II Nội dung
3 Ánh xạ liên tục
3.1 Định nghĩa. ([1], Tr.36) Cho hai không gian mêtric (X, d) và(Y, p). Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là liên tục tại x0 ⊂ X nếu với mọi ε > 0
tồn tại δ >0 sao cho d(x, x0) < δ kéo theo p(f(x), f(x0)) < ε. Vậy f liên tục tại x0 nếu ∀ε > 0,∃δ >0 sao cho:
f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0, ε)),
hay một cách tương đương
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X. Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên X nếu mọi ε > 0tồn tại δ >0
sao cho với mọi x1, x2 ∈ X, d(x1, x2) < δ thì :
p(f(x1), f(x2)) < ε.
Cụ thể hóa ánh xạ liên tục trong R với mêtric thông thường:
3.2 Định nghĩa. ([1], Tr.36) Cho X, Y ⊂(R, d).
Xét hai không gian mêtric (X, d) và (Y, d). Ánh xạ f : X −→ Y gọi là liên tục tại x0 ⊂ R nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho d(x, x0) < δ
thì d(f(x), f(x0)) < ε.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên R nếu nó liên tục tại mọi x ∈ R. Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên R nếu mọi ε > 0 sao cho với mọi x1, x2 ∈ R, d(x1, x2) < δ thì:
d(f(x), f(x0)) < ε
3.3 Định nghĩa. ([5], Tr.157)
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b). Ta nói rằng hàm số f liên tục tại điểm x0 nếu
lim
x→x0f(x) = f(x0).
Hàm số f không liên tục tại điểm x0 được gọi gián đoạn tại điểm này. 3.4 Nhận xét. Hàm số f liên tục tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0,∃δ > 0
sao cho |x−x0| < δ kéo theo |f(x)−f(x0)| < ε.
Khi cụ thể hóa ánh xạ liên tục vào (R, d) thì khái niệm ánh xạ liên tục trong (R, d) và khái niệm hàm số một biến liên tục là trùng nhau.
25
Vậy tính liên tục, liên tục đều trong giải tích cổ điển chính là liên tục, liên tục đều của hàm số xác định trên tập con của (R, d). Ta đã biết liên tục đều thì liên tục còn đều ngược lại nói chung không đúng.
3.5 Ví dụ. Hàm f(x) = 1
x là liên tục nhưng không liên tục đều trên (0,+∞).
Giải. Để chứng minh f không liên tục đều trên X ta dùng mệnh đề phủ định của định nghĩa liên tục đều
∃ε > 0,∀δ > 0 : ∃x, x0 ∈ X,|x−x0| < δ,|f(x)−f(x0)| ≥ ε Cụ thể ta tìm đượcε = 1,∀0 < δ <1, tìm đượcxδ = δ, x0δ = δ 2 ∈ (0,+∞) tuy |xδ −x0δ < δ| nhưng |f(xδ)−f(x0δ)| = 1 δ ≥ε = 1. 3.6 Ví dụ. 1. Hàm số f(x) = c, x ∈ R, trong đó c là số thực, liên tục tại mỗi điểm x0 ∈ R vì
lim
x→x0f(x) = lim
x→x0f(c) =c = f(x0).
2. Hàm số f(x) = x, x ∈ R liên tục tại mỗi điểm x0 ∈ R vì
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
x = x0 = f(x0).