Luận văn ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

ĐÀO QUANG HƯNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER LUẬN VĂN THẠC Sĩ HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ĐÀO QUANG HƯNG c k - KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI - 2014 Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. NGUYỄN VĂN LỜItácCẢM ƠN kinh nghiệm quý báu học tập HÀO. Thầy hướng dẫn truyền đạt cho giả nghiên cứu khoa học. Thầy quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, thầy,cô trường Đại học sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo Tỉnh Vĩnh Phúc,Lãnh đạo UBND Huyện Tam Đảo Phòng GD & ĐT Huyện Tam Đảo tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả ĐÀO QUANG HƯNG Tôi xin cam đoan. Luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS. NGUYỄN VĂN HÀO. Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc. Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả LỜI CẢM ƠN ĐÀO QUANG HƯNG Mục lục Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết chuỗi số lý thuyết chuỗi hàm nghiên cứu từ sớm gần mang tính hoàn thiện cách chuẩn mực. Các kết đẹp lĩnh vực phải nói đến công trình tính toán nhà toán học L. Euler số nhà Toán học đương thời. Tuy nhiên kết trước lĩnh vực phải kể đến số nhà Toán học Leibniz, Newton cộng họ. Lý thuyết chuỗi hình thành cách tự nhiên xuất phát từ công trình tính toán nhà toán học thời từ nhiều lĩnh vực thực tế. lĩnh vực này, theo tiến trình lịch sử có lẽ phải kể đến quan tâm nhà Toán học chuỗi hình học + X + X2 + X3 + • • • . Chuỗi hình học xuất kết không kết thúc phép chia . vấn đề hôi tu chuỗi theo nghĩa hiên đai 1—X xuất từ sớm ý nghĩ nhà Toán học. Điều không ngạc nhiên nhà Toán học L. Euler sử dụng biểu diễn chuỗi hình học l + x + x2 + x3 + -- - = —— -------, 1—X để khẳng định — + — + . = -; với X = — Ẩi — + 21 — 22 + • ■ • = với X = —2. 1------------------------z = —z =1- X + X - X + X - X + . . . , 21 + X + X - X với X = ta lại nhận - + - + . = |. Tương tự thế, từ biểu diễn V \1 —£ = + 2x + 3rc2 + 4a; + . L. Euler khẳng định đẳng thức sau l-2 + 3- 4+ . = -; với rc = -1 . Điều thực tế rằng, nhà Toán học đương thời nghi ngờ kết đưa đây. Tuy nhiên, họ hiểu biết cách thấu phủ định hay chấp nhận kết thế. Đương thời lúc đó, người ta nghi ngờ khẳng định trên. Để thấy điều ta xét chuỗi - + - + ., theo cách suy luận có kết —. Thế nhưng, từ biểu diễn Cauchy Abel người đưa khái niệm hội tụ chuỗi số theo quan điểm đại ngày nay. Quan điểm nhà Toán học xét hội tụ chuỗi số thông qua hội tụ dãy tổng riêng (s n). Trở lại vấn đề ta xét chuỗi 00 7Ỉ =0 CÓ dãy tổng riêng (s„) = l,0 ,1 ,0 , ! , • • • , không tồn giới hạn. Tuy nhiên, có ý tưởng nghĩ đến dạng trung bình số học , SQ + Si + . + s n n ~ n+l ’ s n = - [ + (—l)71], thấy (n + 1) + 71 -[1 + (-1) ] ị s" = (n + 1) = + 4(n + 1) ' Theo nghĩa dãy s' n hội tụ tới giá trị - dẫn đến đẳng thức nghịch lý Euler Từ đó, người ta đưa khái niệm có tính thử nghiệm sau: Dãy 00 tổng riêng (s n) chuỗi Ỵ2 a n gọi "hội tụ" tới giới hạn, 71=0 có tổng s dãy trung bình số học Chỉ đơn giản suy luận Euler chưa có sở. / SQ + Si + . . . + s n si = — 71 n+1 hội tụ đến s. Tính thích hợp khái niệm minh chứng oo 71 = chuỗi (— l) n trở thành chuỗi hội tụ "theo nghĩa mới" với tổng Có hai điều cần lưu ý đưa khái nệm sau (ỉ) Dãy tổng riêng chuỗi (s^) hội tụ theo nghĩa thông thường tới s hội tụ đến s theo nghĩa mới. 00 oo (ii) Nếu hai chuỗi hội tụ theo nghĩa cũ y2 a n = A y2 bụ = B 71 = 71 = oo 00 c chuỗi tích ^2 n — ^2 (a0 b n + + ■■■ + a n b o) không 71=0 71 = thiết hội tụ theo nghĩa này. Thế ta thấy n k=0 CQ + Ci + + C n n + oo với C n = k- Điều có nghĩa chuỗi tích ^2 c n lại hội tụ 71=0 c theo nghĩa mới. Ngoài dạng trung bình số học đây, gợi ý cho nghiên cứu đến trình khác dùng thay số dạng khái niệm hội tụ. Việc áp dụng Cị —quá trình vào nghiên cứu chuỗi Fourier nghiên cứu Fejér, việc nghiên cứu điều kiện để chuỗi Fourier hàm f(x ) hội tụ điểm x ữ . Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết chuỗi phân kỳ lý thuyết chuỗi Fourier, nên tác giả chọn đề tài. “Cfc—khả tổng áp dụng lý thuyết chuỗi Fourier”. 2. Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ áp dụng Ck ~quá trình vào việc nghiên cứu chuỗi Fourier Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ lý thuyết chuỗi Fourier. 3. Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng người hướng dẫn. 4. Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống lý thuyết chuỗi phân kỳ, chuỗi Fourier, Ck ~quá trình ứng dụng Ck ~quá trình việc nghiên cứu lý thuyết chuỗi Fourier. r 113 f a ữ = — f ( x ) d x = r ; T ĩ J 114 115 với n = , , t a c ó 116 an = -J f(x) 2TT 117 118------------------------------------ COS nxdx = 0; 119---------------------------------120 121 122 Theo định lý Fejér, chuỗi s(x) hội tụ đến f ( x ) , với X Ф k ĩ ĩ , к E l i . 2 Tại điểm X = 2&7Г, s ( x ) hội tụ đến giá trị trung bình cộng giới 123-------------------------------------------------------------------------------hạn trái giới hạn phải điểm đó. Nghĩa bằng--------------------------------------- —— = 7Г. 124 125 Hệ 3.1. N ế u h m f ( x ) l i ê n t ụ c t ro n g k h o ả n g о < X < n v c ó / (0) = /(2-7t); t h ì c h u ỗ i F o u r i e r c ủ a h m f ( x ) l C ị — k h ả t ổ n g v i t ổ n g ỉ{x), với X. 126 Hệ 3.2. N ế u h m f { x ) l i ê n t ụ c t ro n g k h o ả n g о < X < t ĩ ; /(0) = / (27t) v l C i — k h ả t ổ n g t h ì t a c ó t h ể t h i ế t l ậ p m ộ t d ẫ y c c h m n { x ) đ ề u t i ế n d ầ n đ ế n h m f ( x ) v i m ọ i X. N g o i r a , v i £ > c h o t r c t a xác định số tụ nhiên N cho với n > N ta có 127 128 C h ứ n g m i n h . Ta cần chứng minh bất đẳng thức 129 130 W n { x ) - f ( x )I < e . кп(я) - /MI < £ ■ Đặt 131 i p { t ) = i p ( t , x ) = ị [ f { x + 21 ) [f(x - 21 ) - 132 từ giả tục 133 £ > thiết - f ( t )] + hàm f ( x ) tuần hoàn liên điểm X với I cho trước, ta chọn (5 > cho f ( x ± 21 ) — f ( x ) I < với X € [0, 27г] . 134 2 135 Như biết 136 Ĩ 137 138 & d £ < 2' /. - (sinnA Hơn nữa, hàm /(x) hàm tuần hoàn, liên tục điểm bị chặn hay \f(x)\ < K với X . Do đó, với X , t ta có 139 \ < p ( t ) ị = \[...]... định lý (1.1) suy ra chuỗi a n b n hội tụ 71=1 1.1.4 Chuỗi số dương oo Định nghĩa 1.2 Chuỗi số a n được gọi là chuỗi dương nếu a n > 0; 71=1 với mọi n > 1 Hiển nhiên, dãy tổng riêng của chuỗi số dương s n > 0; với mọi n = 0,1, 2, và là dãy tăng Do đó ta có định lý sau 00 Định lý 1.3 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương ỵ2 an hội tụ là dẫy 71=1 tổng riêng sn của nó bị chặn trên oo Chứng minh Vì chuỗi. .. thế, với mọi n > N ta nhận được \sn — s| < £ Vậy lim s n = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s n—toc Chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý (1.1) gọi là chuỗi Leibniz Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ 1.1.6 00 71=1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 00 Định nghĩa 1.4 Chuỗi số ^2 a n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 71= 1 \ữ n \ hội tụ 00 00 Khi chuỗi a n hội tụ nhưng chuỗi ỵ2 \an\ phân kỳ thì chuỗi. .. (Sn+i) không có giới hạn Do đó, với \q\ = 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ Ví dụ 1 2 Cho chuỗi số 71—1 Ta có 111 1 11 n n+1 Từ đó, suy ra limSrc = 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ với tổng bằng 1 1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dể chuỗi (1.1) hội tụ điều kiện cần và đủ là với £ > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = nữ{e) sao cho với mọi n > nữ (e) và với mọi số nguyên dương p, ta có... Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} có giới hạn hữu hạn Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương щ =Щ (e)sao cho vớimọi n > Щ và với mọi số nguyên dương p, ta có l^n+p I < Điều này tương đương với Ia7i+1 + a 2 + + a I < £ n+ n+p Vậy định lý đã được chứng minh Hệ quả 1.1 (Điều kiện cần đối với sự (1.1) hội tụ củachuỗi) Nếu chuỗi hội... thứ к của chuỗi (1.4), s n là tổng 00 riêng thứ n của chuỗi Ỵ2 a n Ta có 71=1 tk ^7ỉjfc • Do đó, từ lim s n = s suy ra lim t k = lim s nk = s 71—>0071—>00 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 1.2 (Dấu hiệu Dirichlet) Nếu chuỗi (1.1) có dẫy các tổng oo riêng bị chặn và bn là dẫy số giảm dần đến 0 thì chuỗi anbn hội tụ 71=1 Chứng minh Từ giả thiết cho ta thấy, đối với dãy tổng riêng s n của chuỗi (1.1),... Định lý 1.10 (Liên hệ giữa tính chất hội tụ và hội tụ tuyệt chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ 00 Chứng minh Giả sử chuỗi n— 1 a n hội tụtuyệt đối Khi đó, 00 71=1 đối) Mọi theo tiêu Cauchy với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với mọi số nguyên dương Pi ta có |®n+l “ỉ” ®n+2 “t- ••• “t- O'n+p I < Iữn+l| + |®n+2 I + + I Như thế, theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi ữ n hội tụ Ví dụ 1.6 Xét chuỗi. .. ; với mọi n > n0 và mọi X € A 1.2.5 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm 00 Định lý 1.15 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm f n ( x ) hội tụ đều trên 71=1 tập A khi và chỉ khi với mọi £ > 0 ; tồn tại số nguyên dương n0 = n0(£) sao cho \f n+1 (x) + + f n+p (ж)| < e; (1.14) với mọi n > nữ, mọi p £ N* và mọi X £ A oo Chứng minh Thật vậy, chuỗi Ỵ2 f n ( x ) hội tụ đều trên A khi và chỉ n= 1 khi dãy các tổng. .. s n o I + |sno s \ . muốn tìm hiểu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier, nên tác giả đã chọn đề tài. “Cfc khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi Fourier . 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên. cứu Nghiên cứu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và áp dụng Ck ~quá trình vào việc nghiên cứu chuỗi Fourier Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 9 Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier. 3 HƯNG KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI LÝ THUYET CHUỖl FOURIER LUẬN VĂN THẠC Sĩ HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO QUANG HƯNG c k - KHẢ TỎNG VÀ ÁP DỤNG Đối VỚI