Phương phỏp PTHH thuộc nhúm phương phỏp gần đỳng để giải bài toỏn trị riờng. Thực chất của phương phỏp phần tử hữu hạn là chia vật thể biến dạng thành nhiều phần tử cú kớch thước hữu hạn gọi là phần tử hữu hạn. Cỏc phần tử này được liờn kết với nhau bằng cỏc điểm gọi là nỳt hoặc cỏc điểm nỳt. Cỏc đặc trưng của cỏc phần tử hữu hạn được phối hợp với nhau đểđưa đến một lời giải tổng thể cho toàn hệ. Chẳng hạn trong mụ hỡnh chuyển vị, cỏc hàm dỏng (hàm hỡnh dạng) được chọn để biểu thị sự biến thiờn của cỏc thành phần chuyển vị trong phần tử hữu hạn theo cỏc thành phần chuyển vị tại cỏc điểm nỳt. Ứng suất và biến dạng trong phần tử hữu hạn cũng được biểu thị qua cỏc thành phần chuyển vị tại cỏc điểm nỳt.
Trong cỏc bài toỏn cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lý của hàm dỏng, người ta cú thể phõn tớch bài toỏn theo ba loại mụ hỡnh sau đõy:
+ Mụ hỡnh chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tỡm trước và hàm dỏng biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của chuyển vị trong phần tử
hữu hạn. Cỏc ẩn sốđược xỏc định từ hệ phương trỡnh thiết lập trờn cơ
sở nguyờn lý thế năng toàn phần hay nguyờn lý biến phõn Lagrangẹ + Mụ hỡnh lực: Hàm dỏng biểu thị gần đỳng dạng phõn bố của ứng suất
hay nội lực trong phần tử. Cỏc ẩn sốđược xỏc định từ hệ phương trỡnh thiết lập trờn nguyờn lý năng lượng toàn phần hay nguyờn lý biến phõn vềứng suất (nguyờn lý Castigliano)
+ Mụ hỡnh hỗn hợp: Coi đại lượng chuyển vị, ứng suất là cỏc yếu tố độc lập, xấp xỉ gần đỳng dạng phõn bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử hữu hạn. Cỏc ẩn sốđược xỏc định từ hệ phương trỡnh thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Reisner.
Trong ba mụ hỡnh trờn thỡ mụ hỡnh chuyển vị thường được sử dụng nhiều nhất.
Cỏc bước cơ bản trong việc giải bài toỏn trị riờng:
+ Bước 1: Phõn chia kết cấu thành cỏc phần tửđơn giản về hỡnh học, vật liệu và tải trọng, tức là rời rạc hoỏ kết cấu thành một tập hữu hạn cỏc phần tử nối với nhau tại cỏc điểm nỳt. Một mụ hỡnh tốt phải đảm bảo
được 2 yếu tố: mạnh và hiệu quả. Nghĩa là, với mụ hỡnh được chọn, phương phỏp PTHH phải dựđoỏn được những ứng xử cần thiết của hệ
dao động (mạnh) với độ chớnh xỏc yờu cầu và ớt cụng sức nhất (tớnh hiệu quả).
Với mỗi loại bài toỏn, ta cần phải chọn loại phần tử thớch hợp tương
ứng và số phần tử sử dụng để rời rạc húa miền khảo sỏt phụ thuộc vào cỏc yếu tố sau:
Biờn vật lý của miền: số phần tử sử dụng để mụ hỡnh miền khảo sỏt phải đủ để xấp xỉ biờn hỡnh học một cỏch chớnh xỏc theo yờu cầụ Vớ dụ khi miền khảo sỏt cú biờn cong được rời rạc bằng cỏch sử dụng cỏc phần tử tam giỏc cạnh thẳng, lỳc đú ta phải sử dụng một số lượng cỏc phần tử đủ lớn để mụ hỡnh miền sao cho sự nhất quỏn giữa biờn thực và biờn rời rạc là đủ nhỏ để cú thể chấp nhận được. Việc sử dụng nhiều phần tử dọc biờn sẽ làm giảm sai số xấp xỉ hỡnh học. Tuy nhiờn,
để trỏnh sự suy biến xảy ra, biờn dạng phần tử phải bảo đảm cú tỉ số
cạnh (giữa kớch thước lớn nhất và kớch thước nhỏ nhất) khụng vượt quỏ 3. Cỏc phần tử cú tỉ số cạnh hơn 3, khụng nhất thiết sẽ tạo ra kết quả cú sai số lớn – do cũn phụ thuộc điều kiện biờn và tải tỏc dụng – nhưng nú cú nguy cơ gõy ra sự suy biến trong ma trận phần tử.
Mức độ chớnh xỏc cần thiết: số phần tử yờu cầu càng lớn khi độ chớnh xỏc yờu cầu càng caọ
Đặc trưng của lời giải: Ở những vựng mà trờn đú ời giải cú sự thay đổi một cỏch đụt ngột, như những vựng lõn cận ở cỏc gúc, rónh, vựng cú sự tập trung tải trọng, phản lực, vựng cú vết nứt, hay những vựng cú sự thay đổi đột ngột vềđặc trưng hỡnh học, ở đú thường yờu cầu một số lượng lớn cỏc phần tử để cú thể thu được một kết quả diễn tả lời giải một cỏch thực hơn. Tuy nhiờn, trong thực tế, người ta thường bắt
đầu bằng một lưới phần tử tương đối thụ để nhận được tớnh chất của lời giải, sau đú mới sử dụng lưới mịn hơn. Lời giải của mụ hỡnh lưới thụ được sử dụng để làm cơ sở định hướng cho quỏ trỡnh làm mịn lưới (mess refirement).
Bộ nhớ, dung lượng đĩa và bộ vi xử lý của mỏy tớnh.
+ Bước 2: Xõy dựng tớnh chất phần tử, nghĩa là thiết lập ma trận độ
cứng phần tử [k] hay [EK] và ma trận khối lượng phần tử [m] hay [EM] (xem tại phần 1.1 ”xõy dựng tớnh chất phần tử”)
+ Bước 3: Xõy dựng phương trỡnh trị riờng tổng quỏt của kết cấu
Sau khi đó cú được ma trận độ cứng tổng quỏt [K] hay [SK] và ma trận khối lượng tổng quỏt [M] hay [SM], tiến hành thiết lập phương trỡnh trị riờng tổng quỏt cho kết cấu dựa theo phương trỡnh (1.20). + Bước 4: Giải phương trỡnh trị riờng tỡm được
Cỏc phương phỏp giải thụng dụng sẽđược trỡnh bày tại chương 3 ”Cỏc phương phỏp giải bài toỏn trị riờng”.
+ Bước 5: Đỏnh giỏ kết quả tỡm được
Phương phỏp PTHH sở dĩ được sử dụng phổ biến hiện nay là bởi đú là phương phỏp rất mạnh và hiệu quả, cú khả năng ứng dụng rộng rói trong phõn tớch kết cấu, đặc biệt là trong điều kiện mỏy tớnh điện tử
phỏt triển mạnh mẽ như hiện naỵ Phương phỏp PTHH luụn tỡm được 1 lời giải hợp lý tương ứng với 1 mật độ lưới xỏc định và luụn xỏc
định được sai số của phương phỏp. Mặt khỏc, phương phỏp này khụng phụ thuộc quỏ mức vào cỏc điều kiện biờn, loại vật liệu hay điều kiện tải trọng. Nờn nú cũng được sử dụng nhiều trong việc giải bài toỏn trị
riờng của hệ dao động.
Từ yờu cầu trong việc phõn tớch động của cỏc hệ dao động là: khụng chỉ cần biết 1 mà là phải biết được vài tần số (và dạng dao động tương
ứng) của hệ dao động, nờn trong phần sau học viờn sẽ đi sõu vào phương phỏp PTHH và ứng dụng của nú trong phương phỏp lặp khụng gian con để giải bài toỏn trị riờng của hệ dao động. Từđú, ứng
dụng thuật giải này vào trong lập trỡnh Matlab giải bài toỏn trị riờng của hệ dầm liờn tục.
CHƯƠNG 3:CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRỊ RIấNG 3.1. Cỏc dạng của bài toỏn trị riờng
Dạng thứ nhất là bài toỏn đơn giản nhất bài toỏn trị riờng chuẩn: KΦ=λΦ (3.1)
Trong đú:
K: ma trận độ cứng cú hạng n và K là ma trận bỏn xỏc định dương hoặc xỏc định dương.
Sẽ cú n trị riờng và vectơ riờng tương ứng thỏa món (2.1). Cặp giỏ trị
thứ i ký hiệu là (λi, Φi), trong đú trị riờng được sắp xếp theo thứ tựđộ
lớn của nú:
0<λ1< λ2< λ3< λ4<… λn (3.2)
Lời giải cho p cặp trị riờng trong bài toỏn trị riờng chuẩn cú thể được viết như sau:
KΦ=ΦΛ (3.3) Trong đú:
Φ là ma trận cỡ nxp với p cột biểu diễn p vectơ riờng, mỗi vectơ riờng cú n thành phần
Λ là ma trận chộo cỡ pxp liệt kờ những trị riờng tương ứng
Ta gọi, K là ma trận xỏc định dương khi λi>0, i=1….n và K là ma trận bỏn xỏc định dương khi λi≥0, i=1….n.
Dạng thứ hai là bài toỏn trị riờng tổng quỏt:
KΦ=λΜΦ (3.4)
Trị riờng λi và vộc tơ riờng Φi là bỡnh phương tần số dao động tự do (rad/sec) ω2
phương phỏp xõy dựng, ma trận khối lượng cú thể cú dạng băng hoặc là ma trận chộọ
Thụng thường, khi chỉ xột trọng lượng bản thõn của kết cấu, ma trận khối lượng được tớnh theo cụng thức tổng quỏt ở mục 2.1.2.1. Khi đú, ma trận khối lượng được gọi là ma trận khối lượng tương thớch, là ma trận băng và cú cựng cấu trỳc với ma trận độ cứng. Ngoài khối lượng bản thõn, kết cấu thường mang cỏc khối lượng kốm. Cỏc khối lượng này thường được cộng trực tiếp vào phần tử trờn đường chộo chớnh của ma trận khối lượng. Khi bỏ qua khối lượng kết cấu, chỉ xột khối lượng kốm hoặc khi khối lượng kết cấu được đưa vào ma trận khối lượng như khối lượng kốm thỡ ma trận khối lượng sẽ là ma trận đường chộo và thường cú một số phần tử trờn đường chộo chớnh bằng khụng. Vỡ vậy, ma trõn khối lượng núi chung là bỏn xỏc định dương.
Lời giải cho p cặp trị riờng và vectơ riờng tương ứng được viết dạng KΦ=ΜΦΛ (3.5)
Bài toỏn trị riờng tổng quỏt (3.4) cú thể trở thành bài toỏn chuẩn (3.1) nếu M là một ma trận đơn vị.
3.2. Những tớnh chất chủ yếu của trị riờng, vectơ riờng
3.2.1 Tớnh chất của vộctơ riờng
Phần lớn cỏc thuật toỏn giải bài toỏn trị riờng đều xuất phỏt từ tớnh chất của trị riờng và vectơ riờng
Tớnh chất 1:
Lời giải của bài toỏn trị riờng tổng quỏt KΦ=λΜΦ cho n trị riờng λi
sắp xếp theo thứ tự như trong (3.2) và n vectơ riờng tương ứng Φi , mỗi cặp (λi,Φi) thỏa món (3.4), ta cú:
Từ phương trỡnh (3.6) ta cú:
K(αΦi)=λiΜ(αΦi) (3.7) Với α là hệ số khỏc khụng. Như vậy:
“khi Φi là 1 vectơ riờng thỡ αΦi cũng là 1 vectơ riờng”
Cả Φi và αΦiđều chỉ xỏc định 1 hướng trong khụng gian n chiềụ Ta núi vectơ riờng xỏc định hướng trong khụng gian n chiềụ
Nếu đặt Pi=λiΜΦi thỡ phương trỡnh (3.6) sẽ trở thành phương trỡnh cõn bằng tĩnh. Suy ra cú thể ỏp dụng phương phỏp giải bài toỏn tĩnh vào giải lặp bài toỏn trị riờng.
Tớnh chất 2: tớnh chất trực giao của vectơ riờng Φi qua ma trận M ΦiT M Φj = δij (3.8)
Từ (3.6) nhõn trỏi với ΦjT ta cú được
ΦiTKΦj=λiδij (3.9)
Điều này chứng tỏ rằng Φi cũng trực giao với ma trận K.
Lời giải của (3.4) cho p cặp trị riờng và vectơ riờng được viết trong (3.5), sử dụng quan hệ (3.8) và (3.9), ta cú thể viết:
ΦT K Φ = Λ (3.10) ΦT M Φ = I (3.11)
Tớnh chất trực giao của F qua ma trận K và M cho thấy: cú thể ỏp dụng cỏc thuật toỏn chộo húa ma trận để giải bài toỏn trị riờng.
Một điều quan trọng là (3.10) và (3.11) là những điều kiện mà vectơ
riờng phải thỏa món, nhưng với p cặp trị riờng, vectơ riờng thỡ khụng cần thỏa món điều kiện trực giao với M và K (trừ trường hợp p=n).
3.2.2 Đa thức đặc trưng của bài toỏn trị riờng
Đa thức đặc trưng của bài toỏn trị riờng KΦ=λΜΦ là P(λ)=det(Κ−λΜ)
Ta cú thể thấy rằng: tớnh chất này xuất phỏt từ phương trỡnh cơ bản (3.6). Từ (3.6) ta cú
(K−λiΜ)Φi =0
Phương trỡnh này thỏa món với cỏc nghiệm khụng tầm thường của Φi (nghĩa là Φi # 0). Điều đú dẫn đến K−λiΜ là đồng nhất.
Trị riờng là nghiệm của đa thức đặc trưng, do đú nếu bậc đa thức >5 thỡ sẽ khụng cú nghiệm chớnh xỏc và mọi phương phỏp giải bài toỏn trị
riờng trong trường hợp đú sẽ chỉ là gần đỳng.
Nếu ta cú thể cấu tạo K−λiΜ thành ma trận tam giỏc dưới L và ma trận tam giỏc trờn S, sử dụng khử Gauss, ta cú snn=0. Tuy nhiờn, khi
đú
P(λ)=detLS = ∏Sii =0
Nếu bằng việc thay đổi hàng và cột tương ứng ta cú thể cấu tạo K−λiΜ thành tớch LDLT.Trong trường hợp này, ta cú
P(λ)=detLDLT = ∏Dii
Bài toỏn trị riờng ràng buộc thứ r của bài toỏn KΦ=λΜΦ được cho bởi: K(r)Φ(r)=λ(r)Μ(r)Φ(r) Trong đú, tất cả cỏc ma trận đều cú hạng là n-r và ma trận K(r) và M(r) nhận được từ ma trận K và M bằng cỏch xúa đi r cột và hàng cuối cựng. Đa thức đặc trưng của bài toỏn ràng buộc thứ r là P(r)(λ(r))=det(Κ(r)−λ(r)Μ(r))
Và trong trường hợp đặc biệt M=Ị trị riờng của bài toỏn ràng buộc thứ r cú liờn hệ sau: λ1(r)<λ1(r+1)<λ2(r)<λ2(r+1)< <λ3(r)<λ3(r+1)<λ4(r)<λ4(r+1)... 3.2.3 Trượt trị riờng Trong lời giải KΦ=λΜΦ ta đặt M K K^ = −ρ
Và ta xem xột bài toỏn trị riờng
Ψ =
Ψ M
K^ μ
Để nhận dạng sự tương quan giữa trị riờng, vectơ riờng của (2.1) và phương trỡnh này, sau khi biến đổi ta cú
KΨ=γMΨ Trong đú: γ=ρ+μ
Do lời giải của bài toỏn trị riờng là duy nhất, ta cú λi = ρ + μi ; Φi = Ψi (2.12)
Kết luận: vectơ riờng của chỳng (nghĩa là của 2 bài toỏn trước và sau khi trượt trị riờng) là như nhau, nhưng trị riờng của bài toỏn sau khi trượt trị riờng thỡ bị giảm đi ρ đơn vị so với bài toỏn trị riờng ban đầụ Ta núi, toàn bộ hệ trị riờng được trượt (dịch) trờn trục số 1 lượng bằng ρ nhờ tớnh chất này, người ta cú thể chuyển cỏc bài toỏn trị riờng cú ma trận bỏn xỏc định dương về xỏc định dương.
3.3. Chuyển từ bài toỏn trị riờng tổng quỏt sang bài toỏn trị riờng chuẩn chuẩn
3.3.1 Sự cần thiết
Bài toỏn trị riờng thụng dụng nhất trong KHKT là bài toỏn chuẩn và rất nhiều cỏc bài toỏn khỏc cũng cú thể chuyển về bài toỏn chuẩn. Vỡ thế lời giải của bài toỏn chuẩn thu hỳt được nhiều sự chỳ ý trong việc phõn tớch số và rất nhiều thuật giải đó được nghiờn cứụ
Sự cần thiết phải chuyển đổi do 2 lý do sau:
Thứ nhất, nếu việc chuyển đổi thành cụng dẫn đến khả năng sử dụng rất nhiều thuật giải dựng cho bài toỏn chuẩn ỏp dụng được cho bài toỏn tổng quỏt.
Thứ hai, nếu bài toỏn tổng quỏt cú thể viết thành bài toỏn chuẩn, cỏc tớnh chất của trị riờng, vectơ riờng, và cỏc đặc trưng đa thức của bài toỏn tổng quỏt cú thểđược suy luận từ cỏc tớnh chất tương ứng của bài toỏn chuẩn.
3.3.2 Cỏc bước chuyển từ bài toỏn tổng quỏt sang bài toỏn chuẩn
Giả sử M là ma trận xỏc định dương. Đõy là trường hợp khi M là ma trận chộo cú cỏc phần tử trờn đường chộo dương hoặc M là ma trận dạng băng như trong phõn tớch tập trung khối lượng. Nếu M là ma trận chộo với một vài phần tử trờn đường chộo bằng 0, trước tiờn, ta phải thực hiện quy rỳt tĩnh trờn bậc tự do ớt khối lượng nhất.
Giả sử M là xỏc định dương, ta cú thể chuyển bài toỏn tổng quỏt KΦ=λΜΦ sang dạng chuẩn, bằng cỏch sử dụng phương phỏp phõn tớch M dưới dạng M=SST
Thay vào ta cú:
Nhõn trỏi cả 2 về với S-1 S-1KΦ=λ S-1SSTΦ và ký hiệu Φ’=STΦ hay S-T Φ’=Φ
Ta nhận được phương trỡnh của bài toỏn chuẩn S-1K( S-T Φ’)=λ S-1SSTΦ hay
K’Φ’=λΦ' Trong đú:
K’=S-1KS-T
Ở trờn, ta chỉ quan tõm đến việc phỏt sinh M và chuyển từ bài toỏn tổng quỏt sang dạng chuẩn, chứ chưa quan tõm đến việc chuyển húa này cú thể mang lại kết quả khụng chớnh xỏc nếu M là ma trận xấu (khú nghịch đảo). Trường hợp này, thụng thường người ta trỏnh khụng phõn tớch M mà thay thế bằng việc phõn tớch K. Viết lại KΦ=λΜΦ dưới dạng ΜΦ=(1/λ) KΦ, sử dụng quỏ trỡnh làm tương tự trờn ta nhận được M’Φ’=(1/λ)Φ' Trong đú: M’=S-1MS-T K=SST Φ’=STΦ
và S nhận được bằng phương phỏp phõn tớch Cholesky (S=LM’) hoặc phõn tớch phổ của M (S=RD và M=RD2RT). Do hạn chế về mặt thời gian, nờn trong phạm vi của luận văn này, tỏc giả khụng tiếp tục đi sõu vào phõn tớch 2 phương phỏp nàỵ
Cần chỳ ý là khi M là ma trận chộo thỡ ma trận S trong cả 2 phương phỏp là giống nhau, nhưng khi M là ma trận dạng băng chỳng sẽ khỏc nhaụ
Xem xột tới hiệu quả của lời giải cỏc trị riờng và vectơ riờng yờu cầu, ta thấy, K’ cú cựng độ rộng dải với K khi M là ma trận chộọ Tuy nhiờn, khi M là ma trận dạng băng (nghĩa là S trong 2 phương phỏp trờn là khỏc nhau) K’ trong bài toỏn chuẩn trờn thụng thường là ma trận đầy, điều đú khiến cho việc chuyển khụng hiệu quả trong hầu hết cỏc trường hợp phõn tớch hệ nhiều phần tử..
3.4. Cỏc kỹ thuật giải ỏp dụng trong giải bài toỏn trị riờng
Nhưđó trỡnh bày ở trờn, trị riờng là nghiệm của đa thức đặc trưng, khi bậc của đa thức >5 thỡ khụng thể tỡm được lời giải chớnh xỏc. Đồng thời, để tăng mức độ chớnh xỏc cỏc mụ hỡnh PTHH thường cú số bậc tự do lớn, nghĩa là bậc của đa thức đặc trưng cũng sẽ lớn.
