Cauchy-Buniakowski).

Bˆay gi`o tro.’ d¯i, trong §3 na`y ta ky´ hiˆe.u X la` tˆa.p tu`y y´ va` (X, A, µ) la` mˆo.tkhˆong gian d¯ˆo d¯o co`n E ∈ A.

3.1.3 D- i.nh ly´ (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder vˆe` t´ıch phˆan) Cho E l`a mˆo.t tˆa.p

con kh´ ac trˆ o´ng d ¯o d ¯u.o c cu’a X va ` p, q la ` hai sˆ o´ thu c liˆ en hiˆ e.p Gia’ su ’ f, g l` . a c´ ac h` am d ¯o d ¯u.o c trˆ en E Khi d ¯´ o ta co ´ bˆ a´t d ¯˘ a’ng th´ u.c

Ch´ u.ng minh.

• Nˆe´u (R

E |f | p dµ) 1/p = 0 hay (R

E |g| q dµ) 1/q = 0 th`ı |f | p = 0 ho˘a.c |g| q = 0

hˆ` u kh˘a a´p no.i nˆen vˆe´ tr´ai cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c b˘a`ng 0, kˆe´t qua’ la` d¯´ung C`on la.i

ta x´et tru.`o.ng ho. p

Vˆa.y bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u.o c ch´u.ng minh

3.1.4 D- i.nh ly´ (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Minkowski) Cho f, g l`a hai h`am sˆo´ d¯o

Ch´ u.ng minh Khi p = 1 bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c hiˆe’n nhiˆen d¯´ung Ta x´et tru.`o.ng

ho. p p > 1 Cho.n q > 1 sao cho 1

p ta thˆa´y bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u.o. c ch´u.ng minh.

3.2 Ca ´ c khˆong gian L p (E, µ), 1 ≤ p < +∞

Gia’ su.’ X la` mˆo.t tˆa.p kha´ c trˆo´ng va` (X, A, µ) la` mˆo.t khˆong gian d¯ˆo d¯o trong

d¯´o µ l`a d¯ˆo d¯o d¯ˆa` y d¯u’, x´ac d¯i.nh trˆen σ−d¯a.i sˆo´ A c´ac tˆa.p con cu’a X V´o i p ≥ 1

va` E ∈ A, ta k´y hiˆe.u L p (E, µ) l`a tˆa.p ho p c´. ac h`am thu. c d¯o d¯u.o. c trˆen E sao cho

|f | p kha’ t´ıch Nˆe´u E l`a mˆo.t tˆa.p d¯o d¯u.o c (theo ngh˜ıa Lebesgue) trong Rn , v` a µ

l`a d¯ˆo d¯o Lebesgue th`ı ta k´y hiˆe.u go.n l`a L p (E).

Ta nh´o la.i r˘a`ng tˆa.p ho p c´. ac h`am sˆo´ thu. c x´ac d¯i.nh trˆen E v´o.i c´ac ph´ep to´an+ v`a nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng lˆa.p th`anh khˆong gian vecto trˆen

R ky´ hiˆe.u F(E) O ’ d¯ˆay, ta s˜e kiˆe’m tra r˘a`ng tˆa.p L. p

(E, µ) ta.o th`anh mˆo.t khˆong

gian vecto con cu’a n´o

3.2.1 D- i.nh l´y Tˆa.p ho p L p (E, µ) l` a mˆ o t khˆ ong gian vecto

Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ f, g ∈ L p (E, µ), α ∈ R ta kiˆ e’m tra f + g v` a α f thuˆo.c

L p (E, µ) v´ o.i α l`a mˆo.t sˆo´ Ta c´o

3.2.2 D- i.nh l´y V´o.i p ≥ 1, L p (E, µ) l` a mˆ o t khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n, trong

d ¯´ o chuˆ a’n cu’a mˆ o t phˆ ` n tu a ’ f ∈ L p (E, µ) d ¯u.o c cho bo ’ i .

Ch´ u.ng minh Do |f | p kha’ t´ıch nˆen kf k d¯u.o. c x´ac d¯i.nh v`a kf k ≥ 0, kf k = 0

tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i R

E |f | p dµ = 0 hay |f | = 0 h.k.n Theo qui u.´o.c o.’ trˆen th`ı

Ch´ u.ng minh Ta a´ p du.ng D- i.nh ly´ 2.5.3 b) d¯ˆe’ ch´u.ng minh Gia’ su.’ P∞

|f n (x)| hˆo.i tu hˆa` u kh˘a´p no.i Suy ra ta co´ thˆe’ xa´ c d¯i.nh

ha`m sˆo´ ϕ(x) bo.’ i cˆong th´u.c

f n (x) nˆ´u chuˆe o˜i na`y hˆo.i tu.,

0, nˆ´u trae ´ i la.i

kf n k → 0 vı` no´ la` phˆ` n du th´a u k cu’a mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu

Vˆa.y d¯i.nh ly´ d¯u.o. c ch´u.ng minh 

3.2.4 D - i.nh ly´ Nˆ e ´u µE < ∞ va ` 1 ≤ p < p0 < ∞ thı`

kf k p ≤ kf k p0(µE)

1

p −1

p0,

trong d ¯o ´ k.k p va ` k.k p0 lˆ ` n lu.o a t la ` ky ´ hiˆ e.u chuˆa’n trong khˆong gian L p (E, µ) va `

L p0(E, µ) tu.o.ng ´ u.ng.

Nhu thˆ´e

L p0(E, µ) ⊂ L p (E, µ) ⊂ L1(E, µ).

Ch´ u.ng minh ´Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder cho hai ha`m |f(x)| pva` g(x) =

1 v´o.i 2 sˆo´ thu. c liˆen hiˆe.p p

E

dµ

p0−p p0

Suy ra

kf k p ≤ kf k p0(µE)p1− 1

p0

Do d¯o´ nˆ´u f ∈ Le p0(E, µ) thı` f ∈ L p (E, µ). 

3.3 Tı ´nh kha’ ly cu’a khˆong gian L p (E, µ), 1 ≤ p < +∞.

Trong tiˆe’u mu.c na`y ta chı’ xe´ t d¯ˆ´n cae ´ c khˆong gian L p (E, µ) = L p (E) trong

d¯o´ E la` mˆo.t tˆa.p con d¯o d¯u.o c theo nghı˜a Lebesgue trong Rn Ta co´ kˆ´t qua’ mo.e ’

d¯ˆ` u nhu sau:a

3.3.1 D- i.nh ly´ Ca´c tˆa.p ho p sau d¯ˆay la` tru` mˆa.t trong khˆong gian L p (E).

a) Tˆ a p ca ´ c ha `m sˆ o´ d ¯o.n gia’n xa ´ c d ¯i.nh trˆen E :

trong d ¯o ´ χ Ai la ` ha `m d ¯˘ a c tru ng cu’a tˆa.p ho p A i

b) Tˆ a p ho p ca . ´ c ha `m sˆ o´ liˆ en tu c trˆ en E : C(E).

Ch´ u.ng minh Lˆ a´y f ∈ L p (E) Ta phˆan tı´ch f = f+− f− trong d¯o´ f+ =

max(0, f ) ≥ 0; f− = max(0, −f ) ≥ 0 Theo d¯i.nh ly´ vˆ` cˆe a´u tru´ c cu’a ha`m sˆo´ d¯o

d¯u.o. c khˆong ˆam, tˆ` n ta.i 2 da˜y ha`m d¯o.n gia’n (fo +

Vˆa.y S = L p (E) Theo tı´nh chˆa´t cu’a tˆa.p tru` mˆa.t, tiˆe´p theo ta cˆa` n ch´u.ng

minh C(E) ⊂ S Do mˆo˜i ha`m d¯o.n gia’n d¯u.o c biˆe’u diˆe˜n tha`nh tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nhcu’a ca´ c ha`m d¯˘a.c tru.ng nˆen tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo˜i ha`m d¯˘a.c tru.ngcu’a tˆa.p con d¯o d¯u.o c A ⊂ E se˜ d¯u.o c xˆa´p xı’ tuy` y´ b˘a`ng ca´c ha`m liˆen tu.c trˆen

V´o.i  > 0 cho tru.´o.c, theo tı´nh chˆa´t cu’a tˆa.p d¯o d¯u.o c trong Rn tˆ` n ta.i tˆa.po

mo.’ G ⊃ A va` tˆa.p d¯o´ ng F ⊂ A sao cho

(khi d¯o´ µ(G \ F ) <  p ) Ky´ hiˆe.u G c = Rn \ G va` d¯˘a.t

c)

d(x, G c ) + d(x, F )

trong d¯o´ ha`m ϕ(x) = d(x, M ) = inf

u∈M kx − uk la` khoa’ng ca´ ch t`u x d¯ˆ´n mˆe o.t tˆa.p

M ⊂ E V´ o.i mo.i x ∈ E ta co ´ d(x, G c) va` d(x, F ) khˆong d¯ˆ` ng th`o o.i b˘a`ng 0 vı`

nˆ´u ngu.o.e c la.i, do F va ` G c la` ca´ c tˆa.p d¯o´ ng ta suy ra co´ x ∈ G c ∩ F D- iˆe` u na`y vˆo

ly´ vı` F ⊂ G nˆ en G c ∩ F = ∅ Ngoa`i ra ca´ c ha`m da.ng ϕ(x) liˆen tu.c nˆen suy ra

g(x) liˆen tu.c D- ˆe’ y´ r˘a`ng v´o.i mo.i x ∈ E ta co´ g(x) ∈ [0, 1]; g(x) = 0 khi x /∈ G,

g(x) = 1 khi x ∈ F Do d¯o´ hiˆe.u χ A (x) − g(x) nhˆa.n ca´ c gia´ tri trong d¯oa.n [0, 1];

b˘a`ng 0 trˆen F va` trˆen G c Vˆa.y

Nhu vˆa.y d¯i.nh ly´ d¯u.o. c ch´u.ng minh 

3.3.2 Hˆe qua’ Khˆong gian L p ([a, b]) v´ o.i [a, b] ⊂ R la ` mˆ o t khˆ ong gian kha’

ly.

Ch´ u.ng minh Ky´ hiˆe.u P la` tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ ca´ c d¯a th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ h˜u.u tı’ xa´c

d¯i.nh trˆen [a, b] Khi ˆa´y P la` mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u o c Cho f ∈ L p ([a, b]) va `  > 0.

Theo D- i.nh ly´ 3.3.1, tˆo`n ta.i ha`m liˆen tu.c g ∈ C [a,b] sao cho kf − gk < 

2 M˘a.tkha´ c, theo d¯i.nh ly´ Weierstrass I, tˆ` n ta.i d¯a th´u.c P (x) ∈ P sao choo

3.4 Khˆong gian L∞(E, µ).

Mˆo.t tru.`o.ng ho p d¯˘a.c biˆe.t cu’a khˆong gian ha`m L p (E, µ) v´ o.i p = +∞ d¯u.o. c

xe´ t riˆeng sau d¯ˆay

3.4.1 D- i.nh nghı˜a Gia’ su.’ (XA, µ) la` mˆo.t khˆong gian d¯ˆo d¯o, E ∈ A va`

f : E → R la` mˆo.t ha`m d¯o d¯u.o c Ta go.i f la` mˆo.t ha`m sˆo´ bi ch˘a.n cˆo´t yˆe´u trˆen

E nˆ´u tˆe ` n ta.i mˆo.t tˆa.p N ⊂ E, µN = 0 sao cho f bi ch˘a.n o.’ trˆen tˆa.p E \ N, t´u.co

la sup

x∈E\N

|f (x)| < ∞.

Ky´ hiˆe.u L∞(E, µ) la` tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ ca´ c ha`m d¯o d¯u.o. c va` bi ch˘a.n cˆo´t

yˆ´u trˆen E Nˆee ´u f, g ∈ L∞(E, µ) thı` tˆ ` n ta.i ca´c tˆa.p con N, P cu’a E sao choo

nghı˜a la` f + g ∈ L∞(E, µ) M˘a.t kha´ c, nˆ´u α ∈ R vae ` f ∈ L∞(E, µ) thı` ta cu˜ ng

co´ d¯u.o. c αf ∈ L∞(E, µ) Vˆ a.y L∞(E, µ) la` mˆo.t khˆong gian vecto con cu’a khˆong