Cho phương trình
f(x) =f(y), x, y∈D (∗).
Nếu hàm số f(t)đồng biến (tứcf0(t)>0) hoặcf(t)nghịch biến (tức f0(t)<0) trên tập Dthì (∗)⇔x=y
Ví dụ: 1 Giải phương trình x3+ 3x= (x+ 4)√ x+ 1.
Lời giải Điều kiện: x≥ −1.
Đặt y=√
x+ 1≥0⇒y2 =x+ 1⇒x=y2−1. phương trình trở thành x3+ 3x= (y2+ 3)y ⇔x3+ 3x=y3+ 3y (∗).
Xét hàm f(t) =t3+ 3t. Suy ra f0(t) = 3t2+ 3 >0, t∈ R nên hàm số f(t) đồng biến trên R. Ta có
(∗)⇔f(x) =f(y)⇔x=y⇔x=√ x+ 1
⇔
x≥0 x2 =x+ 1
⇔
x≥0
x2−x−1 = 0
⇔
x≥0 x= 1 +√
5
2 hoặc x= 1−√ 5 2 (l).
Vậy so với điều kiện phương trình có nghiệm là x= 1 +√ 5 2 .
NHẬN XÉT. Chúng ta thấy rằng về ý tưởng cũng gần na ná, phương pháp ∆ tham số, đó là t ừ một phương trình biếnx, đặty là bằng căn thức đưa về một phương trình theo hai biến x, y, rồi sau đó tính y theo x nhưng ở cách này chúng ta dựa vào tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số còn phương pháp∆dựa vào phương trình bậc 2 theo y.Một điều chúng ta có thể thấy rằng bên vế đặt y bằng căn thức thì chúng ta đưa biếnx về hết biến y còn vế còn lại là biến x.
Ví dụ 2: Giải phương trình (x+ 4)(√
x+ 2 + 2) = (x+ 1)(x2−2x+ 3)
(Bài toán này là Ví dụ trong phương pháp liên hợp nghiệm lẻ, ở đây chúng ta sẽ giải bằng phương pháp hàm đặc trưng)
Điều kiện: x≥ −2.
Đặt y=√
x+ 2≥0⇒y2 =x+ 2⇒x=y2−2. Khi đó phương trình trở thành
(y2−2 + 4)(y+ 2) = (x+ 1)(x2−2x+ 3)⇔(y2+ 2)(y+ 2) = (x+ 1)(x2−2x+ 3)
dinhphucsp@gmail.com Dd: 01677201817
(Tới đây vấn đề của chúng ta là biến đổi VP sao cho nó cũng có dạng như VT, chúng ta thấy rằng bên VT có xuất hiệny+ 2nên VP chúng ta sẽ làm xuất hiện số 2 ởx+ 1 bằng cách thêm số 2 vào:x+ 1 =x+ 1 + 2−2 =x−1 + 2, từ đây biểu thức còn lại chắc chắn phải là(x−1)2+ 2, có thể khai triển để xem có đúng không:(x−1)2+ 2 =x2−2x+ 1 + 2 =x2−2x+ 3.)
⇔(y2+ 2)(y+ 2) = ((x−1) + 2)((x−1)2+ 2) (∗).
Đặt hàm f(t) = (t2+ 2)(t+ 2) =t3+ 2t2+ 2t+ 4. Suy ra f0(t) = 3t2+ 4t+ 2>0, t∈R (Do 3t2+ 4t+ 2 vô nghiệm và hệ số a= 3 >0). Ta có
(∗)⇔f(y) =f(x−1)⇔y=x−1⇔√
x+ 2 =x−1
⇔
x−1≥0
x+ 2 = (x−1)2
⇔
x≥1
x+ 2 =x2−2x+ 1
⇔
x≥1
x2−3x−1 = 0
⇔
x≥1 x= 3 +√
13
2 hoặc x= 3−√ 13 2 (l).
Vậy so với điều kiện phương trình có nghiệm là x= 3 +√ 13 2 .
NHẬN XÉT Chúng ta đã thấy được sự lợi hại của phương pháp số chưa?hehe..Lời giải khá ngắn gọn và tính toán nhẹ nhàn. Vấn đề khó nhất là làm sao biết được hàm được trưng như thế bao? và làm sao biến đổi VP như thế? nếu không để ý sẽ khó tìm được, nhất là với những em chưa nhuẫn nhiễn với cách phân tích. Nhưng yên chí đi có cách giải quyết hai vấn trên một cách dễ dàng hơn và tổng quát hơn rất nhiều đó là kết hợp giữa máy tính và suy luận như sau:
Trước tiên chúng ta tìm biểu thức liên hợp cho √
x+ 2 chính là x−1 tức là ta cứ xem √
x+ 2 = x−1 (Cái tìm này thì quá quen thuộc rồi trong giải bằng phương pháp liên hợp). Ở đoạn
(y2+ 2)(y+ 2) = (x+ 1)(x2−2x+ 3) (4).
Từ đây ta có thể đoán được hàm được trưng là VT (Hàm được trưng thường là cái vế của biểu thức y) tức là f(t) = (t2+ 2)(t+ 2). Do đó
(4)⇔f(y) = (x+ 1)(x2−2x+ 3) . Mà y=x-1 nên
[(x−1) + 2][(x−1)2+ 2] =f(x) =f(y) = (x+ 1)(x2−2x+ 3).
Tới đây cho chắc ăn khai triển lại[(x−1)+2][(x−1)2+2]xem có bằng(x+1)(x2−2x+3) không?. Thấy đúng vậy (x+ 1)(x2−2x+ 3) = [(x−1) + 2][(x−1)2+ 2].
Bây giờ cũng bài toán trên nhưng cho ở dạng đã khai triển ra như sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình (x+ 4)√
x+ 2 =x3−x2−x−5
(Bài toán này khó hơn bài toán trên nếu giải theo phương pháp hàm số, còn giải theo liên hợp thì vẫn thế. Bây giờ chúng ta sẽ dùng nhận xét ở trên để giải nó.) (Nháp: Bấm máy tính tìm biểu thức liên hợp của √
x+ 2 được là x−1, tức √
x+ 2 = x−1 do đó phương trình trên sẽ
đưa về f(√
x+ 2) =f(x) ta chỉ cần tìm hàmf đó nữa).
Lời Giải Đk:x≥2.
Đặt y=√
x+ 2⇒y2 =x+ 2. Phương trình trở thành :
(y2+ 2)y=x3−x2−x−5⇔y3+ 2y=x3−x2−x−5 (2)
(Bây giờ ta nghĩ hàm đặc trưng chắc làf(t) =t3+ 2t(hàm theo biếny) nhưng rất tiếc là không phải vây? Tại sao vậy? Vì nếu vậy thì (x−1)3+ 2(x−1) =f(x) =f(y) =x3−x2−x−5⇒ (x−1)3+ 2(x−1)−(x3−x2−x−5) = 0nhưng hiệu này khác không khai triển ra sẽ thấy ( Đối với những ai tinh ý hơn không cần khai triển ra sẽ thấy hệ số tự do của hiệu này là−1−2 + 5 = 36= 0). Vậy hàm đặc trưng là hàm gì? và tìm thế nào?. Dựa vào ý tưởng của phương pháp ∆ ta tìm như sau: Cộng hai vế của (2) chony2 ta được y3+ 2y+ny2 =x3−x2−x−5 +n(x+ 2), thay y=x−1 vào đây ta được (x−1)3+ 2(x−1) +n(x−1)2 =x3−x2−x−5 +n(x+ 2).
Tới đây nhiều người sẽ chọn đồng nhất hệ số hai vế để tìm n, đối với tôi, tôi không thích cách đó làm vì nó vẫn còn dài dòng nên tôi chọn cách như sau: Chúng ta chỉ cần lấy x một số bất kì thay vào 2 vế rồi suy ra n (Chú ý lấy x sao cho vẫn còn n để suy ra, chứ lấy x mà n triệt tiêu thì thôi rồi sao còn suy ra n được), ở đây ta chọnx= 1 thì 0 =−6 + 3n⇒n = 2. Suy ra hàm đặc trưng là f(x) =t3+ 2t2+ 2t.)
(2)⇔y3+2y2+2y=x3−x2−x−5+2(x+2)⇔y3+2y2+2y= (x−1)3+2(x−1)2+2(x−1) (∗).
Xét hàm f(t) = t3+ 2t2+ 2t. Suy ra f0(t) = 3t2+ 4t+ 2>0, ∀t∈R.Ta có (∗)⇔f(y) = f(x−1)⇔y=x−1⇔√
x+ 2 =x−1.
Tới đây giải như ở trên.
Ví dụ 3: Giải phương trình x3+ 3x2+ 4x+ 2 = (3x+ 2)√ 3x+ 1 (Nháp: Bấm máy tính tìm được biểu thức liên hợp của√
3x+ 1làx+1tức là√
3x+ 1 =x+1.) Lời Giải
Đk:x≥ −1 3 . Đặt y=√
3x+ 1 ≥0⇒y2 = 3x+ 1⇒3x=y2−1. Khi đó phương trình trở thành:
x3+ 3x2+ 4x+ 2 = (y2+ 1)y⇔x3+ 3x2+ 4x+ 2 =y3+y
(Nháp x3+ 3x2+ 4x+ 2 +n(3x+ 1) =y3+y+ny2 thayy=x+ 1vào ta đươc: x3+ 3x2+ 4x+ 2 +n(3x+ 1) = (x+ 1)3+ (x+ 1)2+n(x+ 1)2 chox=−1thì −1 + 3−4 + 2−2n = 0⇒n = 0.
Suy ra hàm đặc trưng là f(t) = t3+t.)
⇔(x+ 1)3 + (x+ 1) = y3+y (∗).Xét hàm f(t) =t3 +t. Suy ra f0(t) = 3t2+ 1>0, ∀t ∈R. Khi đó ta có
(∗)⇔f(x+ 1) =f(y)⇔x+ 1 =y ⇔x+ 1 =√
3x+ 1.
Tới đây xin dành cho đọc giả tự giải. Các em thấy thế nào đã đủ ngắn gọn và nhanh chóng chưa? nếu chưa đủ thì hay chờ cuối phần này, tôi sẽ chỉ cho các em thấy ta có thể tính đượcn chỉ trong vòng chưa tới 10s và chỉ dùng máy tính hoặc tính nhẩm.
Ví dụ 4: Giải phương trình √3
81x−8 =x3−2x2+4x 3 −2.
Bấm máy tìm được √3
81x−8 = 3x−2.
Lời Giải.
(Không có Đk nhé! vì căn bậc 3) Đặt y=√3
81x−8⇒y3 = 81x−8. Khi đó phương trình trở thành:
y=x3−2x2+4x
3 −2⇔ 1
27y3+y=x3−2x2+ 4x
3 −2 + 1
27(81x−8)
⇔ 1
27y3+y = 1
27(3x−2)3+ (3x−2) (∗).
Xét hàm f(t) = 1
27t3+t. Suy ra f0(t) = 1
9t2+ 1 >0, ∀t∈R. Khi đó ta có (∗)⇔f(y) =f(3x−2)⇔y= 3x−2⇔√3
81x−8 = 3x−2
⇔81x−8 = (3x−2)3 ⇔81x3−54x2−45x= 0 ⇔x(81x2−54x−45) = 0
⇔
"
x= 0
81x2−54x−45 = 0. ⇔
x= 0 x= 1 +√
6
3 hoặc x= 1−√ 6 3 . Vậy phương trình có tập nghiệm S={0,1 +√
6
3 ,1−√ 6 3 }.
Ví dụ 5: Giải phương trình 2x2 −6x−1 = √ 4x+ 5
(Bài toán đã được giải trong phần phương pháp liên hợp nghiệm lẻ.) Điều kiện: x≥ −−5
4 . Đặt y=√
4x+ 5 ≥0⇒y2 = 4x+ 5.Khi đó phưng trình trở thành 2x2−6x−1 =y ⇔2x2−6x−1−1
2(4x+ 5) =y−1 2y2
( Ở đây cách làm như ví dụ 1, đó là cộng 2 vế cho ny2, VT đưa lại về biến x, VP giữ nguyên, từ đó tìm n như trong Ví dụ 1)
⇔(2x−3)− 1
2(2x−3)2 =y−y2 ⇔2y−y2 = 2(2x−3)2 −(2x−3)2
(Tới đây nếu chúng ta xét hàm đặc trưng f(t) = 2t−t2. Suy ra f0(t) = 2−2t chưa biết luôn âm hoặc luôn dương cả. Do đó ta sẽ không xét hàm đặc trưng mà đưa về tích như sau.) Đặt z = 2x−3 (cho dễ tính toán). Khi đó phương trình trở thành:
⇔2y−y2 = 2z−z2 ⇔2(y−z)+z2−y2 = 0⇔2(y−z)+(z−y)(z+y) = 0⇔(y−z)[2−(z+y)] = 0 (ở đây chúng ta đã dùng hằng đẳng thức a2−b2 = (a−b)(a+b))
"
y=z
y= 2−z ⇔
" √
4x+ 5 = 2x−3
√4x+ 5 = 2−(2x−3) . Tới đây các em tự giải nhé!
Nhận xét:
1)Để giải nhanh bằng phương pháp hàm số trước tiên ta phải tìm được biểu thức liên hợp. Nếu căn thức xuất hiện trong bài là căn bậc hai thì ta cộng 2 vế cho ny2, Nếu căn bậc 3 thì cộng 2 vế cho ny3. Sau đó tìm n.
2) Từ Ví dụ 5, cho ta thấy việc giải bài toán bằng phương pháp đặc trưng đơn giản và ngắn gọn hơn phương pháp liên hợp nghiệm lẻ, khi phương trình của mình chỉ có một căn thức.
3) Bây giờ tôi sẽ trả lời cho việc tìm n một cách nhanh chóng trong các Ví dụ từ 2 đến Ví dụ 5. Các em có để ý trong Ví dụ 2 tôi chox = 1 thì V T = 0 (VT chính là vế của y trước đó) và suy ra n; trong Ví dụ 3 tôi cho x = −1 thì V P = 0 (mà VP chính là vế của y trước đó). Để ý x mà tôi đã cho đó, chính là nghiệm của biểu thức liên hợp mà ta tìm được đầu mỗi lời giải. Vậy trong bài toán F(x)p
G(x) = H(x) hoặc F(x)p3
G(x) =H(x) thì
n=−H(x0) G(x0),
với x0 là nghiệm của biểu thức liên hợp mà ta tìm được ở đầu lời giải.Như trong Ví dụ 3:
n=− (2
3)3 −2.(2
3)2+ 4.
2 3 3 −2 81.2
3 −8)
= 1 27, do H(x) = x3−2x2+4x
3 −2;G(x) =√
81x−8;x0 = 2
3 là nghiệm của biểu thức liên hợp 3x−2.Ở đây để tính n ta bấm máy tính như sau cho nhanh: Nhập −(X3−2X2+4X
3 − 2)(81X−8), nhấn CALC, 2
3 (chổx?) ta được 1 27.
Chú ý: Nếu tính n như trên mà máy báo lỗi (Math ERROR) thì trong trường hợp đó ta tìm n như trong Ví dụ 2.
Bài tập Giải các phương trình sau:
1. 8x3−36x2+ 53x−25 = √3 3x−5 2. √3
3x+ 4 =x3+ 3x2+x−2 3. x3+ 5x
2 − 3 2 =√3
−x3+ 3x2+ 6 4. (2x+ 5)√
x+ 2 = 16x3−16x2+ 4x−5 5. (x+ 1)√
x−1−4(x+ 1)(2x2+ 4x+ 3) = 0 6. 7x2−13x+ 8 = 2x2p3
x(1 + 3x−3x2) 7. 9x2−28x+ 21 =√
x−1 8. √
2x−1 +x2−3x+ 1 = 0