Tiểu luận tính chất và phép toán

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ MINH KHAI CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM SUY RỘNG TIỂU LUẬN BỘ MÔN HÀM SUY RỘNG GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS LÊ VIẾT NGƯ HUẾ, THÁNG 11-2011 MỤC LỤC MỤC LỤC i MỞ ĐẦU KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 Hàm sở - Không gian sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM SUY RỘNG 2.1 Các tính chất hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Các phép toán hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . NHẬN XÉT, MỞ RỘNG 11 3.1 Một số nhận xét tính địa phương hàm suy rộng . . . . . 11 3.2 Các phép toán không gian D (Ω) số tính chất . . . 12 Kết luận 14 Tài liệu tham khảo 15 i MỞ ĐẦU Trong toán học, lý thuyết hàm suy rộng chiếm vị trí quan trọng hình thành phát triển giải tích. Trong khuôn khổ tiểu luận, Tôi nêu số kiến thức tính địa phương hàm suy rộng phép toán hàm suy rộng. Nội dung tiểu luận chia làm ba chương, chương nêu số kiến thức tổng quan, chương tính chất phép toán hàm suy rộng chương số nhận xét mở rộng. Để hoàn thành tiểu luận, Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Lê Viết Ngư tận tình giảng dạy học phần Hàm suy rộng. Tôi xin chân thành cảm ơn học viên cao học Toán khóa XIX nhiệt tình giúp đỡ, động viên Tôi trình làm tiểu luận. Trong thời gian ngắn phải hoàn thành tiểu luận nên tiểu luận không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn. Chương KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 Hàm sở - Không gian sở Định nghĩa 1.1.1. Hàm số ϕ : Rn → R gọi hàm tiêu hạn (hàm có giá giới nội), ϕ(x) không miền bị chặn Rn . * Bao đóng tập tất phần tử x thuộc Rn mà ϕ(x) khác không gọi giá hàm tiêu hạn ϕ. Suppϕ = {x ∈ Rn : ϕ(x) = 0} Ví dụ 1.1.2. Hàm số ϕ : Rn → R cho ϕ= e x >1 x ≤1 x với x ∈ Rn hàm tiêu hạn giá ϕ hình cầu đóng đơn vị . Hình 1.1: Đồ thị hàm ϕ ví dụ 1.1.2 với n = Ví dụ 1.1.3. Hàm số ψ : R → R cho ψ= e − 1−x |x| < |x| ≥ với x ∈ Rn hàm tiêu hạn giá ψ hình cầu đóng đơn vị. Hình 1.2: Đồ thị ham ψ ví dụ 1.1.3 Ví dụ 1.1.4. Có thể xét ví dụ 1.1.3 Rn . Cho hàm số φ : Rn → R φ= e − 1− x x cho (x0 − , x0 + ) ⊂ U . x0 + Ta có x2 dx > x2 dx = 2x20 + > 0. x0 − U Suy f (x)ϕ(x)dx = hay (f, ϕ) = 0. Vậy điểm đường thẳng thực R điểm thực chất hàm số f (x). Định nghĩa 2.1.6. Tập hợp tất điểm thực chất phiếm hàm f gọi giá hàm suy rộng f . Nếu tập F chứa giá hàm suy rộng f f không −lân cận F ( > 0) ta nói: hàm suy rộng f tập trung F . Ví dụ 2.1.7. Giá hàm δ(x − x0 ) điểm x0 . 2.2 Các phép toán hàm suy rộng Tập tất hàm suy rộng kí hiệu K . Chú ý K ta xây dựng cấu trúc không gian vectơ R, nghĩa ta định nghĩa phép toán tuyến tính sau: Định nghĩa 2.2.1. Cho hai hàm suy rộng f g. Tổng f + g chúng phiếm hàm định nghĩa sau: (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ), ∀ϕ ∈ K Khi tổng f + g phiếm hàm tuyến tính, liên tục K tức f + g hàm suy rộng. Thật vậy: ∗ Tính tuyến tính: Với α1 , α2 ∈ R, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ K. Ta có: (f + g, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = (f, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) + (g, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) (2.1) = α1 (f, ϕ1 ) + α2 (f, ϕ2 ) + α1 (g, ϕ1 ) + α2 (g, ϕ2 ) (2.2) = α1 (f + g, ϕ1 ) + α2 (f + g, ϕ2 ) (2.3) (2.4) ∗ Tính liên tục: Nếu dãy hàm sở ϕ1 (x), ϕ1 (x), . hội tụ không K dãy số (f, ϕn )n (g, ϕn )n hội tụ không R (do f, g hàm suy rộng). Khi dãy số (f + g, ϕn )n hội tụ không R. Nói riêng: Nếu hàm f g hai hàm suy rộng quy tương ứng với hàm khả tích địa phương f (x) g(x) tổng f + g hàm suy rộng quy tương ứng với tổng f (x) + g(x) hàm khả tích địa phương. Định nghĩa 2.2.2. Tích hàm suy rộng f với số thực α ∈ R định nghĩa theo công thức: (αf, ϕ) = α(f, ϕ) = (f, αϕ); ∀ϕ ∈ K Ta dễ dàng kiểm chứng phiếm hàm αf tuyến tính liên tục K tức αf hàm suy rộng. Hoàn toàn tương tự trên, hàm suy rộng quy αf tương ứng với hàm khả tích địa phương αf (x): (αf, ϕ) = α f (x)ϕ(x)dx Rn Bây giờ, trước đưa định nghĩa phép toán tích hàm suy rộng với hàm khả vi vô hạn, ta đưa nhận xét để thấy rằng, định nghĩa tích hai hàm suy rộng với đòi hỏi phép toán phải liên tục trường hợp hàm suy rộng quy phép toán tích trùng với phép nhân thông thường hàm. Nhận xét 2.2.3. Không thể định nghĩa tích hai hàm suy rộng tuỳ ý theo công thức phiếm hàm quy. Thật vậy, giả sử f g hàm suy rộng quy tương ứng với hàm f (x), g(x) khả tích địa phương Rn với ϕ(x) ∈ K; ta có công thức: (f.g, ϕ) = f (x)[g(x)ϕ(x)]dx = g(x)[f (x)ϕ(x)]dx Rn Rn Bây giờ, giả sử f g hai hàm suy rộng tuỳ ý mà ta có: (f.g, ϕ) = (f, g.ϕ) = (g, f.ϕ), ∀ϕ ∈ K Khi chưa xét đến hội tụ f ϕ gϕ ta nhận thấy: tích f ϕ gϕ chưa hàm sở. Cụ thể f ϕ, gϕ chưa hẳn có đạo hàm liên tục cấp. nên (f.g, ϕ) chưa hàm suy rộng. Do việc định nghĩa tích hai hàm suy rộng ý nghĩa mà tích hai hàm suy rộng không hàm suy rộng. Định nghĩa 2.2.4. Tích hàm suy rộng f hàm khả vi vô hạn a(x) định nghĩa theo công thức: (af, ϕ) = (f, a.ϕ); ∀ϕ ∈ K Nhận thấy, phiếm hàm af tuyến tính. Thật vậy, với ∀α1 , α2 ∈ R, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ K, ta có: (αf, α1 ϕ1 + α2 ϕ2 ) = (f, a(α1 ϕ1 + α2 ϕ2 )) = (f, (α1 aϕ1 + α2 aϕ2 )) (2.5) = α1 (f, aϕ1 ) + α2 (f, aϕ2 ) = α1 (af, ϕ1 ) + α2 (af, ϕ2 ) (2.6) (2.7) Ngoài ra, ϕn (x) → K ta có a(x)ϕn (x) → K. Thật vậy, ϕ(x) hàm sở a(x) hàm khả vi vô hạn nên a(x)ϕ(x) hàm sở. Đồng thời ϕn (x) ⇒ với đạo hàm cấp tích a(x)ϕn (x) có tính chất đó. Từ đó, f liên tục nên dãy số (af, ϕn (x)) = (f, aϕn (x)) hội tụ không R. Tức phiếm hàm af liên tục. Vậy af hàm suy rộng. Đặc biệt, f hàm suy rộng quy thì: (af, ϕ) = (f, a.ϕ) = f (x)[a(x)ϕ(x)]dx = [a(x)f (x)]ϕ(x)dx . Rn Rn 10 Chương NHẬN XÉT, MỞ RỘNG 3.1 Một số nhận xét tính địa phương hàm suy rộng Nhận xét 3.1.1. Hàm suy rộng f không lân cận điểm hàm không. Có nghĩa là, với ϕ ∈ K (f, ϕ) = 0. Nhận xét 3.1.2. Nếu hàm sở ϕ(x) không lân cận U giá F hàm suy rộng f (f, ϕ) = 0. Nhận xét làm rõ thêm ý nghĩa khái niệm "điểm thực chất" hàm suy rộng. Nhận xét 3.1.3. Sự thay đổi giá trị hàm sở ϕ lân cận giá F hàm suy rộng f không làm ảnh hưởng đến giá trị đại lượng (f, ϕ). Thật vậy, giả sử có thay đổi giá trị hàm sở ϕ lân cận F . Khi đó, điều tương đương với việc bổ sung vào hàm sở ϕ hàm sở khác ψ, với ψ lân cận giá F hàm f . Vì vậy: (f, ψ) = 0. Do đó: (f, ϕ + ψ) = (f, ϕ) + (f, ψ) = (f, ϕ). Nhận xét 3.1.4. Ta đến so sánh địa phương hai hàm suy rộng tuỳ ý: Hai hàm suy rộng f g gọi trùng miền mở G hiệu f − g miền 0. Vì vậy, nói: Nếu f g hai hàm suy rộng trùng lân cận điểm chúng trùng toàn bộ, tức (f, ϕ) ≡ (g, ϕ) với ∀ϕ ∈ K. Nói xác hàm suy rộng f g thực chất xác định hàm suy rộng. *Tóm lại, từ nhận xét cho phép ta khẳng định (như mệnh đề): Mỗi hàm suy rộng xác định cách đơn trị giá trị địa phương nó. Vì vậy, xây dựng hàm suy rộng cách tổng thể nhờ vào cho trước mang tính địa phương nó. 11 3.2 Các phép toán không gian D (Ω) số tính chất Ta kí hiệu D(Ω) không gian bao gồm hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω). Định nghĩa 3.2.1. Ta nói f hàm suy rộng Ω f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω). Tập tất hàm suy rộng Ω lập thành không gian D (Ω). Hàm suy rộng D (Ω) tác động lên ϕ ∈ Ω viết f, ϕ . Hai hàm suy rộng f, g ∈ D (Ω) gọi f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ Ω. Định nghĩa 3.2.2. Cho fk , f ∈ D (Ω), k = 1, 2, . Ta nói rằng, dãy {fk }∞ k=1 hội tụ đến f D (Ω) k tiến vô lim fk , ϕ } = f, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω). k→∞ Khi đó, ta viết D − lim fk = f . k→∞ Bây ta định nghĩa phép toán tuyến tính D (Ω). * Phép cộng: với f, g ∈ D (Ω) tổng f + g xác định sau: f + g : ϕ −→ f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ D(Ω) Khi f + g ∈ D (Ω), nghĩa f + g phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω). * Phép nhân với số phức: với λ ∈ C, f ∈ D (Ω) tích λf xác định sau: λf : ϕ −→ λf, ϕ = λ f, ϕ , ϕ ∈ D(Ω) Khi đó, λf ∈ D (Ω), nghĩa λf phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω). Hơn ta định nghĩa phép nhân với hàm C ∞ (Ω) Với φ ∈ C ∞ (Ω), f ∈ D (Ω) tích φf ∈ D (Ω) xác định sau: φf : ϕ −→ φf, ϕ = f, φϕ , ϕ ∈ D(Ω) Khi đó, φf ∈ D (Ω). Như vậy, D (Ω) không gian vectơ trường C. Hơn không gian đủ. Để chứng minh điều ta dựa vào bổ đề sau: ∞ Bổ đề 3.2.3. Cho dãy {ϕk }∞ k=1 D(Ω) mà D − lim ϕk = 0, {fk }k=1 k→∞ dãy Cauchy D (Ω). Khi đó, lim fk ϕk = 0. k→∞ Định lí 3.2.4. D (Ω) không gian đủ. Chứng minh 3.2.1. Lấy {fk }∞ k=1 dãy Cauchy D (Ω). Ta phải chứng minh có hàm suy rộng f ∈ D (Ω) mà f = D − lim fk . k→∞ Do dãy Cauchy D (Ω) nên với ϕ ∈ D(Ω) dãy { fk , ϕ }∞ k=1 dãy Cauchy C, tồn phần tử ký hiệu f, ϕ ∈ C mà lim fk , ϕ } = f, ϕ . {fk }∞ k=1 k→∞ 12 Rõ ràng tương ứng, ký hiệu f : ϕ → f, ϕ phiếm hàm tuyến tính từ D(Ω) vào C. Ta chứng minh f liên tục. Khi đó, f = D − lim fk . k→∞ Ta chứng minh phản chứng, giả sử có dãy {ϕk }∞ k=1 D(Ω) mà D − lim ϕk = 0, f, ϕk k → ∞, nghĩa có số c > k→∞ dãy con, để đơn giản kí hiệu ta giả sử | f, ϕk | = lim | fl , ϕk | > l→∞ c; k = 1, 2, . Do đó, với k có số lk cho | flk , ϕk | > c. Đặt fk = flk có (i) {fk }∞ k=1 dãy Cauchy D (Ω) (ii) D − lim ϕk = k→∞ (iii) | fk , ϕk | > c; k = 1, 2, mà theo bổ đề có lim | fk , ϕk | = nên xảy điều mâu thuẫn. Do f l→∞ liên tục. 13 KẾT LUẬN Như vậy, tiểu luận tác giả khảo sát số tính chất phép toán hàm suy rộng có đưa số nhận xét mở rộng. Tuy nhiên hạn chế kiến thức khuôn khổ đề tài tiểu luận nên số hướng mà tác giả chưa khai thác được. Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn bè. 14 Tài liệu tham khảo [1] Lê Viết Ngư, Hàm suy rộng (Giáo trình cho học viên cao học chuyên ngành Giải tích), 2011. 15 [...]... điều mâu thuẫn Do đó f l→∞ liên tục 13 KẾT LUẬN Như vậy, trong tiểu luận này tác giả đã khảo sát một số tính chất và các phép toán cơ bản của hàm suy rộng và có đưa ra một số nhận xét mở rộng Tuy nhiên do hạn chế về kiến thức và trong khuôn khổ của một đề tài tiểu luận nên còn một số hướng mà tác giả chưa khai thác được Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè 14 Tài liệu tham khảo [1] Lê Viết... hàm suy rộng f và g thực chất chỉ xác định một hàm suy rộng *Tóm lại, từ các nhận xét trên cho phép ta khẳng định (như là một mệnh đề): Mỗi hàm suy rộng xác định một cách đơn trị bởi các giá trị địa phương của chính nó Vì vậy, có thể xây dựng được hàm suy rộng một cách tổng thể nhờ vào sự cho trước mang tính địa phương của nó 11 3.2 Các phép toán trên không gian D (Ω) và một số tính chất ∞ Ta kí hiệu... nghĩa các phép toán tuyến tính trên D (Ω) * Phép cộng: với f, g ∈ D (Ω) tổng f + g được xác định như sau: f + g : ϕ −→ f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ D(Ω) Khi đó f + g ∈ D (Ω), nghĩa là f + g là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) * Phép nhân với số phức: với λ ∈ C, f ∈ D (Ω) tích λf được xác định như sau: λf : ϕ −→ λf, ϕ = λ f, ϕ , ϕ ∈ D(Ω) Khi đó, λf ∈ D (Ω), nghĩa là λf là phiếm hàm tuyến tính liên... toán đó phải liên tục và trong trường hợp các hàm suy rộng là chính quy thì phép toán tích đó là trùng với phép nhân thông thường của các hàm Nhận xét 2.2.3 Không thể định nghĩa tích của hai hàm suy rộng tuỳ ý theo công thức như là đối với các phiếm hàm chính quy Thật vậy, giả sử f và g là các hàm suy rộng chính quy tương ứng với các hàm f (x), g(x) khả tích địa phương trên Rn và với mọi ϕ(x) ∈ K; ta... αf là tuyến tính và liên tục trên K tức αf cũng là một hàm suy rộng Hoàn toàn tương tự trên, hàm suy rộng chính quy αf tương ứng với một hàm khả tích địa phương αf (x): (αf, ϕ) = α f (x)ϕ(x)dx Rn Bây giờ, trước khi đưa ra định nghĩa phép toán tích một hàm suy rộng với một hàm khả vi vô hạn, ta sẽ đưa ra một nhận xét để thấy rằng, không thể định nghĩa tích hai hàm suy rộng với đòi hỏi phép toán đó phải... + g, ϕ1 ) + α2 (f + g, ϕ2 ) (2.3) (2.4) ∗ Tính liên tục: Nếu dãy hàm cơ sở ϕ1 (x), ϕ1 (x), hội tụ về không trong K thì dãy số (f, ϕn )n và (g, ϕn )n hội tụ về không trong R (do f, g là hàm suy rộng) Khi đó dãy số (f + g, ϕn )n cũng hội tụ về không trong R Nói riêng: Nếu hàm f và g là hai hàm suy rộng chính quy tương ứng với các hàm khả tích địa phương f (x) và g(x) thì tổng f + g cũng là hàm suy rộng... phương trên Rn và với mọi ϕ(x) ∈ K; ta có công thức: (f.g, ϕ) = f (x)[g(x)ϕ(x)]dx = g(x)[f (x)ϕ(x)]dx Rn Rn Bây giờ, giả sử f và g là hai hàm suy rộng tuỳ ý mà ta cũng có: (f.g, ϕ) = (f, g.ϕ) = (g, f.ϕ), ∀ϕ ∈ K Khi đó chưa xét đến sự hội tụ của f ϕ và gϕ ta nhận thấy: các tích f ϕ và gϕ chưa chắc đã là hàm cơ sở Cụ thể f ϕ, gϕ chưa hẳn có đạo hàm liên tục mọi 9 cấp vậy nên (f.g, ϕ) chưa hẳn là hàm suy... + α2 (af, ϕ2 ) (2.6) (2.7) Ngoài ra, khi ϕn (x) → 0 trong K thì ta cũng có a(x)ϕn (x) → 0 trong K Thật vậy, vì ϕ(x) là hàm cơ sở và a(x) là hàm khả vi vô hạn nên a(x)ϕ(x) là hàm cơ sở Đồng thời khi ϕn (x) 0 cùng với đạo hàm mọi cấp của nó thì tích a(x)ϕn (x) cũng có tính chất đó Từ đó, do f liên tục nên dãy số (af, ϕn (x)) = (f, aϕn (x)) hội tụ về không trong R Tức là phiếm hàm af liên tục Vậy af là... Hơn thế nữa ta còn định nghĩa phép nhân với một hàm trong C ∞ (Ω) Với φ ∈ C ∞ (Ω), f ∈ D (Ω) tích φf ∈ D (Ω) được xác định như sau: φf : ϕ −→ φf, ϕ = f, φϕ , ϕ ∈ D(Ω) Khi đó, φf ∈ D (Ω) Như vậy, D (Ω) là một không gian vectơ trên trường C Hơn nữa nó là một không gian đủ Để chứng minh điều này ta dựa vào bổ đề sau: Bổ đề 3.2.3 Cho dãy {ϕk }∞ trong D(Ω) mà D − lim ϕk = 0, và {fk }∞ là k=1 k=1 k→∞ dãy... , ϕ } = f, ϕ {fk }∞ k=1 k→∞ 12 Rõ ràng tương ứng, ký hiệu f : ϕ → f, ϕ là phiếm hàm tuyến tính từ D(Ω) vào C Ta sẽ chứng minh f là liên tục Khi đó, f = D − lim fk k→∞ Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, giả sử có một dãy {ϕk }∞ trong D(Ω) mà k=1 D − lim ϕk = 0, nhưng f, ϕk 0 khi k → ∞, nghĩa là có một số c > 0 và k→∞ một dãy con, để đơn giản kí hiệu ta có thể giả sử | f, ϕk | = lim | fl , ϕk | > l→∞ . tục. 13 KẾT LUẬN Như vậy, trong tiểu luận này tác giả đã khảo sát một số tính chất và các phép toán cơ bản của hàm suy rộng và có đưa ra một số nhận xét mở rộng. Tuy nhiên do hạn chế về kiến thức và trong. . . . . . . . . . . . 5 2 CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM SUY RỘNG 7 2.1 Các tính chất của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Các phép toán của hàm suy rộng . . . thành và phát triển của giải tích. Trong khuôn khổ của một tiểu luận, Tôi chỉ nêu ra một số kiến thức về tính địa phương của hàm suy rộng và các phép toán cơ bản của hàm suy rộng. Nội dung của tiểu