Các bài hình tổng hợp rất hay ôn thi vào lớp 10 có đáp án chi tiết

Bài 4: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong O.Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở IE nằm

CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ÔN THI LỚP 10

Bài 1:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.

1 C/m AEDB nội tiếp.

2 C/m DB.A’A=AD.A’C

3 C/m:DEAC.

4 Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.

I N

M F

E

A' D

O A

 Gọi I là trung điểm ACMI//AB(tính chất đường trung bình)

  A 'BC A 'AC   (Cùng chắn cung A’C).

Do ADFC nội tiếp   FAC FDC   (Cùng chắn cung FC)   A 'BC FDC   hay DF//BA’ Mà

ABA ' 1v  MIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường trung trực của DFMD=MF Vậy MD=ME=MF.

Bài 2:

Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.

1/C/m MFEC nội tiếp.

4/C/m góc:PQM=90 o

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này.

2 C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.

3 C/m GEFB nội tiếp.

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp

B

A

4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân ở FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng C/m G cũng nằm trên… :Do GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m được I F.

Bài 4:

Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).

1 C/m BDCO nội tiếp.

2 C/m: DC 2 =DE.DF.

3 C/m:DOIC nội tiếp.

4 Chứng tỏ I là trung điểm FE.

3) Ta có: sđgóc BAC=

2

1 sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC.

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

H I

N

M D

B

O A

1.C/m OMHI nội tiếp.

2.Tính góc OMI.

3.Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH

4 Khi M thay đổi trên OB thì K di chuyển trên đường nào? Tìm giới hạn hình

mà K di chuyển?.

y x

Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN

I là giao điểm dường trung trực của CD và MN

IHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH

Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.

Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.

Hai đường này cắt nhau ở I.

Do H là trung điểm MNAH là trung tuyến của vuông AMN

ANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.

Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v

hay AKD vuông ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổi

CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R

Bài 7:

N M

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ

IKBC(K nằm trên AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.

2 C/m góc BMC=2ACB

3 Chứng tỏ BC 2 =2AC.KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN

5 C/m: NMIC nội tiếp

4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ở I

IAC=ICA AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK

và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và

CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.

1 Cm: CB là phân giác của góc ACE.

2 c/m:AQEC nội tiếp.

1.C/m:D nằm trên đường thẳng BF.

2 C/m ADCF nội tiếp.

3.C/m: CF.CN=CE.CM

4.C/m:MN//AC.

5 Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.

4 Chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau(  ACM CMN   )

5 Sử dụng hệ quả talet

Bài 10:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.

1 C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.

2 C/m ADEF nội tiếp.

3 Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB

I

E D F

C O

3 C/m: E là tâm đường tròn nội tiếp BCF.

4 Gọi M là trung điểm của ED C/m tứ giác BCMF nội tiếp

M I F

E

D O

A

Ta chứng minh góc BCF bằng BMF(Bằng 2 lần hai góc bằng nhau BCA và góc BDA)

Bài 12:

F G

H

A

E

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên

AB lấy điểm C sao cho AC<CB Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM.

1/cm: ACMP nội tiếp.

2/Chứng tỏ AB//DE

3/C/m: M; P; Q thẳng hàng.

E D

Q

P

B O

Cho ABC có A=1v;Kẻ AHBC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở

E và cắt đường thẳng AC tại G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D.

1 C/m:AEHF nội tiếp.

2 Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC

3 Chứng minh EFDG và FHC=AFE.

4 Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất

2/Cm: Ta đi chứng minh HCA~HGDđpcm.

3/C/m:EFDG:Sử dụng E là trực tâm tam giác GFD

Do AEHF nội tiếp trong đường tròn có tâm

là trung điểm EF Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiêp

tứ giác AEHFIA=IHĐể EF ngắn nhất thì

I;H;A thẳng hàng hay AEHF là hình chữ nhật

HE//AC và HF//AB.

Bài 14:

N

O P K M H

A

C

B

x K

I D

Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE)

ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt… cùng chắn 1 cung)

CBA=CDI.trong CBA có BCA+CBA+CAD=2v

hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn cung CK)

a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp

b) Chứng minh MAP cân

c) Tìm điều kiện của ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng

c) Ta có M; K; P thẳng hàng Do đó M; K; O thẳng hàng

nếu P  O hay AP = PM

P

Q

H N

E

K O

C D M

Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A

suy ra tam giác MAP đều Do đó CAB  30 0

Đảo lại: CAB  30 0 ta chứng minh P  O :

Khi CAB  30 0  MAB  60 0 (do AC là phân giác của MAB)

Tam giác MAO cân tại O có MAO  60 0 nên  MAO đều

Do đó: AO = AM Mà AM = AP(do  MAP cân ở A) nên AO = AP

Vậy P  O

Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB  30 0 thì ba điểm M; K; O thẳng hàng.

Bài 17: Cho tam giác đều ABC, đường cao AH M là một điểm bất kì trên cạnh BC

Vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC Gọi O là trung điểm của AM.

a) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh tứ giác OIHK là hình thoi.

c) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để IK có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị đó, biết AB = a.

c) + Gọi N là giao điểm của OH và IK

a) Chứng minh rằng DAB BDE   .

b) Tia AB cắt DE tại M Chứng minh MD2 MA MB. và M là trung điểm của DE c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q Chứng minh rằng PQ song song với DE.

c) Ta có DAB BDM  , EAB BEM   (chứng minh trên)

 PAQ PBQ  

= DAB EAB PBQ BDM BEM DBE            180 0 (tổng 3 góc)

 tứ giác APBQ nội tiếp  PQB PAB 

Bài 19:

Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C) Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm A Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia

BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).

a Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp.

b.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng.

c Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE

Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định

khi điểm M thay đổi.

c) Lấy H đối xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định.

tam giác HKC cân tại K nên KHC KCH  

Mà BED KCH   (cùng phụ góc EBC)

Vậy KHC BED   nên tứ giác BEKH nội tiếp suy ra đường tròn ngoại tiếp tức giác BKE đi qua B và H cố định nên I thuộc đường trung trực của BH.

Bài 20 Cho tam giác ABC có góc A tù Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và (O’)

đường kính AC Đường thẳng AB cắt (O’) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai là E.

a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp.

b) Gọi F là giao điểm của (O) và (O’) (F khác A) Chứng minh B, F, C thẳng hàng và

FA là phân giác của góc EFD.

c) Gọi H là giao điểm của EF và AB Chứng minh: BH.AD = AH.BD

I

F

E D C

B A

K

Q

P M

C

O A

M

Chứng minh MC 2 = MK.MN = 2MK.MO = 2MI.MH = MH 2 => MH = 2MI => đpcm

Câu 22 Cho tam giác ABC vuông tại A, Trên cạnh AC lấy điểm D Vẽ đường tròn

tâm D tiếp xúc với BC tại F Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BE tới (D) (E là tiếp điểm) Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BE tại I Chứng minh:

a) 5 điểm A, E, D, F, B cùng thuộc 1 đường tròn

b) AEI ACB CBD  

c) AEI cân.

c) Theo câu b) ta có AEB DCB CBD  (3)

Lại có EAD EBD  (hai góc nội tiếp cùng chắn ED)

3) Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q Tính diện tích của

tứ giác QAIM theo R khi BC = R.

3) AC  AB2  BC2  4R2  R2 R 3

Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC

là tam giác đều suy ra CBA  60 0

Mà QAC CBA   (góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và góc nội tiếp cùng chắn AC)do đó QAC  60 0

Dễ thấy tam giác QAC cân tại Q (QA = QC)

có QAC  60 0 nên là tam giác đều  AQACR 3

Bài 24 Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy điểm M, đường tròn đường kính AM cắt

AB tại điểm thứ hai là Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai là N Tia

A

C

Hd câu c) Gọi giao điểm của AC và MP ta phải chứng I thuộc đường tròn đường kính AM, thật vậy

ta đi chứng minh góc AIM là góc vuông.

Dễ thấy AQ = DM, tam giác BQC = tam giác CPD (g.c.g )

Suy ra BQ = CP suy ra BP = AQ nên BP = DM do đó MC = PC nên tam giác CMP cân tại C suy ra

CI là phân giác đồng thời là đường cao.

Bài 25: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB = BC) nội tiếp trong đường tròn (O) Các

đường cao BG, AE, CF gặp nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp được trong một đường tròn Xác định tâm

I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) Chứng minh BF.BC = BH.BG

c) Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

d) Cho bán kính đường tròn (I) là 2cm, góc ABC = 50 0 Tính độ dài cung FHE của đường tròn tâm (I) và diện tích hình quạt tròn IFHE (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A

Bài 26 (Thi thử Chí Tân 2014 – 2015)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác

A, B) Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Vẽ đường thẳng d vuông góc với

AB tại B Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp.

b) Gọi I là trung điểm của BF Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

c) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của góc CKE cắt AE và À tại M và

N Chứng minh tam giác AMN cân

N M

K I F E

B O

Bài 27

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên BC lấy điểm M(M khác B, C và H) Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F a) C/m các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) c/m BE CF = ME.MF

Hd: a) c/m tứ giác AEMF nội tiếp và tứ giác AHMF nội tiếp

b) c/m tam giác BEM đồng dạng với tam giác MFC

c) c/m tam giác BHE đồng dạng với BAM BH AB

Bài 28 Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ

một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’) Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N (M và N khác A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, D, M, I cùng thuộc một đường tròn.

B

A

O

O' C

Hình 01

O

K H

M E

B A

1 Chứng minh tứ giác AEDO nội tiếp được trong một đường tròn

Ta có AEC ~ MEB( g.g) vì  CEA BEM   ( đối đỉnh )

 ACE MBE   ( cùng chắn AM )

Do đó AE EC

ME EB  AE EB = EC ME

Mà AE EB

2 2

Bài 31.

H

C K

O I

B M

A

Vì tam giác IAK đồng dạng với tam giác IBA nên

IM

IK IB

Bài 32.

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH Dựng đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E , cắt AC tại F.Các tiếp tuyến với đường tròn ( O) tại E , F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N

1 Chứng minh rằng tứ giác MEOH nội tiếp

2 Chứng minh rằng AB.HE.=AH.HB.

3 Chứng minh 3 điểm E ,O ,F thẳng hàng

4 Cho AB = 2 10 cm ; AC = 2 15cm Tính diện tích OMN

N M

2 Tam giác AHB đồng dạng với HEB (g – g) suy ra AH/HE = AB/BH suy ra AB.HE = AH.HB

3 góc EAF = 90 0 suy ra EF là đường kính nên E,O,F thẳng hàng.

4 Ta có MO là phân giác góc EOH (t/c tiếp tuyến cắt nhau); ON là phân giác của góc HOF (tc tiếp tuyến cắt nhau) mà góc EOH và góc HOF kề bù suy ra OM vuông góc ON nên tam giác MON vuông tại O Lại có OM vuông góc với EH, AB vuông góc với EH suy ra OM // AB, mà OE = OF suy ra MO là đường trung bình tam giác HAB suy ra OM = ½ AB = 1

Bài 33 Cho ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của

BAC cắt (O) tại D, tia DO cắt BC tại M và cắt (O) tại N (khác D) Kẻ NH vuông góc với AC tại H,

a) Chứng minh: tứ giác CNHM nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: ABD đồng dạng với HMC

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, Chứng minh: BIH cân

J I

H

N

M D

O

A

b) ta có tứ giác MCNH nội tiếp suy ra góc DNC = góc MHC, mà góc DNC = góc DAC = góc DAB

HM HC 2HJ HJ suy ra tam giác ABI đồng dạng với tam giác HMJ (c-g-c) suy ra góc

AIB = góc HJM Lại có MJ là đường trung bình trong tam giác BHC suy ra MJ//BH suy ra góc AHB = góc A=HJM (đồng vị) suy ra góc AIB = góc AHB suy ra tứ giác AHIB nội tiếp Do góc ABI = góc IAH suy ra cung BI = cung IH suy ra BI = IH suy ra tam giác BHI cân tại H.

Bài 34 Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần

lượt tại D, E Gọi H là giao điểm của BE và CD.

a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.

b Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH

Chứng minh: tam giác BHK đồng dạng với ACK

c Chứng minh: KD KE BC  Dấu “=” xảy ra khi nào?

I

K

H

E D

C O

A

B

c) Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt đường tròn tại I suy ra BC là trung trung trực của

DI (tính chất đối xứng của đường tròn) suy ra DK = KI

Ta có tứ giác ABKE và tứ giác AEHK nội tiếp suy ra góc ABE = góc AKE = góc HKD suy

ra góc DKB = góc EKC (phụ với hai góc bằng nhau)

Mặt khác BC là trung trực của DI nên góc DKB = góc BKI suy ra góc BKI = góc EKC suy

ra 3 điểm I, K, E thẳng hàng suy ra DK + EK = KI + KE = IE  BC (do IE là dây còn BC là đường kính.

Dấu “=” xảy ra khi K trùng O, khi đó tam giác ABC cân tại A

Bài 35 Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A

và B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp

xúc với nửa đường tròn đã cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại E.

1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.

2 Chứng minh AI BK = AC.CB.

3 Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB

4 Cho các điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích

hình thang ABKI lớn nhất.

E

K B O

A

C

I

a) Tứ giác CEKB có hai góc đối là góc vuông suy ra tứ giác nội tiếp

b) Tam giác AIC đồng dạng với tam giác BCK (g – g) suy ra AI/BC = AC/BK suy ra AI.BK = AC.CB

c) Ta có tứ giác AIEC và tứ giác BKEC nội tiếp suy ra góc EAB = góc CIK, góc EBA = góc CKI mà tam giác ICK vuông nên góc CIK + góc CKI = 900 suy ra góc EAB + góc EBA = 900 suy ra góc AEB vuông suy ra E thuộc đừng tròn tâm O đường kính AB

d) Ta có diện tích tứ giác ABKI = (AI + BK).AB/2 mà A, B, I cố định nên AI, AB không đổi do đó để diện tích tứ giác ABKI lớn nhất thì BK lớn nhất

Mà theo câu b ta có AI.BK = AC.BC suy ra BK = AC.BC/AI để BK lớn nhất thì AC.BC

lớn nhất (do AI không đổi) Lại có AC.BC

2 2

AC BC

R2

Bài 36 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (

C khác A và O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại

K Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K và B) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D, đường thẳng BH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N.

1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh CA.CB = CH.CD

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn (O) đi qua trung điểm của DH.

4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

B O

3) Ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của DH

* tứ giác ACMD nội tiếp suy ra góc ADC = góc AMC, tứ giác CHMB nội tiếp suy ra góc AMC = góc HBC = góc NMA suy ra góc ADC = góc NMA nên tứ giác DNHM nội tiếp do

đó góc DNH = 90 0 do góc ANB = 90 0 suy ra điều phải chứng minh.

* Vì NJ là tiếp tuyến (O) suy ra góc JND = góc ONB = góc OBN = góc NDH suy ra tam giác NJD cân tại J suy ra JN = JD mà tam giác NDH vuông tại N suy ra góc JNH + góc JND

= góc JDN + góc JHN = 90 0 do đó góc JNH = góc JHN suy ra tam giác INH cân tại J suy ra

JN = JH do vậy JH = JD nên J là trung điểm của DH

4) MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên cung KB

Gọi Q là giao điểm của MN và AB; OJ cắt MN tại L

Ta chứng minh được MJ là tiếp tuyến của (O) suy ra MN vuông góc OJ do đó tam giác OLQ đồng dạng với tam giác OCJ (g – g) suy ra OL OQ

OC OJ suy ra OL.OJ = OQ.OC Theo

hệ thức lượng trong tam giác vuông OMJ ta có OL.OJ = OM 2 = R 2 (R là bán kính (O)) suy

ra OQ.OC = R 2 suy ra

2

ROQ

OC

 do O, C cố định R không đổi suy ra OQ không đổi suy ra

Q cố định vậy MN đi qua Q

Bài 37 Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (PB, QC).

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE Chứng minh HB.HP = HC.HQ.

c) Chứng minh OA vuông góc với DE

x

K

J

H E

D Q

c) Cách 1 Kẻ tiếp tuyến Ax Ta có góc C Ax  ABC ( cùng chắn cung AC)

Mà ABC  ADE( tứ giác BEDC nội tiếp)

nên C Ax  ADE.

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra Ax // DE.

Mà OA vuông góc Ax nên OA vuông góc DE

Cách 2 Vẽ đường kính AJ của (O) cắt DE tại K ta có góc AJC = góc ABC = góc ADE suy

ra tam giác AKD đồng dạng với tam giác ACJ suy ra góc AKD = ẠC = 90 0

Bài 38 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AA’ và BB’ cắt nhau tại H AO cắt đường tròn tại D.

a) Chứng minh tứ giác ABA’B’ nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) Gọi điểm M đối xứng với D qua AB, điểm N đối xứng với D qua AC Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng

N M

A

C

b) Ta có góc ABD = góc ACD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

H là trực tâm tam giác ABC do đó BD// HC; BH // DC (từ vuông góc đến song song) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành

c) Ta có tứ giác BHCD là hình bình hành nên BH//DC và BH = DC, mà N đối xứng với D qua AC nên N đối xứng D qua C (AC vuông góc với DC) do đó BH // CN và

BH = CN suy ra tứ giác BHNC là hình bình hành suy ra NH//BC, chứng minh tương

tự ta có tứ giác BCHM là hình bình hành nên MH // BC suy ra qua điểm H có 2 đường thẳng là NH và MH cùng song song với BC nên M, H, N thẳng hàng

Bài 39

Xét tam giác OHM và tam giác OMC có góc HOM chung và OH OM

OM OC nên tam giác

OHM đồng dạng với tam giác OMC do đó ta có góc OHM = góc OMC nên góc OMC = 90 0

do đó CM là tiếp tuyến (O)

d) Ta có góc OIC = góc OMC = 90 0 suy ra tứ giác OIMC nội tiếp do đó đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIMC là đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM

Có góc OFC = góc OFD = 90 0 nên 3 điểm D, F, C thẳng hàng.

Suy ra OF vuông góc với DC Xét tam giác ODC có CI và DH là đường cao nên E là trực tâm suy ra OE vuông góc DC Do đó qua điểm O có hai đường thẳng OE và OF cùng vuông góc với DC nên O, E, F thẳng hàng.

Bài 40 Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn (O) Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.

b) Chứng minh HE // BD

c) Chứng minh S ABC = .

4

AB AC BC

R (S ABC là diện tích tam giác ABC)

b) Chứng minh được tứ giác AHEC nội tiếp

nên EHC EAC  (cùng chắn cung EC)

D

F

E H