Các bài hình học tổng hợp lớp 9 dùng ôn thi lớp 10 rất hay có đáp án chi tiết

Đây là các bài toán hình học lớp 9 rất hay và tổng hợp nhiều kiến thức dùng cho học sinh ôn thi vào lớp 10 kể cả lớp 10 chuyên, đề bài đã được chọn lọc và trình bày đáp án đầy đủ

CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ƠN THI LỚP 10 Bài 1: Cho tam giác ABC có góc nhọn AB E trung điểm AF (3) Từ BE  AF => AF  HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vng A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài 56 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD E 1/Chứng minh AM phân giác góc CMD 2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM 4/Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.Chứng minh NI//CD C M E A F N O I B D d) ta có góc AMD = góc CBD suy tứ giác MNIB nội tiếp suy góc NIB = 900 suy NI vng góc với AB CD vng góc với AB suy IN // DC Bài 57 Cho ABC có góc A=1v;Kẻ AHBC.Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G.Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D C/m:AEHF nội tiếp Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC Chứng minh EFDG góc FHC=góc AFE Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn G A E B I F C H D Chứng minh EFDG góc FHC=góc AFE Trong tam giác GDF có GH DA đường cao suy E trực tâm suy FE vng góc với DG Tứ giác AEHF nội tiếp suy góc AFE = góc AHE, mà góc AHE = góc FHC ( phụ với góc AHF) suy góc AFE = góc FHC Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn Gọi I trung điểm EF suy IA = IH, mà EF = IA + IH  AH, EF ngắn EF = AH I thuộc AH suy tứ giác AEHF hình chữ nhật suy HE = HF Bài 58 Cho ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E; Trung tuyến AM ABC cắt DE I Chứng minh D; H; E thẳng hàng C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn C/m AM  DE C/m AHOM hình bình hành A I B D H M E C O Chứng minh D; H; E thẳng hàng Góc DAE = 900 (gt) suy DE đường kính đường tròn tâm H suy D, H, E thẳng hàng C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn Tam giác HAD cân H suy góc HAD = góc HDA Tam giác ABC vng A, đường cao AH suy góc HAD = góc HCA (cùng phụ góc HAC) Suy góc HAD = góc HCA suy tứ giác BDCE nội tiếp Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE giao điểm hai đường trung trực hai cạnh BD CE C/m AM  DE Trong tam giác vng ABC có AM trung tuyến ứng với cạnh huyền suy AM = MC suy góc MCA = góc MAC = góc ADE Do góc ADE + góc AED = 900 suy góc MAC + góc AED = 900 suy tam giác AIE vuông I suy AM  DE C/m AHOM hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy OM  BC (liên hệ đường kính dây), mà AH  BC suy OM // AH Tương tự H trung điểm DE suy OH  DE, mà AM vng góc DE suy OH // AM tứ giác AHOM hình bình hành Bài 59 Cho ABC(A=1v) Dựng đường trịn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC Hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D Chứng tỏ D nằm BC Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o A O' N O B I D C E M Chứng tỏ D nằm BC Ta có góc ADB = góc ADC = 900 suy góc BDC = 1800 điểm B, D, C thẳng hàng nên D thuộc BC Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC DE AE Tam giác DAE đồng dạng với tam giác MAC suy   DE.AC  MC.AE MC AC C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng Ta có BA tiếp tuyến (O’) suy góc BAE = ½ sđ cung ADM Góc AEB góc có đỉnh đường trịn suy góc AEB = ½ (sđ cung AD + sđ cung MC) = ½ sđ cung ADM (vì cung MC = cung DM) suy góc BAE = góc AEB suy tam giác BAE cân B Lại có góc ANB = 900 suy BN đường cao suy NA = NE Ta có NO đường trung bình tam giác ABE suy NO// BE hay NO // BC OO’ đường trung bình tam giác ABC suy OO’ // BC O, N, O’ thẳng hàng Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o A O' N O B D E I C M Ta có O’M vng góc với DC suy O’M vng góc với O’N suy tam giác NO’M vng O’ có O’I đường trung tuyến ứng cạnh huyền suy O’I = IN suy góc IO’N = góc INO’ = góc ANO = góc OAN suy tứ giác AOIO’ nội tiếp suy góc OIO’ = góc OAO’ = 900 Bài 60 Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA; qua C kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt đường trịn hai điểm phân biệt M N Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B M), tia KN lấy điểm I cho KI = KM Gọi H giao điểm AK MN Chứng minh rằng: Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp AK.AH = R2 NI = BK K M H I B O A C N Chứng minh AK.AH = R2 Ta có ΔACH  ΔAKB(gg) AH AC  = AB AK  AH.AK = AC.AB = 2R R = R 2 Chứng minh NI = BK Ta có: ΔOAM (cân M O)     MAB = NAB = MBN = 600  ΔMBN, ΔKMI Xét ΔKMB ΔIMN có: MK = MI (cạnh tam giác KMI)    KMB = IMN (cùng cộng với góc BMI 60 ) MB = MN (cạnh tam giác BMN)   ΔKMB  ΔIMN(c.g.c)  NI = BK Bài 61 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các đường cao AH BK cắt đường tròn điểm thứ hai theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp Xác định tâm đường trịn b) Chứng minh DE//HK c) Cho (O;R) dây AB cố định, điểm C di chuyển (O:R) cho tam giác ABC nhọn Chứng minh độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK không đổi D C H E K A O F B M N     a) Tứ giác ABHK nội tiếp nên KHA  KBA Xét (O)có KBA  EDA Suy   KHA  EDA Do HK//DE b) Gọi M trung điểm AB  M cố định  OM không đổi Chứng minh : AFBN hình bình hành suy F,M,N thẳng hàng Chứng minh : CF = 2.OM không đổi Chứng minh CKFH nội tiếp đường trịn đường kính CF Suy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK OM = CF không đổi Bài 62 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Điểm H thuộc đoạn thẳng AO (H khác A O) Đường thẳng qua điểm H vng góc với AO cắt nửa đường tròn (O) C Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) D cắt đường thẳng HC E Gọi I giao điểm AD HC a) Chứng minh tứ giác BHID nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác IED tam giác cân c) Đường thẳng qua I song song với AB cắt BC K Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD trung điểm đoạn CK E D C I A K H O B c) Vì IK//AB (gt) nên KID  BAD ( hai góc đồng vị) Mà BCD  BAD (góc nội tiếp chắn cung BD (O)) Nên BCD  KID Suy tứ giác DCIK nội tiếp (5)   900 Ta có AB  IH ; IK//AB(gt) nên IK  IH hay CIK (6) Từ (5) (6) ta có CK đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ICD Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD trung điểm đoạn CK Bài 63 Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) ĐƯờng thẳng (d) qua A cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt B, C (O không thuộc (d), B nằm A C) Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh điểm O, H, M, A, N nằm đường tròn b) Chứng minh HA phân giác góc MHN c) Lấy điểm E MN cho BE//AM Chứng minh HE//CM M O E A B H C N   c) Do BE//AM(gt) nên AMN  BEN (đồng vị )    Mà AMN = BHN ( = NHA )   Suy : BEN = BHN => Tứ giác BEHN nội tiếp ( theo quỹ tích cung chứa góc )   Do : NEH  NBH ( chắn cung NH)   Xét (O) : NMC = NBH ( chắn cung NC)   Suy : NEH = NMC ( Hai góc vị trí đồng vị ) Vậy EH//MC Bài 64 Cho góc vng xAy Trên tia Ax, lấy điểm B cho AB = 2R (với R số dương) Gọi M điểm thay đổi tia Ay ( M khác A) Kẻ phân giác góc ABM cắt Ay E Đường trịn tâm I đường kính AB cắt BM BE C D (C D khác B)   a) Chứng minh CAD=ABD b) Gọi K giao điểm đường thẳng ID AM Chứng minh CK= AM c) Tính giá trị lớn chu vi tam giác ABC theo R c) Cách 1: Ta có  CA  CB   CA2  CB  2CA.CB  CA2  CB  CA  CB 2   CA  CB    CA2  CB  (3) Dấu “=” xảy CA  CB  ABC vuông cân C y M    450  AM  AB  R ABC  ABC vuông C (theo (2)) nên CA2  CB  AB  R (4) Từ (3) (4) suy CA  CB  2R K E C D Suy chu vi  ABC CA  CB  AB  2R  2R Vậy giá trị lớn chu vi  ABC R  R (đạt AM =2R ) A I B x y M H P C G A I B x c) Cách 2: Gọi G điểm cung AB P giao BG với Ay APB  ABP vuông cân A    450 (5) BP  AB  R Trên tia đối tia CB lấy H cho CH=CA  ACH vuông cân C    450 (6) AHC BH  CA  CB  chu vi tam giác ABC BH+AB Từ (5),(6)      450  bốn điểm A,B,H,P thuộc (G) đường kính BP APB AHB BH dây (G) đkính BP nên BH  BP  AB  R Dấu “=” xảy BH trùng BP M trùng P hay AM=2R Do giá trị lớn chu vi tam giác ABC R  R Bài 65 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, đường kính AI Gọi D điểm thay đổi cung nhỏ AC (D khác A C)  a) Chứng minh AI phân giác BAC b) Trên tia DB lấy đoạn DE = DC Chứng minh tam giác CDE DI vng góc với CE c) Chứng minh E thay đổi cung tròn cố định A D O E B C I    b) Trong (O) có BAC  BDC (góc nội tiếp chắn BC )  Mà BAC  60 O (gt)  Suy EDC  60 O Lại có DE = DC (gt) Suy tam giác DEC      Ta có BDI  BAI  CAI  CDI suy DI phân giác EDC Mà tam giác EDC nên DI  EC (1) c) Từ (1) suy DI trung trực EC  IC = IE Do I, C cố định Suy E di chuyển đường tròn tâm I bán kính IC * Giới hạn: Nhận xét E giao điểm tia BD với (I; IC) Mà tia BD nằm tia BA BD nên E di chuyển cung BC (I; IC) bỏ B, C phần năm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A Bài 66 Cho  ABC nhọn (AB