Phương phỏp HQRI chỉ được dựng trong việc giải bài toỏn chuẩn. Do
đú, nếu xem xột bài toỏn tổng quỏt thỡ trước hết phải thực hiện chuyển từ bài toỏn tổng quỏt sang bài toỏn chuẩn, nhưng trong thực tế việc biến đổi để chuyển từ dạng tổng quỏt sang dạng chuẩn chỉ cú tỏc dụng trong một vài trường hợp. Đõy là hạn chế lớn nhất của phương phỏp
nàỵ Nhưng với nú, ta cú thể giải bài toỏn chuẩn với K là ma trận cú thể cú trị riờng bằng 0 hoặc õm. Nghĩa là, khụng cần thiết phải sử
dụng trượt trong thuật toỏn HQRI với mục đớch giải cho những trị
riờng dương.
Phương phỏp này dựa trờn 3 bước cơ bản sau:
+ Biến đổi Householder để giảm ma trận K về dạng tam giỏc.
+ Lặp QR để giải ra tất cả cỏc trị riờng.
+ Sử dụng lặp ngược để giải ra cỏc trị riờng yờu cầu của ma trận tam giỏc ở trờn. Những vectơ này sẽ được biến đổi thành vectơ riờng của ma trận K.
Điểm khỏc biệt cơ bản với lời giải Jacobi là ma trận nhận được ở lần biến đổi đầu tiờn mà khụng lặp là ma trận chộo bạ Ma trận này được sử dụng rất hiệu quả trong lời giải lặp QR, trong đú tất cả cỏc vectơ
riờng đều được tớnh toỏn. Cuối cựng, chỉ những vectơ riờng yờu cầu mới được tớnh. Nếu cú nhiều vectơ riờng được yờu cầu tớnh, việc chuyển ma trận K sang dạng chộo ba đũi hỏi một số lượng lớn thao tỏc.
Biến đổi Householder Với K1=K, ta tớnh:
Xem xột trường hợp k=1 (là trường hợp điển hỡnh). Chia K1, P1 và w1
thành cỏc ma trận con cú hạng n-1 như sau:
Trường hợp tổng quỏt, tại bước thứ k, ta cú ma trận tương ứng cú hạng n-k.
Thực hiện phộp nhõn ta cú:
Ta muốn K2 cú dạng chộo ba như sau:
Trong đú, x là ký hiệu trị số khỏc khụng và
Trong đú k21 là phần tử (2,1) của K1. Lặp QR
Lặp QR được ỏp dụng cho ma trận chộo ba nhận được qua phộp biến
đổi Householder của ma trận K. Tuy nhiờn, nú cũng được dựng cho ma trận gốc, nhưng để cải thiện hiệu quả của lời giải, ta biến đổi K sang dạng chộo ba trước khi lặp.
Đầu tiờn ta xem xột việc lặp cho ma trận K đối xứng và tổng quỏt. Bước cơ bản trong việc lặp là phõn chia K sang dạng
K=QR
Trong đú: Q là ma trận cú QT=Q-1 và R là ma trận dạng tam giỏc trờn. Từđú
RQ = QTKQ
Việc này cú thể nhận được khi sử dụng quỏ trỡnh Gram – Schmidt với cỏc cột của ma trận K. Trong thực hành, hiệu quả hơn khi giảm ma trận K về dạng tam giỏc trờn khi sử dụng ma trận xoay Jacobi, nghĩa là
Trong đú ma trận xoay PTj,iđược lựa chọn cho phần tử (j,i) bằng 0 hay núi cỏch khỏc, đú là chuyển vị của ma trận Pi,jđược lựa chọn cho phần tử (i,j) bằng 0. Vậy:
Thuật toỏn lặp QR nhận được bằng việc lặp lại quỏ trỡnh ở trờn. Sử
dụng K1=K, ta cú: Và sau đú:
Trị riờng, vectơ riờng được tớnh như bỡnh thường
Tớnh toỏn cỏc vectơ riờng
Trị riờng được tớnh với độ chớnh xỏc cao bởi trong lặp QR cú sử dụng trượt trị riờng, tốc độ hội tụ là rất nhanh. Khi trị riờng được tớnh với độ
chớnh xỏc cao, ta cú thể tớnh vectơ riờng yờu cầu của ma trận chộo ba T1 bằng phộp lặp ngược đơn giản với trị số trượt tương ứng với trị
riờng. Thụng thưởng chỉ 2 bước của lặp ngược với vectơ lặp ban đầu là vectơ đơn vị là đủ. Vectơ riờng T1 cần được biến đổi Householder
để nhận được vectơ riờng của K, nghĩa là nếu ký hiệu vectơ riờng thứ i của T1 là Ψi, ta cú
