Sơ đồ đoạn thẳng đối với việc dạy học giải toán ở tiểu học

Là một sinh viên vừa bước vào năm thứ ba, đã và đang được học phương pháp dạy học các môn học ở Tiểu học, trong đó có học phần phương pháp dạy học Toán Tiểu học, tôi đã tìm hiểu và bước

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Khác với môn Toán ở bậc học trên, ở Tiểu học môn Toán là một môn học mang tính thống nhất các kiến thức cơ bản ban đầu của số học và đại số, hình học và được xây dựng bởi 5 mạch kiến thức: Số học và yếu tố đại số; Một số yếu tố hình học; Các đại lượng thông dụng; Một số yếu tố thống kê; Giải toán có lời văn Cấu trúc chương trình được xây dựng trên các mạch kiến thức được chọn lọc, sắp xếp theo nguyên tắc đồng tâm từ đơn giản đến phức tạp, đảm bảo

cơ bản, hệ thống, trong đó giải toán chiếm một tỉ lệ lớn trong chương trình Toán

ở Tiểu học

Đặc điểm tâm lý ở lứa tuổi học sinh Tiểu học là sự tập trung chú ý của các

em chưa cao, dễ bị phân tán, nhanh nhớ nhưng lại nhanh quên Khả năng tư duy trừu tượng, tư duy lôgic, khả năng phân tích, khái quát hóa còn non nớt Ở lứa tuổi này tư duy cụ thể chiếm ưu thế nên trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải toán nói riêng cần phải nhờ tới các công cụ trực quan hỗ trợ cho quá trình tư duy của các em Một trong những công cụ trực quan được sử dụng nhiều trong dạy học Toán ở Tiểu học là sơ đồ đoạn thẳng bởi nhờ sơ đồ đoạn thẳng, các khái niệm và quan hệ trừu tượng được biểu thị trực quan hơn đồng thời nó cũng giúp cho học sinh Tiểu học trực quan hóa các suy luận và giải quyết các vấn đề Toán học dễ dàng hơn

Là một sinh viên vừa bước vào năm thứ ba, đã và đang được học phương pháp dạy học các môn học ở Tiểu học, trong đó có học phần phương pháp dạy học Toán Tiểu học, tôi đã tìm hiểu và bước đầu nhận thấy sơ đồ đoạn thẳng có vai trò rất quan trọng trong dạy học giải Toán ở Tiểu học Với mong muốn chuẩn bị tốt cho việc thực tập lần 2 tới đây cũng như việc dạy học Toán ở Tiểu học sau này, đồng thời có nhận thức đầy đủ hơn về vai trò của sơ đồ đoạn thẳng

và việc sử dụng nó trong dạy học giải Toán ở Tiểu học chúng tôi chọn đề tài “Sơ

đồ đoạn thẳng đối với việc dạy học giải Toán ở Tiểu học”

II Mục đích nghiên cứu

1 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học giải Toán ở Tiểu học tạo sơ sở

tư duy cho học sinh trong quá trình giải Toán

2 Áp dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng vào giải một số dạng toán cơ bản

ở Tiểu học

III.Khách thể và đối tượng nghiên cứu

1 Khách thể nghiên cứu:

- Chương trình Toán Tiểu học

- Các phương pháp giải Toán thường dùng ở Tiểu học

2 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học giải Toán ở Tiểu học

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu đặc điểm tư duy Toán học của học sinh Tiểu học

- Nghiên cứu chương trình Toán Tiểu học

- Nghiên cứu các phương pháp giải Toán thường dùng ở Tiểu học

- Nghiên cứu vai trò của sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học Toán ở Tiểu học

- Nghiên cứu việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học giải Toán ở Tiểu học

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các tài liệu để tổng hợp các vấn đề

cơ bản liên quan đến nội dung nghiên cứu trong đề tài

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua quá trình học tập và nghiên cứu

rút ra được kinh nghiệm cho bản thân áp dụng vào đề tài nghiên cứu

- Phương pháp tìm hiểu thực tế: Sưu tầm, nghiên cứu, tổng hợp một số đề

Toán ở các trường Tiểu học có nội dung liên quan đến nội dung nghiên cứu trong đề tài

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia

VII Giả thuyết khoa học

Có thể hệ thống đầy đủ, lôgic một số dạng toán ở Tiểu học giải bằng phương pháp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Đặc điểm tư duy Toán học của học sinh Tiểu học

Học sinh Tiểu học ( 6-7 tuổi đến 11-12 tuổi) là lứa tuổi các em tiếp bước ở bậc Mầm non với nhiệm vụ vui chơi là chính, khi bước vào bậc Tiểu học nhiệm

vụ học tập lại được đặt lên hàng đầu Vì vậy sự tri giác ở lứa tuổi này mang tính tổng thể do khả năng phân tích của các em trong giai đoạn này vẫn còn hạn chế Các em rất nhạy cảm với những tác động từ bên ngoài, tri giác thường gắn liền với các đồ vật Tri giác không gian chưa được chính xác Đồng thời tri giác về mặt thời gian ở lứa tuổi này còn chịu nhiều tác động của tình cảm, các tri giác đều mang tính trực quan Về sau, các hoạt động tri giác phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác hơn

Bên cạnh đó, sự chú ý không chủ định chiếm ưu thế đối với học sinh đầu cấp Các em dễ bị ảnh huởng, lôi cuốn bởi các hoạt động hấp dẫn, mới lạ, trực quan, gợi cảm Ở lứa tuổi này khả năng chú ý không bền vững, sự tập trung chú

ý kém nên những hoạt động kéo dài thường đưa đến hiệu quả không cao Sự chú

ý của học sinh Tiểu học còn bị phân tán, thường hướng ra bên ngoài, vào hoạt động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy

Trong giai đoạn ở bậc Tiểu học học sinh rất hiếu động, tò mò, nhanh nhớ nhưng lại nhanh quên Những hình ảnh trực quan, hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ logic đồng thời các hiện tượng cụ thể dễ tiếp nhận hơn những câu chữ trừu tượng, khô khan Ở giai đoạn này trí tưởng tượng của các em dần dần phát triển tuy nhiên vẫn còn tản mạn, chịu nhiều tác động của hứng thú, của kinh nghiệm sống cùng với các mẫu hình đã biết

Cùng với sự phát triển của lứa tuổi, tư duy ở học sinh Tiểu học cũng được chia ra là các giai đoạn tư duy khác nhau

Giai đoạn 6 – 7 tuổi đến 11- 12 tuổi là giai đoạn mới của phát triển tư duy – giai đoạn tư duy cụ thể Lúc này tư duy của các em còn phụ thuộc nhiều vào các

đồ vật hiện tượng thực tại, chưa tác động được trên lời nói và các giả thiết bằng lời Trong một chừng mực nào đó hoạt động trên các đồ vật, sự kiện bên ngoài

còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy Các thao tác tư duy lúc này có sự tiến bộ, song vẫn còn thể hiện sự liên kết từng phần chưa hoàn toàn tổng quát nhưng bước đầu chúng đã gắn bó với nhau hay bằng tính thuận nghịch

Học sinh có khả năng nhận thức được cái bất biến và hình thành được khái niệm bảo toàn, tư duy có bước phát triển rất quan trọng trong sự phân biệt được định tính với định lượng – điều kiện ban đầu cần thiết để hình thành khái niệm

“số” Dựa vào các tập hợp tương đương học sinh đầu cấp hiểu được cái bất biến

là sự tương ứng 1 - 1 không thay đổi khi thay đổi cách sắp xếp các phần tử từ đó hình thành khái niệm bảo toàn "số lượng" của các tập hợp trong các tập hợp đó Nhận thức tính chất thuận nghịch của các thao tác trong sự liên kết giữa các thao tác đưa đến nhận thức có tính quy luật ( chẳng hạn nếu a < b thì b > a) sau

đó (nếu a < b và b < c thì a < c) Từ đó nhận thức được quan hệ thứ tự bằng quan

hệ “< , >” Thao tác tư duy này mới hình thành nên chưa có tính đồng bộ học sinh dựa nhiều vào sự mò mẫm, thử sai

Học sinh cuối cấp có cái nhìn đa chiều hơn , có khả năng phối hợp các quan điểm khác nhau đối với một tập hợp đồ vật quan hệ với nhau, biết được mặt nước vẫn nằm ngang khi bình nghiêng Điều này cho thấy sự tiến bộ về mặt không gian Những hạn chế ở lứa tuổi trước dần được khắc phục và tư duy cụ thể được hoàn chỉnh dần Lúc này tư duy đã có sự tách dần ra khỏi tư duy cụ thể sang phát triển tư duy hình thức, không còn bị phụ thuộc vào tính hiện thực, đưa thực tại vào lĩnh vực của khả năng logic và được thể hiện bằng mệnh đề lời nói

và các giả thiết

Lứa tuổi học sinh Tiểu học khả năng phân tích, tổng hợp phát triển không đồng đều còn ở trình độ thấp nên các em khó phân biệt dấu hiệu bản chất hay không bản chất trong phát triển kĩ năng Tổng hợp nhiều khi không đúng hay không đầy đủ dẫn đến sai lầm trong quá trình khái quát Như việc các em bị lôi cuốn vào một vài từ như "thêm, bớt, hơn, kém" trong điều kiện đầu bài và tách chúng ra khỏi điều kiện chung để lựa chọn phép tính tương ứng với từ đó, do đó mắc sai lầm

Sự phán đoán theo cảm nhận riêng nên suy luận thường mang tính tuyệt đối diễn ra ở học sinh đầu cấp Các em khó nhận thức về kéo theo trong quan hệ suy diễn Chẳng hạn: đáng lẽ hiểu “10 = 2 x 5 nên (suy ra) 10 : 2 = 5” thì học sinh thường nói “10 = 2 x 5 và 10 : 2 = 5” coi như đó là 2 mệnh đề không có quan hệ với nhau Đặc biệt các em thường nhầm giả thiết với kết luận, vì vậy việc chứng minh toán học là rất khó đối với học sinh Tiểu học ngay cả học sinh cuối cấp Học sinh lứa tuổi Tiểu học ngôn ngữ được phát triển dần, đồng thời xuất hiện các hình thức tư duy kí hiệu Sự nhận thức của học sinh có ảnh hưởng trong mối quan hệ của ba thứ ngôn ngữ là ngôn ngữ với các thuật ngữ công cụ khi dạy – học Toán, ngôn ngữ kí hiệu và ngôn ngữ tự nhiên học sinh thường dùng hằng ngày

1.2 Chương trình Toán Tiểu học

Chương trình Toán ở Tiểu học được xây dựng trên 5 mạch kiến thức lớn: Số học và yếu tố đại số, một số yếu tố hình học, đại lượng và đo đại lượng, một số yếu tố thống kê, giải toán có lời văn Trọng tâm đồng thời là hạt nhân của nội dung môn Toán ở Tiểu học là các kiến thức và kĩ năng cơ bản về số học các số

tự nhiên và các số thập phân Dựa vào đặc điểm lứa tuổi học sinh Tiểu học hệ thống kiến thức và kĩ năng về số học được và sắp xếp thành nhiều vòng theo nguyên tắc đồng tâm tích hợp giữa các tuyến kiến thức của các môn học đảm bảo tính thống nhất từ lớp 1 đến lớp 5 Các số đến 10 (lớp 1), các số đến 20 và đến 100 (lớp 2), các số đến 1000 (lớp 3) và các số có những chữ số (lớp 4), các

số thập phân (lớp 5) Các kiến thức và kĩ năng số học các số tự nhiên, coi như sự

mở rộng của tập hợp các số tự nhiên Các nội dung được trình bày theo quan điểm của Toán học hiện đại từ trực quan sinh động đến trừu tượng khái quát, đa dạng và phong phú Nội dung chương trình không thể hiện dưới dạng có sẵn, tạo điều kiện cho học sinh tự phát hiện vấn đề, tự giải quyết vấn đề, tự chiếm lĩnh tri thức một cách linh hoạt phát triển theo tri thức của từng học sinh Dạy học số học tập trung vào số thập phân và số tự nhiên Dạy học phân số chỉ giới thiệu một số nội dung cơ bản và sơ giản nhất phục vụ chủ yếu cho dạy học số thập phân và một số ứng dụng trong thực tế Một số yếu tố đại số được tích hợp trong

số học, góp phần làm nổi rõ dần một số quan hệ số lượng và cấu trúc của các tập hợp số

Chương trình Tiểu học cung cấp cho học sinh những kiến thức và kĩ năng về

số học như: Khái niệm ban đầu, kí hiệu, cách đọc, cách ghi số tự nhiên và các quan hệ trong tập hợp các số tự nhiên; So sánh các số tự nhiên và 3 quan hệ giữa các số tự nhiên với kí hiệu “<, >, =”; Xếp thứ tự các số tự nhiên theo 3 quan hệ nói trên thành dãy số tự nhiên; Một số tính chất cơ bản, đặc trưng của dãy số tự nhiên; Các phép tính trong tập hợp số tự nhiên (cộng, trừ, nhân, chia): ý nghĩa, quan hệ giữa các phép tính này, đặc biệt giữa cộng trừ, nhân chia, các tính chất

cơ bản của phép tính này, thuật toán đối với các số tự nhiên Cuối cấp học học sinh bước đầu được làm quen với phân số và số thập phân cùng với một số tính chất cơ bản, đặc trưng và tập hợp phân số, số thập phân Các phép tính đối với các phân số và số thập phân (ý nghĩa, tính chất cơ bản của các phép tính, thực hiện các phép tính, thuật toán) đối với các số đó Trong giai đoạn này các kiến thức và kĩ năng về đại số học sinh cũng được tiếp nhận như: Việc dùng chữ thay số; Khái niệm mở đầu về phương trình, bất phương trình đơn giản, cách giải (bằng phương pháp thử - sai hay vận dụng quan hệ giữa các phép tính)

Cùng với việc đưa đến các kiến thức về số học và đại số các kiến thức về đại lượng và đo đại lượng thường gặp cũng được đề cập trong chương trình Lúc này học sinh nhận biết được khái niệm về các đại lượng thường gặp như độ dài, diện tích, khối lượng, thể tích, thời gian…; Khái niệm đo đại lượng và số đo; Đơn vị đo, kí hiệu, quan hệ giữa các đơn vị trong hệ thống đơn vị đo và việc chuyển đổi đơn vị đo; Quan hệ giữa việc đo đại lượng với việc xây dựng tập hợp các số thập phân; Biểu diễn các số đo bằng các đơn vị khác nhau; Tỉ số của các đại lượng và 2 bài toán khi tìm tỉ số biết tổng hay hiệu và tỉ số; Đại lượng tỉ lệ và

2 bài toán về đại lượng tỉ lệ (thuận, nghịch)

Bên cạnh đó các em còn được biết về những biểu tượng về hình học đơn giản như điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, đường gấp khúc, góc, tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn, hình hộp chữ nhật, hình lập

phương, hình trụ; Chu vi, diện tích các hình; Thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chữ nhật

Khi lên lớp 3 học sinh được làm quen với một số yếu tố thống kê, tập lập và nhận xét bảng số liệu, biểu đồ

Chiếm một thời lượng lớn của chương trình và có ý nghĩa quan trọng trong dạy học Toán ở Tiểu học là nội dung giải toán Hoạt động cơ bản nhất của người làm Toán là giải toán Ở Tiểu học giải toán có thể sử dụng vào hầu hết các khâu trong quá trình dạy học và có ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán Lấy giải toán làm điểm xuất phát để làm động cơ hình thành tri thức mới; Lấy giải toán làm phương tiện củng cố tri thức mới; Lấy giải toán làm phương tiện để rèn luyện kĩ năng vận dụng tri thức vào thực tiễn; Lấy giải toán làm phương tiện để phát triển năng lực tư duy của học sinh Nói cách khác, quá trình giải toán là một dãy suy luận “Luyện” giải toán tức là “luyện” suy luận và cũng có nghĩa là rèn luyện tư duy

1.3 Các phương pháp giải toán thường dùng ở Tiểu học

Do đặc điểm nhận thức, khả năng hiểu biết của học sinh Tiểu học nên trong chương trình Toán Tiểu học một số phương pháp giải toán thường được sử dụng

để giải toán như:

1.3.1 Phương pháp thử chọn

Là phương pháp giải toán được sử dụng sớm nhất trong dạy học giải Toán ở Tiểu học Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán về tìm một số khi biết

số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước Dùng để giải các bài toán

về cấu tạo số, số thập phân, cấu tạo phân số và các bài toán có lời văn về hình học, chuyển động đều, toán tính tuổi Phương pháp thử chọn thường được giải qua 2 bức là thống kê và kiểm tra Khi giải toán bằng phương pháp này kích thích khả năng suy luận, tư duy logic từ đó hình thành tính cẩn thận, kiên trì, nhẫn nại của học sinh Có những bài toán đòi hỏi học sinh phải nêu lên tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với một đối tượng nào đó, sau đó tiến hành kiểm tra trường hợp phù hợp với điều kiện cho trước Đây cũng chính là điểm hạn chế của phương pháp thử chọn, học sinh phải tiến hành thử - sai qua nhiều trường

hợp mới đưa tới kết quả dẫn tới việc mất nhiều thời gian trong quá trình giải

quyết bài toán

1.3.2 Phương pháp dùng chữ thay số

Phương pháp dùng chữ thay số là phương pháp mà khi giải các bài toán, số cần tìm được kí hiệu với biểu tượng nào đó có thể là "?" hoặc có thể là các chữ cái a, b, c, x, y Từ cách chọn số liệu nói trên, theo điều kiện của đề bài, người

ta đưa về một phép tính hay dãy tính chứa các biểu tượng này Dựa vào quy tắc tìm thành phần chưa biết phép tính ta tính được số cần tìm Phương pháp này dùng để tìm thành phần chưa biết cả một phép tính, tìm các chữ số chưa biết của

một số tự nhiên, giải toán có lời văn

1.3.3 Phương pháp rút về đơn vị và tỉ số

Lên lớp 3 học sinh được làm quen với giải bài toán bằng phương pháp rút về đơn vị và tỉ số Đây là một phương pháp giải toán thường dùng để giải các bài toán về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Tức là trong một bài toán đơn giản về tỉ lệ (thuận hay nghịch) người ta thường cho biết 2 giá trị của đại lượng thứ nhất và một giá trị của đại lượng thứ hai Bài toán đòi hỏi phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai Để tìm giá trị đó, ở bậc Tiểu học có thể sử dụng một trong những phương pháp thường dùng như phương pháp rút về đơn vị và tỉ số

1.3.4 Phương pháp thay thế

Là một phương pháp giải toán ở Tiểu học, trong đó có thể thay thế một vài

số chưa biết bằng một số chưa biết khác, như vậy từ việc phải tìm nhiều số ta đưa bài toán về tìm một số Phương pháp thay thế thường được dùng để giải các bài toán về tìm hai hay nhiều số khi biết tổng và hiệu giữa các số đó

1.3.5 Phương pháp tính ngược từ cuối

Đối với các bài toán sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối Khi giải các bài toán bằng phương pháp này ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong bài toán Kết quả tìm được trong các bước trước chính là thành phần đã biết trong các phép tính đó Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần

tìm Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán có lời văn, toán vui, toán cổ

1.3.6 Phương pháp đại số

Giải bài toán bằng phương pháp đại số kích thích tư duy của học sinh để đưa

ra những hướng giải độc đáo cho bài toán Tuy nhiên bài toán giải toán bằng phương pháp này mang tính chất biến đổi hình thức, trừu tượng, có thể làm cho

ý nghĩa của các phép tính không được nổi rõ, thậm chí bị che lấp đi Chính vì vậy trong chương trình tiểu học chỉ đưa vào một vài yếu tố đơn giản của phương pháp đại số, phỏng theo một số khâu trong quá trình giải toán bằng cách lập phương trình như: Dùng chữ hoặc từ để kí hiệu số; Lập biểu thức chứa chữ hoặc

từ Tìm số đã kí hiệu bằng chữ hoặc từ dựa vào quan hệ giữa các phép cộng – trừ hoặc nhân – chia

1.3.7 Phương pháp chia tỉ lệ

Phương pháp chia tỉ lệ là phương pháp giải toán thường được kết hợp với phương pháp sơ đồ đoạn thẳng với chức năng tóm tắt đề bài toán, từ đó chia các đoạn thẳng theo tỉ lệ của một phần cơ sở và tìm các giá trị cần tính Phương pháp này thường dùng trong giải các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số hoặc hiệu và tỉ số của hai số đó Phương pháp này còn dùng để giải các bài toán

về cấu tạo số tự nhiên, cấu tạo phân số, cấu tạo số thập phân, các bài toán có nội dung hình học, các bài toán chuyển động đều

1.3.8 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một phương pháp giải toán ở Tiểu học trong đó mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán được biểu diễn bằng sơ đồ đoạn thẳng Nói các khác, nó là phương pháp dùng các đoạn thẳng và sắp xếp chúng một cách thích hợp để thay các số khi thiết lập các mối quan hệ phụ thuộc đã cho trong bài toán, tạo một hình ảnh cụ thể giúp học sinh suy nghĩ, tìm tòi cách giải toán

Trong các phương pháp giải toán ở Tiểu học không có phương pháp nào là phương pháp vạn năng vì vậy khi giải các bài toán cần có sự kết hợp linh hoạt giữa các phương pháp khác nhau để đạt được hiệu quả cao nhất Dựa vào đặc

điểm tâm lý cũng như khả năng nhận thức, suy luận ở lứa tuổi học sinh Tiểu học thì giải toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giúp học sinh có cơ sở, điểm tựa để giải quyết yêu cầu bài toán một cách thuận lợi hơn

1.4 Vai trò của sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học giải toán ở Tiểu học

Cái khó của giải toán ở Tiểu học không phải là việc tìm ra đáp số hoặc lời giải cho một bài toán Cái khó của giải toán Tiểu học là biết dùng kiến thức của học sinh Tiểu học và đưa ra lời giải phù hợp với tư duy của học sinh Tiểu học

Sơ đồ đoạn thẳng giúp học sinh tóm tắt bài toán, sơ đồ hóa các dạng toán có lời văn từ những dữ liệu bài toán đặt ra Đồng thời nó còn giúp học sinh tích lũy được những hình tượng cụ thể, quan sát để tạo chỗ dựa cho quá trình trừu tượng hóa, phát triển khả năng tư duy, phân tích tổng hợp, khả năng trừu tượng hóa và

cụ thể hóa

Việc giải toán vừa đòi hỏi tính tích cực độc lập sáng tạo và tư duy, vừa đòi hỏi khả năng thực hành Trong thực tế có những em có khả năng tư duy nhanh, suy luận tốt nhưng khả năng diễn đạt lại hạn chế Thông qua việc tóm tắt bài toán dựa trên sơ đồ đoạn thẳng rèn luyện cho học sinh khả năng diễn đạt bằng ngôn ngữ nói và viết Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có lời văn giúp học sinh tích lũy được những hình tượng cụ thể, quan sát để tạo chỗ dựa cho quá trình trừu hóa và thoát khỏi sơ đồ cụ thể của bài tập Cho nên để giải được bài toán, sử dụng sơ đồ đoạn thẳng dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nắm

và vận dụng những phương pháp để giải toán và tạo ra môi trường khuyến khích các em chủ động, tích cực, sáng tạo trong quá trình giải toán để đạt kết quả cao Học sinh Tiểu học khả năng tư duy mới bước đầu phát triển, sự tư duy còn chưa thoát khỏi những yếu tố cụ thể còn dựa nhiều vào các đồ vật trực quan nên việc tiếp nhận các kiến thức toán học mang tính chất trừu tượng cần có chỗ dựa cho tư duy Sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng nhiều trong dạy học Toán ở Tiểu học và có vai trò đặc biệt quan trọng Nhờ có sơ đồ đoạn thẳng các khái niệm (phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia) và quan hệ trừu tượng của số học: hiệu và tỉ số được biểu thị trực quan hơn Nhờ đó mà việc tóm tắt bài toán được

sử dụng khá phổ biến ở một số dạng toán

Sơ đồ đoạn thẳng giúp biểu thị các khái niệm toán học:

+ Dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị phép cộng:

+ Dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị phép trừ:

+ Dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị phép nhân:

+ Dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị phép chia:

Sơ đồ đoạn thẳng giúp biểu thị các quan hệ toán học:

+ Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị quan hệ tỉ số:

+ Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị quan hệ hiệu:

Ngoài chức năng tóm tắt bài toán sơ đồ đoạn thẳng còn giúp học sinh "trực quan hóa" các suy luận làm cơ sở tìm ra lời giải

Ví dụ: Cùng một lúc Giang đi từ A đến B, Dương đi từ B đến A Hai bạn gặp

nhau lần đầu tại một điểm C cách A 3km, rồi lại tiếp tục đi Giang đến B rồi quay lại A

n

ngay còn Dương đến A rồi cũng trở lại B ngay Hai bạn gặp nhau lần thứ 2 tại một điểm D cách B 2km Tính quãng đường AB và xem ai đi nhanh hơn?

Đây là một bài toán khó đối với học sinh Tiểu học kể cả học sinh cuối cấp nhưng với việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng ta có thể biểu thị bài toán như sau:

Dựa vào sơ đồ ta có thể hướng dẫn học sinh suy luận dễ dàng

Khi gặp nhau lần thứ nhất cả hai người đi được 1 lần quãng đường AB

Khi gặp nhau lần thứ hai cả hai người đã đi được 3 lần quãng đường AB

Vì đi 1 lần quãng đường AB Giang đi được 3km Vậy khi đi 3 lần quãng đường AB Giang đi được quãng đường là:

3 x 3 = 9 (km)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy Giang đi từ A đến B rồi quay lại A ngay và gặp Dương tại điểm D tức là lúc này Giang đã đi được 1 lần quãng đường AB và 2km nữa

Vậy độ dài quãng đường AB là:

9 – 2 = 7 (km)

Từ sơ đồ ta thấy khi gặp nhau lần 1 thì Giang đã đi được 3km và Dương đã

đi được 4km (vì quãng đường AB là 7km) Khi gặp nhau lần 2 thì tổng quãng đường Giang đã đi là 9km và Dương đã đi là 10km Vậy Dương là người đi nhanh hơn

Đáp số: 9km; Dương đi nhanh hơn

Ưu thế về tính trực quan khiến cho các sơ đồ trở thành một phương tiện giải toán thường xuyên được sử dụng ở bậc Tiểu học từ việc giải các bài toán đơn đến các bài toán hợp, toán điển hình, toán nâng cao Đặc biệt chúng ta thấy rất

rõ ở dạng toán điển hình như: tìm hai số khi biết tổng và hiệu của của hai số đó ; tìm hai số khi biết hiệu (tổng) và tỉ số của hai số đó từ đó đưa ra cách giải và quy tắc giải

CHƯƠNG 2 VIỆC SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG TRONG

DẠY HỌC GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC

Theo cấu trúc nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học nội dung giải toán chiếm tỉ lệ lớn trong toàn bộ chương trình Trong đó phương pháp sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng thường xuyên để giải nhiều dạng toán khác nhau như: các bài toán đơn, các bài toán hợp và một số dạng toán có lời văn điển hình ở Tiểu học Phương pháp này học sinh được làm quen và áp dụng từ lớp 2 cho đến lớp 5 với những bài toán, dạng toán được xây dựng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

Trong chương trình lớp 2 phần nội dung giải toán chiếm khoảng 20% thời gian dạy học Toán Trong đó có hai tiết "Bài toán nhiều hơn" và "Bài toán ít hơn" được đưa vào dạy học độc lập thành từng bài riêng ở tiết 23 và tiết 29 đã

sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh nắm được mục tiêu của bài

Lớp 3 số lượng các dạng bài toán có sử dụng sơ đồ đoạn thẳng được tăng lên Điển hình là nhóm các bài toán đơn phát triển thêm ý nghĩa mới của phép tính số học như: Gấp một số lên nhiều lần; Giảm đi một số lần; So sánh số lớn gấp mấy lần số bé; So sánh số bé bằng một phần mấy số lớn Các bài toán điển hình như "Bài toán liên quan đến rút về đơn vị" Bài toán không điển hình như

"Bài toán giải bằng hai phép tính"

Học sinh lớp 4 các em chuyển sang giai đoạn học tập sâu, các kiến thức toán học không chỉ dừng lại ở nội dung sơ lược, cơ bản mà lúc này học sinh được làm quen với các nội dung có tính khái quát hơn, sâu rộng hơn, có cơ sở lý luận hơn Đây cũng là giai đoạn mà trong cấu trúc nội dung chương trình toán sử dụng nhiều nhất phương pháp sơ đồ đoạn thẳng áp dụng vào dạy - học, với các bài toán điển hình như: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó; Tìm số trung bình cộng; Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó; Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó

Đối với học sinh cuối cấp - lớp 5 các em đã hình thành được cơ bản các kĩ năng giải toán với các bài toán hợp có đến ba, bốn bước Cụ thể là các dạng

toán: Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó; Toán chuyển động đều (chuyển động cùng chiều và ngược chiều)

Việc dạy học sinh giải tốt các bài toán dạng trên là một vấn đề đang đề cập tới Vì ngoài việc củng cố kĩ năng thực hiện các phép tính số học cần phải củng

cố kĩ năng thực hiện các phép tính số học cần phải củng cố kĩ năng tiến hành các bước giải thông qua việc tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng

2.1 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học giải toán đơn (bài toán giải bằng một phép tính)

2.1.1 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán về nhiều hơn, ít hơn

Ví dụ 1: Hàng trên có 5 quả cam, hàng dưới có nhiều hơn hàng trên 2 quả

cam Hỏi hàng dưới có mấy quả cam? (Bài toán – SGK Toán 2 – Tr 24)

Ở ví dụ này ta đã biết được số cam hàng trên, hiệu số cam hàng dưới và hàng trên (2 quả) Cái cần tìm là số cam hàng dưới thể hiện phép cộng trong bài toán Vậy ta có thể giải bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng Để dễ cho học sinh suy luận, nhìn rõ vấn đề bài toán ta chọn số cam hàng trên (5 quả) làm đoạn thẳng đơn vị Từ đó biểu thị số cam hàng dưới theo đoạn thẳng đơn vị đó

Ta vẽ sơ đồ biểu thị nội dung bài toán như sau:

Đối với dạng toán về nhiều hơn, đây chính là dạng toán biểu thị rõ nét ý nghĩa của phép cộng số tự nhiên Các bài toán được thể hiện dưới dạng “nhiều hơn”, “gộp”, “thêm”, “tất cả”, “cả hai” biểu thị rõ khái niệm phép cộng trong

Ví dụ 2: Vườn nhà Mai có 17 cây cam, vườn nhà Hoa có ít hơn vườn nhà

Mai 7 cây cam Hỏi vườn nhà Hoa có mấy cây cam? ( BT1–SGK Toán 2 - tr 30)

Ở ví dụ này có số cây cam vườn nhà Mai, hiệu số cây cam vườn nhà Mai và vườn nhà Hoa (7 cây) Vậy ta có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải bài toán này Ta lấy số cây cam vườn nhà Mai làm đoạn thẳng đơn vị, số cây cam nhà Hoa được biểu thị theo đoạn thẳng đơn vị đó (ít hơn 7 cây)

Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán như sau:

Số cam vườn nhà Hoa là :

17 – 7 = 10 (cây) Đáp số : 10 cây cam Với các bài toán về ít hơn, trong nhiều trường hợp khác nhau từ “ít hơn” khi dùng trong các văn cảnh khác nhau có thể bị thay đổi Chẳng hạn: khi nói về tuổi tác có thể dùng từ “kém”, “ít hơn”; khi nói về khối lượng ta dùng từ “nhẹ hơn”; khi nói về chiều dài, chiều cao ta thường dùng từ “ ngắn hơn”, “thấp hơn”

Vì vậy khi hướng dẫn cách giải bài toán giáo viên nên hướng dẫn học sinh nhận dạng bài toán để học sinh áp dụng cho các bài toán cùng dạng

Ví dụ 3 : Lớp 2A có 15 bạn gái, số học sinh trai của lớp ít hơn số học sinh

gái là 3 bạn Hỏi lớp 2A có bao nhiêu học sinh trai ? (BT3–SGK Toán 2 – tr 30)

Hai ví dụ 3 và 4 là bài toán đơn dạng toán về ít hơn đã sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị quan hệ hiệu của các đại lượng đã cho

3 ( Bài tập 3 – SGK Toán 2 – tr 27) Giải bài toán theo tóm tắt sau:

2.1.2 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán gấp một số lên nhiều lần

Ví dụ 4 : Đoạn thẳng AB dài 2cm, đoạn thẳng CD dài gấp 3 lần đoạn thẳng

AB Hỏi đoạn thẳng CD dài mấy xăngtimet ? (Bài toán – SGK Toán 3 – tr33)

Ta lấy độ dài đoạn thẳng AB làm đoạn thẳng đơn vị Sau đó biểu thị độ dài đoạn thẳng CD theo đoạn thẳng đơn vị (gấp 3 lần) Dựa vào sơ đồ giáo viên hướng dẫn học sinh cách tính „„Muốn gấp hay tăng một số lên nhiều lần ta lấy số

đó nhân với số lần‟‟

Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán như sau :

Dựa vào sơ đồ ta thấy đoạn CD chứa 3 phần bằng nhau, bài toán cho viết giá trị của 1 phần chính là độ dài đoạn AB Sơ đồ đoạn thẳng biểu thị rõ ý nghĩa phép nhân của bài toán

Vậy độ dài đoạn thẳng CD là :

2 x 3 = 6 (cm) Đáp số : 6 cm

Ví dụ 5 : Con hái được 7 quả cam, mẹ hái được gấp 5 lần số quả cam của

con Hỏi mẹ hái được bao nhiêu quả cam ?

Theo bài ra ta có sơ đồ sau :

Dựa vào sơ đồ ta nhận thấy :

Số quả cam mẹ hái được là :

7 x 5 = 35 (quả) Đáp số : 35 quả cam Bài toán này cho ta thấy rõ mối tương quan giữa số cam của con và mẹ hái, bằng sơ đồ đoạn thẳng đã biểu thị phép nhân của các đại lượng bài toán

Bài tập tự luyện

1 Lớp 1A có 14 bạn nữ Số bạn nam nhiều gấp 2 lần số bạn nữa Hỏi lớp 1A

có bao nhiêu học? (28 học sinh) – Đề kiểm tra tuần – Lớp 3 – Trường Tiểu học 19/5, Mai Sơn, Sơn La

2 Trước đây nhà máy có 100 công nhân Đến nay số công nhân của nhà máy đã tăng lên 3 lần Hỏi số công nhân của nhà máy hiện nay là bao nhiêu ? (300 công nhân)

2.1.3 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán giảm đi một số lần

Ví dụ 6 : Một công việc làm bằng tay hết 30 giờ, làm bằng máy thì thời

gian giảm 5 lần Hỏi làm công việc đó bằng máy hết bao nhiêu giờ? (BT2 – SGK Toán 3 – tr 37)

7 quả Con hái:

Mẹ hái:

? quả

Ta vẽ sơ đồ biểu thị nội dung bài toán như sau :

Nhìn vào sơ đồ thời gian làm bằng tay được biểu thị làm 5 phần bằng nhau, cần tìm giá trị của một phần Bài toán đã làm nổi bật dạng toán biểu thị ý nghĩa phép chia

Vậy thời gian làm công việc đó bằng máy là :

30 : 5 = 6 (giờ) Đáp số : 6 giờ

Ví dụ 7 :

a) Một cửa hàng buổi sáng bán được 60l dầu, số lít dầu bán được trong buổi chiều giảm đi 3 lần so với buổi sáng Hỏi buổi chiều cửa hàng đó bán được bao nhiêu lít dầu ?

b) Lúc đầu trong rổ có 60 quả cam Sau một buổi bán hàng, trong rổ còn lại 1

3 số cam Hỏi trong rổ còn lại bao nhiêu quả cam ? (BT2– SGK Toán 3 – tr 38)

Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán như sau :

Số lít dầu của cửa hàng bán được trong buổi chiều là :

60 : 3 = 20 (l) b) Theo bài ra ta có sơ đồ sau :

3 quả cam tức là số cam trong rổ

đã giảm đi 3 lần so với số quả cam ban đầu Vậy ta biểu thị được số cam còn lại trong rổ bằng phép tính sau :

Số quả cam còn lại trong rổ là :

Ví dụ 8 : Đoạn thẳng AB dài 6 cm, đoạn thẳng CD dài 2 cm Hỏi đoạn thẳng

AB dài gấp mấy lần đoạn thẳng CD? (Bài toán – SGK Toán 3 – Tr 57)

Ta minh họa bài toán bằng sơ đồ sau :

Độ dài đoạn thẳng AB gấp độ dài đoạn thẳng CD số lần là :

6 : 2 = 3 (lần) Đáp số : 3 lần

2.1.5 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán so sánh số bé bằng một phần mấy số lớn

Ví dụ 9 : Mẹ 30 tuổi, con 6 tuổi Hỏi tuổi con bằng một phần mấy tuổi

mẹ ? (Bài toán – SGK Toán 3 – tr 61)

Ta minh hoạ bài toán như sau :

Dựa vào sơ đồ ta có, tuổi mẹ gấp tuổi con số lần là:

so sánh số bé bằng một phần mấy số lớn như các ví dụ trên sơ đồ đoạn thẳng giúp vừa biểu thị mối quan hệ về tỉ số vừa biểu thị mối quan hệ về tổng của bài toán tạo chỗ dựa trực quan để học sinh suy luận dễ dàng

Ở lớp 4 và lớp 5 các bài toán đơn sử dụng sơ đồ đoạn thẳng giảm đi nhiều so với các lớp trước do chương trình chuyển sang học tập sâu

Ví dụ 10: Một ô tô đi được quãng đường dài 170km hết 4 giờ Hỏi trung

bình mỗi giờ ô tô đó đi được bao nhiêu ki-lô-mét?

(Bài toán 1-Tr138-SGK Toán)

Bài toán cho biết tổng độ dài quãng đường và tổng thời gian một ô tô đi hết quãng đường đó Vậy giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải quyết yêu cầu bài toán dựa vào sơ đồ đoạn thẳng

Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng minh họa nội dung bài toán như sau:

Trung bình mỗi giờ ô tô đi được là:

170 : 4 = 42,5 (km)

Đáp số: 42,5km

? km

170 km

2.2 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong dạy học giải toán hợp (bài toán có từ hai phép tính trở lên)

Các bài toán hợp được đưa vào chương trình cho học sinh làm quen bắt

đầu từ lớp 3 từ đó các bài toán đơn cũng được giảm đi Lên lớp 4 và lớp 5 số lượng các bài toán hợp tăng lên nhiều hơn và mức độ khó cũng được nâng lên

2.2.1 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải bài toán bằng hai phép tính nhân và cộng

2.2.1.1 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải bài toán bằng hai phép tính nhân trước, cộng sau

Đây là dạng toán gộp giữa bài toán gấp lên một số lần và bài toán tính tổng hai số Có thể sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh cách giải, từ sơ đồ học sinh có chỗ dựa trực quan vừa tóm tắt yêu cầu bài toán vừa có cơ sở để suy luận dễ dàng hơn Ta chọn thành phần đã cho rõ làm đoạn

thẳng đơn vị, thành phần thứ 2 gấp lên số lần biểu thị theo đoạn thẳng đơn vị đó

Ví dụ 1: Một cửa hàng buổi sáng bán được 432l dầu, buổi chiều bán được

gấp đôi buổi sáng Hỏi cả 2 buổi cửa hàng bán được bao nhiêu lít dầu?

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy rõ số lượng dầu bán trong buổi chiều biểu thị làm 2 phần bằng nhau, đã biết giá trị của 1 phần (chính là số dầu buổi sáng bán được)

Từ đó thông qua sơ đồ đoạn thẳng ta dễ dàng hướng dẫn học sinh giải được bài toán liên quan tới phép nhân này

Số lít dầu cửa hàng bán được trong buổi chiều là:

Ví dụ 2: Một cửa hàng thứ bảy bán được 6 xe đạp, ngày chủ nhật bán được

số xe đạp gấp đôi số xe đạp trên Hỏi cả hai ngày của hàng đó bán được bao nhiêu xe đạp ?

Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán như sau:

Thứ bảy:

Chủ nhật:

Dựa vào sơ đồ ta có:

Số xe đạp bán được trong ngày chủ nhật là:

6 x 2 = 12 (xe)

Cả hai ngày cửa hàng đó bán được số xe đạp là:

6 + 12 = 18 (xe)

Đáp số: 18 xe đạp

Ví dụ 3: Quãng đường từ nhà đến chợ huyện dài 5km, quãng đường từ chợ

huyện đến bưu điện tỉnh dài gấp 3 lần quãng đường từ nhà đến chợ huyện Hỏi quãng đường từ nhà đến bưu điện tỉnh dài bao nhiêu ki-lô-mét? (BT1 – Tr 51 – SGK Toán 3)

Ta minh họa nội dung bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau:

Dựa vào sơ đồ ta có:

Quãng đường từ chợ huyện đến bưu điện tỉnh dài là:

6 xe

? xe

2.2.1.2 Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để giải bài toán bằng hai phép tính cộng trước, nhân sau

Ví dụ 4: Thu hoạch ở thửa thứ nhất được 127kg cà chua, ở thửa thứ 2 được

nhiều gấp 3 lần số cà chua ở thửa ruộng thứ nhất Hỏi thu hoạch ở cả hai thửa ruộng được bao nhiêu ki-lô-gam cà chua? (BT3–Tr58–SGK Toán 3)

Ở bài toán này cũng được gộp từ bài toán gấp lên một số lần và bài toán tính tổng hai số Tuy nhiên ta có thể sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh cách giải khác với bài toán giải bằng hai phép tính cộng trước nhân sau Dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị số lượng cà chua ở thùng thứ nhất là một phần thì đoạn thẳng biểu thị số lượng cà chua ở thùng thứ 2 là 3 phần Vậy nhìn vào sơ đồ ta tính được tổng số phần bằng nhau của 2 đại lượng

đã cho của bài toán Từ đó tìm ra kết quả bài toán

Ta minh họa bài toán bằng sơ đồ sau:

Ví dụ 5 : Đoạn đường AB dài 2350m và đoạn đường CD dài 3km Hai đoạn

đường này có chung 1 chiếc cầu từ C đến B dài 350m Hỏi độ dài đoạn đường từ

A đến D (BT4 – Tr155 – SGK Toán 3)

127kg

?kg Thửa ruộng thứ hai :