Phương phỏp Jacobi được phỏt triển cho lời giải của bài toỏn trị riờng chuẩn (M = I). Ưu điểm lớn nhất của nú là đơn giản và ổn định. Khi tớnh chất của vectơ riờng Λ = Φ ΦTK I M T Φ= Φ được ỏp dụng cho tất cả cỏc ma trận đối xứng K mà khụng cú bất kỳ
hạn chế gỡ về trị riờng, phương phỏp Jacobi cú thể được dựng để tớnh toỏn trị riờng õm, dương hoặc bằng 0.
Với bài toỏn chuẩn, bước lặp thứ k định nghĩa ở trờn giảm xuống thành
Kk+1 = PTkKkPk
Trong đú Pk là ma trận trực giao, nghĩa là: PTkPk = I
Trong lời giải Jacobi ma trận Pk là ma trận xoay được lựa chọn theo cỏch 1 phần tử ngoài đường chộo trong Kk bằng 0. Nếu phần tử (i,j) giảm xuống 0, ma trận trực giao Pk tương ứng là:
Trong đú θ được lấy từđiều kiện để phần tử (i,j) trong Kk bằng 0. Ký hiệu phần tử (i,j) trong Kk bằng kij(k)
Với kii(k) # kjj(k)
Và θ= pi()/4 Với kii(k) = kjj(k)
Một điểm quan trọng phải nhấn mạnh là mặc dự việc biến đổi trờn làm cỏc phần tử ngoài đường chộo thứ (i,j) ở Kk bằng 0 tại bước thứ k, nhưng những phần tử này sẽ lại khỏc khụng trong quỏ trỡnh chuyển hoỏ tiếp saụ Do đú, để thiết lập 1 thuật giả đỳng, ta phải quyết định phần tử nào giảm tới 0. Một lựa chọn là cho phần tử ngoài đường chộo lớn nhất giảm tới 0. tuy nhiờn, việc tỡm kiếm phần tử lớn nhất tốn thời gian và người ta thường sử dụng chuyển Jacobi đối xứng, hàng với hàng hoặc cột với cột, quỏ trỡnh này được gọi là Jacobi vũng. Quỏ trỡnh chạy 1 lần qua tất cả cỏc phần tử ngoài đường chộo gọi là 1 vũng quột. Nhược điểm của quỏ trỡnh này là khụng để ý tới giỏ trị của phần tử ngoài đường chộo chớnh, nghĩa là phần tử đó bằng 0 hoặc gần bằng 0 và ma trận xoay vẫn được chấp nhận. ) ( ) ( ) ( 2 2 tan k jj k ii k ij k k k − = θ
Một quỏ trỡnh được sử dụng hiệu quả là phương phỏp xoay Jacobi cú ngưỡng quột, trong phương phỏp này, người ta định giỏ trị kiểm tra độ
lớn phần tử ngoài đường chộo và gọi là ngưỡng quột, cỏc phần tử
ngoài đường chộo được kiểm tra liờn tiếp vềđộ lớn, từ hàng đến hàng (hoặc từ cột đến cột), và phộp quay được chấp nhận khi phần tử lớn hơn so với ngưỡng đó định.
Ta cú thể túm tắt những bước được sử dụng trong lặp ngưỡng Jacobị
+ Bước 1: Thiết lặp ngưỡng quột. Thụng thường, ngưỡng quột sử dụng cú thể là 10-2m.
+ Bước 2: Với mọi i, j với i<j tớnh tỷ số ((kij(k))2/kii(k)kjj(k))1/2 và chấp nhận xoay nếu phần tử này lớn hơn ngưỡng quột hiện thờị
+ Bước 3: sử dụng biểu thức sau
để kiểm tra sự hội tụ.
Nếu quan hệ trờn khụng thoả món, tiếp tục quột (nghĩa là trở lại bước 1). Nếu quan hệ trờn thoả món, kiểm tra điều kiện
Với mọi i và j thỏa món i < j, cú thoả món hay khụng, nếu cú thỡ phộp lặp hội tụ, nếu khụng, tiếp tục quột.