1.3.1. Khái niệm về chuỗi lũy thừa
Định nghĩa 1.9. Chuỗi hàm có dạng
00
2 ~2anxn, (1.16)
71=0
trong đó a ữ , Oi, a2,... là các hằng số, hay tổng quát hơn ОС
ỵ 2a
n { x - x o)n, (1.17)
trong đó a0, d ị , a 2 , . . . là các hằng số được gọi là chuỗi lũy thừa. Điểm x ữ được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa.
Nhận xét
1) Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại điểm XQ.
2) Nếu ta đặt y = ( x — x ữ) thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng ОС
5 ~ 2 a n y n • (1-18) 71 = 0
00
chuỗi có tâm tại у = 0. Do đó, ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi a n x ĩ l là
71 = 0 đủ.
1.3.2. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Định lý 1.22. ( Định lý Abel ). Cho chuỗi lũy thừa
(1.19)
N ế u c h u ỗ i l ũ y t h ừ a (1.18) h ộ i t ụ t ạ i đ i ể m X o Ỷ 0 t h ì n ó h ộ i t ụ t u y ệ t đ ố i t ạ i m ọ i đ i ể m X m à |ж| < |ж 0| •
oo
Chứng minh. Vì chuỗi Ỵ 2 a n x Q n hội tụ nên lim a n x ữ n = 0. Do đó dãy n=
о n ^°°
{ a n x Q n } bị chặn, tức là tồn tại số к > 0 để
\ a n x ữ n \ < k , với mọi n = 0,1, 2,.... Khi đó, với mọi X mà |rr| < |rr0|j đặt q = — thì \ q \ < 1. Từ đó, ta có
X o đánh giá \ anX Qn\ = \ an( x0qn) \ = \ anx0n\ , \ q \n < k . \ q \n. 00 anxn = a0 + CLịX + a2x2 + .... 71=0
00 00
Vì chuỗi hội tụ nên chuỗi an%n hội tụ tuyệt đối và đều theo
71=1 71=1
định lý (1.15).
00
Từ định lý Abel suy ra: Nếu chuỗi a n X n phân kỳ tại điểm xữ thì nó
n=0 phân kỳ tại mọi X mà |a;| > xữ.
Bởi vì, chuỗi lũy thừa (1.18) luôn có ít nhất một điểm hội tụ X = 0 nên theo nguyên lý Supremum, ta có thể đặt
R = sup <
Định nghĩa 1.10. số thực R > 0 trên đây được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, còn khoảng ( - R , R ) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
00Định lý 1.23. (Cauchy - Hadamard) C h o c h u ỗ i l ũ y t h ừ a Ỵ 2 a n x n . N ế u