Định lý 1.12. (Tính liên tục). Giả sử {fn (x)} là dẫy các hàm liên tục tại a € A, hội tụ đều trên A về hàm ỉ { x ) . Khi đó f ( x) liên tục tại a.
Chứng minh. Trước hết, do dãy hàm {f n (x)} hội tụ đều về hàm f(x ) trên tập A nên với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương Щ sao cho
\ f n (ж) - f ( x ) \ < (1.10) với n > Щ và mọi X € A. Đặc biệt, do a G A nên ta cũng có
Ị f n ( a ) ~ f ( a ) Ị < (1.11) Lại vì hàm f n ( x ) liên tục tại a nên với £ > 0 đã cho tồn tại số ỏ > 0 để khi \ x —
a \ < ỗ thì ta có
\ f n { x ) - f n ( a ) \ < ị - (1.12) Như vậy, với mọi X G A mà \ x — a| < ỏ và từ ba bất đẳng thức trên ta có đánh giá I/ (я) - / (°0I = I/ (ж) - ỉ n (ж) + ỉ n (ж) - f n ( à ) + f n (a) - / ( a ) \
< I/ ( x ) - f n (я)| + |/„ (ж) - f n (ữ)| + |/„ ( a ) - / (a)|
£ £ £
< з + з + з = г -
Điềuđó chứng tỏ hàm f ( x) liên tục tại a . Các định lý dưới đây về việc
qua giới hạn dưới dấu tích phân và đạo hàm của một dãy hàm, chúng
tôi chỉ nêu ra mà không chứng minh (chi tiết ta có thể xem trong tài liệu tham khảo [1 ], [2 ].)
Định lý 1.13. (Qua giới hạn dưới dấu tích phân). G i ả s ử d ẫ y h à m { f n { x ) } gồm các hàm liên tục hội tụ đều về hàm ĩ { x ) trên đoạn [o, 6 ]. Khi đó, hàm
ĩ { x ) liên tục trên đoạn [a, b] và ta có
b b
lim / f n (X ) dx = f (X ) dx.
00 J J
a a
Định lý 1.14. (Qua giới hạn dưới dấu đạo hàm). Giả sử dẫy hàm {ỉn (x)} là dãy các hàm khả vi và hội tụ điểm trên tập A. Khi đó, Nếu dẫy hàm f n ( x ) hội tụ đều về hàm f ( x) trên tập Ả thì hàm f(x) khả vi trên tập A và ta có
f (x) = lim f n ( ж ) .
n—>00
1.2.4. Một số khái niệm cơ bản về chuỗi hàm
Định nghĩa 1.6. Cho dãy hàm {/„ (x)} xác định trên tập А с к. Та gọi tổng vô hạn
00
f i { x ) + f2{ x ) + . . . + fn( x ) + . . . = (Ll3) 71=1
là một chuỗi hàm xác định trên A.
+ Hàm f n ( x ) gọi là số hạng thứ n của chuỗi.
+ Hàm sn( x ) = f ị ( x ) + f2{ x ) + ... + /n(x) gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.
Điểm X £ A gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1.13) nếu dãy tổng riêng {^(ж)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này. Nếu A q là miền hội tụ của dãy {s^æ)} thì ta cũng gọi Aữ là miền hội tụ của chuỗi
(1.13) . Nếu sn( x) =4 f { x) thì ta cũng viết
00
71=1
và gọi f ( x) là tổng của chuỗi hàm.
oo Chuỗi hàm (1.13) gọi là hội tụ tuyệt đối tại a € A nếu chuỗi số I f n
(ữ)|
71= 1 hội tụ.
Định nghĩa 1.7. (Sự hội tụ điểm và sự hội tụ đều) Ta nói chuỗi hàm
(1.13) hội tụ điểm trên A tới hàm f ( x ) , nếu dãy tổng riêng {sn(2 ;)} hội tụ điểm trên A tới f ( x ) . Điều đó, có nghĩa là với mọi X G A và mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương nữ = n0 ( e , x ) sao cho
1^71 ( % ) — ĩ 0*01 < £' ỉ với mọi n > n0.
Trong trường hợp dãy hàm {sn(rz:)} hội tụ đều tới hàm f ( x ) trên A , thì oo
ta nói chuỗi hàm f n ( x ) hội tụ đều về hàm /(x ) trên A . Cuối cùng, 71=1
theo ngôn ngữ Cauchy, ta có thể phát biểu như sau
00
Định nghĩa 1.8. Chuỗi hàm 2 2 f n ( x ) được gọi là hội tụ đều về hàm 71=1
f { x ) nếu với mọi £ > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương n0 = n0(£) sao cho
ị sn M - f ( x)I < e; với mọi n > n0 và mọi X € A.
1.2.5. Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm
00
Định lý 1.15. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm f n ( x ) hội tụ đều trên
71=1
tập A khi và chỉ khi với mọi £ > 0 ;tồn tại số nguyên dương n0 = n0(£) sao cho \fn+1 (x) + ... + fn+p (ж)| < e; (1.14)
với mọi n > nữ, mọi p £ N* và mọi X £ A.
oo
Chứng minh. Thật vậy, chuỗi Ỵ2 f n ( x ) hội tụ đều trên A khi và chỉ
n= 1
khi dãy các tổng riêng sn( x) hội tụ đều trên A. theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của dãy hàm, điều đó có nghĩa là với mọi £ > 0 cho trước, tồn tại số nguyên
dương n0 = sao cho
|sn+p (ж) - s n (x)| < e\
với mọi n > n0, mọi p € N* và mọi X € A. Vậy ta có điều phải chứng minh.
00
Định lý 1.16. (Dấu hiệu Weierstrass). Cho chuỗi hàm số f n { x ) . Nếu
71=1
với mọi số nguyên dương n, ta có
\fn{x)\ < cn; với mọi X € A
ОС
và chuỗi số Ỵ2 cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều
71=1
trên A.
ОС
Chứng minh. Từ giả thiết, do chuỗi 22 c n hội tụ nên với £ > 0 cho
П— 1 trước, tồn tại số nguyên dương Щ sao cho
Cn+1 "i" ••• 4" Cn+P ^ với mọi n > n0 và mọi p € N*. Từ đó, ta có
p
l/n+l (*^) “b “b fn+p (*^) I — I fn+1 (*^) I “b “b I fn+p (*^) I — ^ ^ Cn+i £]
г— 1 Do đó f n ( x ) — ¥ f (x ) . Vậy ta có điều phải chứng minh.
00
với mọi X € A : n > Щ và p € N*. Vậy chuỗi hàm ^2 f n (x) hội tụ tuyệt
71=1
__N A
đối và đều trên A.
Ví dụ 1.8. Chuỗi hàm số
hội tụ tuyệt đối và đều trên M. Thật vậy, ta có lcos n xI 1
< —; với mọi n v à mọi X € ж .
n2 + X2 n2
00 ^
Bởi vì, chuỗi ^2 о hôi tu nên chuỗi đã cho hôi tu tuyêt đối. 71=1 n
Định lý 1.17. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho hai dãy hàm (an(x)} và {òn(x)} cùng xác định trên tập A. Giả sử
ОС
(ỉ) Dẫy tổng riêng sn{ x ) của chuỗi hàm an{ x ) bị chặn đều trên
71=1
A, nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho
< M; với mọi n G N* và mọi X € A.
(i) Dẫy hàm {bn (x)} hội tụ đều về 0 trên A.
ОС
Khi đó, chuỗi hàm an( x ) bn( x) hội tụ đều trên A.
71=1
Chứng minh. Theo giả thiết { b n (ж)} là dãy đơn điệu gảm và b n =4 0. Khi đó với mọi £ > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = n0 (e) sao cho
với mọi n > Щ và với mọi X € A. Từ bất đẳng thức này kết hợp với giả Do đó f n ( x ) — ¥ f (x ) . Vậy ta có điều phải chứng minh.
C OS S £
thiết của định lý, ta có n+m ỵ 2bk { x ) ak( x ) = Ỵ ] bk( x ) [ sk( x ) - Sfc_i(ạg)] k=n = |-Òn(aOsn-l(aO + [ bn( x ) - 0 п_1 (жЖ(ж)| + ... -b [ôn_|_m_I(ж)òn_|_m (ж)]5п_|_ш_1 (ж) -|- òn_|_(x)sn_| _m(ж)
^ Af[Òn(íc) “b (Òn(íc) &n+l(^)) “b ••• “b ipn+m — 1
(^) ^гг+ш(*^)) “Ь ^п+ш(*^)]
= 2М Ъп{ х ) < e ;
00
với mọi ж € A, mọi n > Щ và với m € N*. Vậy chuỗi hàm ^ а7 1 (ж)0я(ж)
hội tụ đều trên A.
Định lý 1.18. (Dấu hiệu Abel). Cho hai d ã y hàm {^(æ)}
và {0 п(ж)} cùng xác định trên tập A. Giả sử
00
(i) Chuỗi hàm an { x ) hội tụ đều trên A;
71=1
(гг) Dãy hàm {bn (x)} đơn điệu với mọi X £ A và bị chặn đều có nghĩa là với mọi i G Ấ , dãy hàm {bn (ж)} là dãy đơn điệu và tồn tại số M > 0, sao cho
|òn(x)| < M; v ớ i m ọ i n € N* v à m ọ i
X € A .
00
Khỉ đó, chuỗi ^2 an { x ) bn{ x ) hội tụ đều trên A. n=l
Chứng minh. Từ giả thiết, với mọi г > 0 tồn tại số nguyên dương Щ — nữ{ e ) để với mọi n > n0, ta có
(1.15) 71
với mọi X € A và mọi số nguyên dương ra. Đặt ơi(rc) = an+1(x) = sn +i ( x ) - sn( x ) ơ2{ x ) = an+1(x) + an+2{x) = sn+2{x) - sn( x ) (*E) — ®n+l(*^) “ỉ” ••• “ỉ” ®n+l(*^) — ®ra+m(*£) S n W - K h i đ ó , t a c ó £ < 3 M; v ớ i “ r á -7' = v à oc ^ ^ (íc)6 /j (íc) ồTì-ị-iQíi -|-&n+2(^2 “1 “ “1 “ ^n+m(^m& m — l) 71=1 (^n+l ^ra+2)^l “1“ ••• “1“ ipn+m — 1 bn+rn )^771— 1 “1“ ^ 71 + 771 • Bây giờ, ta giả sử {6 ^(2 ;)} là dãy đơn điệu tăng (trường hợp đơn điệu giảm được chứng minh tương tự). Khi đó, với mọi
n > nữ ta có n + m — (l^+lí^) ^7i+m(*^)| “1“ |^7i+m(*^)|) < e; với mọi X € A. 00
Do đó chuỗi hàm an { x ) bn{ % ) hội tụ đều trên A.
71=1
1.2.6. Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều
Từ các tính chất về sự hội tụ đều của dãy hàm, ta dễ dàng nhận được các tính chất sau về sự hội tụ đều của chuỗi hàm.
n+ Ỵ ] ak( x ) bk( x) < 3 k=n Ỵ ] \ bk{ x ) - bk+1(x)\ + \bn+m(x)\ k=n
Định lý 1.19. Cho А С К mà thông thường A = [a, b] hoặc A = (а, Ъ).
oo
Nếu chuỗi ^2 fn (x) các hàm liên tục trên A, hội tụ đều và có tổng ỉà
71=1
hàm f(x) thì hàm f(x) liên tục trên A.
ОС
Định lý 1.20. Cho chuỗi Yl fn (X) các hàm liên tục trên đoạn [ a , b ] .
71=1
Nếu chuỗi hội tụ đều và có tổng bằng f ( x ) t h ì h à m f ( x ) cũng khả tích và ta có
oo Định lý 1.21. C h o c h u ỗ i Ỵ 2 f ( x ) c á c h à m c ó đ ạ o h à m ỉ 'n{ x ) l i ê n t ụ c 7 1 = 1 00 t r ê n đ o ạ n [ a , b ] . N ế u c h u ỗ i ^ 2 f ix) h ộ i t ụ c ó t ổ n g l à h à m f ( x ) , c h u ỗ i 71=1 00 E f ' n (.X ) h ộ i t ụ đ ề u t r ê n đ o ạ n [ a , b ] t h ì h à m /( x ) c ó đ ạ o h à m t r ê n đ o ạ n 71=1 [ a , b ] và 00 /' (æ) = ^ĩ'n (æ)- п— 1