KHÔNG GIAN METRIC TREN R

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP HỒ ĐÌNH TRƯỞNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÊTRIC TRÊN R Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỒNG THÁP, NĂM 2009 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP HỒ ĐÌNH TRƯỞNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÊTRIC TRÊN R Ngành đào tạo: Sư phạm toán học Trình độ đào tạo: Đại học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: ThS. NGUYỄN VĂN DŨNG ĐỒNG THÁP, NĂM 2009 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận là trung thực. Tác giả khóa luận Hồ Đình Trưởng iii LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể cán bộ giảng viên trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện cho chúng em học tập. Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm và tất cả quý thầy cô khoa Toán học đã tận tình giúp đỡ em trong năm học qua. Em xin cảm ơn tập thể lớp ĐHSTOAN08 - L1, những người bạn ở bên luôn động viên khích lệ em thực hiện đề tài này. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Văn Dũng, thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em xin kính gởi đến quý thầy, cô lời chúc sức khỏe, thành đạt! Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii I Mở đầu 3 1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Thời gian nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 Cấu trúc khóa luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Nội dung 6 1 Kiến thức cơ sở 7 1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Hợp, giao của một họ tập . . . . . . . . . . . . . 8 2 Quan hệ và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 2 2.1 Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 Nguyên lí supremum và nguyên lí Cantor của một tập M ⊂ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Tính trù mật của tập số hữu tỉ Q trong R . . . . 12 4 Mêtric và không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R 16 1 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Vị trí tương đối gữa điểm và tập con trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Không gian mêtric compắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6 Không gian mêtric khả li, không gian mêtric liên thông . 35 III Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 Phần I Mở đầu 3 4 1 Lí do chọn đề tài Mêtric là sự mở rộng của khái niệm khoảng cách trong thực tế. Một tập cùng với một mêtric trên nó được gọi là một không gian mêtric. Tuy nhiên, do hạn chế về thời lượng chương trình nên các giáo trình của môn học này không trình bày chi tiết và đầy đủ về mêtric của một tập cụ thể nào đó mà chỉ cung cấp một số vấn đề về mêtric trên tập bất kì. Điều này đã ảnh hưởng đến kết quả học tập, nghiên cứu và giảng dạy tiếp theo của các cử nhân sau này. Do đó việc cụ thể một số vấn đề về mêtric vào một tập cụ thể nào đó đóng vai trò rất quan trọng. Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về mêtric trong R” làm đề tài nghiên cứu khóa luận. 2 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại một số kiến thức về không gian mêtric. - Cụ thể hóa một số vấn đề về mêtric vào không gian mêtric R với mêtric thông thường và mêtric rời rạc. - Xây dựng ví dụ minh họa về một số vấn đề của mêtric với mêtric thông thường và mêtric rời rạc. 3 Nội dung nghiên cứu Không gian mêtric R với mêtric thông thường và mêtric rời rạc. 4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu của khóa luận là phương pháp nghiên cứu tài liệu. Cụ thể, đọc hiểu giáo trình trao đổi với giáo viên hướng dẫn và các thành viên trong nhóm nghiên cứu. 5 5 Thời gian nghiên cứu Từ tháng 06/2009 đến 10/2009. 6 Cấu trúc khóa luận Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong 2 chương. Ngoài ra có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày về Kiến thức cơ sở, bao gồm 4 mục. Mục 1 trình bày về tập hợp, Mục 2 trình bày về quan hệ và ánh xạ, Mục 3 trình bày về số thực và Mục 4 trình bày về mêtric và không gian mêtric. Chương 2 trình bày về Mêtric thông thường và mêtric rời rạc trên R, bao gồm 6 mục. Mục 1 trình bày về tập mở và tập đóng, Mục 2 trình bày về vị trí tương đối giữa điểm và tập con, Mục 3 trình bày về ánh xạ liên tục, Mục 4 trình bày về không gian mêtric đầy đủ, Mục 5 trình bày về không gian mêtric compắc và Mục 6 trình bày về không gian mêtric khả li và không gian mêtric liên thông. Phần II Nội dung 6 [...]... một mêtric trên R2 , mêtric này được gọi là mêtric Ơclitvà không gian (R2 , d) là một không gian mêtric Ơclit Cụ thể khi k = 3 ta có: Rk = R3 Với mọi x, y ∈ R3 , ta đặt: d(x, y) = |x1 − y1 |2 + |x2 − y2 |2 + |x3 − y3 |2 Khi đó d là một mêtric trên R3 , mêtric này được gọi là mêtric Ơclit và không gian (R3 , d) là một không gian mêtric Ơclit 4.3 Ví dụ ([1], Tr.27) Giả sử M là một tập khác r ng Ta... d(y, z)] Suy ra d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Vậy d là một mêtric trên Rk và mêtric này được gọi là mêtric Ơclit hay mêtric thông thường trên Rk Cụ thể khi k = 1 ta có: Rk = R Với mọi x, y ∈ R, ta đặt: d(x, y) = |x − y| Khi đó d là một mêtric trên R, mêtric này được gọi là mêtric Ơclitvà không gian (R, d) là một không gian mêtric Ơclit 14 Cụ thể khi k = 2 ta có: Rk = R2 Với mọi x, y ∈ R2 , ta đặt:... Mêtric cảm sinh Cho (R, d) là một không gian mêtric và A là một tập con của R Với mọi x, y ∈ A, đặt: dA (x, y) = d(x, y) Khi đó dA là một mêtric trên A và mêtric dA được gọi là mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên A Tập A cùng với mêtric đó được gọi là không gian mêtric con của (R, d) Chương 2 Mêtric thông thường và mêtric r i r c trên R Trong chương này ta sẽ hệ thống một số vấn đề liên quan đến mêtric... đóng 2 Trong (R, δ) mọi tập vừa là tập mở vừa là tập đóng 20 1.11 Mệnh đề 1 N, Z, Q không là tập mở trong (R, d) 2 N, Z là tập đóng trong (R, d) 3 Q không là tập đóng trong (R, d) Chứng minh 1 Chọn x = 0 ∈ N, với mọi r < 0, B(x, r) ∩ (R\ N) = ∅ Suy ra 0 không là điểm trong của N Vậy N không là tập mở Chọn x = 0 ∈ Z, với mọi r < 0, B(x, r) ∩ (R\ Z) = ∅ Suy ra 0 không là điểm trong của Z Vậy Z không là... con đóng của không gian mêtric (R, d) và (R, δ)là đầy đủ Chứng minh Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric R và {xn } là một dãy Cauchy trong A Khi đó {xn } cũng là dãy Cauchy trong R khi đó xn −→ x0 ∈ R Theo bổ đề trên x0 ∈ A = A Mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ trong A nên A đầy đủ 4.11 Mệnh đề 1 Trong (R, δ) nếu f liên tục từ (R, δ) −→ (R, δ) thì f bảo toàn tính đầy đủ 2 Trong (R, d) nếu f... B −→ R 1 0 −→ 2 1 1 −→ 2 x −→ x, ∀x ∈ B\{1, 0} f (B) = (0, 1) không đầy đủ trong (R, d) Xét dãy {xn } với xv = 1 n ⊂ (0, 1) suy ra xn −→ 0 ∈ (0, 1) Vậy f (B) / không đầy đủ 4.12 Ví dụ Kí hiệu B = [0, 1] ⊂ R 1 (B, d) ⊂ (R, d) là không gian con đầy đủ trong (R, d) 2 (B, d) ⊂ (R, δ) là không con gian đầy đủ Giải 1 Giả sử {xn }n là dãy Cauchy trong (B, d) Khi đó xn −→ x0 ∈ (R, d) vì (R, d) là không gian. .. tục từ (R, d) −→ (R, d) thì f không bảo toàn tính đầy đủ Chứng minh 1 Giả sử B là đầy đủ trong (R, δ) Xét f (B), với mọi {xn } là dãy Cauchy trong (f (B), δ) Suy ra {xn } là dãy dừng trong (f (B), δ) Suy ra xn −→ xn0 ∈ f (B) Vậy f (B) đầy đủ Mặt khác, f (B) ⊂ (R, δ) suy ra f (B) đóng trong (R, δ) Theo mệnh đề trên suy ra f (B) đầy đủ trong (R, δ) 30 2 Giả sử B = [0, 1] là tập đầy đủ trong (R, d), Xét... trên R với mêtric thông thường và mêtric r i r c Khi viết (R, d) trong chương này ta sẽ hiểu d là mêtric Ơclit Khi viết (R, δ) trong chương này ta sẽ hiểu δ là mêtric r i r c 1 Tập mở và tập đóng 1.1 Định nghĩa ([1], Tr.30) Cho (M, d) là một không gian mêtric Với mỗi a ∈ M và ε > 0 , đặt: B(a, ε) = {x ∈ M : d(x, a) < ε} B(a, ε) được gọi là hình cầu mở tâm a bán kính ε hay ε-lân cận của a Cụ thể trong... xu = e ∈ Q nên {xn } không hội tụ trong / u→∞ Q Vậy Q là không gian không đầy đủ 2 Vì Q đóng trong (R, δ) nên theo mệnh đề 4.10 suy ra (Q, δ) đầy đủ 5 Không gian mêtric compắc 5.1 Định nghĩa ([1], Tr.43) Cho không gian mêtric X 1 Tập con A của X được gọi là compắc nếu mọi dãy {xn } trong A đều có một dãy con {xnk } hội tụ đến một điểm thuộc A Khi A = X được gọi là không gian mêtric compắc 2 Tập con... Tr.27) Giả sử M là một tập khác r ng Ta đặt:  0 δ(x, y) = 1 nếu x = y, nếu x = y, với mọi x, y ∈ M Khi đó δ là một mêtric trên M , mêtric này được gọi là mêtric r i r c hay mêtric tầm thường trên M và không gian (M, δ) được gọi là không gian mêtric r i r c hay không gian mêtric tầm thường Giải 1 δ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ M ; δ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2 δ(x, y) = δ(y, x) với mọi x, y ∈ M ; 3 δ(x, z) . mêtric và cụ thể hóa trên R với mêtric thông thường và mêtric r i r c. Khi viết (R, d) trong chương này ta sẽ hiểu d là mêtric Ơclit. Khi viết (R, δ) trong chương này ta sẽ hiểu δ là mêtric r i. z)] 2 Suy ra d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Vậy d là một mêtric trên R k và mêtric này được gọi là mêtric Ơclit hay mêtric thông thường trên R k . Cụ thể khi k = 1 ta có: R k = R. Với mọi x, y ∈ R, ta. Khi đó δ là một mêtric trên M, mêtric này được gọi là mêtric r i r c hay mêtric tầm thường trên M và không gian (M, δ) được gọi là không gian mêtric r i r c hay không gian mêtric tầm thường. Giải.