Bài toán trị riêng trong phương pháp phân tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục

Những cây cầu, đặc biệt là dạng cầu liên tục, do những ưu điểm của nó về mặt kinh tế, mỹ quan... được sử dụng như những phương án tối ưu trong trường hợp phải vượt qua những khoảng cách lớn trên sông hay thung lũng.

Trần Bá Thμnh

đề tμi luận văn

Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn

giải cho hệ dầm liên tục

luận văn thạc sỹ kỹ thuật

Hà Nội, Năm 2008

Trần Bá Thμnh

đề tμi luận văn

Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn

Giải cho hệ dầm liên tục

Chuyên nghành: Xây dựng công trình ngầm, mỏ và các công trình dặc biệt

luận văn thạc sỹ kỹ thuật

bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn

giải cho hệ dầm liên tục

Tên đề tài:

Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn

giải cho hệ dầm liên tục

Chuyên ngành: Xây dựng công trình ngầm, mỏ và các CT đặc biệt

Ngày giao đề tài luận văn: Tháng 6/2007

Ngày hoàn thành luận văn: Tháng 5/2008

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác./

Tác giả luận văn

Trần Bá Thành

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM LIÊN

TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH 4

2.1 Xây dựng tính chất phần tử 4

2.1.1 Ma trận độ cứng phần tử 4

2.1.2 Ma trận khối lượng 9

2.1.3 Ma trận chuyển toạ độ 10

2.1.4 Thuật toán xây dựng và lưu trữ các ma trận Ví dụ minh họa 13

2.2 Phương trình trị riêng 24

2.2.1 Tổng quan 24

2.2.2 Bài toán trị riêng trong phương pháp PTHH 26

CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG 31

3.1 Các dạng của bài toán trị riêng 31

3.2 Những tính chất chủ yếu của trị riêng, vectơ riêng 32

3.2.1 Tính chất của véctơ riêng 32

3.2.2 Đa thức đặc trưng của bài toán trị riêng 34

3.2.3 Trượt trị riêng 35

3.3 Chuyển từ bài toán trị riêng tổng quát sang bài toán trị riêng chuẩn 36

3.3.1 Sự cần thiết 36

3.3.2 Các bước chuyển từ bài toán tổng quát sang bài toán chuẩn 36

3.4 Các kỹ thuật giải áp dụng trong giải bài toán trị riêng 38

3.4.1 Quy rút tĩnh học 39

3.5.2 Một số lưu ý cơ bản 44

3.6 Phương pháp lặp vectơ 45

3.6.1 Lặp ngược vectơ 46

3.6.2 Lặp xuôi vectơ 49

3.6.3 Trượt trị riêng trong lặp vectơ 52

3.6.4 Lặp thương số Rayleigh 52

3.6.5 Tốc độ hội tụ trong phương pháp lặp 54

3.7 Phương pháp biến đổi ma trận hay chéo hóa ma trận 59

3.7.1 Phương pháp xoay Jacobi dùng cho bài toán chuẩn 61

3.7.2 Phương pháp Jacobi dùng cho bài toán tổng quát 63

3.7.3 Phương pháp lặp ngược Householder – QR 70

3.8 Phương pháp lặp đa thức và phương pháp lặp với dãy Sturm 74

3.8.1 Lặp đa thức rõ 74

3.8.2 Lặp đa thức ẩn 75

3.8.3 Lặp dựa trên tính chất dãy Sturm 75

3.9 Phương pháp lặp không gian con 76

3.9.1 Sơ bộ về phương pháp lặp không gian con 76

3.9.2 Nội dung phương pháp lặp không gian con 76

3.9.3 Một số chú ý khi chọn vectơ lặp ban đầu 79

3.9.4 Sự hội tụ 80

CHƯƠNG 4: THỬ NGHIỆM LẬP TRÌNH TRÊN MATLAB 82

4.1.3 Số liệu kết quả tính SLR 84

4.2 Tổ chức chương trình và một số hàm cơ bản 84

4.2.1 Phát sinh kết cấu 84

4.2.2 Xây dựng phương trình trị riêng 84

4.2.3 Giải bài toán trị riêng 88

4.3 Tính toán minh họa 88

KẾT LUẬN 94

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 95

PHỤ LỤC 97

PHẦN MỞ ĐẦU Tên đề tài

“Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giải cho hệ dầm liên tục”

Lý do chọn đề tài

Trong việc tính toán kết cấu các công trình, đặc biệt là các công trình cầu việc phân tích động lực học có vai trò rất quan trọng Bởi hầu hết các cây cầu nếu bị hư hỏng, gãy đổ phần lớn đều do ứng xử động học của nó Mà điển hình là các ứng xử liên quan đến tác động động đất, tác động gió, va xô tàu thuyền Ví dụ như cầu đường sắt Kevda (Nga)

bị phá hủy năm 1875, cầu Menkhienxtein (Thụy Sỹ) bị phá hủy năm

1891, cầu dàn Quebec (Canada) bị phá hủy năm 1907, cầu dàn Mojur (Nga) bị phá hủy năm 1925

Điều 4.7.1.5 của tiêu chuẩn thiết kế cầu 22 TCN 272-05 có ghi: “trừ

khi được chỉ rõ, phải sử dụng các dạng và tần số của dao động riêng không giảm rung để đáp ứng yêu cầu thiết kế về ứng xử động học đàn hồi” Như vậy, có thể thấy mọi tính toán liên quan đến ứng xử động

lực học đều có liên quan đến tần số và dạng dao động riêng

Nhằm tìm hiểu và đóng góp một phần vào lĩnh vực này, học viên đã chọn hướng nghiên cứu là cách tính tần số dao động riêng của kết cấu, đặc biệt là các kết cấu có số lượng phần tử lớn và lấy dầm liên tục là một ví dụ để khảo sát

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu phương pháp được sử dụng phổ biến và hiệu quả trong việc tính toán bài toán trị riêng, vectơ riêng của các hệ kết cấu lớn (trong trường hợp này là kết cấu dầm liên tục), giúp cho người dùng cũng

như các nhà nghiên cứu có được một công cụ dễ hiểu, trực quan khi cần phân tích dao động của kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

Đi sâu vào việc nghiên cứu thuật toán của một trong phương pháp tính tần số dao động riêng tương đối hiện đại và phổ biến hiện nay khi tính tần số và dạng dao động riêng của hệ kết cấu có số lượng phần tử lớn

là phương pháp lặp không gian con Trên cơ sở đó phát triển và giải quyết một số các bài toán phức tạp hơn trong xây dựng

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tìm hiểu lý thuyết giải bài toán trị riêng của hệ dao động với số lượng phần tử lớn (cụ thể là dầm liên tục)

Đi sâu nghiên cứu thuật toán của phương pháp PTHH và phương pháp lặp không gian con, ứng dụng chúng trong việc xác định tần số và dạng dao động riêng đối với kết cấu dầm liên tục dựa trên ngôn ngữ lập trình matlab

Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn trong tương lai

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển kinh tế không ngừng của đất nước, cơ sở hạ tầng cũng ngày một được cải thiện, ngày càng có nhiều những cây cầu, những con đường được xây dựng mới, nâng cấp hoặc cải tạo từ những nguồn vốn khác nhau: vốn ngân sách, vốn trái phiếu, vốn tín dụng hoặc vốn vay, đặc biệt là những nguồn vốn vay từ quỹ hỗ trợ phát triển chính thức ODA

Những cây cầu, đặc biệt là dạng cầu liên tục, do những ưu điểm của

nó về mặt kinh tế, mỹ quan được sử dụng như những phương án tối

ưu trong trường hợp phải vượt qua những khoảng cách lớn trên sông hay thung lũng Để đảm bảo an toàn cho những cây cầu này, một trong số những điểm khống chế thiết kế là tần số dao động riêng phải không được nằm trong giới hạn cho phép

Hiện nay, cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phần tử hữu hạn (PTHH) là một trong số các phương pháp mạnh và được dùng khá phổ biến trong việc phân tích, tính toán kết cấu Rất nhiều các chương trình tính toán được các công ty xây dựng dựa trên phương pháp này, như SAP, STAD Tuy nhiên, một chương trình chuyên sâu vào việc phân tích tính toán dao động và tần số dao động riêng để từ đó có thể nghiên cứu các biện pháp giảm thiểu hoặc loại trừ các tác động gây hại của Việt Nam hiện vẫn đang trong quá trình hình thành

Đề tài này đề cập đến những cơ sở lý thuyết dùng trong phương pháp PTHH để tính toán bài toán trị riêng của các kết cấu có số lượng phần

tử lớn và ứng dụng nó trong ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán các trị riêng cho dầm liên tục

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM

LIÊN TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH

Tính chất phần tử của dầm liên tục trong bài toán trị riêng bao gồm:

− Ma trận độ cứng phần tử [EK] hay [K]e

− Ma trận khối lượng phần tử [EM] hay [M]e

− Ma trận chuyển toạ độ [ET] hay [T]e

Ngoài ra, nhằm phục vụ cho việc lập trình sau này, ở phần này sẽ trình bày thêm cách xây dựng thuật toán xếp các ma trận phần tử vào ma trận tổng quát

2.1.1 Ma trận độ cứng phần tử

2.1.1.1 Công thức tổng quát xây dựng ma trận độ cứng phần tử

Ma trận [EK] hay [K] chứa các thành phần biểu thị độ cứng được gọi

là ma trận độ cứng của phần tử Nó là một ma trận vuông có số hàng

và số cột bằng số thành phần của vectơ lực nút, cũng là số thành phần của vectơ chuyển vị nút

Có nhiều phương pháp xác định ma trận độ cứng nhưng trong đó phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượng có tính tổng quát, thích hợp với các phần tử của vật thể liên tục, do đó nó thường được

sử dụng trong thực tế tính toán

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng trên cơ

sở kết hợp của phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp xấp xỉ hàm Theo tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn ta chia kết cấu thành các phần tử, các chuyển vị nút của phần tử là các thông số cần tìm ban đầu Trọng tâm của phương pháp phần tử hữu hạn là thuyết

hàm dáng nhằm xây dựng ma trận hàm dáng [N] để biểu diễn chuyển

vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử theo các chuyển vị nút {d}

2.1.1.2 Ma trận độ cứng phần tử thanh uốn thuần tuý

Xét phần tử thanh chịu uốn trong hệ trục cục bộ như trên hình vẽ (Trong đó, trục x trùng với trục thanh)

Để tiện cho việc xây dựng tính chất phần tử, thường sử dụng thêm hệ tọa độ tự nhiên với 2 thông số: L1 = 1 – x/l; và L2 = x/l;

Tải trọng thuộc mặt phẳng Oxy và tác dụng vuông góc với trục thanh Kết cấu hệ thanh thường được đơn giản hóa về kết cấu 1 chiều nhờ giả

thiết tiết diện thẳng (Một tiết diện thẳng vuông góc với trục thanh

trước và sau khi biến dạng vẫn vuông góc với trục thanh Sau biến dạng, tiết diện thanh vẫn giữ nguyên hình dạng, kích thước giữ nguyên là thẳng và vuông góc với trục thanh)

Theo giả thiết trên, về chuyển vị các điểm trên trục thanh chỉ chuyển

vị theo trục y, vectơ chuyển vị {u} = v(x) Nhưng càng xa trục thanh theo giả thiết tiết diện phẳng xuất hiện chuyển vị dọc trục u Để tính chuyển vị này cần đưa thêm thành phần chuyển vị góc xoay

dx

dv x

3 2

3 (

1

2 1 4

2 1 3

2 2 2

2 2 4 2 1 3

2 1 1 2

2

1 1

L L L

L L

L L L

l x

L L

v x

L L

1 2 2 1 2

2 2 2

2 1 1

2

1 ( 3 2 ) ( 3 2 )

z v z

v L lL L

L L lL L

2 2 2

2 1 1

1 2 1

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI

k

4

6 12

2 6

4

6 12

6 12

3 3

2

2 3

2 3

l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

EI l

0 0

2 6

0 4

6 12

0 6

12

0 0

0 0

] [ ]

[

2 3

2

2 3

2 3

m T

Như vậy ta còn phải tính thành phần thứ 2 trong biểu thức tổng quát là tích phân [ ] [ ]N T N dl

l

Tích phân này phụ thuộc vào hàm dáng [N]

2.1.2.2 Ma trận khối lượng của thanh uốn thuần tuý

Ma trận hàm dáng của thanh dầm có dạng:

2 1 2

2 2 2

2 1 1

2

1 ( 3 2L) lL L L ( 3 2L ) lL L L

Ta có:

2 1 2

2 2 2

2 1 1

2 1 2 2 1 2

2 2 2

2 1 1

2 1

) 2 3 ( )

2 3 ( ) 2 3 (

) 2 3 (

L lL L

L L lL L L

L lL

L L

L lL

L L

4 2 1 3

2 3 1 2 1

2 2 3 1

2 4 2 1 2

2 4 2 2

3 2 2 1 2 1

2 2 2 1

3 2 3 1 2 2

3 2 2 1 2

2 4 1 2 1

2 4 1

1 2 2 3 1 2 1

2 2 2 1 1 2 4 1 2

1 4 1

) 2 3 ( )

2 3 (

) 2 3 ( )

2 3 ( )

2 3 ( ) 2 3 )(

2 3 (

) 2 3 ( )

2 3 (

) 2 3 ( )

2 3 )(

2 3 ( ) 2 3 ( )

2 3 (

L L l L

L lL L

L l L

L lL

L L lL L

L L

L lL L L

L L

L L l L

L lL L

L l L

L lL

L L lL L L

L L L L lL L

L N

N T

Áp dụng công thức:

)!

1 (

2 2

4 22 3

13

22 156

13 54

3 13 4

221

13 54

22 156

420

l l l

l

l l

l l l

l l

tính chính trung tâm của mặt cắt ngang của thanh và chiều dương của các trục x, y, z xác định theo quy tắc tam diện thuận

Trong một kết cấu hệ thanh (dàn, khung ) thường các phần tử thanh

có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa độ của từng phần tử không giống nhau Hệ toạ độ riêng đó đối với từng phần tử ta gọi là hệ toạ độ phần tử hay hệ toạ độ địa phương

Khi tính toán kết cấu gồm nhiều phần tử, để thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta cần sử dụng một hệ tọa độ chung cho toàn bộ kết cấu, thường gọi là hệ toạ độ kết cấu hoặc hệ toạ độ chung

Vì vậy trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở các nút cần phải biến đổi quan hệ giữa các lực nút và chuyển vị nút trong hệ tọa độ phần tử thành quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút trong hệ tọa độ kết cấu, sự biến đổi đó được gọi là biến đổi tọa độ

Trước hết, ta xét một hệ thanh phẳng như hình dưới Các hệ tọa độ địa phương là xyz, hệ tọa độ chung là x'y'z', trục z và z' hướng ra ngoài

Khi xây dựng tính chất phần tử thanh, ta luôn lấy trục x cục bộ trùng với trục thanh Vì vậy, nói chung, trục x cục bộ không trùng với trục x’ tổng quát

Ký hiệu ϕ là góc giữa Ox và Ox’ Để xoay hệ trục tổng quát Ox’y’z’

về trục cục bộ Oxyz ta chỉ cần xoay hệ tổng quát Ox’y’z’ quanh trục

0 cos sin

0 sin cos

ϕ ϕ

0 3 6

T

T T

0 0 0

0 cos sin

0 0 0

0 sin cos

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 cos sin

0 0 0

0 sin cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

hay

Nếu chỉ xét riêng thanh dầm hay hệ dầm liên tục, ta có ma trận chuyển suy ra từ ma trận chuyển thanh phẳng trên bằng cách bỏ đi các thành phần ứng với bậc tự do u1 và u2, nghĩa là bỏ đi hàng 1 và 4, cột 1 và 4 Nếu chọn trục x’ trùng với trục dầm x thì ϕ=0

Ta có ma trận chuyển thanh dầm là ma trận đơn vị, ký hiệu T4

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 4

2.1.4 Thuật toán xây dựng và lưu trữ các ma trận Ví dụ minh họa

2.1.4.1 Xây dựng cấu trúc ma trận độ cứng tổng quát

Ma trận độ cứng của phương pháp phần tử hữu hạn bao giờ cũng có hai tính chất là tính đối xứng và tính chất băng

+ Tính đối xứng cho quan hệ kij = kji

+ Tính chất băng có thể hiểu là các phần tử có nghĩa của [K] chỉ nằm

xung quanh đường chéo chính Để xác định chính xác hơn khái niệm băng của ma trận, ta xét ma trận [K] cấp n, ma trận có n hàng và n cột Xét cột i bất kì, đi từ phần tử trên đường chéo chính kii dọc theo cột i lên trên ta thấy có những phần tử khác 0 và có những phần tử bằng 0 cho tới khi đến một phần tử khác 0 cuối cùng, trên đó chỉ còn các phần tử bằng 0 Ký hiệu chỉ số hàng của phần tử này là mi Vì đi từ đường chéo chính nên 1 ≤ mi ≤ i.Nếu mi luôn luôn bằng 1 với mọi cột thì ma trận là ma trận đủ (ma trận đầy) và tính chất băng không còn nữa Khi có nhiều cột có mi >1, gọi hi = i - mi là chiều cao cột i, kí

hiệu b = max(hi) là bề rộng nửa dải của băng ma trận Nếu b < n thì

ma trận được gọi là ma trận băng

Các nhà toán học đã chứng minh được trong quá trình nghịch đảo ma trận, các phần tử bằng 0 ngoài chiều cao cột vẫn giữ giá trị 0 sau nghịch đảo Tuy nhiên các giá trị 0 trong chiều cao cột lại hoàn toàn

có thể khác 0 sau nghịch đảo Để tăng tốc độ tính và giảm kích thước lưu trữ ma trận độ cứng, tư duy tự nhiên là thứ nhất chỉ lưu các phần

tử trong chiều cao mỗi cột của ma trận, thứ hai là làm sao để chiều cao cột của ma trận là nhỏ nhất

Do ma trận độ cứng là đối xứng nên ta ở cách lưu thứ nhất ta chỉ cần lưu một nửa ma trận, trong cách lưu này, người lập trình có thể dùng mảng 1 chiều, lưu lần lượt từng cột của ma trận, bắt đầu từ phần tử trên đường chéo chính cho đến phần tử trên cùng có chỉ số hàng bằng đơn vị̣, số phần tử theo cách lưu này là 1 + 2 + + n = n (n+1)/2

Do nửa cần lưu của [K] lại có tính chất băng nên để tiết kiệm bộ nhớ

có thể sử dụng hai cách lưu là lưu theo băng (cách lưu thứ 2) và lưu theo chiều cao cột (cách lưu thứ 3)

Ở cách lưu thứ 2, lưu theo băng, người lập trình có thể dùng mảng chữ nhật SK[n,b+1] với b = max(hi); hi = i - mi, một chiều của mảng có kích thước bằng hạng của ma trận, chiều thứ hai bằng b+1 với b là bề rộng băng của ma trận [K] Cột một của mảng lưu trữ các phần tử nằm trên đường chéo chính, các cột tiếp theo lưu b giá trị cho mỗi cột Khi

đó số phần từ cần lưu là n (b+1) Phương pháp này tiết kiệm bộ nhớ hơn phương pháp đầu khi b+1 < (n+1)/2 Điều kiện này dễ được thoả mãn bằng cách đánh số nút hợp lý Bề rộng nửa dải b càng bé càng tiết kiệm bộ nhớ Tuy nhiên cách lưu theo băng là chưa hoàn toàn tiết

kiệm, ngay cả khi bề rộng nửa dải hẹp đến mức tối ưu Số giá trị không vô nghĩa buộc phải lưu theo băng là Σ(b-hi) i=1÷n

Ở cách lưu thứ ba, lưu theo chiều cao cột Theo cách lưu này, người lập trình sử dụng mảng động một chiều, ký hiệu {SK}, các phần tử của ma trận độ cứng [K] được xếp lần lượt vào {SK} theo từng cột Trong mỗi cột bắt đầu xếp từ phần tử nằm trên đường chéo chính kii

lên trên cho đến hết chiều cao cột Như vậy trật tự các phần tử của [K] trong mảng một chiều {SK} sẽ là:

{SK} = {k11 k22 k12 k33 k23 kii ki-1,i kmi,i knn kn-1,n kmn,n}

Phương pháp lưu theo chiều cao cột là phương pháp lưu chặt nhất, phương pháp này đã loại toàn bộ các giá trị không vô nghĩa của ma trận [K] ra khỏi {SK} Phương pháp này vừa có ý nghĩa tiết kiệm bộ nhớ máy tính vừa có ý nghĩa tăng tốc độ tính do các vòng lặp trong quá trình nghịch đảo ma trận chỉ duyệt trên số lượng ít nhất các phần tử̉ Muốn quản lý được ma trận [k] trong mảng {SK} một chiều, người lập trình cần biết các phần tử nằm trên đường chéo chính kii

nằm ở địa chỉ nào của {SK}, vì vậy ngoài {SK} cần dùng thêm một mảng nguyên phụ lưu địa chỉ của các kii Kích thước mảng này là n+1 Tổng số giá trị cần lưu là n+1 giá trị nguyên và n+Σhi các giá trị thực

Do đa số các hi đềunhỏ hơn b nên tổng trên nhỏ hơn đáng kể so với với n x (b+1) là số giá trị cần lưu theo sơ đồ băng

Dưới đây là bảng so sánh bộ nhớ và thời gian giải cần thiết cho lời giải trong phương pháp PTHH với ma trận độ cứng M thông thường cho 2 dạng lưu dữ liệu

Với cách lưu mọi phần tử của ma trận

Máy trạm/PC

Thời gian Supercomputer

(số liệu này dựa trên cấu hình máy tính tại thời điểm năm 1998 do

nhóm kỹ sư phần mềm SEG thuộc hội đồng nghiên cứu khoa học và

công nghệ tại Rutherford Appleton Laboratory công bố)

Sau đây là trình tự các bước lưu theo Skyline trong trường hợp tổng

quát (với dầm liên tục, các ma trận tương ứng được trình bày cụ thể

hơn tại chương “thử nghiệm lập trình trên matlab”)

JF Æ NDF và LNC Æ ND ÆCHT ÆNDS

Để hiểu rõ hơn trình tự này ta lấy 1 ví dụ cụ thể như hình dưới đây:

• Bậc tự do tiêu cực là bậc tự do có sẵn các giá trị xác định do điều kiện

biên hoặc không dùng đến do hạn chế của bài toán

Quản lý các bậc tự do nút là xác định xem một bậc tự do là tích cực hay tiêu cực Để quản lý bậc tự do ta dùng mảng 2 chiều, ký hiệu là

JF(tổng số nút, 6) Ý nghĩa của mỗi phần tử trong mảng JF là chỉ ra

bậc tự do tích cực và tiêu cực của nút, và chỉ nhận các giá trị trị 0 và 1

• Giá trị là 0 nếu bậc tự do là tích cực (chưa biết)

• Giá trị là 1 nếu bậc tự do là tiêu cực (đã biết)

Mảng JF ở ví dụ trên có giá trị như trong bảng sau

ta không cần tìm chuyển vị tương ứng tại nút đó, ngược lại nếu giá trị của phần tử mảng khác 0 thì ta cần phải tìm chuyển vị tương úng tại nút đó Giá trị lớn nhất của phần tử mảng NDF cũng chính là số chuyển vị phải tìm hay số phương trình cần giải, ký hiệu là NEQ

+ Bước 4: Xây dựng mảng ND (Quản lý sự tương ứng bậc tự do phần tử

và bậc tự do tổng quát)

Hai bậc tự do phần tử và tổng quát được gọi là tương ứng khi đặt tại cùng 1 nút và cùng một thông số chuyển vị tại nút Để quản lý sự tương ứng giữa bậc tự do phần tử và bậc tự do tổng quát ta dùng mảng

nguyên 2 chiều ND(tổng số phần tử, số bậc tự do của 1 phần tử)

Mảng ND được thiết lập từ mảng NDF ở bước 2 và mảng LNC ở bước

3, có một chiều chạy từ 1 đến tổng số phần tử, một chiều chạy từ 1 đến tổng số bậc tự do phần tử ký hiệu là NED Với hệ thanh phẳng ta

có NED = 6, với hệ thanh không gian NED = 12

+ Bước 5: Xây dựng mảng chiều cao cột CHT

Để lưu ma trận độ cứng dạng Skyline phải tính được chiều cao cột Chiều cao cột ma trận độ cứng xuất hiện khi gửi ma trận độ cứng phần

tử [EK] vào ma trận độ cứng tổng quát [SK] Khi gửi 1 phần tử, chiều cao cột phát sinh được xác định theo vectơ hàng của ND Gọi mỗi giá trị khác 0 trong vectơ hàng của ND là một chỉ số phương trình Chiều cao cột phát sinh khi gửi 1 phần tử và được xác định theo mệnh đề:

• Trong vectơ hàng của ND, phần tử chứa chỉ số phương trình nào thì

làm phát sinh chiều cao của cột cùng chỉ số Trong ví dụ trên, phần tử

II làm phát sinh chiều cao các cột 1,2,3,4,5 (xem bảng 1.5)

• Chiều cao cột phát sinh bằng chỉ số phương trình trừ đi chỉ số phương

trình khác 0 nhỏ nhất trong vectơ ND (ở cùng hàng) Trong ví dụ trên, chiều cao các cột 1,2,3,4,5 được phát sinh khi gửi ma trận độ cứng phần tử II vào ma trận độ cứng tổng quát lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4 phần

tử (xem bảng 1.5)

• Chiều cao cột ma trận [K] hình thành khi gửi hết mọi phần tử Đó là

chiều cao cực đại của cột xét qua mọi phần tử Trong ví dụ trên, đó là trị số lớn nhất phát sinh khi gửi cả 5 ma trận độ cứng phần tử phần tử

vào ma trận độ cứng tổng quát (xem bảng 1.5)

{CHT} = {0 1 2 3 4 3 4 5 3 4}

+ Bước 6: Xây dựng mảng NDS (Quản lý ma trận độ cứng)

Do ma trận [K] được xếp trong {SK} theo từng cột, mỗi cột bắt đầu từ

phần tử trên đường chéo chính đến phần tử cao nhất trong cột Để

quản lý được [K] ta chỉ cần xác định được địa chỉ trong {SK} của các

phần tử nằm trên đường chéo chính của [K] Để thực hiện được điều

này ta dùng mảng nguyên NDS(NEQ+1) để lưu các địa chỉ trên Tính

các giá trị của mảng NDS theo thuật toán sau:

NDS(1) = 1 NDS(2) = 2

Tổng số giá trị cần lưu, ký hiệu là Nsky trong {SK} là

Nsky = NDS(NEQ+1) - 1= 40 - 1 = 39 giá trị 2.1.4.2 Xếp ma trận độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng tổng quát

Việc xếp ma trận độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng tổng quát tuân

theo phương pháp độ cứng trực tiếp Nghĩa là hệ số độ cứng tổng quát

bằng tổng các độ cứng phần tử tương ứng Quản lý sự tương ứng giữa

độ cứng phần tử và tổng quát dựa vào vectơ hàng của ND

Giả sử ta cần xếp độ cứng phần tử trong hệ toạ độ tổng quát k'ij vào

ma trận độ cứng tổng quát [K]

Đặt m = ND(i); n = ND(j)

Nếu m < n; m # 0; n # 0 thì k'ij được xếp vào vị trí (m,n) trong ma trận

độ cứng tổng quá [K] Trong trường hợp ngược lại nếu không thoả mãn điều kiện trên thì k'ij không được xếp vào ma trận độ cứng tổng quát [K]

Khi xếp ma trận độ cứng tổng quát [K] vào mảng một chiều {SK} chỉ

có các phần tử thuộc chiều cao cột mới được xếp Các phần tử này thuộc nửa trên ma trận độ cứng với chỉ số cột lớn hơn hoặc bằng chỉ

số hàng (n >= m) Khi thoả mãn điều kiện trên, ký hiệu s là địa chỉ gửi đến của k'ij, s được tính theo công thức:

s = NDS(n) + n - m

Việc xếp vào được thực hiện lặp qua tất cả các thanh phần k'ij của tất

cả các phần tử thông qua phép gán:

SK(s) = SK(s)+k'ij

2.1.4.3 Xây dựng và lưu trữ ma trận khối lượng

Cấu trúc ma trận khối lượng [M] là hoàn toàn giống cấu trúc của ma trận độ cứng tổng quát Việc xếp ma trận khối lượng phần tử [m] vào

ma trận khối lượng tổng quát [M] cũng giống như xếp ma trận độ cứng phần tử [k] vào ma trận độ cứng tổng quát [K]

Ký hiệu {SM} là vectơ lưu trữ các thành phần của ma trận khối lượng tổng quát Việc xây dựng {SM} cũng được thực hiện tương tự như đối với {SK}

SM(s) = SM(s) + m'ij

2.2 Phương trình trị riêng

2.2.1 Tổng quan

Phân tích động cùng với phân tích tĩnh, phân tích ổn định, phân tích thi công là những nhiệm vụ thường xuyên của người kỹ sư Nhiệm

vụ cơ bản của phân tích động công trình bao gồm:

+ Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng của các công trình chịu tải trọng

động, tránh hiện tượng cộng hưởng làm hư hỏng công trình

+ Kiểm tra độ bền: Xác định nội lực do tải trọng động gây ra để căn cứ

vào đó mà kiểm tra khả năng chịu lực của công trình

+ Kiểm tra độ cứng: Xác định chuyển vị động để kiểm tra công trình

theo điều kiện cứng, đảm bảo công trình không có chuyển vị lớn Dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian hệ kết cấu sẽ dao động và dao động đó được biểu thị dưới dạng chuyển vị của kết cấu

Do đó việc phân tích động lực học công trình sẽ cho phép xác định được sự thay đổi của chuyển vị theo thời gian ứng với quá trình thay đổi của tải trọng động Các tham số khác như nội lực, ứng suất, biến dạng …nói chung đều được xác định sau khi có sự phân bố chuyển vị của kết cấu Tất cả các tham số đó đều là các hàm thay đổi theo thời gian phù hợp với tác dụng động bên ngoài

Trong phân tích động, bài toán dao động riêng của hệ kết cấu là bài toán thường gặp và được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau Phương trình vi phân cân bằng của bài toán này,dù thiết lập theo nhiều cách khác nhau (dựa trên nguyên lý Đalămbe, nguyên lý chuyển vị khả dĩ hay nguyên lý Haminton) đều dẫn đến phương trình sau

) ( ω − ψ

Φ

= Sin t

Trong đó: Φ là 1 vectơ mà các thành phần không phụ thuộc thời gian,

ω là tần số dao động và ψ là pha ban đầu Thay trở lại phương trình đầu tiên, ta nhận được:

Bài toán tìm λ và Φ (từ đó xác định U) gọi là bài toán trị riêng

Phương pháp giải bài toán trị riêng có thể được chia thành 2 nhóm chính

+ Nhóm phương pháp chính xác

Nội dung: dùng các công cụ toán học giải trực tiếp phương trình vi phân cân bằng của bài toán

Ưu điểm: kết quả nhận được là chính xác

Nhược điểm: khả năng ứng dụng thấp do chỉ có thể giải được những bài toán nhỏ

+ Nhóm phương pháp gần đúng: ví dụ như phương pháp Rayleigh,

Bupnop – Galoockin, Lagơrăng – Ritz, thay thế khối lượng, hay sai phân hữu hạn, PTHH Ở đây ta chỉ phân tích sơ bộ 1 phương pháp là phương pháp Rayleigh để thấy được ưu nhược điểm của nó

Nội dung: Phương pháp Rayleigh dựa trên cơ sở định luật bảo toàn năng lượng Theo định luật này, ở bất kỳ thời điểm nào ta cũng có biểu thức:

T + U = hằng số

Từ phương trình này ta có thể tìm được các nghiệm yêu cầu

Ưu điểm: Có thể áp dụng với những hệ có số lượng phần tử tương đối lớn đến rất lớn

Nhược điểm: khi xác định tần số dao động riêng theo công thức gần đúng thì giá trị nhận được thường có giá trị lớn hơn trị số chính xác Điều này xảy ra là do việc giả định đường đàn hồi thường khó chính xác, do vậy sẽ dẫn đến hiện tượng đưa thêm vào hệ các liên kết, các liên kết này sẽ làm tăng độ cứng của hệ, nên tần số dao động tìm được

sẽ lớn hơn tần số dao động thực tế của hệ

2.2.2 Bài toán trị riêng trong phương pháp PTHH

Phương pháp PTHH thuộc nhóm phương pháp gần đúng để giải bài toán trị riêng Thực chất của phương pháp phần tử hữu hạn là chia vật thể biến dạng thành nhiều phần tử có kích thước hữu hạn gọi là phần

tử hữu hạn Các phần tử này được liên kết với nhau bằng các điểm gọi

là nút hoặc các điểm nút Các đặc trưng của các phần tử hữu hạn được phối hợp với nhau để đưa đến một lời giải tổng thể cho toàn hệ Chẳng hạn trong mô hình chuyển vị, các hàm dáng (hàm hình dạng) được chọn để biểu thị sự biến thiên của các thành phần chuyển vị trong phần tử hữu hạn theo các thành phần chuyển vị tại các điểm nút Ứng suất và biến dạng trong phần tử hữu hạn cũng được biểu thị qua các thành phần chuyển vị tại các điểm nút

Trong các bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lý của hàm dáng, người ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau đây:

+ Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm

dáng biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử hữu hạn Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ

sở nguyên lý thế năng toàn phần hay nguyên lý biến phân Lagrange + Mô hình lực: Hàm dáng biểu thị gần đúng dạng phân bố của ứng suất

hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên nguyên lý năng lượng toàn phần hay nguyên lý biến phân

về ứng suất (nguyên lý Castigliano)

+ Mô hình hỗn hợp: Coi đại lượng chuyển vị, ứng suất là các yếu tố độc

lập, xấp xỉ gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử hữu hạn Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner

Trong ba mô hình trên thì mô hình chuyển vị thường được sử dụng nhiều nhất

Các bước cơ bản trong việc giải bài toán trị riêng:

+ Bước 1: Phân chia kết cấu thành các phần tử đơn giản về hình học, vật

liệu và tải trọng, tức là rời rạc hoá kết cấu thành một tập hữu hạn các phần tử nối với nhau tại các điểm nút Một mô hình tốt phải đảm bảo được 2 yếu tố: mạnh và hiệu quả Nghĩa là, với mô hình được chọn, phương pháp PTHH phải dự đoán được những ứng xử cần thiết của hệ dao động (mạnh) với độ chính xác yêu cầu và ít công sức nhất (tính hiệu quả)

Với mỗi loại bài toán, ta cần phải chọn loại phần tử thích hợp tương ứng và số phần tử sử dụng để rời rạc hóa miền khảo sát phụ thuộc vào các yếu tố sau:

Biên vật lý của miền: số phần tử sử dụng để mô hình miền khảo sát phải đủ để xấp xỉ biên hình học một cách chính xác theo yêu cầu Ví

dụ khi miền khảo sát có biên cong được rời rạc bằng cách sử dụng các phần tử tam giác cạnh thẳng, lúc đó ta phải sử dụng một số lượng các phần tử đủ lớn để mô hình miền sao cho sự nhất quán giữa biên thực

và biên rời rạc là đủ nhỏ để có thể chấp nhận được Việc sử dụng nhiều phần tử dọc biên sẽ làm giảm sai số xấp xỉ hình học Tuy nhiên,

để tránh sự suy biến xảy ra, biên dạng phần tử phải bảo đảm có tỉ số cạnh (giữa kích thước lớn nhất và kích thước nhỏ nhất) không vượt quá 3 Các phần tử có tỉ số cạnh hơn 3, không nhất thiết sẽ tạo ra kết quả có sai số lớn – do còn phụ thuộc điều kiện biên và tải tác dụng – nhưng nó có nguy cơ gây ra sự suy biến trong ma trận phần tử

Mức độ chính xác cần thiết: số phần tử yêu cầu càng lớn khi độ chính xác yêu cầu càng cao

Đặc trưng của lời giải: Ở những vùng mà trên đó ời giải có sự thay đổi một cách đôt ngột, như những vùng lân cận ở các góc, rãnh, vùng có

sự tập trung tải trọng, phản lực, vùng có vết nứt, hay những vùng có

sự thay đổi đột ngột về đặc trưng hình học, ở đó thường yêu cầu một

số lượng lớn các phần tử để có thể thu được một kết quả diễn tả lời giải một cách thực hơn Tuy nhiên, trong thực tế, người ta thường bắt đầu bằng một lưới phần tử tương đối thô để nhận được tính chất của lời giải, sau đó mới sử dụng lưới mịn hơn Lời giải của mô hình lưới thô được sử dụng để làm cơ sở định hướng cho quá trình làm mịn lưới (mess refirement)

Bộ nhớ, dung lượng đĩa và bộ vi xử lý của máy tính

+ Bước 2: Xây dựng tính chất phần tử, nghĩa là thiết lập ma trận độ

cứng phần tử [k] hay [EK] và ma trận khối lượng phần tử [m] hay

[EM] (xem tại phần 1.1 ”xây dựng tính chất phần tử”)

+ Bước 3: Xây dựng phương trình trị riêng tổng quát của kết cấu

Sau khi đã có được ma trận độ cứng tổng quát [K] hay [SK] và ma trận khối lượng tổng quát [M] hay [SM], tiến hành thiết lập phương trình trị riêng tổng quát cho kết cấu dựa theo phương trình (1.20) + Bước 4: Giải phương trình trị riêng tìm được

Các phương pháp giải thông dụng sẽ được trình bày tại chương 3 ”Các

phương pháp giải bài toán trị riêng”

+ Bước 5: Đánh giá kết quả tìm được

Phương pháp PTHH sở dĩ được sử dụng phổ biến hiện nay là bởi đó là phương pháp rất mạnh và hiệu quả, có khả năng ứng dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu, đặc biệt là trong điều kiện máy tính điện tử phát triển mạnh mẽ như hiện nay Phương pháp PTHH luôn tìm được

1 lời giải hợp lý tương ứng với 1 mật độ lưới xác định và luôn xác định được sai số của phương pháp Mặt khác, phương pháp này không phụ thuộc quá mức vào các điều kiện biên, loại vật liệu hay điều kiện tải trọng Nên nó cũng được sử dụng nhiều trong việc giải bài toán trị riêng của hệ dao động

Từ yêu cầu trong việc phân tích động của các hệ dao động là: không chỉ cần biết 1 mà là phải biết được vài tần số (và dạng dao động tương ứng) của hệ dao động, nên trong phần sau học viên sẽ đi sâu vào phương pháp PTHH và ứng dụng của nó trong phương pháp lặp không gian con để giải bài toán trị riêng của hệ dao động Từ đó, ứng

dụng thuật giải này vào trong lập trình Matlab giải bài toán trị riêng của hệ dầm liên tục

CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG

Dạng thứ nhất là bài toán đơn giản nhất bài toán trị riêng chuẩn:

KΦ=λΦ (3.1) Trong đó:

K: ma trận độ cứng có hạng n và K là ma trận bán xác định dương hoặc xác định dương

Sẽ có n trị riêng và vectơ riêng tương ứng thỏa mãn (2.1) Cặp giá trị thứ i ký hiệu là (λi, Φi), trong đó trị riêng được sắp xếp theo thứ tự độ lớn của nó:

0<λ1< λ2< λ3< λ4<… λn (3.2) Lời giải cho p cặp trị riêng trong bài toán trị riêng chuẩn có thể được viết như sau:

KΦ=ΦΛ (3.3) Trong đó:

Φ là ma trận cỡ nxp với p cột biểu diễn p vectơ riêng, mỗi vectơ riêng

có n thành phần

Λ là ma trận chéo cỡ pxp liệt kê những trị riêng tương ứng

Ta gọi, K là ma trận xác định dương khi λi>0, i=1….n và K là ma trận bán xác định dương khi λi≥0, i=1….n

Dạng thứ hai là bài toán trị riêng tổng quát:

KΦ=λΜΦ (3.4) Trị riêng λi và véc tơ riêng Φi là bình phương tần số dao động tự do (rad/sec) ω2

i, và vectơ dạng (mode) dao động tương ứng Tùy theo

phương pháp xây dựng, ma trận khối lượng có thể có dạng băng hoặc

Vì vậy, ma trân khối lượng nói chung là bán xác định dương

Lời giải cho p cặp trị riêng và vectơ riêng tương ứng được viết dạng

KΦ=ΜΦΛ (3.5) Bài toán trị riêng tổng quát (3.4) có thể trở thành bài toán chuẩn (3.1) nếu M là một ma trận đơn vị

3.2.1 Tính chất của véctơ riêng

Phần lớn các thuật toán giải bài toán trị riêng đều xuất phát từ tính chất của trị riêng và vectơ riêng

Tính chất 1:

Lời giải của bài toán trị riêng tổng quát KΦ=λΜΦ cho n trị riêng λi

sắp xếp theo thứ tự như trong (3.2) và n vectơ riêng tương ứng Φi , mỗi cặp (λi,Φi) thỏa mãn (3.4), ta có:

KΦi=λiΜΦi (3.6)

Từ phương trình (3.6) ta có:

K(αΦi)=λiΜ(αΦi) (3.7) Với α là hệ số khác không Như vậy:

“khi Φi là 1 vectơ riêng thì αΦi cũng là 1 vectơ riêng”

Cả Φi và αΦi đều chỉ xác định 1 hướng trong không gian n chiều Ta nói vectơ riêng xác định hướng trong không gian n chiều

Nếu đặt Pi=λiΜΦi thì phương trình (3.6) sẽ trở thành phương trình cân bằng tĩnh Suy ra có thể áp dụng phương pháp giải bài toán tĩnh vào giải lặp bài toán trị riêng

Tính chất 2: tính chất trực giao của vectơ riêng Φi qua ma trận M

ΦiT M Φj = δij (3.8)

Từ (3.6) nhân trái với ΦjT ta có được

ΦiTKΦj=λiδij (3.9) Điều này chứng tỏ rằng Φi cũng trực giao với ma trận K

Lời giải của (3.4) cho p cặp trị riêng và vectơ riêng được viết trong (3.5), sử dụng quan hệ (3.8) và (3.9), ta có thể viết:

ΦT K Φ = Λ (3.10)

ΦT M Φ = I (3.11) Tính chất trực giao của F qua ma trận K và M cho thấy: có thể áp dụng các thuật toán chéo hóa ma trận để giải bài toán trị riêng

Một điều quan trọng là (3.10) và (3.11) là những điều kiện mà vectơ riêng phải thỏa mãn, nhưng với p cặp trị riêng, vectơ riêng thì không cần thỏa mãn điều kiện trực giao với M và K (trừ trường hợp p=n)