Tam giác HAD cân tại H suy ra góc HAD = góc HDA
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH suy ra góc HAD = góc HCA (cùng phụ góc HAC)
Suy ra góc HAD = góc HCA suy ra tứ giác BDCE nội tiếp
Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE là giao điểm hai đường trung trực hai cạnh BD và CE
3. C/m AM ⊥ DE.
Trong tam giác vuông ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền suy ra AM = MC suy ra góc MCA = góc MAC = góc ADE. Do góc ADE + góc AED = 900 suy ra góc MAC + góc AED = 900 suy ra tam giác AIE vuông tại I suy ra AM ⊥ DE.
4. C/m AHOM là hình bình hành.
Ta có M là trung điểm của BC suy ra OM ⊥ BC (liên hệ đường kính và dây), mà AH ⊥ BC suy ra OM // AH
Tương tự H là trung điểm của DE suy ra OH ⊥ DE, mà AM vuông góc DE suy ra OH // AM do đó tứ giác AHOM là hình bình hành.
Bài 59. Cho ∆ABC(A=1v). Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D.
1.Chứng tỏ D nằm trên BC.
2.Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE.AC=AE.MC
3.C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng.
1.Chứng tỏ D nằm trên BC.
Ta có góc ADB = góc ADC = 900 suy ra góc BDC = 1800 do đó 3 điểm B, D, C thẳng hàng nên D thuộc BC
2.Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE.AC=AE.MC
Tam giác DAE đồng dạng với tam giác MAC suy ra DE AE DE.AC MC.AE
MC = AC⇒ =
3.C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng.
Ta có BA là tiếp tuyến của (O’) suy ra góc BAE = ½ sđ cung ADM.
Góc AEB là góc có đỉnh trong đường tròn suy ra góc AEB = ½ (sđ cung AD + sđ cung MC) = ½ sđ cung ADM (vì cung MC = cung DM) suy ra góc BAE = góc AEB suy ra tam giác BAE cân tại B. Lại có góc ANB = 900 suy ra BN là đường cao suy ra NA = NE.
Ta có NO là đường trung bình tam giác ABE suy ra NO// BE hay NO // BC
OO’ là đường trung bình tam giác ABC suy ra OO’ // BC do đó O, N, O’ thẳng hàng. 4.Gọi I là trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o.
Ta có O’M vuông góc với DC suy ra O’M vuông góc với O’N suy ra tam giác NO’M vuông tại O’ có O’I là đường trung tuyến ứng cạnh huyền suy ra O’I = IN suy ra góc IO’N = góc INO’ = góc ANO = góc OAN suy ra tứ giác AOIO’ nội tiếp suy ra góc OIO’ = góc OAO’ = 900.
Bài 60. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. 2. AK.AH = R2
2. Chứng minh AK.AH = R2 Ta có 2 ΔACH ΔAKB(gg) AH AC = AB AK 1 AH.AK = AC.AB = 2R. R = R 2 ⇒ ⇒ : 3. Chứng minh NI = BK
Ta có: ΔOAMđều (cân tại M và O)
· · · 0
MAB = NAB = MBN = 60
⇒ ⇒ΔMBN, ΔKMIđều
Xét ΔKMB và ΔIMN có:
MK = MI (cạnh tam giác đều KMI)
· ·
KMB = IMN
⇒ (cùng cộng với góc BMI bằng 600)
MB = MN (cạnh tam giác đều BMN) ΔKMB ΔIMN(c.g.c)
NI = BK
⇒ =
⇒
Bài 61. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Các đường cao AH và BK cắt đường tròn tại điểm thứ hai theo thứ tự D và E.
a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn đó. b) Chứng minh DE//HK
c) Cho (O;R) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên (O:R) sao cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK không đổi.
F N N M D E O K H C B A