II Nội dung
4 Không gian mêtric đầy đủ
4.1 Định nghĩa. ([1], Tr.38) Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {xn} trong X được gọi là hội tụ đến a ∈ X nếu: limd(xn, a) = 0, kí hiệu lim
n−→∞xn = a,limxn = a hoặc xn −→ a.
Nếu limxn = a thì a gọi là giới hạn của dãy {xn}.
4.2 Định nghĩa. ([4], Tr.52) Dãy {xn}n trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy cauchy nếu lim
m,n→∞d(xm, xn) = 0. Nói cách khác {xn}n là dãy cơ bản khi và chỉ khi:
∀ε > 0,∃n0 : ∀m, n ≥ n0 ⇒d(xm, xn) < ε.
Đặc biệt trong (R, d) và (R, δ) ta có:
Dãy số thực {xn}n ⊂ (R, d) được gọi là dãy cơ bản hay dãy cauchy
nếu:
∀ε > 0,∃n0 : ∀m, n ≥ n0 ⇒ |xn −xm| < ε.
Trong (R, δ) dãy {xn}n là dãy Cauchy khi và chỉ khi {xn}n có dạng
x1, x2, x3, . . . , xn0, xn0, . . .
4.3 Ví dụ. 1. Dãy{xn}vớixn = √ 1
n+ 1 là dãy Cauchy trong (R, d).
2. Dãy {0,1,2,3, . . . , n, n, . . .} là dãy Cauchy trong (R, δ).
4.4 Bổ đề. 1. Nếu {xn}n là một dãy hội tụ trong X thì nó là một dãy cơ bản trong X.
2. Nếu dãy cơ bản {xn}n có một dãy con {xkn}n ⊂ {xn}n sao cho
{xkn}n hội tụ đến x0 thì chính dãy {xn}n cũng hội tụ về x0.
4.5 Định nghĩa. ([1], Tr.39) Không gian mêtric X gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của nó đều hội tụ trong X.
4.6 Bổ đề. Giả sử {xn}∞n=1 là một dãy Cauchy trong không gian mêtric
(X, d), x0 ∈ X thỏa mãn mọi lân cận bất kì của x0 đều chứa vô số điểm của dãy {xn}∞n=1. Khi đó dãy {xn}∞n=1 hội tụ đến x0.
lim
27
4.7 Định lí. (Định lí Bolzano - Weierstrass): Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ.
Chứng minh. Giả sử {an} là dãy bị chặn tức là có hai số thực α, β sao cho:
α ≤ an ≤β∀n ∈ N.
Có thể coi dãy an là dãy vô hạn.
Ta chia đoạn [α, β] thành hai đoạn bằng nhau. Khi đó có ít nhất một trong hai đoạn phải chứa vô số các số hạn của dãy. Ta gọi [α1, β1] là một trong hai đoạn có tính chất trên. Ta lại tiếp tục chia đoạn [α1, β1] thành hai đoạn bằng nhau và gọi [α2, β2] là một trong hai đoạn chứa vô số các số hạn của dãy. Tiếp tục cách này ta nhận được dãy các đoạn {[αk, βk]} có các tính chất:
1. [αk, βk] ⊃ [αk+1, βk+1] với mọi k ∈ N
2. βk−αk = β −α
2k .
3. [αk, βk] chứa vô số các số hạn của dãy {an}.
Theo nguyên lí Cantor thì T k∈N
[αk;βk] = {c}.
Ta sẽ chứng minh rằng c là giới hạn của một dãy con của dãy {an}. Trước hết ta chọn {an1} ∈ [α1, β1].
Tiếp đó ta lại chọn {an2} ∈ [α2, β2], n2 > n1.
Cứ tiếp tục mãi, cuối cùng ta nhận được dãy con {ank} của dãy {an} (với ank ∈ [αnk, βnk]).
Khi đó, từ bất đẳng thức αnk ≤ ank ≤ βnk và −βnk ≤ −c ≤ −αnk: ⇒αnk −βnk ≤ ank −c ≤ βnk −αnk.
⇒(ank −c) ≤ βnk −αnk ≤ β −α
2nk ≤ β −α
2k −→ 0 (khi k −→+∞).
⇒ank −→ c khi k −→+∞ .
4.8 Mệnh đề. 1. (R, d) là không gian mêtric đầy đủ. 2. (R, δ) là không gian mêtric đầy đủ.
Chứng minh. 1. Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric
(R, d).
Khi đó ε = 1, tồn tại k sao cho ∀i, j ≥k ta có d(xi, xj) = |xi−xj| < 1. Đặt m = {|x1|,|x2|, ...,|xk−1|,|xk|+ 1} khi đó với i > k ta có :
|xi| = d(xi,0) ≤ d(xi, xk) +d(xk,0) ≤ |xk|+ 1 ≤m
Vậy dãy {xn} là dãy bị chặn.
Theo định lí Bolzano - Weierstrass, tồn tại dãy con {xnk} hội tụ
lim
k→∞xnk = a.
Ta chứng minh lim
n→∞xn = a. Vì lim
k→∞xnk = a nên tồn tại k0 ∈ N∗ sao cho k > k0, |xnk −a| < ε
2 ( với mọi ε). Vì k > k0 nên xk > xk0 khi đó
n, nk > nk0 suy ra |xn −xnk| < ε 2 Vậy |xn−a| = |xn −xnk +xnk −a < |xn−xnk|+|xnk −a| < ε 2 + ε 2 = ε Vậy lim n→∞xn = a.
Vậy mọi dãy cauchy trong R đều hội tụ. ⇒(R, d) là không gian mêtric đầy đủ.
2. Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric (R, δ).
Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại n0 sao cho với mọi m, n > n0 ta có
29
dãy xn là dãy dừng.
⇒ dãy {xn} hội tụ. Vậy (R, δ) là không gian mêtric đầy đủ.
4.9 Bổ đề. Cho (X, d) là một không gian mêtric, A ⊂ X và a ∈ X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương
1. a ∈ A;
2. B(a, ε)∩A 6= ∅ với mọi ε > 0; 3. Tồn tại dãy {xn} ⊂ A,{xn} −→ a.
4.10 Mệnh đề. Tập con đóng của không gian mêtric (R, d) và (R, δ)là đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric Rvà {xn} là một dãy Cauchy trong A. Khi đó {xn} cũng là dãy Cauchy trong R khi đó xn −→ x0 ∈ R. Theo bổ đề trên x0 ∈ A = A. Mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ trong A nên A đầy đủ.
4.11 Mệnh đề. 1. Trong (R, δ) nếu f liên tục từ (R, δ) −→ (R, δ) thì f
bảo toàn tính đầy đủ. 2. Trong (R, d) nếu f liên tục từ (R, d) −→ (R, d)
thì f không bảo toàn tính đầy đủ.
Chứng minh. 1. Giả sử B là đầy đủ trong (R, δ)
Xét f(B), với mọi {xn} là dãy Cauchy trong (f(B), δ)
Suy ra {xn} là dãy dừng trong (f(B), δ)
Suy ra xn −→ xn0 ∈ f(B). Vậy f(B) đầy đủ.
Mặt khác, f(B) ⊂ (R, δ) suy ra f(B) đóng trong (R, δ). Theo mệnh đề trên suy ra f(B) đầy đủ trong (R, δ)
2. Giả sử B = [0,1] là tập đầy đủ trong (R, d), Xét ánh xạ: f : B −→ R 0 −→ 1 2 1 −→ 1 2 x −→ x,∀x ∈ B\{1,0}
f(B) = (0,1) không đầy đủ trong (R, d)
Xét dãy {xn} với xv = n1 ⊂ (0,1) suy ra xn −→ 0 ∈/ (0,1) Vậy f(B)
không đầy đủ.
4.12 Ví dụ. Kí hiệu B = [0,1] ⊂R.
1. (B, d) ⊂(R, d) là không gian con đầy đủ trong (R, d).
2. (B, d) ⊂(R, δ) là không con gian đầy đủ.
Giải. 1. Giả sử {xn}n là dãy Cauchy trong (B, d). Khi đó xn −→ x0 ∈
(R, d) vì (R, d) là không gian đầy đủ.
Do B đóng và {xn}n ⊂ B suy ra xn −→ x0 ∈ B = B
Vậy (B, d) đầy đủ.
2. Giả sử{xn}n là dãy Cauchy trong(B, δ). Khi đó xn −→ x0 ∈ (R, δ), tồn tại n0 ∈ N sao cho xn = xn0 với mọi n ≥ n0 suy ra xn0 ∈ (B, δ) suy ra xn0 ≡ x0 ∈ (B, δ)
Vậy (B, δ) đầy đủ.
31
1. Tập Q ⊂ (R, d) là không gian không đầy đủ.
2. Tập Q ⊂ (R, δ) là không gian đầy đủ.
Giải. 1. Chọn một dãy {xn} trong Q xác định bởi xn = (1 + n1) với
n = 1,2, . . .. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại n0 > 2ε sao cho với mọi
i, j ≥ n0 luôn có d(xi, xj) = |1i − j1| = |1i|+|1j| < n2
0 < ε. Vậy dãy {xn} là dãy cauchy. Mặt khác, vì lim
u→∞xu = e /∈ Q nên {xn} không hội tụ trong
Q.
Vậy Q là không gian không đầy đủ.
2. Vì Q đóng trong (R, δ) nên theo mệnh đề 4.10 suy ra (Q, δ) đầy
đủ.