Để minh họa cho vấn đề tại sao người ta lại quan tâm đến việc nghiên cứu về chuỗi phân kỳ và đưa ra một số quá trình giới hạn theo nghĩa mới của chuỗi, ta trở lại xét chuỗi sau
oo
(-1)
71 = 1 - 1 + 1 - 1 + X e A .
n—0
oo
Điều đó, có nghĩa là chuỗi hình học Ỵ 2 xn với X = — 1, hoặc dãy 71 = 0
(s„) = l, 0, 1, 0, 1, 0,...,
đã coi như không được xem xét theo nghĩa hội tụ cũ vì các số hạng của dãy này không tiến tới một giới hạn xác định. Tuy nhiên, các giá trị của dãy giao động giữa 0 và 1. Điều đó gợi ý đến việc thiết lập trung bình
Bởi vì s n = -[1 + (—l)n ] 5 nên thấy rằng 2
(n + 1) + -[1 + (-1)71] I l +
Srỉ =
2(n + 1) = 2 4(n + 1) '+
Theo nghĩa hội tụ cũ thì dãy (s^) có giới hạn bằng Như thế, bằng việc lấy trung bình số học như trên, ta có thể giải thích được phần nào giả định nghịch lý của L. Euler
1 - 1 + 1 - 1 + - 4
s „ = ---— ---; với moi n = 0,1, 2,...
n + 1
hội tụ theo nghĩa cũ đến một giới hạn s , thì dãy (sn) hay chuỗi Ỵ 2 a n
n=0
cũng được coi là hội tụ theo nghĩa mới tới giới hạn có tổng s . Để có khái niệm mới này, ta cần lưu ý hai điểm như sau
(i) Mọi dãy s n hội tụ theo nghĩa thông thường tới s cũng hội tụ đến s theo nghĩa mới nghĩa mới. Ngoài dạng trung bình số học như trên, cũng gợi ý cho ta
đi sâu nghiên cứu đến một số quá trình khác có thể dùng thay thế cho khái niệm hội tụ theo nghĩa cũ. Chính vì thế, ta cần đưa ra một số khái niệm về quá trình để nghiên cứu chuỗi phân kỳ, trong phạm vi đề tài này chúng tôi chỉ trình bày về C ỵ —quá trình.