Phương trình, hệ phương trình cực hay

Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các thành viên tham gia chuyên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phương trình dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Xây dựng phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Một số phương trình bậc cao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 28 Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Phương pháp dùng điều kiện cần đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phương pháp ứng dụng hình học giải tích hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . 51 Hình học không gian việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn . . . . . . . . . . . . . 74 Một số phương trình, hệ phương trình có tham số kì thi Olympic . . . 79 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 92 Phương pháp dùng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 123 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 143 Các loại hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Tổng hợp hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hệ phương trình hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hệ phương trình vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 216 236 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 256 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình . . . . 256 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác phương trình đa thức bậc cao . . . . 266 Sử dụng hàm lượng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức . . . . . . . . . . . . . 271 Xây dựng phương trình từ đẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Xây dựng phương trình từ hệ đối xứng loại II. . . . . . . . . . . . . . . . Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số. . . . . Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào phương trình lượng giác. . . . Sử dụng bậc n số phức để sáng tạo giải hệ phương trình. . . Sử dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác . . . . . . . . . . . . Sử dụng hàm ngược để sáng tác số phương trình, hệ phương trình. . . . . . . 280 283 287 290 297 303 Sáng tác hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Kinh nghiệm giải số hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 321 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lịch sử phát triển phương trình . . . . . . . Có cách giải phương trình bậc hai? . Cuộc thách đố chấn động giới toán học Những vinh quang sau qua đời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 326 328 332 Tỉểu sử số nhà toán học tiếng Một đời bia mộ . . . . Chỉ lề sách hẹp! . . . . . . Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 335 336 337 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Lời nói đầu Phương trình phân môn quan trọng Đại số có ứng dụng lớn ngành khoa học. Sớm biết đến từ thời xa xưa nhu cầu tính toán người ngày phát triển theo thời gian, đến nay, xét riêng Toán học, lĩnh vực phương trình có cải tiến đáng kể, hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . . ) Còn Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, dạng toán quen thuộc yêu thích nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với hỗ trợ công cụ giải tích hình học, toán phương trình - hệ phương trình ngày trau chuốt, trở thành nét đẹp Toán học phần thiếu kì thi Học sinh giỏi, thi Đại học. Đã có nhiều viết phương trình - hệ phương trình, chưa thể đề cập cách toàn diện phương pháp giải sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu có tài liệu đầy đủ hình thức nội dung cho hệ chuyên không chuyên, Diễn đàn MathScope tiến hành biên soạn sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình mà hân hạnh giới thiệu đến thầy cô giáo bạn học sinh. Quyển sách gồm chương, với nội dung sau: Chương I: Đại cương phương hữu tỉ cung cấp số cách giải tổng quát phương trình bậc ba bốn, đề cập đến phương trình phân thức cách xây dựng phương trình hữu tỉ. Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến phương pháp giải biện luận toán có tham số ,cũng số toán thường gặp kì thi Học sinh giỏi. Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp phương pháp quen thuộc bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, . . . với nhiều toán mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan phương trình. Chương không đề cập đến Phương trình lượng giác, vấn đề có chuyên đề Lượng giác Diễn đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa số dạng tập ứng dụng hàm số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơn điệu, . Chương V: Hệ phương trình phần trọng tâm chuyên đề. Nội dung chương bao gồm số phương pháp giải hệ phương trình tổng hợp hệ phương trình hay kì thi học sinh giỏi nước quốc tế. Chương VI: Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa cách xây dựng hay khó từ phương trình đơn giản công cụ số phức, hàm hyperbolic, hàm đơn điệu, . . . Ngoài có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương trình giải toán lịch sử phát triển phương trình. Chúng xin ngỏ lời cảm ơn thành viên Diễn đàn chung tay xây dựng chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ anh Phan Đức Minh hỗ trợ đóng góp ý kiến quý giá cho chuyên đề. Niềm hi vọng người làm chuyên đề bạn đọc tìm thấy nhiều điều bổ ích tình yêu toán học thông qua sách này. Chúng xin đón nhận hoan nghênh ý kiến xây dựng bạn đọc để chuyên đề hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin vui lòng chuyển đến anhhuy0706@gmail.com Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn Nguyễn Anh Huy Các thành viên tham gia chuyên đề Để hoàn thành nội dung trên, nhờ cố gắng nỗ lực thành viên diễn đàn tham gia xây dựng chuyên đề: • Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) • Đại cương phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong Thế Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) • Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầy Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai) • Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Thế Hòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai) • Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình (11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi), • Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) • Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TP HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) • Các loại hệ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội) • Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM) • Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy, Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) • Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) • Tổng hợp hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) • Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) • Giải toán cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM) Lịch sử phát triển phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai) Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm x = r có nhân tử (x − r) phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2 ] Từ ta đưa giải phương trình bậc hai, có nghiệm √ −b − ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a Phương pháp Cardano: Xét phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = (1). a Bằng cách đặt x = y − , phương trình (1) biến đổi dạng tắc: y + py + q = 0(2) a2 2a3 − 9ab ,q = c + 27 Ta xét p, q = p = hay q = đưa trường hợp đơn giản. Đặt y = u + v. Thay vào (2), ta được: (u + v)3 + p(u + v) + q = ⇔ u3 + v + (3uv + p)(u + v) + q = (3) Chọn u, v cho 3uv + p = (4). Như vậy, để tìm u v, từ (3) (4) ta có hệ phương trình:  u3 + v = −q u3 v = − p 27 Trong đó: p = b − Theo định lí Viete, u3 v hai nghiệm phương trình: X + qX − Đặt ∆ = q p3 + 27 p3 = 0(5) 27 Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm: q √ q √ u3 = − + ∆, v = − − ∆ 2 Như vậy, phương trình (2) có nghiệm thực nhất: y= q √ − + ∆+ q √ − − ∆ q Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, nghiệm kép. Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v = − q y1 = − , y2 = y3 = q Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức. p Gọi u30 nghiệm phức (5), v03 giá trị tương ứng cho u0 v0 = − . Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt. y1 = u0 + v0 √ (u0 − v0 ) y2 = − (u0 + v0 ) + i √2 y3 = − (u0 + v0 ) − i (u0 − v0 ) 2 Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic: Một phương trình bậc 3, có nghiệm thực, biểu diễn dạng thức liên quan đến số phức.Vì ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa hai hàm số cos arccos Cụ thể, từ phương trình t2 + pt + q = (∗) ta đặt t = u cos α tìm u để đưa (∗) dạng cos3 α − cos α − cos 3α = Muốn vậy, ta chọn u = −p u3 chia vế (∗) cho để cos3 α − cos α − 3q . 2p −3 3q = ⇔ cos 3α = . p 2p −3 p Vậy nghiệm thực ti = −p 3q . cos arccos( . 3 2p −3 2iπ )− với i = 0, 1, 2. p Lưu ý phương trình có nghiệm thực p < (điều ngược lại không đúng) nên công thức số phức. Khi phương trình có nghiệm thực p = ta biểu diễn nghiệm công thức hàm arcosh arsinh: t= −2|q| . q −p −3|q| cosh .arcosh( . 3 2p −3 ) p < 4p3 + 27q > 0. p p 3q −3 . sinh .arsinh( . ) p > 3 2p p Mỗi phương pháp giải phương trình bậc tổng quát. Nhưng mục đích toán tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất. Hãy xem qua số bái tập ví dụ: t = −2 Bài tập ví dụ Bài 1: Giải phương trình x3 + x2 + x = − Giải Phương trình nghiệm hữu tỉ nên phân tích nhân tử. Trước nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: 3x3 + 3x2 + 3x + = Đại lượng 3x2 +3x+1 gợi ta đến đẳng thức quen thuộc x3 +3x2 +3x+1 = (x+1)3 . Do phương trình tương đương: (x + 1)3 = −2x3 hay √ x + = − 2x −1 √ . Từ suy nghiệm x = 1+ 32 Nhận xét: Ví dụ phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ, giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức. Nhưng đơn giản nhiều. Sau ta sâu vào công thức Cardano: Bài 2: Giải phuơng trình x3 − 3x2 + 4x + 11 = Giải Đầu tiên phải khử bậc 2. Đặt x = y + . Thế vào phương trình đầu bài, ta phương trình: y + 1.y + 13 = 4567 Tính ∆ = 132 + .13 = 27 27 Áp dụng công thức Cardano suy ra: y= Suy x = 4567 27 −13 + + 4567 27 −13 + + 4567 27 −13 − 4567 27 −13 − + 1. Nhận xét: Ví dụ ứng dụng công thức Cardano. Tuy nhiên công thức không dễ nhớ dùng kì thi Học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ cố gắng tìm đường "hợp thức hóa" lời giải trên. Đó phương pháp lượng giác hoá. 10 Bài 3: Giải phương trình x3 + 3x2 + 2x − = Giải Về mặt hình thức, không khác 2. Đặt x = y − 1. Phương trình tương đương: y − y − = (1) Từ sử dụng công thức Cardano, ta có kết quả. Nhưng xin nhắc lại rằng, ta tìm đường khác, sáng tạo dễ chấp nhận hơn. Hãy thử cách đặt sau đây: 1 (∗). Thế vào phương trình (1), phương trình tương đương: Đặt y = √ t + t t3 √ + √ −1=0 3 3t3 Sau quy đồng, ta phương trình bậc hai ẩn t3 ! Việc giải phương trình khó khăn, xin dành lại cho bạn đọc. Ta tìm nghiệm:   √ 3 √ 3 − 23 + x= √  3  −1 ✷  √ √ 3 − 23 Nhận xét: Câu hỏi đặt là: "Sử dụng phương pháp nào?". Muốn trả lời, ta cần làm sáng tỏ vấn đề: 1) Có tồn t thoả mãn cách đặt trên?" Đáp án không. Coi (∗) phương trình bậc hai theo t ta tìm điều kiện |y| √ 1 1 (thật tìm nhanh cách dùng AM-GM:|y| = | √ (t + )| = √ (|t| + ) √ ). t |t| 3 Vậy trước hết ta phải chứng minh (1) nghiệm |y| < √ . 3√ √ 3 y < 1. Do tồn α ∈ [0, π] cho y = cos α. Nếu |y| < √ suy 2 Phương trình tương đương: hay Do |y| √ . √ cos3 α − √ cos α − = 3 √ 3 cos 3α = (vô nghiệm!) 2) Vì có số √ ? Ý tưởng ta từ phương trình x3 + ax + b = đưa phương trình trùng phương theo −p t3 qua cách đặt x = k(t + ). Khai triển đồng hệ số ta k = t Như cách đặt giải phương trình bậc có nghiệm nhất. Ta tiếp tục khai thác phương pháp lượng giác hoá phương trình có nghiệm thực: Bài 4: Giải phương trình:x3 − x2 − 2x + = Giải 324 Bài 7: Có đội xây dựng làm chung công việc. Làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, hai đội lại làm thêm 12 ngày hoàn thành công việc. Biết suất đội I cao suất đội II, suất đội III trung bình cộng suất đội I II. Nếu đội làm một phần ba công việc 37 ngày xong. Hỏi đội làm ngày xong công việc trên? Giải Gọi thời gian để đội I, II, III làm riêng xong công việc x, y, z (đơn vị: ngày). Theo đề bài,ta có hệ phương trình:  1 1   + + + 12 + = (1)    x y z x y    1   > (2) x y  1 1   = + (3)   z x y      x + y + z = 37 (4) 2 + + 12. = ⇔ z = 36 z z z 1 Từ (3) ta suy + = , kết hợp với (4) ta có: x y 18  x + y = 75 xy = 1350 Từ (1) (3) ta có: Do x, y nghiệm phương trình: x2 − 75x + 1350 = ⇒ x1 = 30 x2 = 45 Vậy thời gian cần để đội I, II, III hoàn thành công việc 30 ngày, 45 ngày, 36 ngày.✷ Bài 8: Lớp 9A có 28 học sinh đăng ký dự thi vào chuyên Toán, Lý, Hóa trường Năng Khiếu. Trong học sinh chọn lớp Lý chọn lớp Hóa, số học sinh chọn vào lớp Toán Lý số học sinh chọn vào lớp Toán, có học sinh chọn vào lớp Toán Hóa, số học sinh chọn vào lớp Lý Hóa gấp lần số học sinh thi vào lớp. Hãy tính số học sinh chọn vào lớp. Giải Gọi T, L, H, A, B, C, D số học sinh chọn môn Toán, môn Lý, môn Hóa, môn Toán Lý, môn Toán Hóa, môn Lý Hóa.Từ giả thiết,ta có:   L=H=0       A+D =T     B + D =  C + D = 5D      D     T + A + B + C + D = 28 325 Do C = 4D nên A + D + A +  + 4D = 28 ⇔ 2A + 5D = 22 ⇒ D chẵn D  A=1     B = Như ta tìm D = ⇒   C = 16     T =5 Vậy có 12 học sinh thi vào lớp Toán, 21 học sinh thi vào lớp Lý, 22 học sinh thi vào lớp Hóa. ✷ Bài 9: Trong kỳ thi học sinh giỏi trường, phòng thi 22 học sinh thừa em, giảm phòng thi số học sinh chia cho phòng. Tính số học sinh tham gia kỳ thi biết phòng thi không chứa 40 học sinh. Giải Gọi số phòng thi x (x ∈ N, đơn vị: phòng). Theo đề bài, phòng thi 22 học sinh thừa em nên tổng số học sinh 22x + (em). Số phòng sau giảm x − (phòng). . Do lúc số học sinh chia cho phòng nên 22x + x − . Mà 22x + = 22(x − 1) + 23 ⇒ 23 x − ⇒ x = x = 24 Tại x = 2, số học sinh có 45 em, số học sinh phòng sau giảm phòng 45 em (trái với giả thiết). Tại x = 24, số học sinh có 529 em, điều phù hợp với đề bài. Vậy có tất 529 học sinh. ✷ Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG Lịch sử phát triển phương trình Có cách giải phương trình bậc hai? Lịch sử phương trình bậc bắt nguồn từ văn minh Babilon cổ đại (khoảng 1800 năm trước công nguyên).Lúc họ biết cách giải tất phương trình bậc không diễn đạt tập số thực. Vào khoảng 1500 năm trước công nguyên,trong tác phẩm người Ai Cập toán cụ thể có ví dụ giải phương trình bậc 2. Trường phái Pythagores (thế kỷ VI trước công nguyên) giải phương trình bậc hình học sau người ta gọi phương pháp Pythagores. Ở kỷ III trước công nguyên,người Hy Lạp cổ đại biến việc giải phương trình bậc thành sở cho toàn hình học họ để làm việc tập hợp số thực,họ thay tính toán người Babilon phép dựng hình thước thẳng compa.Tuy họ tính toán tập hợp số hữu tỷ dương,cho nên có nhiều phương trình bậc họ không giải được.Phải chờ đến kỷ XVI,khi xuất số phức giải tất phương trình bậc 2. Ở Trung Hoa cổ đại,cách giải phương trình bậc trình bày sách "Sách toán chín chương",trong "Trương Khâu Kiện toán kinh" "Sổ thư cửu chương". Người Hindu thừa nhận phương trình bậc có lời giải thực có hai nghiệm hình thức.Họ thống phép giải đại số phương trình bậc phương pháp bổ sung bình phương quen thuộc,do ngày phương pháp gọi phương pháp Hindu. Như thời cổ đại,người Babilon,người Ai Cập,người Hy Lạp,người trung Hoa, . biết cách giải phương trình bậc công thức nghiệm đến năm 825 nhà toán học Al-Khowarizmi lập được.Ông giải phương trình bậc đại số hình học.Ông viết: x2 + px + q = p p2 thành x + = −q Từ ông tìm nghiệm: p x=− ± 326 p2 −q 327 Về sau ông lại giải theo cách khác,ông đặt z = x + z2 − p thay vào phương trình đầu để p2 −q =0 Việc giải phương trình trở thành đơn giản. Trong chương trình đại số lớp có công thức tính nghiệm phương trình bậc dạng tắc ax2 + bx + c = cách đặt ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ < phương trình vô nghiệm. Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b 2a Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: √  ∆ −b +  x = 2a√  x = −b − ∆ 2a Francois Viete (1540-1603) người Pháp đưa hệ thức hai nghiệm này:  x + x = − b a x x = c a Hệ thức sau mang tên ông (hệ thức Viete). Francois Viete (1540-1603) Ngoài có cách giải phương trình bậc hai hình học sau đây: cách Sir John Leslie (1766-1832). người Anh "Các sở hình học", cách Thomas Carlyde (1795-1881) người Anh, học trò Leslie, . Phương trình vô định bậc hai ẩn y = ax2 + a số nguyên dương không 328 phương Brahma Gupta Bhaskara người Ấn Độ giải. Người ta gọi phương trình Pell. Lý thuyết đầy đủ phương trình Joshep-Louis Lagrange (1736-1813), người Pháp hoàn tất vào 1766-1769. Joshep-Louis Lagrange (1736-1813) Cuộc thách đố chấn động giới toán học Như biết, việc tìm lời giải cho phương trình bậc phức tạp công thức nghiệm cồng kềnh. Trong Babilon tìm thấy có giá trị n3 + n2 với n = đến n = 30 tìm nghiệm 30 phương trình bậc đặc biệt. Nhà toán học Neugebauer tin người Babilon hoàn toàn quy phương trình bậc tổng quát dạng "chuẩn" x3 + x2 = c. Ở Trung Hoa, sách "Chức cổ toán kinh" Vương Hiến Chương viết vào đầu thời Đường (thế kỷ VII) có nêu cách giải phương trình bậc tổng quát đại số. Trong sách "Số thư cửu chương", Tần Cửu Thiều đưa phương trình bậc 3. Nhưng sau đó, người Trung Hoa ý đến phương pháp đại số bàn tính, mà ý sử dụng ký hiệu đại số dùng, từ kỷ VII toán học Trung Hoa bắt đầu lạc hậu so với Phương Tây. Omar Khayyam (1048-1122) Khorasan giải phương trình bậc hình học cách độc đáo. Sau Al-Khowarizmi có nhiều nhà toán học tìm cách giải phương trình bậc cách miệt mài. Nhưng trải qua suốt kỷ, việc tìm cách giải phương trình khác bước tiến cho việc giải phương trình bậc 3. Vì có người tỏ chán nản, cho phương trình bậc thực. Nhưng giáo sư Scippionel del Ferro (1465-1526) người Italia, Trường đại học Tổng hợp Bologna không vậy. Ông 329 tiếp tục đường để tâm miệt mài nghiên cứu vấn đề hóc búa lúc giải phương trình bậc 3. Trời không phụ ông, vào ngày "không thể tin được", ông tìm bước đột phá đến năm 1505, ông tuyên bố tìm cách giải đặc biệt cho phương trình: x3 + mx = n (với m, n > 0) Vào thời đó, người giữ bí mật cách giải mình, việc Ferro giữ kín bảo bối điều lạ. Nhưng đáng tiếc là, ông dịp để công bố thành tựu mình. Mãi đến qua đời, ông để lại bí mật cho người rể tin cẩn Anabel Nova. Nhưng sau, môn sinh Ferro Antonio Fior lấy cắp bảo bối ông. Trong trường phái Italia Fontana (1500-1557) tiên phong việc tìm cách giải phương trình bậc 3. Bây lại nói đến nhà toán học khác, Niccolo Tartaglia (1499-1557). Thời thơ ấu ông trôi qua thật nặng nề. Ông sinh Brescia miền bắc Italia nên gọi Niccolo Brescia thường gọi Tartagli lúc nhỏ ông bị quân Pháp làm hại dã man. Lúc ông 13 tuổi quân Pháp tràn vào Brescia. ông với người cha (lúc người đưa thư) dân chúng chạy trốn vào nhà thờ để ẩn quân Pháp rượt theo thảm họa xảy ra: người cha bị giết chết cậu bé bị chém vào hàm miệng. Vết thương vòm miệng làm ông nói khó khăn ông có tư chất thông minh lại ham học. Sau mẹ ông qua đời, ông phải tự tìm đường sống cho mình. Ông học vật lý, toán học tỏ rõ tài sớm, nhiều người thời kính phục. Vào năm 1530 nhà toán học đưa cho ông hai câu hỏi mang tính thách thức, nhằm hạ uy tín ông: 1. Tìm số mà lập phương với lần bình phương 5. 2. Tìm ba số mà số thứ hai lớn số thứ 2, số thứ ba lớn số thứ hai tích chúng 1000. Đây thực chất tìm nghiệm phương trình bậc 3, với phương trình câu hỏi là: x3 + 3x2 − = câu hỏi là: x3 + 6x2 + 8x − 1000 = Ông tìm nghiệm hai phương trình nên ông ngày tiếng. Các môn sinh Ferro tuyên bố giải phương trình bậc 3. Không chịu nên cuối nhà toán học Italia định mở thách đấu hai bên, bên đưa 30 toán làm giờ. Sắp đến ngày thi, Tartaglia cảm thấy nao núng ông người tự học, sợ không bảo vệ cách giải mình. Ông suy nghĩ nhiều, đưa nhiều phương án khác trước ngày thi ngày, ông tim phương pháp để giải phương trình bậc 3. Ông học thuộc cách giải nghĩ 30 toán mà có cách giải thực được. Vào ngày 22/2/1535, nhà toán học kéo thành phố Milan để dự so tài. Ba chục toán mà bên đưa phương trình bậc 3. Tartaglia giải 30 toán mà đối phương đưa trước quy định, nhóm môn sinh Ferro không giải số 330 30 đề toán Tartaglia. Như thi kết thúc phần thắng tuyệt đối thuộc Tartaglia. Tin tức truyền làm chấn động giới toán học. Ở thành phố Milan có người đứng ngồi không yên, Girolamo Cardano (1501-1576). Ông không thầy thuốc tiếng khắp châu Âu, mà nhà toán học tài ba, dạy toán có nhiều công trình nghiên cứu toán học. Ông chuyên tâm nghiên cứu phương trình bậc chưa có kết quả. Cho nên nghe tin Tartaglia giải phương trình bậc 3, ông hy vọng hưởng phần thành tựu Tataglia. Lúc Tartaglia tiếng khắp châu Âu ông lại không muốn công bố rộng rãi công trình mình. Ông viết lại tác phẩm "Nguyên tắc hình học", tủ sách nhiều người khó lòng có tác phẩm Tartaglia. Với thái độ chân tình, hiếu học, sau nhiều lần Cardano đề nghị, năm 1539 Tartaglia đồng ý truyền lại bí cho Cardano. Nhưng Cardano không tôn trọng lời hứa, năm 1545 giới thiệu cách giải phương trình bậc với lời giải thích "Ars magna". Cardano viết: "Khoảng 30 năm trước, Ferro tìm phương pháp giải này, truyền lại cho người khác tranh luận với Tartaglia, Tartaglia phát phương pháp này. Tôi nhiều lần đề nghị thiết tha cuối Tartaglia truyền đạt cho phương pháp giải lại không cho phương pháp chứng minh, buộc phải tìm nhiều cách chứng minh. Vì khó, xin mô tả sau:. . . " Sau tranh cãi quyền cách giải nổ gay gắt cuối lẽ phải chiến thắng người ta công nhận lời giải Tartaglia. Tuy Cardano tiếng nhờ công bố cách giải này. Về sau Cardano đưa cách giải khác cho phương trình x3 + mx = n với m, n > sau: Đặt x = u + v thay vào phương trình được: u3 + v + (3uv + m)(u + v) − n = Việc giải phương trình tương đương việc giải hệ phương trình:  3uv + m = u3 + v − n = ω − nω − m3 =0 27 Trong sách Trung Quốc lại nói rằng, sau năm Cardano công bố cách giải phương trình bậc "Những câu hỏi phát minh", Tartaglia phê phán thái độ thiếu trung thực Cardano yêu cầu thành phố Milan tổ chức tranh luận công khai với Cardano. Đến ngày gặp để tranh luận Cardano mà lại học trò tài ba Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari nắm cách giải 331 phương trình bậc mà giải phương trình bậc nên Tartaglia chịu thất bại. Từ Tartaglia bị vết thương lòng ôm hận đến lúc chết. Trong "Lịch sử toán học" Howard Eves người Mỹ xuất năm 1969 lại viết: ". . . lời phản đối mãnh liệt Tartaglia đến tai Ferrari nên người lập luận cho thầy rằng, Cardano có thông tin cần cho từ Ferro qua người thứ ba lên án Tartaglia ăn cắp ý tứ nguồn đó. . . " Cho dù lời đồn thổi cuối lời giải lưu truyền đến ngày với tên gọi chung công thức Cardano-Tartaglia: x= n + n + m − n − n + m Cũng cần nói thêm rằng, công thức công thức nghiệm phương trình bậc chưa đầy đủ. Tuy nhiên, từ phương trình bậc đầy đủ (chính tắc hay hoàn chỉnh): ax3 + bx2 + cx + d = đến phương trình x3 + mx = n cần đặt: y =x+ b 3a Năm 1572, Bombelli cho công bố sách đại số góp phần đáng kể vào việc giải phương trình bậc 3. Trong sách giáo khoa lý thuyết phương trình cho biết rằng, n m + âm phương trình x3 + mx = n có nghiệm thực. Nhưng trường hợp này, nghiệm biểu thị hiệu hai bậc số phức liên hợp. Điều tưởng chừng bất thường gọi "trường hợp bất khả quy phương trình bậc 3" làm bận tâm đáng kể nhà đại số học thời xưa. Bombelli tính thực nghiệm nhìn không thực trường hợp bất khả quy. Trong "Canon mathematicus seu ad triangula" Viete xuất năm 1579, tác giả có gợi ý cách giải lượng giác cho trường hợp bất khả quy phương trình bậc 3. Trong lau65n văn Viete thấy có cách giải đẹp sau cho phương trình bậc 3: x3 + 3ax = 2b Phương trình dạng mà phương trình bậc quy được. Nếu đặt: x= a −y y phương trình trở thành: y + 2by = a3 Đây phương trình bậc y , ta tìm y sau x. Về phương trình x3 + 3ax = 2b Isaac Newton (1642-1727) có cách giải. 332 Những vinh quang sau qua đời Ở châu Âu đến kỷ XVI, khoa học tự nhiên phát triển nhanh chóng. Truyền thuyết tôn giáo cho rằng,Thượng Đế sinh giới Trái Đất có hình vuông. Những phát kiến địa lý Christophe Columbus (1451-1506), Fernand de Magellan (1480-1521) người khác chứng minh đầy đủ Trái Đất có hình cầu, điều chối cãi được. Phát minh địa lý Galileo đem lại cho nhân loại nhận thức vũ trụ. Toán học suy tôn "nữ hoàng" khoa học tự nhiên. Từ kỷ XVI đến kỷ XVIII xuất hàng loạt nhà toán học kiệt xuất, họ đưa toán học lên đỉnh cao mới. Sự xuất phương pháp tọa độ, ứng dụng số phức, sáng tạo vi-tích phân, . kết hợp nghiên cứu giới khách quan trạng thái tĩnh động.Vào thời gian đó, châu Âu gần bỏ lại đằng sau trì trệ thời Trung Cổ. Trong tiến trình phát triển đó,toán học tiên phong. Nhưng nhánh phương trình đại số tình hình lại không hoàn toàn vậy. Do thách đố chấn động giới toán học vào đầu kỉ XVI nên người ta tìm cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn. Từ kỷ XVI trở đi, người ta bắt đầu sâu nghiên cứu phương trình bậc năm. Các nhà toán học phân tích tỉ mỉ cách giải phương trình từ bậc hai đến bậc bốn. Nếu phương trình có nghiệm viết công thức đại số hệ số gọi phương trình giải thức. Trước thời Bombelli Viete người ta xác định công thức tổng quát để tính nghiệm phương trình từ bậc đến bậc bốn. Không bao lâu, sau giải phương trình bậc ba phương trình bậc bốn tổng quát có cách giải đại số. Việc giải phương trình bậc bốn tổng quát quy việc giải phương trình bậc ba liên kết. Năm 1540, Zuanne de Tonini da Coi người Italia đề nghị Cardano giải toán dẫn đến phương trình bậc bốn Cardano không giải được, mà học trò Ferrari lại giải sau Cardano công bố cách giải "Ars magna" ông. Cách giải Ferrari viết gọn theo cách ký hiệu sau: biến đổi đơn giản quy phương trình bậc bốn tắc (đầy đủ) dạng: x4 + px2 + qx + r = Từ phương trình trên, biến đổi x4 + 2px2 + p2 = px2 − qx − r + p2 (x2 + p)2 = px2 − qx − r + p2 Với y bất kỳ, từ phương trình ta có: (x2 + p + y)2 = px2 − qx − r + p2 + 2y(x2 + p) + y = (p + 2y)x2 − qx + (p2 − r + 2py + y ) Bây ta chọn y để vế phải phương trình bình phương. Đây trường hợp khi: 4(p + 2y)(p − r − 2py + y) − q = 333 Đây phương trình bậc ba y nên tìm cách giải. Một giá trị y quy phương trình bậc bốn lúc đầu việc phải lấy bậc hai. Một cách khác đại số Viete đề xuất cách Descartes đưa năm 1637 nhiều sách giáo khoa đại học có cách giải Viete giống cách giải Ferrari. Nhà toán học Vanmec người Tây Ban Nha giải phương trình bậc bốn tên bạo chúa Tuocmacvada thiêu chết ông theo hắn, ông làm trái ý Trời: phương trình bậc bốn không hợp với khả người trần tục-đó ý muốn Trời. Vì việc giải phương trình bậc bốn tổng quát thực tùy thuộc vào việc giải phương trình bậc ba liên kết, nên năm 1750 Euler cố gắng làm điều tương tự quy việc giải phương trình bậc năm tổng quát pháp giải phương trình bậc bốn liên kết thất bại. Rất nhiều nhà toán học vắt óc tìm kiếm cách giải phương trình bậc năm không đến kết quả. Trước tình hình đó, người ta bắt đầu hoài nghi liệu có tồn hay không công thức tính nghiệm phương trình bậc năm tổng quát. Năm 1778, nhà toán học Lagrange mở đầu mối quan trọng. Ông tập trung tìm kiếm công thức chung để giải phương trình từ bậc hai đến bậc bốn, ông cho rằng, tìm công thức chung suy luận để tìm cách giải phương trình bậc năm. Nhưng cuối ông phát thấy nghiệm phương trình biết biểu thị hàm số đối xứng phương trình hỗ trợ khác. Phương trình hỗ trợ ông gọi cách giải dự kiến. Dùng cách giải dự kiến này, ông sử dụng để giải phương trình bậc ba, bậc bốn đến phương trình bậc năm ông đành chịu. Một tia sáng lại lóe đầu ông: công thức tồn được, ông lại chứng minh điều này. Phương pháp tổng quát biến đổi phương trình đa thức bậc n x thành phương trình bậc n y, hệ số y n−1 , y n−2 Tschirnhausan (16511708) đưa ra. Về sau phép biến đổi phương trình bậc năm vậy, hệ số y , y , y Brings (1736-1798) đưa năm 1786. Điều đóng vai trò quan trọng việc giải phương trình bậc năm hàm eliptic. Năm 1834, Jerrard (mất 1863) lại chứng minh hệ số y n−3 0. Trong năm 1803, 1805, 1813, nhà vật lý Paolo Ruffini (1765-1822) người italia đưa cách chứng minh điều mà lúc coi kiện, nghiệm phương trình tổng quát bậc năm bậc cao biểu thị thức theo hệ số phương trình đó. Loài người đứng trước thách thức trí tuệ hết đời đến đời khác, xuất nhiện nhà toán học trẻ tuổi Niels Henrik Abel (1802-1829) người Na Uy. Ông người can đảm. Ngay từ thuở nhỏ, ông bắt đầu tìm lời giải cho phương trình bậc năm. Nhờ tâm chiến thắng đến nên vào năm 1824 (lúc ông 22 tuổi), ông chứng minh cách tổng quát rằng, phương trình bậc từ trở lên có cách giải kiểu thức. Với trí 334 tuệ tuổi trẻ, ông tuyên bố với giới cách chân lý: trí tuệ người bất khả chiến thắng. Nhưng đường thành công Abel gập gềnh. Tuy có thành công thời gian ngắn ngủi đau khổ nặng nề hơn. Những vinh quang ông hầu hết đến sau ông qua đời. Ông sinh gia đình mục sư nông thôn. Cha mẹ ông lại đông nghèo. Trong số anh chị em, ông người anh thứ 2. Năm 13 tuổi, ông đưa vào trường dòng. Ngay từ đầu ông hứng thú với toán học. Năm 1817, trường xảy kiện đặc biệt, đêm thay đổi đời ông. Thầy dạy toán ông, ngược đãi học trò nên bị sa thải. Thay thầy giáo cũ thầy Homlboe (sinh năm 1795) 22 tuổi. Thầy Holmboe nhanh chóng phát tài toán học Abel. Khi Abel nêu tâm công vào phương trình bậc năm, nhiều người chế diễu, cho "Ếch nhái lại đòi ăn thịt thiên nga". Vậy mà Holmboe lại ủng hộ Abel, động viên ông cố gắng vươn lên. Năm 1821, Abel thi đậu vào trường đại học. Để thực ý tưởng mình, ông theo học thầy Gauss. Ban đầu ông học theo cách người trước, tìm cách giải đáp cách diện. Sau nhiều ngày tháng miệt mài, năm 1824 ông chứng minh phương trình tổng quát bậc năm có công thức nghiệm thức. Điều làm bận tâm buộc loài người phải suy nghĩ suốt kỷ, cuối niên tiếng tăm giải quyết. Tuy nhiên, điều Abel nêu không tạp chí toán học đăng tải, buộc ông phải tự bỏ tiền in ấn. Nhưng đau khổ ông không mà giảm bớt. Năm 1825, Abel đến nhiều nước châu Âu gõ cửa nhiều nơi không đâu coi ông cả, kể nơi gọi "vương quốc toán học". Cuối ông đến Berlin. Rất may mắn, ông kỹ sư Klaye hiểu ý tưởng ông. Tuy Klaye không hiểu hết nội dung mà Abel trình bày Klaye lại hiểu lực to lớn Abel. Năm 1826 Klaye giúp Abel cho đời tạp chí "Lí luận toán học". Ba số đầu tạp chí đăng 22 phát biểu Abel, giới thiệu công trình nghiên cứu toán học Abel. Những thành tựu xuất sắc Abel thu hút ý giới toán học châu Âu. Chính mà tạp chí tiếng tận ngày nay. Tháng 5/1827, với lòng thương nhớ quê hương Tổ quốc, Abel trở thủ đô Otslo. Tuy nhiên, quê hương ông lại không tìm công việc thích hợp. Tháng 9/1828 bốn viện sĩ hàn lâm khoa học Pháp yêu cầu vua Salơ XIV giúp đỡ vật chất, tạo điều kiện để Abel nghiên cứu khoa học. Nhưng vất vả độ mà bệnh lao ông lại tái phát, đe dọa đến tính mạng ông. Ngày 6/4/1829, sáng rực bầu trời tắt lặn. Ngày 9/4/1829, người thân gia đình nhận thư từ Berlin gửi đến với nội dung: "Ông Abel kính mến! Trường định tôn vinh ông giáo sư toán học trường. 335 Chúc mừng vinh dự ông!" Nhưng thư đến chậm, ông qua đời trước ngày. Ngày 28/6/1830, Viện hàn lâm khoa học Pháp trao giải thưởng lớn cho Abel. Đó vinh quang sau ông qua đời. Lại có câu chuyện việc Abel giải phương trình có bậc lớn sau: vị đại sứ Hà Lan có lần nói dóc với vua Henry IV rằng, nước Pháp nhà toán học giải toán Adrianus Romanus (1561-1615) người Hà lan đặt năm 1593, toán đòi hỏi phải biết cách giải phương trình bậc bốn5. Viete triệu đến. Sau xem xét toán, ông nhận mối liên hệ lượng giác đặc biệt đưa nghiệm, sau thêm 21 nghiệm nữa. Trong "De numerosa", Viete trình bày trình có hệ thống nói chung để tìm xấp xỉ liên tiếp nghiệm phương trình. Phương pháp công sức giải phương trình bậc cao dùng hết kỷ XVI. tiểu sử số nhà toán học tiếng Một đời bia mộ Người ta nhiều đời nhà toán học cổ Hy Lạp Đi-ô-phăng (Diophante): Ông sống kỉ III trước Công nguyên, sinh A-lếch-xăng-đri, để tâm nghiên cứu sâu phương trình tóm tắt đời hàng chữ bia mộ sau: “Hỡi du khách! Nơi yên nghỉ người tên Đi-ô-phăng. Và số nhiệm màu nói cho bạn biết tháng ngày dài đời ông. Ông sống thơ ngây phần sáu đời. Một phần mười hai đời nữa, cằm ông lún phún râu. Thêm phần bảy đời, ông mang nhẫn cưới tay năm sau, đứa trai xinh xắn. Than ôi, dù thương yêu, người chết vừa nửa tuổi thọ cha. Quá đau khổ, người cha bất hạnh sống thêm bốn năm sau chết con. Bạn nói đi: ông ta thọ tuổi đời ông sao?”. Theo ngôn ngữ phương trình đạt tuổi thọ Đi-ô-phăng ẩn số x, ”phiên dịch câu lời bia mộ, ta phương trình sau: x x x x + + +5+ +4=x 12 Giải phương trình này, bạn dễ dàng tìm x = 84. Vậy Đi-ô-phăng sống 84 năm. Thời niên thiếu ông (84 : 6) 14 năm, Vì 84 : 12 = nên ông ”có râu” lúc 14 + = 21 (tuổi). Lại 84 : = 12 nên ông lấy vợ lúc 21 + 12 =33 (tuổi). Ông có trai lúc 38 (tuổi). Vì người sống nửa tuổi thọ cha nên chết lúc 42 tuổi. Khi đó, người cha 38 + 42 = 80(tuổi). Và ông nhắm mắt lìa đời lúc 80 + = 84 (tuổi). Thật bia độc đáo! 336 Chỉ lề sách hẹp! Ngay từ thời cổ người ta biết tam giác có ba cạnh 3, 4, (đơn vị dài) tam giác vuông 32 + 42 = 52 ra, có vô số số nguyên dương khác thỏa mãn phương trình x2 + y = z . Chẳng hạn ba số 6; 8; 10 hay 5; 12; 13. . . Ta biết số Pi-ta-go. Từ phương trình này, nảy ý nghĩ: liệu có tìm ba số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình xn + y n = z n (n số tự nhiên lớn 2) hay không. Ý nghĩ ngày lần Đi-ô-phăng xem xét kĩ, phương trình có tên gọi phương trình Đi-ô-phăng. Người ta chứng minh với tất số n từ 3, 4. . . đến 4000, chẳng có số nguyên x, y, z nghiệm phương trình Đi-ô-phăng cả. Riêng Pi-e Phéc-ma (Pierre Fermat, 16011665) nhà toán học Pháp, người với Pa-xcan tìm phép tính xác suất, mạnh dạn nghi ngờ: Phương trình Đi-ô-phăng luôn vô nghiệm, dù n số tự nhiên nào. Năm 1637, Phéc-ma viết bên lề cuống sách Đi-ô-phăng ông tìm cách chứng minh kì diệu điều nghi ngờ nói đúng, không ghi vì. . . lề sách hẹp. Từ đến nay, ba trăm năm trôi qua, nhiều nhà toán học tốn bao công sức để chịu bó tay việc tìm chứng minh Phéc-ma. Điều nghi ngờ nói trở thành toán lịch sử tiếng phương trình Đi-ô-phăng có tên gọi toán Phéc-ma. Năm 1993, nhà toán học Ăng-đrây Oai (Andrew Wiles) người Anh chứng minh Bài toán Phéc-ma với công cụ toán học đại với . . . 200 trang giấy. Hai gương mặt trẻ Lịch sử Đại số trang nghiên cứu phương trình giữ bóng dáng hai chàng trai trẻ thiên tài: Ni-en hen-rích A-ben (Niels Henrik Abel, 1802-1829) nhà toán học Na Uy E-va-rít Ga-loa (Evariste Galois, 1811-1832) nhà toán học Pháp. Cùng sống hồi đầu kỉ XIX, đời ngắn ngủi hai người để lại tác phẩm vô giá cho toán học đại. Cả A-ben lẫn Ga-loa bộc lộ tài toán từ lúc ngồi ghế nhà trường, hai quan tâm đến việc giải phương trình đại số có bậc lớn hai. Tuy đến việc làm nhau, hai gửi công trình đến Viện hàn lâm khoa hoc Pháp, và. . . gặp rủi ro: Công trình A-ben bị cất vào tủ lưu trữ, lúc anh chết có người vô tình đọc in ra, Ga-loa ba lần kiên nhẫn gửi tới đến lần thứ ba nhận trả lại công trình với lời phê “Không thể hiểu được!”. A-ben chết âm thầm nghèo túng, để lại tên tuổi “phương trình A-ben” “nhóm A-ben” lí thuyết nhóm. Còn Ga-loa chết đấu danh dự với bọn khiêu khích, để lại 60 trang thư anh viết đêm cuối cùng, trình bày ngắn gọn kết quan trọng anh tìm nghiên cứu phương trình. Lá thư dài viết nét chữ vô hối hả, xen công thức toán câu “Tôi vội quá”. “Chỉ tiếng đồng hồ thôi”, “Tôi không kịp”. . . Vậy mà 60 trang thư mở cho nhà toán hoc giới vô số hướng đi, để lại lí thuyết phương trình đại số ẩn số mang tên lí thuyết Ga-loa. Bạn nhìn lại năm sinh năm A-ben Ga-loa: hai gương mặt thiên tài đứng cạnh cánh cửa mở vào lâu đài toán học đại, mãi trẻ trung. 337 Sống hay chết Vào năm 1927, Erwin Schr¨odinger viết phương trình cho sóng lượng tử. Nó phù hợp với thí nghiệm cách tuyệt vời đồng thời vẽ nên tranh giới khác lạ, hạt sơ cấp electron vật thể rõ ràng, mà đám mây xác suất. Spin electron giống đồng tiền nửa sấp nửa ngữa rơi xuống bàn. Không lâu sau đó, nhà lí thuyết lại lo lắng không yên trước tính chất lạ lượng tử, ví dụ mèo vừa sống vừa chết, vũ trụ song song Adolf Hitler kẻ chiến thắng chiến tranh giới lần thứ hai. Cơ học lượng tử không bị ràng buộc với bí ẩn triết lí vậy. Hầu vật dụng đại – máy vi tính, điện thoại di động, máy chơi game, xe hơi, tủ lạnh, lò vi sóng – chứa chip nhớ gốc transistor, dụng cụ có hoạt động dựa học lượng tử chất bán dẫn. Những công dụng cho học lượng tử xuất gần hàng tuần. Các chấm lượng tử - miếng nhỏ xíu chất bán dẫn – phát ánh sáng thuộc màu sắc sử dụng để ghi ảnh sinh học, chúng thay cho chất nhuộm truyền thống, thường độc hại. Các kĩ sư nhà vật lí cố gắng phát minh máy vi tính lượng tử, dụng cụ thực song song nhiều phép tính khác nhau, giống hệt mèo vừa sống vừa chết. Laser ứng dụng học lượng tử. Chúng ta sử dụng chúng để đọc thông tin từ lỗ nhỏ li ti đĩa CD, DVD đĩa Blu-ray. Các nhà thiên văn sử dụng laser để đo khoảng cách từ Trái đất đến mặt trăng. Thậm chí phóng tên lửa vũ trụ lên từ Trái đất với sức đẩy chùm laser mạnh. Chương cuối câu chuyện có xuất xứ từ phương trình giúp hiểu ý nghĩa sóng. Nó bắt đầu vào năm 1807, Joseph Fourier nghĩ phương trình cho dòng nhiệt. Ông gửi báo nói đến Viện hàn lâm Khoa học Pháp bị từ chối. Vào năm 1812, viện hàn lâm Pháp đưa vấn đề nhiệt thành đề tài giải thưởng hàng năm viện. Fourier lại gửi báo dài hơn, có hiệu chỉnh – giật giải. Cái hấp dẫn báo giành giải thưởng Fourier phương trình, mà cách ông giải nó. Một toán điển hình tìm xem nhiệt độ dọc theo mỏng thay đổi theo thời gian, cho biết trước đặc điểm nhiệt độ ban đầu. Fourier giải phương trình cách nhẹ nhàng nhiệt độ biến thiên sóng hình sin dọc theo chiều dài thanh. Vì thế, ông biểu diễn đặc trưng phức tạp kết hợp đường hình sin với bước sóng khác nhau, giải phương trình cho đường cong hình sin thành phần, cộng tất nghiệm lại với nhau. Fourier khẳng định phương pháp cho đặc trưng nhiệt độ bất kì, chí với trường hợp nhiệt độ có giá trị nhảy cóc. Tất phải làm cộng gộp số vô hạn đóng góp từ đường cong hình sin với tần số lớn dần. Dẫu vậy, báo Fourier bị trích không đủ chặt chẽ, lần viện hàn lâm Pháp từ chối đăng tải. Vào năm 1822, Fourier phớt lờ phản đối cho công bố lí thuyết ông dạng sách. Hai năm sau đó, ông tự bổ nhiệm làm thư kí viện hàn lâm, dí mũi ông vào kẻ trích ông, cho đăng báo gốc ông tập san viện. Tuy nhiên, người trích chưa chịu dừng lại. Các nhà toán học bắt đầu nhận chuỗi vô hạn thứ nguy hiểm; chúng không luôn hành xử giống tổng hữu hạn, đẹp đẽ. Việc giải vấn đề hóa 338 khó khăn, phán cuối quan điểm Fourier làm cho chặt chẽ cách ngoại suy đặc trưng không đều. Kết phép biến đổi Fourier, phương trình xem tín hiệu biến thiên theo thời gian tổng chuỗi đường cong hình sin thành phần tính biên độ tần số chúng. Ngày nay, phép biến đổi Fourier ảnh hưởng đến sống theo vô số kiểu. Chẳng hạn, sử dụng để phân tích tín hiệu dao động tạo trận động đất để tính tần số mà lượng truyền mặt đất chấn động lớn nhất. Một bước tiến tới xây dựng công trình chịu động đất đảm bảo tần số riêng công trình khác với tần số động đất. Những ứng dụng khác bao gồm việc loại tạp âm khỏi ghi âm cũ, tìm kiếm cấu trúc ADN ảnh chụp tia X, cải thiện thu nhận vô tuyến ngăn cản dao động không mong muốn xe hơi. Thêm ứng dụng mà đa số người sử dụng thường xuyên mà không để ý, chụp ảnh kĩ thuật số. Nếu bạn tính xem cần thông tin để biểu diễn màu sắc độ sáng pixel ảnh kĩ thuật số, bạn phát camera kĩ thuật số nhồi nhét vào thẻ nhớ lượng liệu nhiều gấp mười lần thẻ nhớ chứa. Camera làm công việc cách sử dụng nén liệu JPEG gồm năm bước nén khác nhau. Một số chúng phiên kĩ thuật số phép biến đổi Fourier, hoạt động với tín hiệu không thay đổi theo thời gian mà thay đổi từ đầu qua đầu ảnh. Cơ sở toán học giống hệt. Bốn bước lại tiếp tục làm giảm liệu thêm nữa, đến khoảng phần mười lượng ban đầu. Đây bảy nhiều phương trình mà bắt gặp hàng ngày, không nhận chúng diện đấy. Nhưng tác động phương trình lịch sử sâu sắc nhiều. Một phương trình thật mang tính cách mạng có tác động tồn loài người lớn nhà vua hoàng hậu có mưu đồ choán đầy sử học chúng ta. Có (hoặc có) phương trình, hết thảy, mà nhà vật lí nhà vũ trụ học đặt hết niềm tin yêu vào đấy: lí thuyết tất thống học lượng tử thuyết tương đối. Nổi tiếng số nhiều ứng cử viên lí thuyết siêu dây. Nhưng người biết, phương trình cho giới vật chất có lẽ phiên đơn giản hóa không bắt giữ cấu trúc sâu sắc thực tại. Ngay tự nhiên có tuân theo định luật vạn vật, chúng không biểu diễn dạng phương trình. Một số nhà khoa học nghĩ đến lúc từ bỏ phương trình truyền thống để theo đuổi thuật toán – công thức khái quát để tính toán thứ, kể việc định. Nhưng ngày ấy, có, hiểu biết sâu sắc định luật tự nhiên tiếp tục có dạng thức phương trình, học cách tìm hiểu chúng thích ứng với chúng. Các phương trình có thành tựu chúng, Chúng thật làm biến chuyển giới chúng lại tiếp tục làm giới biến chuyển. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Văn Mậu ; Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi. NXB Giáo dục 2010. 2. Đỗ Thanh Sơn Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi. NXB Giáo dục 2010. 3. Vũ Dương Thụy ; Nguyễn Văn Nho 40 năm Olympic Toán học quốc tế. NXB Giáo dục 2006. 4. Đoàn Quỳnh ; Doãn Minh Cường ; Trần Nam Dũng ; Đặng Hùng Thắng Tài liệu chuyên toán Đại số 10. NXB Giáo dục 2010. 5. Nguyễn Văn Mậu Phương pháp giải phương trình bất phương trình. NXB Giáo dục 2010. 6. Đỗ Thanh Sơn Một số chuyên đề hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi. NXB Giáo dục 2010. 7. Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển toán 9. NXB Giáo dục 2006. 8. Tạp chí Toán học tuổi trẻ. 9. Tuyển tập 10 năm đề thi Olympic 30/4. NXB Giáo dục 2006. 10. Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam. NXB Giáo dục 2007. 11. Diễn đàn http://mathscope.org. 12. Diễn đàn http://onluyentoan.vn. 13. Diễn đàn http://www.artofproblemsolving.com/Forum. 14. Bách khoa toàn thư mở Wikipedia. 339 [...]... x+3 x+4 x+6 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bên cạnh việc xây dựng phương trình từ hệ phương trình, việc xây dựng phương trình từ những đẳng thức đại số có điều kiện là một trong những phương pháp giúp ta tạo ra những dạng 23 phương trình hay và lạ Dưới đây là một số đẳng thức đơn giản 4.1 Từ đẳng thức "(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (1) ": Ví dụ: Giải phương trình: (x − 2)3 + (2x... minh phương trình vô nghiệm khi |y| 3 √ 7 1 y= (t + ) giống như bài 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm 3 t −p 1 Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = (t + ) (∗) như sau: 3 t −p Nếu phương trình có 1 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| < 2 , 3 trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương −p Nếu phương trình có 3 nghiệm thực, chứng minh phương. .. 2) m 12 2 Nhận xét : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên 1 4−5x ( ) 2 Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm: (∗) √  2 3x... Qua các dạng phương trình trên, ta thấy phương trình hữu tỉ thường được giải bằng một trong các phương pháp: [1.] Đưa về phương trình tích [2.] Đặt ẩn phụ hoàn toàn [3.] Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình [4.] Đưa về lũy thừa đồng bậc (thường là dạng A2 = B 2 ) [5.] Chia tử và mẫu cho cùng một số [6.] Thêm bớt để tạo thành bình phương đúng Tuy nhiên, có một số dạng phương trình có những phương pháp... 3−5 3+ 4 3−5 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = ; 2 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1 x4 − 19x2 − 10x + 8 = 0 2 x4 = 4x + 1 18 3 x4 = 8x + 7 4 2x4 + 3x2 − 10x + 3 = 0 5 (x2 − 16)2 = 16x + 1 6 3x4 − 2x2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước Phương trình này có... x2 Đặt y = Giải phương trình bậc hai theo y để tìm x x+a 9x2 Ví dụ: Giải phương trình: x2 + = 7 (2.1) (x + 3)2 Điều kiện: x = −3 2 3x x2 (2.1) ⇔ x − + 6 =7 x+3 x+3 ⇔ 2 x2 x2 ⇔ =7 + 6 x+3 x+3 x2 Ta có phương trình: Đặt y = x+3 y=1 y 2 + 6y − 7 = 0 ⇔ y = −7 Với y = 1: Ta có phương trình: √ 1 ± 13 2 x =x+3⇔x= 2 Với y = −7: Ta có phương trình: x2 + 7x + 21 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình (2.1) có tập... + 2 ab + cd 2 Đặt y = x + px + 2 Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c(c > 0) (4): a+b Đặt x = y − (4) trở thành: 2 a−b y+ 2 4 a−b + y− 2 4 =c Sử dụng khai triển nhị thức bậc 4, ta thu được phương trình: 4 2 2 2y + 3(a − b) y + 2 a−b 2 4 =c Giải phương trình trùng phương ẩn y để tìm x Ví dụ: Giải phương trình: (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82 (4.1) Đặt y = x + 3 Phương trình (4.1) trở thành: (y + 1)4 +... 15 1 ; 0; − Phương trình có tập nghiệm: S = 3 7 3 3 3 4.3 Từ đẳng thức "a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) (3) ":  √ Ví dụ: Giải phương trình 54x3 − 9x + 2 = 0 (3.1) Ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng x3 + a3 + b3 − 3abx Như vậy thì a, b là nghiệm của hệ phương trình  √  3  a + b3 = 2  54  3 3  a b = 1  183 ⇒ a3 , b3 là nghiệm của phương trình √ t2 −... + 3x + 6) + 1 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {2} 2 Bài 2: Giải phương trình x6 − 7x2 + √ 6 = 0 (∗) Giải Rõ ràng ta không thể đoán nghiệm của phương trình này vì bậc cao và hệ số xấu Một cách tự √ nhiên ta đặt 6 = a Lưu ý rằng ta hi vọng có thể đưa (*) về phương trình bậc hai theo a, do đó ta phân tích 7 = a2 + 1 Công việc còn lại là giải phương trình này: √ Đặt 6 = a, khi đó (∗)... minh phương trình vô nghiệm khi |y| 2 3 −p bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t) Khi |y| 2 thì 3 |y| đặt = cos α, từ đó tìm được 3 nghiệm −p 2 3 Cách đặt trên dùng khi p < 0, còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Bài 5: Giải phương trình x3 + 6x + 4 = 0 Giải 12 1 Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt x = k(t − ) để đưa về phương trình trùng phương Để . phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình. khảo sát hệ phương trình ba ẩn . . . . . . . . . . . . . 74 Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic . . . 79 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 92 Phương pháp. quát phương trình bậc ba và bốn, ngoài ra còn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựng phương trình hữu tỉ.  Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương