phương trình Hamilton Jacobi

Biên soạn: Dương Quốc Duy Chương 1: Nghiệm Cổ Điển Của Bài Toán Cauchy 1.Phương trình hoàn chỉnh: M(x, y, u).ux = N(x, y, u).uy (*) Trong • (x, y) ∈  • M(x, y, u), N(x, y, u) hàm khả vi liên tục theo biến. • u = u(x, y) hàm ẩn phải tìm. • ux, uy đạo hàm riêng u theo biến x, y. • Thỏa mãn điều kiện khớp: Mx = Ny ♦ Phương pháp: Trong trường hợp ta tìm nghiệm u = u(x, y) phương trình (*) dạng ẩn Φ(x, y, u) = Với M(x, y, u) = Φy(x, y, u) N(x, y, u) = Φx(x, y, u) Ta có: Φx(x, y, u) = N(x, y, u) ⇒ Φ(x, y, u) = ∫N(x, y, u)dx + f(y, u) ( với f(y, u) hàm theo hai biến y u ) ⇒ M(x, y, u) = Φy(x, y, u) = ∫Ny(x, y, u)dx + fy(y, u) ⇒ fy(y, u) = M(x, y, u) - ∫Ny(x, y, u)dx ⇒ f (y, u) = ∫fy(y, u)dy + g(u) ( với g(u) hàm theo biến u ) Do đó: Φ(x, y, u) = ∫N(x, y, u)dx + ∫fy(y, u)dy + g(u) ♦ Chú ý: Khi Φu(x, y, u) ≠ ta tìm hàm u theo định lý hàm ẩn. BT1: giải phương trình a) x.ut = tu.ux b) x2y.ux = xy2.uy Giải: a) x.ut = tu.ux Đặt M(t, x, u) = x N(t, x, u) = tu Ta có: Biên soạn: Dương Quốc Duy • M(t, x, u), N(t, x, u) hàm khả vi liên tục theo biến. • Mt(t, x, u) = = Nx(t, x, u) (thỏa mãn điều kiện khớp) Nên ta tìm nghiệm u = u(t, x) phương trình (*) dạng ẩn Φ(t, x, u) = Với M(t, x, u) = Φx(t, x, u) N(t, x, u) = Φt(t, x, u) Ta có: Φt(t, x, u) = N(t, x, u) = tu ⇒ Φ(t, x, u) = t .u + f(x, t) ( f(x, t) hàm theo hai biến t u ) ⇒ M(t, x, u) = Φx(t, x, u) = fx(x, u) ⇒ fx(x, u) = x ⇒ f(x, u) = x + g(u) Do đó: Φ(t, x, u) = ( g(u) lầ hàm theo biến u ) t .u + x2 + g(u) 2 x2y.ux = xy2.uy b) Đặt M(x, y, u) = x2y N(x, y, u) = xy2 Ta có: • M(x, y, u), N(x, y, u) hàm khả vi liên tục theo biến. • Mx(x, y, u) = 2xy = Ny(x, y, u) (thỏa mãn điều kiện khớp) Nên ta tìm nghiệm u = u(x, y) phương trình (*) dạng ẩn Φ(x, y, u) = Với M(x, y, u) = Φy(x, y, u) N(x, y, u) = Φx(x, y, u) Ta có: Φx(x, y, u) = N(x, y, u) = xy2 ⇒ Φ(x, y, u) = 2 x y + f(y, u) ( với f(y, u) hàm theo hai biến y u ) ⇒ M(x, y, u) = Φy(x, y, u) = x2y + fy(y, u) ⇒ fy(y, u) = x2y - x2y = ⇒ f (y, u) = g(u) ( với g(u) hàm theo biến u ) Do đó: Φ(x, y, u) = 2 x y + g(u) 2.Phương pháp tách biến: F(x, y, u, ux, uy) = (2*) ♦ Phương pháp: Biên soạn: Dương Quốc Duy Ta tìm nghiệm phương trình (2*) biểu diễn dạng u(x, y) = g(x) + h(x) u(x, y) = g(x).h(y) BT2: giải phương trình  ut + u2x = (I)   u(0, x) = x (t, x)  (0, )   (a) x (b) Giải: Ta tìm nghiệm phương trình (I) biểu diễn dạng u(t, x) = g(t).h(x) Ta có: ut (t, x) = g’(t).h(x) ux (t, x) = g(t).h’(x) Thay vào (a): g’(t).h(x) = - [g(t).h’(x)]2 ⇒- g'(t) g(t) ( Do - = g'(t) g(t)  h'(x) h(x) = c ( với c số )  h'(x) h(x) hai hàm theo hai biến khác nên phải hàm hẳng ) Ta có: • - g'(t) g(t) =c⇒ = c.t + a g(t) ⇒ g(t) = •  h'(x) h(x) =c⇒ c.t + a h'(x) = c h(x) ⇒ h(x) = (a số) ( t ≠ -a/c ) ( c ≥ 0) c .x + d (d số) ( c.x + d)2 ⇒ h(x) = Do nghiệm cổ điển toán (a) là: u(t, x) = ( c.x + d)2 4(c.t + a) ( c.x + d)2 Mà, u(0, x) = x nên = x2 4.a ∀x ∈ ℝ Biên soạn: Dương Quốc Duy ⇒ cx + 2d c .x + d = 4ax ∀x ∈ ℝ c = 4a ⇒ d = Vậy, nghiệm cổ điển toán (I) u(t, x) = x2 4t + (t, x) ∈ (0 ; +∞)×ℝ 2.Phương pháp đặc trưng Cauchy: u t + H(t, x, u x ) =  u(0, x) = σ (x) (t, x)  (0, )   x ♦ Phương pháp: Với H(P) = H(t, x, P) σ(z) = … Ta có: + Hệ phương trình vi phân thường: o  X = H P (P)  o U = P.H P (P) - H(P) o P =  Với điều kiện ban đầu: X(0, z) = z , U(0, z) = σ(z) P(0, z) = σ’(z) + Hệ phương trình cho ta nghiệm: • P(t, z) = σ’(z) • X(t, z) = z + t. HP (σ’(z)) • U(t, z) = σ(z) + t.[ σ’(z). HP ( σ’(z) ) - H( σ’(z) ) ] Và nghiệm: u(t, x) = U( t, X-1(t, z) ) với x = X(t, z) BT2: sử dụng phương pháp đặc trưng Cauchy tìm nghiệm thuộc lớp C2 (hay gọi nghiệm trơn) phương trình u t + u 2x = a)  u(0, x) = x (t, x)  (0, )   u t + sinu x = b)  u(0, x) = x x Giải: (t, x)  (0, )   x Biên soạn: Dương Quốc Duy u t + u 2x =0 a)  u(0, x) = x (t, x)  (0, )   (a) x Với H(P) = P2 σ(z) = z2 Ta có: + Hệ phương trình vi phân thường: o  X = H P (P) = 2P  o U = P.H P (P) - H(P) = P o P =  Với điều kiện ban đầu: X(0, z) = z , U(0, z) = σ(z) = z2 P(0, z) = σ’(z) = 2z + Hệ phương trình cho ta nghiệm: • P(t, z) = σ’(z) = 2z • X(t, z) = z + t. HP (σ’(z)) = z + t.4z = z.( 4t + 1) • U(t, z) = σ(z) + t.[ σ’(z). HP ( σ’(z) ) - H( σ’(z) ) ] = z2 + t.[ 2z.4z – 4z2 ] = z2.( + 4t ) Do đó: x = X(t, z) ⇔ x = z.( 4t + 1) ⇒ z = x x ⇒ X-1(t, z) = 4t + 4t + Vậy, phương trình (a) có nghiệm thuộc lớp C2 x2 u(t, x) = U( t, X (t, z) ) = 4t + -1 u t + sinu x = b)  u(0, x) = x (t, x)  (0, )   x Với H(P) = sinP σ(z) = z Ta có: + Hệ phương trình vi phân thường: (t, x) ∈ (0, +∞)×ℝ Biên soạn: Dương Quốc Duy o  X = H P (P) = cosP  o U = P.H P (P) - H(P) = P.cosP - sinP o P =  Với điều kiện ban đầu: X(0, z) = z , U(0, z) = σ(z) = z P(0, z) = σ’(z) = + Hệ phương trình cho ta nghiệm: • P(t, z) = σ’(z) = • X(t, z) = z + t. HP (σ’(z)) = z + t.cos1 • U(t, z) = σ(z) + t.[ σ’(z). HP ( σ’(z) ) - H( σ’(z) ) ] = z + t.[ cos1 – sin1 ] Do đó: x = X(t, z) ⇔ x = z + t.cos1 ⇒ z = x - t.cos1 ⇒ X-1(t, z) = x - t.cos1 Vậy, phương trình (b) có nghiệm thuộc lớp C2 u(t, x) = U( t, X-1(t, z) ) = x - t.sin1 (t, x) ∈ (0, +∞)×ℝ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Chương 2: Nghiệm Lipschit Của Phương Trình Hamilton - Jacobi Để tìm nghiệm Lipschit phương trình Hamilton – Jacobi, ta phải xét xem phương trình giải nằm dạng dạng đưa phần này. Tuy nhiên, sau tìm dạng toán: phải sử dụng thêm số định nghĩa, công thức sau tìm nghiệm: ♦ Tích vô hướng  n ánh xạ: < . , . >:  n ×  n → ℝ n ( x , y ) ↦ =  xiyi i=1 Với x = (x1, x2, … , xn) ; y = (y1, y2, … , yn) ∈  n ♦ Hàm liên hiệp: Hàm liên hiệp hàm f :  n →  hàm f * :  n →  định nghĩa: f *(q) = sup { - f (x) } , q ∈  n x  n ♦ Hàm lồi chặt: Hàm f :  n → ℝ gọi hàm lồi chặt ∀x ; y ∈  n , ∀α ∈ [0 ; 1]: Biên soạn: Dương Quốc Duy f ( αx + (1 – α)y ) ≤ α. f (x) + (1 – α). f (y) ♦ Hàm liên tục Lipschit: Hàm f :  n → ℝ gọi liên tục Lipschit  n ∃L > 0, ∀x ; y ∈  n : | f(x) – f(y) | ≤ L.||x - y|| ♦ Chú ý: • Hàm bậc Lipschit. • Hàm ex không Lipschit. 1.Trường hợp (x) lồi: u t + H(t, u x ) =  u(0, x) = σ (x) (t, x)  Ω  (0, T)  n x  n ♦ TH1: H(t, ux) hàm có xuất biến t. Ta phải kiểm tra hai kiện i) H(t, q) hàm liên tục [0, T]×  n ii) Ở kiện hai ta cần kiểm tra hai kiện • σ(x) hàm lồi liên tục Lipschit  n t * • φ(t, x, q) = - σ (q) -  H( , q)d hội tụ -∞ ||q|| → +∞ địa phương theo (t, x) ∈ [0, T]×  n Khi t * u(t, x) = max { - σ (q) q  n  H( ,q)d } Là nghiệm toàn cục Lipschitz toán ♦ TH2: H(t, ux) = H(ux) hàm không xuất biến t. Ta phải kiểm tra hai kiện i) H(q) hàm liên tục  n ii) Ở kiện hai ta cần kiểm tra hai kiện • σ(x) hàm lồi liên tục Lipschit  n • φ(t, x, q) = - σ*(q) – t.H(q) hội tụ -∞ ||q|| → +∞ địa phương theo (t, x) ∈ [0, T]×  n Biên soạn: Dương Quốc Duy Khi u(t, x) = max { - σ*(q) - t.H(q) } q  n Là nghiệm toàn cục Lipschitz toán Biên soạn: Dương Quốc Duy 2.Trường hợp (x) không lồi: (t, x)  Ω  (0, T)  n u t + H(t, u x ) =  u(0, x) = σ (x) x  n Ta phải thực theo bước: Kiểm tra H(t, q) hàm liên tục [0, T]×  n i) ii) Biến đổi σ(x) = i  {1, 2, ., k } σi(x) với σi(x) hàm lồi, liên tục lipschitz  n iii) Tìm nghiệm Lipschitz toán: u t + H(t, u x ) =  u(0, x) = σ i (x) (t, x)  Ω  (0, T)  n x  n Với nghiệm lipschitz là: t * ui(t, x) = max { - σi (q) q  n  H( ,q)d } iv) Lúc đó, nghiệm Lipschitz toán càn tìm là: u(t, x) = i  {1, 2, ., k } ui(t, x) 2.Trường hợp H = H(q) lồi: u t + H(u x ) =  u(0, x) = σ (x) (t, x)  Ω  (0, T)   n x  n Ta phải kiểm tra hai kiện i) H(q) hàm lồi chặt  n thỏa mãn điều kiện q H(q)    q lim ii) σ(x) hàm liên tục Lipsxhitz  n Khi   x - y  u(t, x) =  (y) + t.H*    t  y n  Là nghiệm Lipschitz toán BT: u + u2 - = x  t  u(0, x) = e x (t, x)  Ω  (0, T)   (I) x Biên soạn: Dương Quốc Duy y e-x x e x ♦ Đặt • H(q) = |q2 – 1| ⇒ H(q) hàm liên tục ℝ • σ(x) = e - x e-x neáu x  =  = { σ1(x) ; σ2(x)} x x  neáu x < e Trong đó, σ1(x) = e - x σ2(x) = e x hàm lồi ℝ u + u2 - = x  t ♦ Xét toán  u(0, x) = e x (t, x)  Ω  (0, T)   x  + Với σ1*(q) = sup { qx - e – x } x  Đặt g(x) = qx - e – x ⇒ g’(x) = q + e –x • Nếu q > g’(x) > , ∀x ∈ ℝ ⇒ g(x) hàm đồng biến ℝ lim g(x) = +∞ x  + ⇒ σ1*(q) = +∞ • Nếu q < g’(x) = ⇔ x = -ln(-q) Bảng biến thiên x g'(x) g(x) -∞ -ln(-q) + q - qln(-q) +∞ - (1) Biên soạn: Dương Quốc Duy -∞ -∞ ⇒ σ1*(q) = q - qln(-q) • Nếu q = g(x) = - e – x ⇒ σ1*(q) = neáu q >    σ1 (q) = q - q.ln(-q) neáu q < 0 neáu q =  * Nên ⇒ u1(t, x) = max {qx - σ1*(q) - t.H(q)} q Là nghiệm Lipschitz toán (1) u + u2 - = (t, x)  Ω  (0, T)   x  t ♦ Xét toán  u(0, x) = ex x (2) Chứng minh tương tự: neáu q <    σ2 (q) = q.ln(q) - q neáu q > 0 neáu q =  * Và u1(t, x) = max {qx – σ2*(q) - t.H(q)} q Là nghiệm Lipschitz toán (2) Vậy, u(t, x) = (t, x)  (0, t) {u1(t, x), u2(t, x)} nghiệm Lipchit toán (I). Biên soạn: Dương Quốc Duy Chương 3: Nghiệm Viscosity Của Phương Trình Halmilton - Jacobi I.Khái niệm bản: 1. Hàm khả vi: Cho tập mở ⊂  n . Hàm số u: lim → ℝ gọi khả vi Frechet xo ∈ u(x o + h) - u(x o ) - p.h h h 0 =0 (1) Khi đó, ta kí hiệu đạo hàm u xo Du(xo) = ∇u(xo) = p ♦ (1) kết hợp hai bất đẳng thức lim sup u(x o + h) - u(x o ) - p.h lim inf u(x o + h) - u(x o ) - p.h h h 0 h 0 h  (2)  (3) 2.Trên vi phân – vi phân: ♦ Trên vi phân u xo tập hợp D+ u(xo) = { p ∈  n | (2) } ♦ Dưới vi phân u xo tập hợp D- u(xo) = { p ∈  n | (3) } ♦ Nhận xét: • D+ u(xo) D- u(xo) ∅ • Nếu u khả vi xo ⇔ D+ u(xo) = D- u(xo) = { D u(xo) } ⇔ D+ u(xo) ∩ D- u(xo) ≠ ∅ VD: a) u : ℝ → ℝ với xo = x ↦ |x| ∀h ∈ ℝ\{0}, ∀p ∈ ℝ, đặt: g(h) = u(h) - u(0) - p.h h - p.h h = =1 - p. h h h ∃p ∈  n cho Biên soạn: Dương Quốc Duy sup g(h) = inf + lim g(h)  inf h0  0 h  sup ( - p.  0 h  h ) h • Nếu p ≥ sup g(h) = + p h  • Nếu p < sup g(h) = – p h  Nên sup g(h) = + ||p|| > , ∀p ∈ ℝ lim g(h)  inf h0  0 h  ⇒ D+ u(0) = ∅ + lim g(h)  sup h0 inf g(h) = sup  0 h  inf ( - p.  0 h  h ) = sup ( - p ) = - |p| h  0 ⇒ lim g(h) ≥ ⇔ |p| ≤ h0 ⇔ -1 ≤ p ≤ ⇒ D- u(0) = [-1 ; 1] y x ♦ Chú ý: i) Trên vi phân: đường nằm (như tiếp tuyến nằm trên) không cắt đồ thị khoẳng chứa xo trừ điểm xo. ii) Dưới vi phân: đường nằm (như tiếp tuyến nằm dưới) không cắt đồ thị khoẳng chứa xo trừ điểm xo. Biên soạn: Dương Quốc Duy 0  u(x) =  x 1  b) neáu x  neáu  x  neáu x  với x1 = x2 = y x ♦ Với x1 = 0,∀h ∈ ℝ\{0}, ∀p ∈ ℝ, đặt:  p  u(h) - u(0) - p.h u(h) - p.h  = g(h) = = -p h h  h 1  -p h + lim g(h)  inf neáu h  neáu  h  neáu h  sup g(h)  0 h  h0 , với δ dương đủ bé ( < δ < 1) sup g(h) = +∞ Do h  Nên + D+ u(0) = ∅ lim g(h)  sup Do inf g(h) δ0 h δ h0 inf g(h) = min{p, h  Nên lim g(h)  sup h0 ( δ → 0+ δ inf g(h) = p δ0 h δ δ Nên D- u(0) = [0 ; +∞) - p} - p → +∞ ) , với δ dương đủ bé ( < δ < 1) Biên soạn: Dương Quốc Duy ♦ Với x2 = 1,∀h ∈ ℝ\{0}, ∀p ∈ ℝ, đặt: 1 h + p  u(1 + h) - u(1) - p.h 1 - + h g(h) = =  +p h h  - p   1 h + p   = p  1+ 1+h - p   + sup g(h) = max{-p ; p h  ⇒ lim g(h)  inf  0 h0 Nên + D+ u(1) = [0, } 1+ 1+δ neáu h  -1 neáu -1  h  neáu h  neáu h  -1 neáu -1  h  neáu h  , với δ dương đủ bé ( < δ < 1)  - p sup g(h) = max{-p ; p - } =  h  p -  neáu p  neáu p  ] inf g(h) = min{-p, p h  1+ 1-δ }  - p ⇒ lim g(h)  sup inf g(h) =  h0 δ0 h δ p -  Nên D- u(1) = min{-p ; p - , với δ dương đủ bé ( < δ < 1) neáu p  neáu p  } = { p ∈  n | lim g(h) ≥ 0} = ∅ h0 II.Nghiệm Viscosity: Cho tập mở  n , F: ×ℝ×  n → ℝ liên tục. Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1: F( x, u(x), Du(x) ) = (1.2) 1.Định nghĩa: i) Hàm u ∈ C( ) gọi nghiệm Viscosity phương trình (1.2) Biên soạn: Dương Quốc Duy ∀x ∈ , ∀p ∈ D+ u(x) : F( x, u(x), Du(x) ) ≤ ii) Hàm u ∈ C( ) gọi nghiệm Viscosity phương trình (1.2) ∀x ∈ , ∀p ∈ D- u(x) : F( x, u(x), Du(x) ) ≥ iii) Hàm u ∈ C( ) gọi nghiệm Viscosity phương trình (1.2) vừa nghiệm trên, vừa nghiệm Viscosity phương trình (1.2) VD1: - |ux| = (1) Xét xem u(x) = |x| có nghiệm Viscosity phương trình (1) không. Bài làm: ♦ Đặt F(x, u(x), Du(x)) = - |ux| {1} neáu x >  + ∀x ∈ ℝ: D u(x) =  neáu x = {-1} neáu x <  + • Nếu x > F(x, u(x), 1) = ≤ • Nếu x < F(x, u(x), -1) = ≤ Nên u nghiệm Viscosity phương trình (1) {1} neáu x >  + ∀x ∈ ℝ: D-u(x) = [-1,1] neáu x = {-1} neáu x <  • Nếu x > F(x, u(x), 1) = ≥ • Nếu x < F(x, u(x), -1) = ≥ • Nếu x = ∀p ∈ D-u(x) = [-1, 1]: F(x, u(x), p) = - |p| ≥ Nên u nghiệm Viscosity phương trình (1) Vậy, u nghiệm Viscosity phương trình (1) VD2: |ux| - = (1) Xét xem u(x) = |x| có nghiệm Viscosity phương trình (1) không. Bài làm: ♦ Đặt F(x, u(x), Du(x)) = |ux| - {1} neáu x >  + ∀x ∈ ℝ: D+u(x) =  neáu x = {-1} neáu x <  • Nếu x > F(x, u(x), 1) = ≤ Biên soạn: Dương Quốc Duy • Nếu x < F(x, u(x), -1) = ≤ Nên u nghiệm Viscosity phương trình (1) {1} neáu x >  + ∀x ∈ ℝ: D-u(x) = [-1,1] neáu x = {-1} neáu x <  • Nếu x > F(x, u(x), 1) = ≥ • Nếu x < F(x, u(x), -1) = ≥ • Nếu x = với p = 1/2 ∈ D-u(x) = [-1, 1]: F(x, u(x), p) = |p| - = -1/2 < Nên u nghiệm Viscosity phương trình (1) Vậy, u là nghiệm Viscosity phương trình (1) [...]... Cho là tập mở trong  n , F: ×ℝ×  n → ℝ liên tục Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1: F( x, u(x), Du(x) ) = 0 (1.2) 1.Định nghĩa: i) Hàm u ∈ C( ) được gọi là nghiệm dưới Viscosity của phương trình (1.2) nếu Biên soạn: Dương Quốc Duy ∀x ∈ , ∀p ∈ D+ u(x) : F( x, u(x), Du(x) ) ≤ 0 ii) Hàm u ∈ C( ) được gọi là nghiệm trên Viscosity của phương trình (1.2) nếu ∀x ∈ , ∀p ∈ D- u(x) : F( x, u(x), Du(x)... phương trình (1.2) nếu ∀x ∈ , ∀p ∈ D- u(x) : F( x, u(x), Du(x) ) ≥ 0 iii) Hàm u ∈ C( ) được gọi là nghiệm Viscosity của phương trình (1.2) nếu nó vừa là nghiệm trên, vừa là nghiệm dưới Viscosity của phương trình (1.2) VD1: 1 - |ux| = 0 (1) Xét xem u(x) = |x| có là nghiệm Viscosity của phương trình (1) không Bài làm: ♦ Đặt F(x, u(x), Du(x)) = 1 - |ux| {1} neáu x > 0  + ∀x ∈ ℝ: D u(x) =  neáu x = 0 {-1}... là một nghiệm dưới Viscosity của phương trình (1) {1} neáu x > 0  + ∀x ∈ ℝ: D-u(x) = [-1,1] neáu x = 0 {-1} neáu x < 0  • Nếu x > 0 thì F(x, u(x), 1) = 0 ≥ 0 • Nếu x < 0 thì F(x, u(x), -1) = 0 ≥ 0 • Nếu x = 0 thì ∀p ∈ D-u(x) = [-1, 1]: F(x, u(x), p) = 1 - |p| ≥ 0 Nên u là một nghiệm trên Viscosity của phương trình (1) Vậy, u là một nghiệm Viscosity của phương trình (1) VD2: |ux| - 1 = 0 (1) Xét... - 1 = 0 (1) Xét xem u(x) = |x| có là nghiệm Viscosity của phương trình (1) không Bài làm: ♦ Đặt F(x, u(x), Du(x)) = |ux| - 1 {1} neáu x > 0  + ∀x ∈ ℝ: D+u(x) =  neáu x = 0 {-1} neáu x < 0  • Nếu x > 0 thì F(x, u(x), 1) = 0 ≤ 0 Biên soạn: Dương Quốc Duy • Nếu x < 0 thì F(x, u(x), -1) = 0 ≤ 0 Nên u là một nghiệm dưới Viscosity của phương trình (1) {1} neáu x > 0  + ∀x ∈ ℝ: D-u(x) = [-1,1] neáu... < 0 thì F(x, u(x), -1) = 0 ≥ 0 • Nếu x = 0 thì với p = 1/2 ∈ D-u(x) = [-1, 1]: F(x, u(x), p) = |p| - 1 = -1/2 < 0 Nên u không phải là một nghiệm trên Viscosity của phương trình (1) Vậy, u là không phải là một nghiệm Viscosity của phương trình (1) ... nghiệm Lipschitz của bài toán (2) Vậy, u(t, x) = min (t, x)  (0, t) {u1(t, x), u2(t, x)} là một nghiệm Lipchit của bài toán (I) Biên soạn: Dương Quốc Duy Chương 3: Nghiệm Viscosity Của Phương Trình Halmilton - Jacobi I.Khái niệm cơ bản: 1 Hàm khả vi: Cho tập mở ⊂  n Hàm số u: lim → ℝ được gọi là khả vi Frechet tại xo ∈ u(x o + h) - u(x o ) - p.h h h 0 =0 (1) Khi đó, ta kí hiệu đạo hàm của u tại . x) ∈ (0, +∞)×ℝ Chương 2: Nghiệm Lipschit Của Phương Trình Hamilton - Jacobi Để tìm nghiệm Lipschit của phương trình Hamilton – Jacobi, ta phải xét xem phương trình đang giải nằm trong dạng. toán (I). Biên soạn: Dương Quốc Duy Chương 3: Nghiệm Viscosity Của Phương Trình Halmilton - Jacobi I.Khái niệm cơ bản: 1. Hàm khả vi: Cho tập mở  ⊂ n  . Hàm số u:  → ℝ được gọi là