II Nội dung
5 Không gian mêtric compắc
5.1 Định nghĩa. ([1], Tr.43) Cho không gian mêtric X.
1. Tập conA củaX được gọi là compắc nếu mọi dãy {xn} trong Ađều có một dãy con {xnk} hội tụ đến một điểm thuộc A. Khi A = X
được gọi là không gian mêtric compắc.
2. Tập con A được gọi là compắc tương đối nếu bao đóng A là tập compact trong X.
5.2 Định nghĩa. ([1], Tr.44)Tập con A của X được gọi là tập bị chặn
nếu đường kính của A
Tập con A của X được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi ε > 0 tồn tại hữu hạn điểm x1, x2, ..., xn ∈ X sao cho
A ⊂
n [
i=1
B(xi, ε).
5.3 Nhận xét. Với mọi hình cầu B(x, r) trong không gian mêtric ta có
d(B(x, r)) ≤ 2r.
Chứng minh. Với mọi a, b ∈ B(x, r) ta có d(a, b) < d(a, x) + d(x, b) = r +r = 2r ⇒ sup{d(B(x, r)) : a, b ∈ B(x, r) ≤} sup{(d(a, x) +d(x, b)) : a, b ∈ B(x, r)} ≤ 2r. Vậy d(B(x, r)) ≤ 2r.
5.4 Mệnh đề. [4], Tr.77) Trong không gian mêtric mọi tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn.
Chứng minh. Cho A hoàn tòan bị chặn. Theo định nghĩa với r = 1 tồn tại hữu hạn các hình cầu B(ai,1) để A ⊂
n S i=1 B(ai,1). Lấy x ∈ A sẽ có j để x ∈ B(aj,1). Lúc đó: d(x, a1) ≤ d(x, aj) +d(aj, a1) d(x, ai) + n X i=1 d(ai, a1) = r.
Vậy A được chứa trong B0(a1, r).
5.5 Ví dụ. Trong không gian mêtric (R, d) hoặc (R, δ), một tập gồm một số hữu hạn điểm là tập compắc.
Giải. Giả sử A = {a1, a2, ..., ak} ⊂ R. Nếu{xn}n là một dãy bất kì trong
A thì phải có ít nhất một ai nào đó để xn = ai với vô hạn các n ∈ N. Từ tập vô hạn các xn này ta rút ra một dãy con dừng, hội tụ về đúng ai.
33
5.6 Bổ đề. ([1], Tr.45) Cho X là không gian mêtric. Khi đó với mọi tập con A của X các điều kiện sau đây là tương đương:
1. A là compắc;
2. A là đầy đủ và hoàn toàn bị chặn;
3. Mọi phủ mở {Vα}α∈I của A đều có một phủ con hữu hạn.
5.7 Mệnh đề. 1. E ⊂ (R, d) là compắc khi và chỉ khi E đóng và bị chặn.
2. E ⊂(R, δ) là compắc khi và chỉ khi E hữu hạn.
Chứng minh. 1. Mọi tập con đóng của R là đầy đủ nên ta chỉ cần chứng minh mọi tập bị chặn của R là hoàn toàn bị chặn. Mỗi tập bị chặn đều
là tập con của
Q = [−R, R] = {x ∈ Rk},
nên ta chỉ cần chứng minh với mọi R >0, Q hoàn toàn bị chặn. Với mọi ε > 0, chọn cố định n ∈ N sao cho n > R
ε. Chia đoạn [−R, R]
thành n đoạn bằng nhau,Q sẽ bằng hợp của nđoạn là 2R
n , do đó có thể
phủ Q bởi n hình cầu bán kính ε.
Ta cũng dễ dàng thấy rằng mọi tập con compắc của R đều đóng và
bị chặn. Thật vậy, nếu tập không bị chặn thì tồn tại dãy {xn} có
d(xn,0) −→ ∞, dãy này không có dãy con nào hội tụ. 2. Giả sử {Vα}α∈I là phủ mở của E.
Lấy x1 ∈ E, giả sử x1 ∈ Vα1 đặt V1 = Vα1.
Lấy x3 ∈ E\(V1 ∪V2), suy ra tồn tại x3 ∈ Vα3 đặt V3 = Vα3. Tiếp tục quá trình này khôn quá n lần ta được Vn = Vαn. Vậy mọi phủ mở {Vα}α∈I của E đều có một phủ con hữu hạn.
Vậy E ⊂ (R, δ) là compắc khi và chỉ khi E hữu hạn.
5.8 Hệ quả. 1. Không gian (R, d) không là không gian compắc. 2. Không gian (R, δ) không là không gian compắc.
Thật vậy dãy {xn} với xn = n không có dãy con hội tụ trong (R, d)
và (R, δ)
5.9 Mệnh đề. Cho A là một tập bị chặn trong (R, d). Khi ấy A cũng hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh. Vì A bị chặn nên d(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} ≤ M. Lấy x ∈ A ta có A ⊂ B(x, M) = [x−M, x+M].
Với mọi r > 0, chia đoạn [x− M, x+ M] thành n = [M
r ] + 1 đoạn nhỏ: a0 = x − M, a1 = a0 + 2M n , ..., an = an−1 + 2M n . Lấy B1 = (a1 −a0 2 , r), B2 = ( a2 −a1 2 , r), ..., Bn = ( an −an−1 2 , r). Vậy A ⊂ ∞ S i=1 B(xi, r).
Suy ra A hoàn toàn bị chặn.
5.10 Định lí. Nếu f : X −→ Y liên tục và A ⊂ X là tập compact thì
f(A) là tập compact.
Chứng minh. Cho (yn)n là dãy bất kì f(A). Khi đó trong A tồn tại dãy
35
sao choxnk −→ x0 ∈ A(k −→ ∞). Mặt khácf liên tục nên dãy conynk = f(xnk) hội tụ đến f(x0) ⊂ f(A). Theo định nghĩa f(A) compact.
5.11 Mệnh đề. Nếu xn −→ x0 trong (R, d) hoặc (R, δ) thì A = {xn : n∈ N} ∪ {xn} là tập compắc.
Chứng minh. Giả sử {Gα}α∈I là một phủ mở củaA. Ta cóx0 ∈ Gα0, α0 ∈
I. Tồn tại ε > 0 sao cho B(x0, ε) < Gα0.
Do xn −→x0 nên tồn tại N sao cho d(xn, x0) < ε với mọi n > N. Từ đó
xn ∈ B(x0, ε ⊂Gα0 với mọi n > N.
Chọn αi ∈ I sao cho xi ∈ Gαi với mọi i = 1, n Khi đó ta có phủ con hữu hạn của A là {Gα0, Gα1, ..., Gαn}.
Vậy A là compắc.
5.12 Hệ quả. Đoạn [a, b] trong (R, d) là tập compact.
Chứng minh. Gọi {[an, bn]} là dãy các đoạn trong [a, b]
Đặt xnk = {xn} ∩[ak, bk] −→ {xnk} ⊂ {xn}.
Khi đó, theo Bolzano - Weierstrass thì {xnk} −→ c ⊂ [a, b]
Suy ra [a, b] là tập compắc.
6 Không gian mêtric khả li, không gian mêtric liên thông
6.1 Định nghĩa. ([1],Tr.24) Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tậptrù mật trongX nếuA = X. Tập con B của không gian mêtric
6.2 Ví dụ. 1. Tập Z là không đâu trù mật trong (R, d). 2. Tập Z là không không đâu trù mật trong (R, δ).
Giải. 1. Nếu x ∈ R\Z thì tồn tại x /∈ Z. Chọn ε > 0 sao cho (x−ε, x+ ε)∩Z = ∅. Khi đó dễ thấy
B(x, ε) ⊂ R\Z.
Từ đó R\Z là tập mở và Z là tập đóng hay Z = Z. Mọi hình cầu bán kính dương của Rk đều là tập continum, Z là tập đếm được nên Z
không chứa hình cầu nào của R. Vậy (Z)0 = ∅.
2. Vì Z ⊂R suy ra Z = Z suy ra (Z)o = Zo = Z 6= ∅. Vậy tập Z là không không đâu trù mật trong (R, δ).
6.3 Ví dụ. 1. Trong (R, d) thì tập Q là tập trù mật.
2. Trong (R, δ) thì tập Q là tập không trù mật. Vì Q = Q 6= R.
6.4 Định nghĩa. ([1], Tr.35) Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric khả li nếu tồn tại tập con M đếm được trù mật trong X.
6.5 Ví dụ. 1. (R, d) là không gian mêtric khả li.
2. (R, δ) không là không gian mêtric khả li. Giải. 1. Xét Q ⊂ R khi đó Q = R.
Thật vậy, giả sử U là tập mở và U ⊂R.
Với mọi x ∈ U, tồn tại ε > 0 : B(x, ε) ⊂ U. Đặt y = x+ ε. Chọn
z ∈ Q :x < z < y ⇒z ∈ B ⊂ U suy ra U ∩Q = ∅ ⇒Q = R. Vậy Q đếm được suy ra (R, d) là khôn gian mêtríc khả li.
37
2. Giả sử A là tập đếm được trong (R, δ).
Vì A đóng suy ra A = A suy ra A đầy đủ. Suy ra (R, δ) không đầy đủ.
Suy ra A 6= R.
Vậy (R, δ) không là không gian mêtríc khả li.
6.6 Định nghĩa. ([3], Tr.40) Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric liên thông nếu không tồn tại hai tập con A, B khác rỗng và mở của không gian X sao cho A∪B = X và A∩B = ∅.
6.7 Bổ đề. ([3], Tr.41) Giả sử {Ai}i∈I là một họ những tập hợp liên thông trong không gian mêtric X và T
i∈I
Ai 6= ∅. Khi đó A = S i∈I
Ai liên thông.
6.8 Mệnh đề. 1. Tập con E ⊂ (R, d) là liên thông khi và chỉ khi E
thỏa mãn tính chất : Với mọi x, y ∈ E nếu x < z < y thì z ∈ E. 2. Tập con E ⊂ (R, δ) là liên thông khi và chỉ khi E có không quá một
điểm.
Chứng minh. 1. Giả sử x, y ∈ E và có z thỏa mãn x < z < y nhưng
z /∈ E. Ta đặt:
A = {α ∈ E :α < z} = E ∩(−∞, z),
B = {β ∈ E : z < β} = E ∩(z,+∞)
Khi đó ta có A, B là các tập mở trong E khác rỗng vì chúng lần lượt có chứa x, y tương ứng. Hơn nữa A∪B = E không liên thông.
Ngược lại, giả sử E không liên thông. Theo định nghĩa và tính chất của không gian con, tồn tại các tập mở khác rỗng A, B trong R.A∩B =
∅,(A∩E)∪(B∩E) = E. Chọn x∈ (A∩E), y ∈ (B∩E). Giả sử x < y.
Đặt: S = A∩[x, y] và z = supS ta chứng minh z không thuộc E.
Trước hết vì y ∈ B mở nên z < y. Thậy vậy, nếu x ≥ y thì z = y, sẽ có dãy (xn) trong A, xn −→ y nên A∩B 6= ∅ vì có chứa các xn ( Mâu thuẩn).
Tiếp theo, ta thấy A mở và z là cận trên của S nên z không thuộc
A và x < z. Nếu z ∈ B thì cũng do B mở nên có một khoảng mở (c, d)
sao cho z ∈ (c, d) ⊂ B. Theo định nghĩa supremum, có a ∈ A∩[x, y] để
c < a < z < d. Điều này mâu thuẩn với A∩B = ∅. Vậy z không thuộc
B do đó z không thuộc E.
2. Giả sử E là tập liên thông trong (R, δ). Khi đó không tồn tại hai
tập conA, B 6= ∅ mở trong E sao cho A∩ B = ∅, A∪B = E.
Khi E = ∅ thì không tồn tại A, B mở khác rỗng trong E sao cho
A∩ B = ∅, A∪B = E. Suy ra E = ∅ liên thông.
Khi E = {x} thì không tồn tại A, B mở khác rỗng trong E sao cho
A∩ B = ∅, A∪B = E. Suy ra E = ∅ liên thông.
Vậy E liên thông khi E là tập có không quá một điểm.
Xét A = {x} ⊂ E ⇒ A mở trong X ⇒ A = A∩ E = A ⇒ A mở trong
E.
B = E\A ⇒B mở trong X ⇒ B = B ∩E ⇒B mở trong E.
Vậy tồn tại A, B mở khác rỗng thỏa mãn A∩B = ∅, A∪A = E. Suy ra E không liên thông.
39
Vậy trong E ⊂ (R, δ) liên thông khi và chỉ khi E là tập có không quá một điểm.
6.9 Hệ quả. ([4], Tr.130) Tập E trong (R, d) là liên thông khi và chỉ khi E là một khoảng (tức là một trong các tập có dạng sau: (−∞, b) ,
(−∞, b], (a,+∞), [a,+∞), (−∞,+∞), [a, b), [a, b], (a, b], (a, b) với mọi
a, b ∈ R
Chứng minh. Nếu A là một khoảng thì dễ dàng biểu diễn A dưới dạng hợp tăng của một dãy các đoạn. Do đó theo bổ đề trên và mệnh đề 2.10, A liên thông. Ngược lại nếu A liên thông thì mọi a, b ∈ A, a < b
đều có [a, b] ⊂ A ( Vì nếu trái lại, tồn tại c ∈ (a, b), c không thuộc
A, thì B = (−∞, c), C = (c,∞) là các khoảng mở trong R có A ⊂
B∪C, A∩B 6= ∅, A∩C =6 ∅, A∩B∩C = ∅ ). Vậy A là một khoảng.
6.10 Ví dụ. Tập X = (0,1]∪ [2,5) ⊂ R là tập không liên thông.
Giải. Vì tập X tồn tại hai tậpA = (0,1] = (0,2)∩X nênA mở trong X
và B = [2,5) = (1,5)∩X nên B mở trong X hơn nữa ta có A∪B = X
và A∩B = ∅ nên X là tập không liên thông. (Theo định nghĩa tập liên thông)
6.11 Ví dụ. 1. (0,2) ∈ (R, d) liên thông trong (R, d). 2. (0,2) ∈ (R, δ) không liên thông trong (R, δ).
Kết luận
41
1. Kết quả đề tài
- Hệ thống và chi tiết hóa một số vấn đề về không gian mêtric.
- Phát biểu và chứng minh một số vấn đề về không gian mêtric R với mêtric Ơclít và mêtric rời rạc (Mệnh đề 1.2, Mệnh đề 1.6, Mệnh đề 4.8, Mệnh đề 4.10, ... ).
- Xây dựng các ví dụ minh họa cho các khái niệm và các mệnh đề (Ví dụ 1.5, Ví dụ 1.8, Ví dụ 2.4, ... ).
- Đặc biệt chúng tôi làm rõ sự giống và khác nhau về một số vấn đề của không gian mêtric R với mêtric Ơclít và mêtric rời rạc.
2.Những vấn đề mở
- Chi tiết hóa và cụ thể hóa các vấn đề về mêtric với các loại mêtric khác trên R.
- Chi tiết hóa và cụ thể hóa các vấn đề về mêtric với mêtric Ơclít và mêtric rời rạc trong Rn.
[1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2005
[2] Phan Đức Chính, Cơ sở giải tích hiện đại, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1978
[3] Nguyễn Văn Đoành, Giáo trình nhập môn tôpô, NXB Đại học sư phạm, 2007.
[4] Nguyễn Định - Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực (Cơ sở giải tích hiện đại), NXB Giáo dục, 2007.
[5] Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Giáo trình phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số, NXB Đại học sư phạm, 2004.
[6] Nguyễn Nhụy và Lê Xuân Sơn, Bài tập tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2007.