Tuyệt kĩ các phương pháp kết hợp máy tính bỏ túi giải phương trình, bất phương trình ôn thi THPTQG

+ Phương trình-bất phương trình-Hệ phương trình là một chuyên đề khá rộng nên khi ôn họcsinh sẽ gặp nhiều khó khăn tổng hợp những kiến thức và kĩ năng nào cần thiết nhất và vừa đủ để có

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016

Huế, Tháng 10 Năm 2015

Mục lục

1.1 Chia đa thức 4

1.2 Phương trình bậc 2 4

1.2.1 Phân tích một biểu thức bậc 2 4

1.2.2 Ứng dụng của định lí vi ét 5

1.2.3 Giải bất phương trình bậc 2 bằng máy tính casio fx-570Vn Plus 5

1.3 Phương trình bậc 3 6

1.4 Giải phương trình bậc 4 7

1.5 Một số đánh giá cơ bản 8

1.5.1 Các phương pháp đánh giá hay dùng trong giải phương trình-bất phương trình 9

1.6 Một số phương trình vô tỷ cơ bản 12

2 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong các đề thi Đại học 15 2.1 Phương pháp liên hợp 15

2.1.1 Liên hợp khi phương trình chỉ có một nghiệm đẹp 16

2.1.2 Liên hợp khi đã biết hai nghiệm đẹp 20

2.1.3 Liên hợp khi biết một nghiệm xấu của phương trình 22

2.2 Phương pháp denta tham số 28

2.3 Phương pháp hàm đặc trưng 31

2.4 Phương pháp đưa về đồng bậc 36

2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn 39

2.6 Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3 hoặc bậc nhất theo hệ 42

2.7 Phương pháp đạo hàm 45

2.8 Luyên tập võ công 48

2.9 VƯỢT MÔN 55

2.10 Bất phương trình 56

3 Lời giải và bình luận đề thi ĐH phần phương trình-bất phương trình từ

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình-bất phương-Hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong các chuyên

đề LTĐH, năm nào bao giờ cũng có một câu về chuyên đề này chiếm 1 điểm và mức độ của nóthuộc dạng khó, người ta thường nói là câu lấy 9 điểm Nó khó vì những lí do sau:

+ Người giải chưa nắm được những phương pháp giải nó hoặc chưa nhận dạng được bài toángiải theo phương pháp nào?

+ Phương trình-bất phương trình-Hệ phương trình là một chuyên đề khá rộng nên khi ôn họcsinh sẽ gặp nhiều khó khăn tổng hợp những kiến thức và kĩ năng nào cần thiết nhất và vừa đủ

để có thể giải những câu Phương trình-Bất phương trình-Hệ phương trình trong các kì thi ĐH.Thi THPTQG là vấn đề thi ít nhất 4 môn và chọn ra 3 môn để xét vào đại học Do đó nếuchúng ta chỉ cắm đầu cắm cổ vào một môn nào đó mà sao nhãn các môn còn lại thì kết quảcủa ta đạt được cũng sẽ không cao được Do đó chúng ta phải có kế hoạch học thế nào vừa

đủ không dư quá nhiều và cũng không thiếu đối với kiến thức từng môn, thì khi đó kết quả

3 môn xét vào đại học mới cao được Do đó ta cần học những kĩ năng và kiến thức cần thiếtnhất chứ không học tràn lan quá nhiều dẫn đến quá tải Những phần nào trong đề thi ra dễchúng ta cần học ít lại và dành nhiều thời gian cho những phần khó hơn Đối những chuyên đềkhó ta cũng không thể nào học hết những kĩ năng và phương pháp để giải được tất cả nhữngbài bài toán thuộc dạng đó mà ta cần biết học chọn lọc vừa đủ và vừa sức với đề thi của chúng ta

Trong chuyên đề Phương trình-Bất phương trình-Hệ phương trình, thì phương trình là vấn

đề quan trọng nhất, vì khi ta đã nắm được các phương pháp giải phương trình một cách nhẫnnhiễn thì vấn đề giải bất phương trình và hệ phương trình không còn là vấn đề nữa khó nữa.Với những lí do trên và sau khi nghiên cứu khá kĩ đề thi ĐH qua các năm trong một thờigian dài, tôi quyết định soạn ra tài liệu này để viết ra những kĩ thuật và chọn lọc những phươngpháp tốt nhất để giải phương trình-bất phương trình (mà trong rất nhiều tài liệu viết về chuyên

đề này không nói ra kĩ, chắc họ cố ý giấu nghề ấy thì phải.) nhằm giúp cho những em còn gặpkhó khăn trong việc học này chuyên đề này có một tài liệu chất lượng, bám sát đề thi của BGDnhất, vừa đầy đủ vừa ngắn gọn và dễ hiểu, dễ áp dụng trong khi giải bài tập Giúp những emhiếu học có thể tự học được những phương pháp và kĩ thuật tốt nhất để giải phương trình-Bấtphương trình trong thời gian ngắn nhất

Để học tốt chuyên đề này các em cần có những điều kiện sau:

+ Có khả năng biến đổi, khai triển, chuyển vế tốt một tí

+ Có một máy tính casio fx 570VN plus hay casio fx 570 es plus

+ Siêng năng tí nữa

Trong bài viết này những bài tập được giải và trình bày một cách chi tiết, kèm theo nhữngnhận xét, chú ý và bình luận nhằm giúp các em nắm được những phương pháp giải và biếtcách sử dụng vào bài toán cụ thể một cách nhanh nhất.

Mong rằng với cuốn tài liệu này sẽ giúp ích cho các em trong việc ôn thi chuyên đề này vàđừng quên chờ đọc những tập tiếp theo nhé! Mặc dù đã cố ngắn song tác giả biết sẽ khôngtránh rỏi những thiếu sót trong bài viết này, mong nhận được sự góp ý của các bạn đọc.Mọi thắc và góp ý xin gửi về địa chỉ:

gmail: dinhphucsp@gmail.com

Sđt: 01677201817

Xin chân thành cảm ơn!

Huế, tháng 10 năm 2015Đinh Văn Phúc

Ở đây ta chỉ xét phép chia hết thôi vì mục đích của ta là đưa một biểu thức về tích các thừa

số của nó Còn phép chia không hết cũng tương tự thôi chỉ là có thêm phần dư nữa

4

x2 ; x =

x3

x2; 1 = x

x là những kết mà ta đã có được thực hiện chia trước đó ]

Vì khi dùng phần mềm này để soạn bài viết này tôi vẫn chưa biết kẻ bảng thế nào?nên tôi đành trình bày dài dòng như thế, còn khi thực hiện chia ta kẻ bảng nhưchia giữa hai số mà ta đã được học ở cấp một ấy và đây cũng là cách chia tổngquát đó nhé!

"

x − 1 = 02x − 3 = 0 .Khi đó f (x) = (x − 1)(2x − 3)

x = −12

⇔

"

3x − 2 = 02x + 1 = 0 Khi đó

Chú ý trường hợp a, b, c có thừa số chung sau:

f (x) = 4x2− 12x + 8 Nếu chúng làm như trên sẽ dẫn đến sai vì a, b, c có thừa số chung là 4

Do đó trong trường hợp này chúng ta sẽ viết f (x) lại như sau f (x) = 4(x2− 3x + 2) Bây giờchúng ta chỉ cần phân tích x2− 3x + 2 ra, theo ở ví dụ 1 thì x2− 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) Vậy

và S2 ≥ 4P , thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2− Sx + P = 0 Chúng ta gọi x2− Sx + P

là biểu thức chứa 2 hai nghiệm x1, x2

2 và x2 = 1 −√

2

1.2.3 Giải bất phương trình bậc 2 bằng máy tính casio fx-570Vn Plus

Mục đích của mục này nhằm giúp chúng ta tìm được chính xác và nhanh nhất điều kiện củaphương trình vô tỷ

Ví dụ: Giải bất phương trình x2+ 5x + 3 < 0

Ta bấm máy tính như sau: Bấm MODE, mũi tên xuống, chọn 1 (INEQ), chọn 1, chọn 2, nhập

1.3 Phương trình bậc 3

ax3+ bx2+ cx + d = 0, a 6= 0

Phương trình bậc 3 chúng ta có thể bấm máy tính và cho ra kết quả nghiệm nhưng trong bài thiTHPT Quốc gia không cho phép chỉ viết ra nghiệm mà không giải, đều đó sẽ bị trừ điểm.Trongphần này sẽ giúp chúng ta giải phương trình bậc 3, có một nghiệm hữu tỉ ( nghiệm có dạng mntrong đó m, n là các số tự nhiên, n 6= 0, về sau chúng ta sẽ gọi là nghiệm đẹp) Vì trong nhữngbài toán giải phương trình vô tỷ mà có xuất hiện phương trình bậc 3 trong các đề thi Đại học,thì những phương trình bậc 3 đó đều có ít nhất một nghiệm đẹp Do đó chúng ta chỉ xét nhữngphương trình bậc 3 có ít nhất 1 nghiệm đẹp

Cho phương trình bậc 3:

giả sử x = m

n là một nghiệm đẹp của phương trình (1.2) Khi đó chúng ta chia đa thức

ax3+ bx2+ cx + d cho nx − m, giả sử được đa thức kx2+ px + l Bây giờ chúng ta giải phươngtrình (1.2) như sau:

0 nửa là xong, mà hai phương trình này chúng ta đã biết cách giải rồi

x = −32

x = 13

Nhận xét: Thực chất của việc giải phương trình bậc 3 có ít nhất một nghiệm đẹp là đưaphương trình đó về tích của phương trình bậc nhất và bậc 2 mà chúng ta đã biết cách giải rồi

Từ đây cũng cho ta cách biểu diễn biểu thức bậc 3 thành tích của bậc nhất và bậc 2

1.4 Giải phương trình bậc 4

Ở đây tôi chỉ xét phương trình bậc 4 có 1 nghiệm đẹp vì trong đề thi ĐH nếu có gặp phươngtrình bậc 4, thì nó cũng chỉ ở dạng có 2 nghiệm đẹp, còn những phương trình bậc bốn dạngkhác có thể tìm hiểu những bài viết khác Bằng máy tính ta có thể giải phương trình bậc bốntổng quát

Ví dụ: 1 Giải phương trình x4− 3x3 + 4x2− 6x + 4 = 0 (∗)

Hướng dẫn giải bằng máy tínhBấm máy tính bằng cách nhập vào: x4−3x3+4x2−6x+4, bấm SHIFT, SOLVE, 100 ta tìm đượcnghiệm x1 = 2, SHIFT, SOLVE, -100, được nghiệm x1 = 1 Khi đó ta có

x1, x2 là nghiệm của phương trình x2− 3x + 2 = 0

Bây giờ ta lấy x4− 3x3+ 4x2− 6x + 4 Chia cho x2− 3x + 2, ta được x2+ 2

lẻ, ta bấm tiếp SHIFT, SOLVE, -100, được nghiệm x = −3 Khi đó ta không làm như trên nửa

mà ta lấy x4+ 4x3 − 11x − 6 Chia cho x + 3, ta được x3+ x2− 3x − 2

Do đó (∗) ⇔ (x + 3)(x3+ x2− 3x − 2) = 0 ⇔

"

x + 3 = 0

x3+ x2− 3x − 2 = 0 (∗∗)Bây giờ (∗∗) là phương trình bậc 3, bấm máy tính có một nghiệm đẹp x = −2 Do đó ta lấy

x3+ x2− 3x − 2 chia cho x + 2 được x2− x − 1 Khi đó

(∗∗) ⇔ (x + 2)(x2− x − 1) = 0

tới đây thì đơn giản chỉ cần bấm máy tính.

Suy ra A, B là nghiệm củaphương trình x2− 4x + 2 = 0 Bây giờ ta lấy x4− 6x3+ 11x2− 8x + 2 chia cho x2− 4x + 2 tađược x2 − 2x + 1 Do đó

(∗) ⇔ (x2− 4x + 2)(x2− 2x − 1) = 0

Tới đây ta có thể giải hai phương trình bằng cách bấm máy tính rồi

Nhận xét: Ở Ví dụ 1 ta biết được 2 nghiệm đẹp, Ví dụ 2 biết được 1 nghiệm đẹp, Ví dụ 3

ta chưa biết được nghiệm đẹp nào nhưng từ 2 nghiệm lẻ ta lại có tổng và tích của chúng đẹp.Trong những trường hợp khác mặc dù phương trình bậc 4 tổng quát có thể giải bằng cách bấmmáy tính cũng không quá khó khăn những ngoài 3 trường hợp như trên tôi không khuyên các

em đưa phương trình vô tỷ về một phương trình bậc 4 để giải về sau

8 a > 0 và b > c > 0 ⇒ a

b <

ac

1.5.1 Các phương pháp đánh giá hay dùng trong giải phương trình-bất phương

trình

Đây là phần khá quan trọng, trong việc giải phương trình-bất phương trình bằng phươngpháp liên hợp và phương pháp hàm số

1 Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức cơ bản

Cho x ∈ D chứng minh A(x)

pB(x) + C(x) +

H(x)pG(x) + F (x) + L(x) luôn dương hoặc luônâm

Trước khi đánh giá chúng ta cần phải biết:

Thứ I: Các biểu thức A(x)

pB(x) + C(x);

H(x)pG(x) + F (x); L(x), ∀x ∈ D

ta cần biết biểu thức nào luôn âm và biểu thức nào luôn dương

Thứ II: Với mỗi biểu thức đó thì tử và mẫu của biểu thức luôn âm hay luôn dương chưa,như biểu thức A(x)

pB(x) + C(x) ta cần biết A(x); pB(x) + C(x) luôn âm hay luôn dương.Nếu như trường hợp A(x) có khi âm và có khi dương với x ∈ D, thì ta phải xét trườnghợp của x để A(x) luôn mang một dấu xác định hoặc cũng có thể biến đổi A(x) về một

và âm khi x + 1 < 0 ⇔ x < −1 Do đó ta có lời giải sau:

3 ≤ 4

3).

Vậy cả hai trường hợp ta luôn có f (x) < 0

Cách 2: Với x ≥ −2 ⇒ x+2 ≥ 0 Do x+1 chưa dương nên ta tách thành: x+1 = x+2−1.Khi đó ta có

Cách 3: Có thể xem đáp án của BGD câu bất phương trình đề thi ĐH D-2014.

Bất đẳng thức (∗) đúng với mọi x ∈ R, (do ∆ = 4 − 8 = −8 < 0 và a = 2 > 0) Vậy suy

ra bất dẳng thức (1) đúng

Ví dụ 2: Chứng minh: √

x2− 3x + 5 >√x (1)

Lời giải(1) ⇔ x2 − 3x + 5 > x ⇔ x2− 4x + 5 > 0 (∗)

Do ∆ = 16 − 20 < 0 và a = 1 > 0 nên suy ra (*) luôn đúng với mọi x ∈ R Do đó (1)đúng

3 Đánh giá dựa vào khảo sát hàm số

3 (bậc 3 có ít 1 nhất nghiệm đẹp) Do đó tất cả các phương trình ở trên phải đưa về 1 trong 3phương trình: bậc 1, bậc 2 hoặc bậc 3.

1) ĐK: f (x) ≥ 0 (mọi căn bậc chẵn phải có đều kiện ≥ 0 đối với biểu thức dưới căn)(1.3) ⇔

Tới đây thì chúng ta biết cách giải rồi

2) (1.4)⇔ f (x) = (kx + p)3( Vì căn bậc lẻ không cần điều kiện gì và muốn mất căn bậc 3,thì phải mũ 3 hai vế lên thôi) Tới đây chúng ta cũng giải được

(1.6) ⇔ f (x) = g(x), sẽ đưa về phương trình bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất

5) Mũ ba hai vế (1.7), sẽ đưa về phương trình bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất

Chú ý: Khi giải được nghiệm, đối với những bài toán nào có điều kiện phải đối chiếu lại vớiđiều kiện để kết luận nghiệm

Nhận xét: Chúng ta thấy rằng tất cả các dạng cơ bản của phương trình vô tỷ đều giải bằngcách đưa về phương trình bậc 1, bậc 2 hoặc bậc 3

Bài tậpGiải các phương trình sau:

2 hoặc x =

1 −√52Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1 −

√5

2 ,

1 +√5

x + 1 = 2x − 5 + 2√

2x − 5 + 1[ Bình phương hai ]

4 √

x2+ 2x − 1 =√

x + 2Điều kiện:

bài toán giải phương trình vô tỷ bao giờ cũng sẽ đưa về hoặc là một phương trình bậc 1,

bậc 2, bậc 3 (đôi khi bậc 4) hoặc dạng cơ bản trên,

Chương 2

Các phương pháp giải phương trình vô

tỷ trong các đề thi Đại học

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu các phương pháp giải phương trình vô tỷ, bất phươngtrình vô tỷ trong các đề thi Đại học

1 Phương pháp liên hợp

2 Phương pháp hàm đặc trưng

3 Phương pháp đặt 1 ẩn phụ không hoàn toàn và dừng tam thức bậc hai

4 Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc

5 Phương pháp đặt 1 ẩn phụ hoàn toàn đưa về bậc 2, bậc 3

6 Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3, bậc nhất đivới hệ

7 Phương pháp hàm số đơn điệu

Trong 7 phương pháp trên thì chỉ cần dùng các phương pháp 1, 2, 3, 4, 5 đã giải được tất cả các

đề thì Đại học về phương trình, bất phương trình, từ 2009 − 2015 Còn phương pháp 6 cũngkhá hay trong việc giải phương trình và được sử dụng nhiều trong việc giải hệ phương trình.Phương pháp 7 thường dùng kèm với phương pháp liên hợp Quan trọng nhất vẫn là 4 phươngpháp đầu tiên

3 √

A +√

B = √A − B

A −√B

4 − x − 2x2+ 5x + 1 (Chuyển về một vế rồi mới bấm, ở đây chúng tôi chuyển

vế phải qua vế trái), bấm SHIFT, SOLVE, 100 Chúng ta được nghiệm x = 3 Bây giờ bấm tiếpSHIFT, SOLVE, -100 Chúng ta được "can’t solve" tức là không giải được Vậy phương trìnhchỉ có duy nhất nghiệm là x = 3 Bây giờ chúng ta thay x = 3 vào 2 căn thức√

√

x − 2 + 1− √ 1

4 − x + 1 − (2x + 1) = 0Đặt f (x) = √ 1

x − 2 + 1 − √ 1

4 − x + 1 − (2x + 1), 2 ≤ x ≤ 4 (Do phương trình chỉ có mộtnghiệm x = 1 nên f (x) > 0 hoặc f (x) < 0 với mọi x : 2 ≤ x ≤ 4 Để biết f (x) luôn dươnghay luôn âm, chúng ta chỉ cần tính giá trị của f (3) = −7 < 0 nên chúng ta sẽ chứng minh

f (x) < 0.)

là rất cao, tuy nhiên để cho chính xác chúng ta bấm tiếp như sau) Chúng ta bấm mũi tên quatrái (để lấy lại phương trình) và sửa phương trình thành (√

x2 + 12 +√

x2+ 5 − 3x + 5) : (x − 2),(Tức là ta lấy phương trình đó chia cho nghiệm của nó, nếu chỉ phương trình ban đầu có duynhất nghiệm, thì phương trình sau khi chia sẽ vô nghiệm) nhấn SHIFT, SOLVE, 100 thì chúng

ta được kết quả phương trình không giải được.Vậy phương trình chỉ có duy nhất nghiệm là

x = 2 Bây giờ chúng ta thay x = 2 vào 2 căn thức √

Phương trình trở thành

(√

x2+ 12 − 4) − (√

x2+ 5 − 3) = 3x − 5 − 1(Do VT chúng ta đã cộng thêm -4+3=-1 nên VP cộng cho -1 Chúng ta chú ý khi nào cănthức có nhân với một số khác 1, thì chúng ta phải lấy số đó ra ngoài rồi mới chèn, như ở đây

⇔ (x − 2)(x + 2)√

x2+ 12 + 4 − (x − 2)(x + 2)√

x2+ 5 + 3 − 3(x − 2) = 0

(Ở đây chúng ta đã dùng hằng đẳng thức a2− b2 = (a − b)(a + b), còn nếu ai không nhớ hằngđẳng thức này thì chúng ta vẫn có thể đưa x2− 4 về tích xem lại mục phân tích một biểu thứcbậc 2)

2x − 2, √

x + 1 ta được:

" √2x − 2 = 2

Phương trình trở thành

(√2x − 2 −√

x + 1) + x2− 4x + 3 = 0

⇔ √(2x − 2) − (x + 1)2x − 2 +√

x + 1 + (x − 3)(x − 1) = 0

( Ở đây chúng ta dùng công thức liên hợp 1 và biễu diễn x2− 4x + 3 thành tích)

Phương trình trở thành

(x + 1)(√

x + 2 − 2) + (x + 6)(√

x + 7 − 3) = x2+ 7x + 12 − 2(x + 1) − 3(x + 7)(Do √

x + 2 nhân với x + 1 khác số 1 nên chúng ta phải lấy x + 1 ra làm nhân tử chung rồimới chèn, tương tự với√

x + 7 Vì VT chúng ta đã cộng cho −2(x + 1) − 3(x + 6) nên VP cũngphải cộng cho −2(x + 1) − 3(x + 6))

√

x + 7 + 3 ≥ 3 ⇒ √(x + 6)

x + 7 + 3 ≤ x + 6

3 .Nên suy ra

x + 2 + 2 < 0, suy ra f (x) < 0, −2 ≤ x < −1 Vậy ta luôn có f (x) <

0, x ≥ −2 nên (∗) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

2.1.2 Liên hợp khi đã biết hai nghiệm đẹp

Ví dụ 1: Giải phương trình 2√

x − 1 +√

5x − 1 = x2+ 1Bấm tính chúng ta thấy khi SHIFT, SOLVE, 100, chúng ta được nghiệm x = 2, tiếp tục nhấnSHIFT, SOLVE, -100 chúng ta vẫn được x = 2 Chúng ta bấm tiếp (2√

x − 1+√

5x − 1−x2−1) :(x − 2), nhấn SHIFT, SOLVE, 100 được nghiệm x = 1 Vậy chúng ta đã tìm được hai nghiệmđẹp của phương trình Bây giờ tiến hành liên hợp, thay x = 2, x = 1 vào phương trình

⇒√5x − 1 sẽ liên hợp với x + 1 (Ở đây chúng ta để ý rằng hệ phương trình theo a, b ở dưới

và ở trên chỉ khác nhau các số ở VP, mà các số ở VP đó chính là những số nhận được khi thaylần lượt các nghiệm vào căn thức)

Lời giảiĐiều kiện: x ≥ 1

Phương trình trở thành

2[√

x − 1 − (x − 1)] + [√

5x − 1 − (x + 1)] = x2+ 1 − 2(x − 1) − (x + 1)(Cũng không khác gì với cách liên hợp 1 nghiệm, chỉ khác ở đây chèn một biểu thức bậc nhấttrong khi liên hợp một 1 chèn một số)

2− 3x + 2

⇔ (x2− 3x + 2)[1 + √ 2

x − 1 + (x − 1) +

1

√5x − 1 + (x + 1)] = 0(Ở đây chúng ta đã chuyển VT qua phải, sau đó lấy x2− 3x + 2 làm thừa số chung)

b = 43

Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 22

3 .Phương trình trở thành

3 đó.)

⇔ 4[3√x + 2 − (x + 4)] + [3√

22 − 3x − (−x + 14)] = 3x2+ 24 − 4(x + 4) − (−x + 14)(Chúng ta lấy rằng bên VT chúng tôi đẩy số 3 vào trong ngoặc để rút gọn đi cho số 3 ở mẫuthức, tới đây phương trình có các hệ số thuận lợi cho việc tính toán hơn nhiều)

3 ⇒ −x ≥ −22

3 ⇒ −x+14 ≥ −22

3 +14 > 0.Vậy suy ra

⇔ x = 2 hoặc x = −1.

So với điều kiện phương trình có tập nghiệm S = {−1, 2}

NHẬN XÉT Chúng ta thấy rằng trong liên hợp đã biết hai nghiệm, thì vấn đề chứngminh cái biểu thức còn lại dương hoặc âm là khá nhẹ nhàng so với trong bài toán liên hợp mộtnghiệm

2.1.3 Liên hợp khi biết một nghiệm xấu của phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình x2+ x − 1 = (x + 2)√

x2− 2x + 2Chúng ta nhập phương trình và khi nhấn SHIFT, SOLVE, 100, thì được nghiệm x = 3, 82847 ,(vì chúng ta không biết chính xác nghiệm là bao nhiêu nên để sử dụng chúng ta gán cho nó

là A như sau:) Bấm SHIFT, RCL,A (Bây giờ chúng ta sẽ tìm biểu thức bậc nhất liên hợpvới √

x2− 2x + 2 tương tự như trường hợp có nghiệm đẹp, thay x = A vào phương trình

√

x2− 2x + 2 = ax + b ta được√A2− 2A + 2 = aA + b, vì A là số quá xấu nên phương trìnhnày rất xấu và không thể dùng được để tìm a, b nhưng có một điều chắc chắn là a, b là các sốđẹp (tức là số hữu tỉ) Do đó √

A2− 2A + 2 − aA = b phải là số đẹp, từ đây chúng ta chỉ cầnthử giá trị của a từ -10 đến 10 (Vì a thường là số nằm số từ -10 đến 10) và khi nào giá trị

√

A2− 2A + 2 − aA là số tự nhiên thì đó chính là b Để làm đều đó chúng ta có thể dùng máytính bấm như sau) từ trên chúng ta bấm tiếp MODE, chọn 7 (TABLE), ở f (x) chúng ta nhập

√

A2− 2A + 2 − AX ( Để có A, chúng ta nhấn ALPHA, A, ở đây X chính là a), chổ g(x) chúng

ta cho 0 vì ở đây chúng ta không cần dùng, chổ Start chọn 0 bấm =, chổ End chọn 10 (Vì mấytính chỉ cho phép X chạy từ 0 trở đi, chứ không cho phép chạy từ số âm sang số dương được Do

đó trước tiên chúng ta cho a chạy từ 0 đến 10, nếu chưa tìm được thì cho a chạy từ -10 đến -1),nhấn =, Step để nguyên, bấm = Khi đó chúng ta nhận được một bảng giá trị của X, F(X) (G(X)chúng ta không quan tâm), chúng ta chỉ lấy giá trị của F(X) là số tự nhiên (Vì F(X) chính là b),chúng ta thấy khi X = 0, thì F (X) = 3 tức là a = 0 và b = 3 Vậy √

x2− 2x + 2 = 0x + 3 = 3tức là√

x2− 2x + 2 liên hợp với 3 Tới đây việc liên hợp không khác gì trường hợp nghiệm đẹp

Lời giải(Không có điều kiện vì biểu thức dưới căn luôn dương)

Phương trình trở thành

x2+ x − 1 − 3(x + 2) = (x + 2)(√

x2− 2x + 2 − 3)(Do VP chúng ta đã cộng thêm cho −3(x + 2) nên VT cũng phải cộng thêm −3(x + 2))

Vậy phương trình (∗) vô nghiệm (Ở đây chúng ta cũng có thể chứng minh phương trình (∗)

vô nghiệm như sau: (∗) ⇔ √

x2− 2x + 3 còn −AX thì lúc nào cũng trừ ax),g(x) = 0, Start=0, End=10, =,= Khi đó ở

cột F (X) chúng thấy khi X = 0, F (X) = 2 tức là a = 0, b = 2 Vậy√

x2− 2x + 3 = ax + b = 2tức √

x2− 2x + 3 liên hợp với 2

Lời GiảiPhương trình trở thành

4A + 5 − AX (chổ f(X)), 0 (chổ g(X)), 0 (Start), 10 (End),=,=

Chúng ta thấy X = 2, F (X) = −3 tức là a = 2, b = −3 Vậy√

4x + 5 liên hợp với ax+b = 2x−3

Lời giảiĐk: x ≥ −5

4

23

Phương trình trở thành

2x2− 6x − 1 − (2x − 3) = [√4x + 5 − (2x − 3)] ⇔ 2x2− 8x + 2 = 4x + 5 − (2x − 3)

2

√4x + 5 + (2x − 3)

⇔ 2x2− 8x + 2 = −4x

2+ 16x − 4

√4x + 5 + (2x − 3) ⇔ 2x2− 8x + 2 = −2(2x

2− 8x + 2)

√4x + 5 + (2x − 3)

⇔ (2x2− 8x + 2)[1 + √ 2

4x + 5 + (2x − 3)] = 0.

Tới đây chúng ta biết cách giải rồi nhưng có một điều mà nhiều em không biết hay không để ý là

lời giải trên bị sai một chổ rất tinh tế đó là từ chổ liên hợp dẫn đến xuất hiện√

4x + 5 + (2x − 3)

ở mẫu, vì biểu thức này chưa khác 0, có thể bấm máy tính để thấy điều đó Do đó mẫu chưa

xác định Bây giờ chúng ta có hướng chỉnh sửa lại để có lời giải đúng

Cách 1: Xét trường hợp

Lời giải đúngĐiều kiện: x ≥ −5

4+ Xét √

2x2− 6x − 1 − (2x − 3) = [√4x + 5 − (2x − 3)] ⇔ 2x2− 8x + 2 = 4x + 5 − (2x − 3)

2

√4x + 5 + (2x − 3)

⇔ 2x2− 8x + 2 = −4x

2+ 16x − 4

√4x + 5 + (2x − 3) ⇔ 2x2− 8x + 2 = −2(2x

2− 8x + 2)

√4x + 5 + (2x − 3)

4x + 5 + (2x − 3)]

√4x + 5 − (2x − 3)

24

(Vì sao chúng tôi lại phân tích được VT như thế? từ việc giải ở trên chung ta có √

4x + 5 −(2x − 3) = −4x2+ 16x − 4

√4x + 5 + (2x − 3)

⇔

" √4x + 5 = 2x − 3

√4x + 5 = 1 − 2x .

Tới đây thì chúng ta đã biết cách giải, các em có thể tự giải

Chú ý: Vậy từ đây chúng ta phải lưu ý là khi thực hiện bước liên hợp, xuất hiện biểu thức ở

mẫu, thì ta cần kiểm tra xem mẫu có khi nào bằng 0 không, bằng cách bấm máy tính phương

trình ở mẫu đó (Như Ví dụ trên bấm phương trình √

4x + 5 + (2x − 3) có nghiệm x = 0, 2679

và x này thỏa điều kiện x ≥ −5

4), nếu phương trình đó có nghiệm và thỏa điều kiện thì chuyểnhướng làm theo cách trên Nếu phương trình ở mẫu đó vô nghiệm hoặc có nghiệm không thỏa

điều kiện thì tiếp tục làm bình thường

Ví dụ 4: Giải phương trình (x + 4)(√

x + 2 + 2) = (x + 1)(x2− 2x + 3)Bấm máy tính ta tìm biểu thức liên hợp của √

x + 2 là x − 1

Lời giảiĐiều kiện: x ≥ −2

Phương trình tương đương

(x + 4)√

x + 2 = x3 − x2 − x − 5 (1)( Ở đây đã khai triển chuyển vế rút gọn)

2 > 1(l) hoặc x =

3 −√13

2 vào (3) ta được 12 − 6

√

13 = 0 vô lí Vậy trường hợp này VN

( Trong trường hợp ta đang dùng máy tính cùi hơn thì việc bấm máy tính khi thay x = 3 −

√132vào (3) sẽ ra số −9, 633307 ta không biết chính xác bao nhiêu, do đó ta không thể viết như

trên và kết luận phương trình vô nghiệm được, vì người chấm sẽ không chấp nhận Trường hợp

25

đó ta có thể tính tay hoặc làm như sau: Bấm máy tính thấy phương trình vô nghiệm, nên chúng

ta tiến hành chứng minh nó dương hoặc âm, thử giá trị x = −2 thấy âm, nên chứng minh âm.Đặt g(x) = x3 + 2x − 9, −2 ≤ x ≤ 1 ⇒ g0(x) = 3x2 + 2 > 0 Suy ra g(x) đồng biến nêng(x) ≤ g(1) = 3 − 9 = −6 < 0, −2 ≤ x ≤ 1 Suy ra phương trình VN.)

+ Xét √

x + 2 + (x − 1) 6= 0 ⇔ x 6= 3 −

√13

tử đó chỉ cần lấy VP chia cho nhân tử đó và được như trên.)

⇔ (−x2+ 3x + 1)[√ x + 4

x + 2 + x − 1+ x + 1] = 0

2 hoặc x =

3 −√13

x + 2 − a < 0 chặt nhất, số a như thế chỉ tìm được dựa vàotập xác định mà x chạy.)

Tóm lại so với điều kiên phương trình có tập nghiệm là S = {3 +

√13

√13

2 Phương trình (3) ⇔ x

2 + x + 3 + (x +1)√

2 } (Bài toán này có thể giải bằng phương pháphàm đặc trưng một cách nhẹ nhàng hơn, sẽ được trình bày trong phương pháphàm đặc trưng.)

Bài tậpGiải các phương trình sau:

Ý tưởng của ta như sau: Đặt y = √

2x2− 1 ⇒ y2 = 2x2 − 1 Phương trình trở thành(3x + 1)y = 5x2+ 3x

2 − 3 (2) Tới đây chúng ta sẽ đưa phương trình (2) về một phương trìnhbậc 2 theo biến y mà vẫn còn ẩn x và từ đó giải y theo x Bây giờ chúng ta làm như sau: Cộng

2 vế của phương trình (2) cho ny2 (Để có một phương trình bậc 2 theo y, vì mới chỉ có y vàchú ý là n 6= 0) ta được

ny2+ (3x + 1)y = 5x2+3x

2 − 3 + ny2 (3)(VP đưa y về biến x lại bằng cách thay y2 = 2x2− 1, VT không thay nhé!)

⇔ ny2+(3x+1)y = 5x2+3

2−3+n(2x2−1) ⇔ ny2+(3x+1)y −[(2n+5)x2+3x

2 −3−n] = 0 (4)Vậy ta có được một phương trình bậc 2 theo y với hệ số

số của x2 và hệ số tự do là số chính phương (số có dạng a2) và n thường nằm trong khoảng từ

−10 đến 10 và n 6= 0 (vấn đề này khá tương tự với vấn đề tìm biểu thức liên hợp) Để tìm nchúng ta dùng bảng (TABLE) Bấm tính như sau: MODE, 7, ở f (X) nhập 9 + 4X(2X + 5)(Chính là hệ số của x2, với X = n), ở g(X) nhập 1 + 4X(−3 − X) (Chính là hệ số

tự do), Start chọn -10, End chọn, -1, =, = Chúng ta cần tìm ở cột F (X) và G(X)

là các số chính phương Dò bảng thấy rằng khi X = −2 thì F (X) = 1, G(X) = 9đều là số chính phương Vậy n = −2 thay vào 6 + 4n(3

2) = −6 (hệ số của x) Vậy

∆y = x2− 6x + 9 = (x − 3)2 có dạng bình phương

Lời giải

dinhphucsp@gmail.com Dd: 01677201817

Đk: 2x2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞, −

√2

2 ] ∪ [

√2

2 , +∞) (có thể bấm máy tính bất phương trình bậc2)

(Ở đây dòng 1 chính là thay n = −2 vào (3), dòng 2 là thay vào (4) ở trên và viết lại)

∆y = x2− 6x + 9 = (x − 3)2 (Viết lại kết quả tìm được ở trên) Nên chúng ta có:

2 + 1 ⇔

√2x2− 1 = x

Dùng máy tính nhập MODE, 7, 1 + 4X(X + 1) (ở f (X)), 1 + 4X(1 − 3X) (ở g(X)), -10 (Start),-1 (End), =, = Chúng ta thấy khi X = −1 thì F (X) = 1, G(X) = 9 đều là số chính phương.Vậy n = −1 thay vào 2 − 8n2 = −6 (hệ số của x) Vậy ∆y = x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 có dạngbình phương.)

2.Đặt y =√

Bấm máy tính ta được khi X = −1 thì F (X) = 4, G(X) = 1 đều là số chính phương (4 =

22, 1 = 12) Vậy n = X = −1 thay vào 4n(3 + 2n) = −4 Suy ra ∆y = 4x2− 4x + 1 = (2x − 1)2.)Chọn n = 1 thì ∆y = 4x2− 4x + 1 = (2x − 1)2 Nên ta có:

Tới đây chúng ta có thể giải khá nhẹ nhàn và dành cho đọc giả

(Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp liên hợp)

Bài tậpGiải các phương trình sau:

2 hoặc x =

1 −√5

2 (l).

Vậy so với điều kiện phương trình có nghiệm là x = 1 +

√5

2 .NHẬN XÉT Chúng ta thấy rằng về ý tưởng cũng gần na ná, phương pháp ∆ tham số, đó

là t ừ một phương trình biến x, đặt y là bằng căn thức đưa về một phương trình theo hai biến

x, y, rồi sau đó tính y theo x nhưng ở cách này chúng ta dựa vào tính đồng biến hoặc nghịch

biến của hàm số còn phương pháp ∆ dựa vào phương trình bậc 2 theo y Một điều chúng ta có

thể thấy rằng bên vế đặt y bằng căn thức thì chúng ta đưa biến x về hết biến y còn vế còn lại

là biến x

Ví dụ 2: Giải phương trình (x + 4)(√

x + 2 + 2) = (x + 1)(x2− 2x + 3)(Bài toán này là Ví dụ trong phương pháp liên hợp nghiệm lẻ, ở đây chúng ta sẽ giải bằng

(Tới đây vấn đề của chúng ta là biến đổi VP sao cho nó cũng có dạng như VT, chúng ta thấyrằng bên VT có xuất hiện y + 2 nên VP chúng ta sẽ làm xuất hiện số 2 ở x + 1 bằng cách thêm

số 2 vào: x + 1 = x + 1 + 2 − 2 = x − 1 + 2, từ đây biểu thức còn lại chắc chắn phải là (x − 1)2+ 2,

có thể khai triển để xem có đúng không: (x − 1)2+ 2 = x2− 2x + 1 + 2 = x2− 2x + 3.)

⇔ (y2+ 2)(y + 2) = ((x − 1) + 2)((x − 1)2+ 2) (∗)

Đặt hàm f (t) = (t2+ 2)(t + 2) = t3+ 2t2+ 2t + 4 Suy ra f0(t) = 3t2+ 4t + 2 > 0, t ∈ R (Do3t2+ 4t + 2 vô nghiệm và hệ số a = 3 > 0) Ta có

2 hoặc x =

3 −√13

2 (l).

Vậy so với điều kiện phương trình có nghiệm là x = 3 +

√13

NHẬN XÉT Chúng ta đã thấy được sự lợi hại của phương pháp số chưa?hehe Lời giải khángắn gọn và tính toán nhẹ nhàn Vấn đề khó nhất là làm sao biết được hàm được trưng nhưthế bao? và làm sao biến đổi VP như thế? nếu không để ý sẽ khó tìm được, nhất là với những

em chưa nhuẫn nhiễn với cách phân tích Nhưng yên chí đi có cách giải quyết hai vấn trên mộtcách dễ dàng hơn và tổng quát hơn rất nhiều đó là kết hợp giữa máy tính và suy luận như sau:Trước tiên chúng ta tìm biểu thức liên hợp cho √

x + 2 chính là x − 1 tức là ta cứxem √

x + 2 = x − 1 (Cái tìm này thì quá quen thuộc rồi trong giải bằng phươngpháp liên hợp) Ở đoạn

(y2+ 2)(y + 2) = (x + 1)(x2− 2x + 3) (4)

Từ đây ta có thể đoán được hàm được trưng là VT (Hàm được trưng thường là cái

vế của biểu thức y) tức là f (t) = (t2+ 2)(t + 2) Do đó

(4) ⇔ f (y) = (x + 1)(x2− 2x + 3) Mà y=x-1 nên

x + 2 được là x − 1, tức √

x + 2 = x − 1 do đó phương trình trên sẽ

đưa về f (√

x + 2) = f (x) ta chỉ cần tìm hàm f đó nữa)

Lời GiảiĐk: x ≥ 2

Đặt y =√

x + 2 ⇒ y2 = x + 2 Phương trình trở thành :

(y2+ 2)y = x3− x2− x − 5 ⇔ y3+ 2y = x3− x2− x − 5 (2)(Bây giờ ta nghĩ hàm đặc trưng chắc là f (t) = t3+ 2t (hàm theo biến y) nhưng rất tiếc là khôngphải vây? Tại sao vậy? Vì nếu vậy thì (x − 1)3+ 2(x − 1) = f (x) = f (y) = x3− x2− x − 5 ⇒(x − 1)3+ 2(x − 1) − (x3− x2− x − 5) = 0 nhưng hiệu này khác không khai triển ra sẽ thấy ( Đốivới những ai tinh ý hơn không cần khai triển ra sẽ thấy hệ số tự do của hiệu này là −1 − 2 + 5 =

3 6= 0) Vậy hàm đặc trưng là hàm gì? và tìm thế nào? Dựa vào ý tưởng của phương pháp ∆

ta tìm như sau: Cộng hai vế của (2) cho ny2 ta được y3+ 2y + ny2 = x3− x2− x − 5 + n(x + 2),thay y = x − 1 vào đây ta được (x − 1)3+ 2(x − 1) + n(x − 1)2 = x3− x2− x − 5 + n(x + 2).Tới đây nhiều người sẽ chọn đồng nhất hệ số hai vế để tìm n, đối với tôi, tôi không thích cách

đó làm vì nó vẫn còn dài dòng nên tôi chọn cách như sau: Chúng ta chỉ cần lấy x một số bất

kì thay vào 2 vế rồi suy ra n (Chú ý lấy x sao cho vẫn còn n để suy ra, chứ lấy x mà n triệttiêu thì thôi rồi sao còn suy ra n được), ở đây ta chọn x = 1 thì 0 = −6 + 3n ⇒ n = 2 Suy rahàm đặc trưng là f (x) = t3+ 2t2+ 2t.)

(2) ⇔ y3+2y2+2y = x3−x2−x−5+2(x+2) ⇔ y3+2y2+2y = (x−1)3+2(x−1)2+2(x−1) (∗).Xét hàm f (t) = t3+ 2t2+ 2t Suy ra f0(t) = 3t2+ 4t + 2 > 0, ∀t ∈ R Ta có

3x + 1 là x+1 tức là√

3x + 1 = x+1.)Lời Giải

2 + n(3x + 1) = (x + 1)3+ (x + 1)2+ n(x + 1)2 cho x = −1 thì −1 + 3 − 4 + 2 − 2n = 0 ⇒ n = 0.Suy ra hàm đặc trưng là f (t) = t3+ t.)

⇔ (x + 1)3 + (x + 1) = y3+ y (∗) Xét hàm f (t) = t3 + t Suy ra f0(t) = 3t2+ 1 > 0, ∀t ∈ R.Khi đó ta có

(∗) ⇔ f (x + 1) = f (y) ⇔ x + 1 = y ⇔ x + 1 = √

3x + 1

Tới đây xin dành cho đọc giả tự giải Các em thấy thế nào đã đủ ngắn gọn và nhanh chóngchưa? nếu chưa đủ thì hay chờ cuối phần này, tôi sẽ chỉ cho các em thấy ta có thể tính được nchỉ trong vòng chưa tới 10s và chỉ dùng máy tính hoặc tính nhẩm