giải bất phương trình bằng đồ thị hàm số

Đường cong của một hàm số Cho f là một hàm số được xác định trên D.. Minh họa đồ thị của một phương trình và một bất phương trình Cho C và C’ là những đường cong theo thứ tự của hai hà

VẤN ĐỀ 7

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG ĐỒ THỊ

Vấn đề 7

Giải Bất PhươngTrình Bằng Đồ Thị

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường cong của một hàm số

Cho f là một hàm số được xác định trên D Ta gọi đường cong của hàm số f trong hệ trục tọa độ (O,G G i j , )

của mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm M có tọa độ (x ; f(x)), x ∈ D

Ghi chú :

Cho M (x, y) Đẳng thức y = f(x) với x ∈ D cho ta đặc điểm tập hợp các điểm M nằm trên đường cong (C) của hàm số f

Đẳng thức này còn được gọi là phương trình của đường cong (C)

2 Minh họa đồ thị của một phương trình và một bất phương trình

Cho (C) và (C’) là những đường cong theo thứ tự của hai hàm số f & g

• Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là những hoành độ của những giao điểm giữa hai đường cong (C) và (C’)

• Nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là hoành độ những điểm của đường cong (C) nằm hoàn toàn phía trên so với đường cong (C’)

3 Phương pháp giải bất phương trình bằng đồ thị

Ta có thể tiến hành các bước sau :

• Xác định tập xác định D của bất phương trình f(x) > g(x)

• Vẽ hai đồ thị (C) của hàm y = f(x) và đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) trên cùng tập D

• Nghiệm của bất phương trình là hoành độ tất cả các điểm của đường cong Cf nằm phía trên đồ thị (C’) của y = g(x)

4

4 Giải và biện luận bất phương trình bằng phương pháp đồ thị

4.1) Giải và biện luận bất phương trình : f (x) < m(*)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f (x)

Nghiệm của bất phương trình (*) là tập hợp các giá trị của x ứng với phần của (C) nằm phía dưới đường thẳng (d): y = m

.Tìm giao điểm của (d) và (C) sẽ suy ra tập nghiệm của (*)

4.2) Điều kiện để bất phương trình f(x) < m (f(x) > m) có nghiệm

a) Giả sử hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên D

⇔Toàn bộ đồ thị (C) nằm phía trên (d)

⇔Minf > m (giả sử f đạt GTNN)

• f(x)≥ mthỏa∀ ∈ x D ⇔M inf ≥m

B CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1

Giải bất phương trình

x1

Do vế trái của bất phương trình chứa hai hàm số có tính chất hoàn toàn khác nhau, vì thế không thể dùng các phép biến đổi đại số để giải nó Từ đó ta chọn cách giải bất phương trình bằng đồ thị

Viết bất phương trình trên dưới dạng :

x1

3x 1 2

Đồ thị hàm số f nằm trên đồ thị hàm số g

Dựa vào đồ thị ta được kết quả :

Nghiệm của bất phương trình : x < - 3 hay x > -1

Bài 2

Giải bất phương trình sau 5x – 7 < 3x + 1với x∈ [0 ; 5]

Sau đó kiểm tra bằng đồ thị tập nghiệm của bất phương trình trên

Giải 5x – 7 < 3x +1 ⇔ 2x < 8

Trên đoạn [0;5] bất phương trình trên có tập nghiệm là x < 4

(f(x) = 5x – 7 và g(x) = 3x +1) bạn có thể kiểm tra bằng đồ thị qua việc vẽ hai đồ thị trên là hai phần đường thẳng mà trong đó đồ thị của f(x) luôn luôn nằm phiá dưới đồ thị của g(x) , giao điểm của hai đồ thị có tọa độ là (4 ; 13)

2

2x 10 (C) : y , (P) : y x 6x 5

Vậy: nghiệm của bất phương trình là : 0≤ <x 22∨ ≤ ≤3 x 5

5 (x )

⇔ là 2 nửa nhánh hypebol

vuông góc nằm phía trên trục x'x, có

x2 − − + > (1)

Giải (1) ⇔ 3 x−m < x2 + x – 2 ⇔

2xxm32x

x2 + + < < 2 + −

−Đặt y = f(x) = −x2 + x+2 ( P1 )

1x

0

0 bề lõm quay xuống

* Đặt (P2) y = g(x) = x2 + 4x + 2 (P2) có đỉnh

2x

0

0 bề lõm quay lên

* Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) : y = 3m nằm dười (P2) và nằm trên (P1)

* Theo đồ thị bất phương trình có nghiệm ∀m∈R

Bài 5

Định m để bất phương trình có nghiệm :

2 2

xxmx

x − + < − (1)

Giải (1) ⇔ x2 – x < x2– x + m < x – x2 ⇔

0m

2

Gọi ( C ) là đồ thị của (P) : y = −x2 + x

(P) có toạ dộ đỉnh

1x

0

0 bề lõm quay xuống

Tập nghiệm của bất phương trình là tập

hợp các giá trị x ứng với phần của

đương thẳng(d) :y = m nằm dưới (P) và

nằm trên trục Ox

Kết luận: 0 < m < 1

Bài 6

Định m để bất phương trình có nghiệm :

x3mx

x2 − + < − (1)

Giải (1) ⇔ x – 3 < x2 – 3x + m < 3 – x

2x

0

0 bề lõm quay xuống

0

0 bề lõm quay xuống

Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng(d) y = m nằm dưới (P2) và nằm trên (P1)

* Kết luận : m < 4

Bài 7

Định m để bất phương trình có nghiệm :

02mx2mx2

x2 − + − + > (1)

Giải Đặt t = x−m ( t ≥ 0)

0'1m

1 ⇒ f(t) > 0 ∀t∈R (thoả( α ) )

• m =±1, f(t) = t2 + 2t + 1 > 0 ⇔ t ≠ 1 (thoả( α ) )

• m < 1− ∨m>1⇒ ∆'>0⇒ f(t) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2

t ∞− t1 t2 + ∞ f(t) + 0 _ 0 +

2

S

0m2

m

0m2

2

S

0m2

m

2 2 2

1m1m

2m2m

⇔ m <−1∨m>1

Bài 8

Giải và biện luận bất phương trình theo m :

m3x

x2 − − <

Giải m

)(3x1m

3xx

)(3x1x

2 2

• Gọi ( C ) là đồ thị của 2 parapol (P1) y = x2 – 2x – 3 thoả ( α ) và (P2) y = −x2 + x+3 thoả (β )

1x

1x

0

0 bề lõm quay xuống

• Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng(d) y = m nằm trên (P1) v (P2)

• Khi (d) cắt (P1) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình:

x2 – 2x – 3 = m ⇔ x2 – 2x – 3 – m = 0

0',4m3m1'= + + = + ∆≥

x2 + + =

− ⇔ x2 – 2x + m – 3=0

0',m43m1'= − + = − ∆ ≥

Bài 9

Giải và biện luận bất phương trình theo m :

mxx

x2 − + ≤Giải

)(1x

mxx

)(1x0

mxx

)(0x

2 2 2

1x

1x

0

0 bề lõm quay xuống

• (P3) có đỉnh (0;0) bề lõm quay lên

• Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đường thẳng(d) y = m nằm trên (P1) v (P2) v (P3)

• (d) cắt (P1) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình :

x2 – 2x = m ⇔ x2 – 2x – m = 0

0',

xmxx

mx

2 2

Đặt (P1) y = 2

x

− v (P2) y = −x2 + x

(P1) có đỉnh x0 = 0 , y0 = 0 , bề lõm quay xuống

(P2) có đỉnh x0 = 1 , y0 = 1 , bề lõm quay xuống

Tập nghiệm của BPT là tập hợp các giá trị x ứng với phần của đt (d) y = m nằm dưới (P1) v nằm trên (P2)

(d) cắt (P1) tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt :

0m

2 , 1

(d) cắt (P2) tại điểm có hoành độ là nghiệm của pt :

x2 − + ≤ 2 − −

Giải m

xxm

2vx0x

(II)

* Xét (I)

(I) có nghiệm ⇔ m− ≤ 2 ⇔ m ≥ 2−

Nghiệm của (I) là 0 ≤ x ≤ m−

0x

⇔ x < m−

Bài 12

Định m để bất phương trình thỏa x thuộc R

1mx2x

x2 − + + > (1)

Giải (1) ⇔

mx12xx

<

++

−

01x)3m(x

03x)3m(x

2

2

)3(

)2(

=

∆

)s(01a

m03m6

5m105m6

≤

−

xxmm

x

mxxm

≥+

0m2xx

0xx

2 2

x

0vx

0

;1(x0)x(

)(Rx0)x(

=

∆

)d(01

a

0m89

β

D∆>0 , f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2)

xx

32S

0m22)1(af8

9m

)s(02

32S

0m2)0(af8

(1) ⇔ t2 – m 2 – 2t +2 > 0 ⇔ t2 – 2t +2 – m2 >

0 (2) (1) thoả∀x∈R ⇔ (2) thoả t∀ ≥ 0 ( α ) Đặt (P) y = t2 –2t + 2

Tập nghiệm S của (2) là tập hợp các giá trị t ứng với phần của đường thẳng (d) y = m2

nằm dưới (P) ( α ) ⇔ [0;+∞) ( α ) ⇔ m2 < 1 ⇔ 1− < m < 1

Bài 15

Cho bất phương trình x2 + x−m <3 (1) định m để

a) Bất phương trình (1) có nghiệm

b) Bất phương trình (1) có nghiệm âm

c) Bất phương trình thỏa ∀x ∈ (-1 ; 0)

Giải 3

4

13

− < m < 3 c) (P1) : x = 1− ⇒ y = 1 (1) thoả ∀x∈(−1,0)

(P2) : x = 1− ⇒ y = 3− ⇔ 3− < m < 1

Bài 16

Giải và biện luận bất phương trình :

3x

x2 − − < m (1)

Giải (1) ⇔ ⎢⎣⎡xx −− xx−−33+−mm<>00

2

2

• Gọi ( C) là đồ thị hàm số y = x2 − x−3

• Tập nghiệm của (1) là các giá trị x ứng với phần của ( C ) nằm

dưới đường thẳng (d) y = m

• y = x2 − x−3 = ⎢⎣⎡−xx−+x−x3+3

2 2

)3x1(1x(

a x 2x

x 4x a

Nghiệm của hệ là tập họp các giá trị của x sao cho đường thẳng (D) :

y = a nằm phía dưới parabol (P1) : 2

y = − x − 2xvà nằm phía trên Parabol (P2): y x2 4x

6

−

=Đó là miền gạch chéo, trong hình với A(-1, 1)

Từ đó suy ra :

a) Hệ có nghiệm khi 0≤ ≤a 1

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi (D) cắt miền gạch chéo tại một điểm duy nhất, tức là a = 0 hay a = 1

Đặt y = − 2x 2 − 4x − 2, đồ thị là Parabol (P) (P) có đỉnh

(x = − 1; y = 0), bề lõm quay xuống

Nghiệm của (1) là tập hợp S1các giá trị x ứng với phần của đường thẳng (d) y = m nằm dưới (P)

Hoành độ giao điểm của (d) và (P)khi cắt nhau là nghiệm của phương trình m = − 2x 2 − 4x − 2 x1 2 2m x2 2 2m

Tập nghiệm của bất phương trình (*) là S = S1∪ S2

Theo đồ thị ta có :

Nghiệm số của (1) là tập họp các giá trị của x sao cho đồ thị hàm số

ở phía trên đồ thị hàm số

Vậy tập nghiệm của bpt là : − < < ∨ > 2 x 1 x 1

(1) (2)

Các điểm M(x,a) thỏa bpt (2) nằm trong 2 dải song song

− < < − hay 1 < x < 2 (miền gạch chéo trong hình)

Do đó các điểm M(x,a) thỏa hệ (1) và (2) gồm 4 đoạn thẳng AB, CD,

EF, GH với A(- 2, 3), B(- 1, 2)

C(1, 0), D(2, -1), E(- 2, 0), F(-1, -1), G(1, -3), H(2, -4)

Suy ra :

a) Hệ có nghiệm khi 2< <a 3,-1< a < 0, -4 < a < -3

b) Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 < a < 3 hay - 4 < a < -3

x 3a 1 x a 2a 1

(1) (2)

Dùng miền xác định bởi đường thẳng ta có :

Dấu của VT (1') là +, - Dấu của VT (2') là +, -

Do đó các điểm M(x,a)thỏa hệ (1) và (2) thuộc miền chừa trắng trong hình vẽ (gồm tam giác ABC và tứ giác mở tDEt')

⎡ + ≥

⎢

⇔ ⎢ ≤ +

⎢⎣

Tập nghiệm của (1) là S 1 = −∞ − ∪( , 1] [0, +∞)

Gọi S2là tập nghiệm của (2)

Bất phương trình (*) thỏa∀ ∈ x R ⇔ S 1 ∪ S 2 = R ⇔ −( 1; 0)⊂ S 2

⇔bất phương trình (2) thỏa ∀ ∈ − x ( 1; 0)

Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − − x x

Áp dụng để giải bất phương trình :

2

1 tgx 1 1 tgx cos x

(1) + − ≤ +

Dễ thấy nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm

Nên ta chỉ xét với m ≥ 0.

Tập hợp các điểm (x, y) thỏa bpt (1) là

hình tròn (C1) tâm I1(0, -2), bán kính

1

R = m.

Tập hợp các điểm (x, y) thỏa bpt (2) là

hình tròn (C2) tâm I1(-2, 0), bán kính R2 = m

Nên nghiệm của hệ là phần chung của (C1) và (C2)

Do đó điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau

Nên ta chỉ xét khi a ≥ 0

Đặt u = a + x ≥ 0, v = a − x ≥ 0thì (1) tương đương với hệ :

Các điểm M(u, v) thỏa (3) nằm

trên đường tròn (C) tâm O, bán

kính R = 2a

Do đó nghiệm của hệ (2), (3),

(4) là tọa độ các điểm M(u, v)

trên phần đường tròn (C) ở

Nghiệm của (1) là 0≤ ≤x a2

3) 2< 2a ≤ ⇔ < ≤2 1 a 2 : CC ' cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình :

u + −(2 u) =2a ⇔ u2−2u+ − =2 a 0 ⇔ u1= − 1 a 1 − < u2= + 1 a 1 −

Hệ (I) có nghiệm là : 0≤ ≤u u1 hay u2≤ ≤u 2a

Nghiệm của (1) cho bởi :

(2) là phương trình parabol (P) đỉnh O

Điều kiện để hệ (1), (2) có nghiệm là (P) và (C) có điểm chung Gọi a0 là giá trị của a khi (P) và (C) tiếp xúc nhau, thì điều kiện để hệ trên có nghiệm là a ≥ a0

Ta tìm a0 : Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của (P) và đường tròn (C), thì : Phương trình tiếp chuyển (D1) của (P) tại M0 :

5 3y y (y 3) (4)

0

y >0) Thay vào (3) :

0

a

82(3 5

+

−Vậy hệ trên có nghiệm khi

a8+

≥

Bài 27

Định m để bất phương trình sau có nghiệm :

mx− x− ≤ −2 1 m (1)

Giải (1)⇔m(x 1) 1+ − ≤ x−2

Xét đường thẳng (D) :

y=m(x 1) 1+ − có hệ số góc

m và qua điểm cố định A( 1, 1)− − và nửa parabol (P) :y = x − 2nằm phía trên trục hoành

Bất phương trình (1) có nghiệm khi (D) nằm phía dưới (P)

Muốn vậy , (D) phải nằm phía dưới tiếp tuyến (D1) của (P) vẽ từ A (D1) tiếp xúc với (P) khi hệ sau có nghiệm kép :

Thay vào (b) : y = m(y 2 + − ⇔ 3) 1 my 2 − + y 3m 1 − = 0 (2)

(2)có nghiệm kép m 0 2

m2

=

Do đó (1) có nghiệm khim 1

2

≤

a) Hệ có nghiệm khi : aA ≤ ≤ a aB⇔ − 2 ≤ ≤ a 2

b) Tọa độ giao điểm I của (D1) và (D2) là nghiệm của hệ :

Phương trình (3) có thể viết thành :

(x 3)− +(y 5)− =m(3')Với m≥0 thì (3') là phương trình đường tròn (C) tâm I(3, 5), bán kính

R= m Do đó :

Hệ đã cho có nghiệm khi (C) cắt tứ giác ABCD, tức là :

IH m max(IA, IB, IC, ID) ID 61

81Suy ra:

10