Người ta dùng phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song ( mà trường hợp đặc biệt là phép chiếu vuông góc ) đểbiểu diễn các vật thểtrong không gian. Phép chiếu thẳng góc ( phép chiếu vuông góc ) là phép chiếu song song có hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P
Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 1 Chương I PHÉP CHIẾU Người ta dùng phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song ( mà trường hợp đặc biệt là phép chiếu vuông góc ) để biểu diễn các vật thể trong không gian. I.PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 1.1: Chiếu một điểm A từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Trong không gian lấy một mặt phẳng P và một điểm S không thuộc P. Chiếu một điểm A bất kỳ của không gian từ tâm S lên mặt phẳng P là: 1. Vẽ đường thẳng SA. 2. Xác định giao điểm A’ Của đường thẳng SA với mặt phẳng P (H 1.1 ) Khi đó người ta gọi A’ là hình chiếu của đi ểm A từ tâm S lên mặt phẳng P. Ta có các tên gọi: Hình 1.1 S : Tâm chiếu SA : Tia chiếu ( Đường thẳng chiếu) P : Mặt phẳng hình chiếu Vậy hình chiếu của điểm A là điểm A’. Dễ dàng thấy rằng nếu A thuộc mặt phẳng P thì A’ trùng với A. Hiển nhiên A’ không chỉ là hình chiếu của điểm A mà nó còn là hình chiếu của một điểm bất kỳ thuộ c của đường thẳng SA. Ví dụ A’ cũng là hình chiếu của các điểm B, C (H 1.2 ). 1.2: Chiếu một đường thẳng từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Như ta đã biết đường thẳng là tập hợp của vô số điểm nên để tìm hình chiếu của đường thẳng ta đi tìm hình chiếu của hai điểm thuộc đườ ng thẳng (H 1.3) A’≡ B’ ≡ C’ C A S B P Hình 1.2 B P A' A S Hình 1.3 P A’ S Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 2 1.3: Chiếu một hình Ф từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Hình là một tập hợp điểm. Chiếu một hình Ф từ tâm S lên mặt phẳng P tức là chiếu mọi điểm của hình Ф từ tâm S lên mặt phẳng P. Vậy hình chiếu của một hình Ф là tập hợp các hình chiếu của mọi điểm của hình Ф. Nhưng nh ư ta sẽ thấy, muốn vẽ hình chiếu của hình ta chỉ cần vẽ hình chiếu của các yếu tố xác định hình đó. ( H 1.4 ) 1.4: Tính chất của phép chiếu xuyên tâm Tính chất 1. Hình chiếu của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng. ( H 1.3 ) Tính chất 2. Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng. Giả sử A, B, C, D là 4 điểm thuộc đường thẳng k, hình chiếu của chúng lần lượt là A’, B’, C’, D’ thuộc đường thẳng k’ ( H 1.5 ) Ta có: '' '' : '' '' : B D DA B C CA D B AD CB AC = S A A’ P Hình 1.4 A B C D A’ B’ C’ S D’ P k k’ Hình 1.5 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 3 II. PHÉP CHIẾU SONG SONG 2.1: Định nghĩa Trong không gian lấy 1 mặt phẳng P và 1 đường thẳng s cắt mặt phẳng P ( s gọi là hướng chiếu song song ) hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng P theo hướng chiếu s là giao điểm A’ của đường thẳng đi qua A song song với s và mặt phẳng P. ( H 1.6 ) 2.2: Tính chất Tính chất 1. Trong phép chiếu song song hai đường thẳng song song chiếu thành hai đường thẳng song song. ( H 1.7 ) AB // CD → A’B’ // C’D’ Tính chất 2. Trong phép chiếu song song tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu của chúng. ( H 1.8 ). '' '' CB BA BC AB = Hình 1.7 Hình 1.8 Hệ quả: Trong phép chiếu song song tỷ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng. ( H 1.7 ) Giả sử AB // CD, A’B’ và C’D’ là hai hình chiếu của chúng khi đó ta có: '' '' DC BA CD AB = A S A’ P Hình 1.6 D C B A B' A' C' P S D' B' C' C B A P A' S Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 4 III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC 3.1: Định nghĩa. Phép chiếu thẳng góc ( phép chiếu vuông góc ) là phép chiếu song song có hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P. 3.2: Tính chất. Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song do đó nó có mọi tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn có tính chất sau: * Điều kiện ắt có và đủ để một góc vuông chiếu thành một góc vuông là, có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu, cạnh còn lại không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. ( H 1.9 ) có AB song song với mặt phẳng P còn BC không vuông góc với mặt phẳng P. Khi đó nếu góc ∠ ABC = 90° thì góc ∠ A’B’C’ = 90° VI. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC 4.1: Một số quan hệ song song trong không gian. a. Nếu đường thẳng a không thuộc mặt phẳng Q và a song song với đường thẳng b thuộc Q thì đường thẳng a song song với mặt phẳng Q. b. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng Q, mặt phẳng R chứa a và cắt Q theo giao tuyến b thì a song song với b. c. Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó hoặc song song hoặc đồng quy. d. Nếu 2 mặt phẳ ng P và Q cùng song song với đường thẳng a và cắt nhau theo giao tuyến c thì a song song với c. 4.2: Một số quan hệ vuông góc trong không gian. a. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng đó. A C C ' B' A' P B Hình 1.9 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 5 b. Nếu đường thẳng k vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng Q thì k vuông góc với Q. c. Qua một điểm bao giờ cũng chỉ dựng được một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. d. Nếu đường thẳng k vuông góc với mặt phẳng Q thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng k đều vuông góc với Q. 4.3: Khoảng cách. a. Khoả ng cách từ một điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc tính từ điểm đó đến mặt phẳng. b. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc tính từ điểm đó tới đường thẳng. c. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳ ng này đến mặt phẳng kia. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Nêu định nghĩa phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc? 2. Nêu các tính chất của phép chiếu song song? 3. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của tâm O và hai đỉnh A, B của hình bình hành ABCD là O’, A’, B’, vẽ hình chiếu của hình bình hành trên mặt phẳng đó? ( H 1.11 ) Hình 1.10 Hình 1.11 4. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của trọng tâm G và của hai đỉnh A, B của tam giác ABC lần lượ t là G’, A’, B’, vẽ hình chiếu của đỉnh thứ 3 C của tam giác. ( H 1.11 ) A’ B’ O’ A’ B’ G’ Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 6 Chương II ĐIỂM I. HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRONG HỆ HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU. Phương pháp hai hình chiếu thẳng góc được dùng rộng rãi trong kỹ thuật nhất là trong các bản vẽ cơ khí và xây dựng. 1.1. Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu trong không gian. Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc P 1 và P2, cắt nhau theo đường thẳng x. Ta có các tên gọi sau: + P 1 thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng. + P 2 nằm ngang gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng. + Hướng chiếu s 1 vuông góc với P1 gọi là hướng chiếu đứng. + Hướng chiếu s 2 vuông góc với P2 gọi là hướng chiếu bằng. + Đường thẳng x gọi là trục hình chiếu. Hình 2.1 Hình 2.2 S2 P1 X A x A2 A1 A A 2 P2 S1 X A 1 Ax A2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 7 Hai mặt phẳng hình chiếu chia không gian ra làm bốn phần được đánh số thứ tự là I, II, III, VI. ( H 2.1 ) Mặt phẳng P 1 sẽ được chọn làm mặt phẳng bản vẽ tức là mặt phẳng trên đó sẽ vẽ hình biểu diễn của không gian. 1.2. Hình chiếu của điểm. Giả sử có một điểm A thuộc góc phần tư thứ I. ( H 2.1 ) + Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng hình chiếu đứng P 1 ta được điểm A 1, A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A + Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 ta được điểm A 2, A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A Mặt phẳng P 1 được chọn làm mặt phẳng bản vẽ, xoay mặt phẳng P2 quanh trục x về trùng với P 1 sao cho nửa trước của P2 về trùng với nửa dưới của P1 ( H2.1 ) . Khi đó hình biểu diễn của điểm A là cặp điểm ( A 1, A2 ) + A 1A2 thuộc đường thẳng vuông góc với trục x tại Ax + Đường thẳng nối A 1A2 gọi là đường dóng đứng của điểm A ( H 2.2 ) 1.3. Quy ước về độ cao và độ xa của một điểm. 1.3.1 Độ cao. + Định nghĩa: Độ cao của điểm A là khoảng cách của điểm đó tới mặt phẳng hình chiếu bằng P 2. + Quy ước: - Nếu điểm A ở phía trên P 2 thì có độ cao dương ( A1 nằm phía trên trục x ) A 1Ax > 0. ( A thuộc góc phần tư thứ I và thứ II ) - Nếu điểm đó ở phía dưới P 2 thì có độ cao âm ( A1 nằm phía dưới trục x ) A 1Ax < 0. ( A thuộc góc phần tư thứ III và thứ VI ) 1.3.2 Độ xa. + Định nghĩa: Độ xa của một điểm là khoảng cách của điểm đó tới mặt phẳng hình chiếu đứng P 1. + Quy ước: - Nếu điểm đó ở phía trước P 1 thì có độ xa dương , A2 nằm phía dưới trục x , A 2Ax > 0. ( A thuộc góc phần tư thứ I và thứ VI ) Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 8 - Nếu điểm đó ở phía sau P 1 thì có độ cao âm ( A2 nằm phía trên trục x ) A 2Ax < 0. ( A thuộc góc phần tư thứ II và thứ III ) III. HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRONG HỆ 3 MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU. Trong kỹ thuật có những vật thể nếu chỉ biểu diễn trên hai mặt phẳng hình chiếu thì không thể hiện được hết hình dạng và kết cấu của vật thể, vì vậy đôi khi cần biểu diễn vật thể trong hệ ba mặt phẳng hình chiếu. 2.1: Hệ ba mặt phẳng hình chiếu trong không gian. Trong không gian cùng với P 1 và P2 ta lấy thêm mặt phẳng P3 vuông góc với trục x tức là vuông góc với cả hai mặt phẳng hình chiếu P 1 và P2 ( H 2.3 ) + P 3 gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh + Hướng chiếu vuông góc với P 3 gọi là hướng chiếu cạnh + P 1 giao với P2 tại trục x, P1giao với P3 tai trục z, P2 giao với P3 tại trục y, tạo lên hệ trục tọa độ oxyz ( H2.3 ) 2.2. Hình biẻu diễn điểm Giả sử có điểm A trong không gian (H2.3 ) + Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu đứng P 1 là A1. A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A. + Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu bằng P 2 là A 2. A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A. + Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3 là A 3. A3 gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. P1 X A x A2 A1 A A 2 P2 P3 y z A 3 Az Ay A3 o Hình 2.3 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 9 Điểm A có các khoảng cách và tọa độ sau: + A 1Ax = AA2 = ZA ( gọi là độ cao của điểm A ) + A 2Ax = AA1 = YA ( gọi là độ xa của điểm A ) + A 1Az = AA3 = XA ( gọi là độ xa cạnh của điểm A ) * Xoay P 2 về trùng với mặt phẳng P 1 như ở trên, xoay P3 về trùng với P 1 như hình ( H 2.3). khi đó ta có đồ thức của điểm A ( H 2.4 ). Từ đồ thức của điểm A ta có: + A 1A2 nằm trên đường dóng vuông góc với trục x tại Ax. + A 1A3 nằm trên đường dóng vuông góc với trục z tại Az. + AxA 2 = AzA3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Trình bày cách biểu diễn một điểm theo phương pháp hai hình chiếu thẳng góc ? 2. Xác định vị trí của các điểm so với mặt phẳng hình chiếu của các điểm A, B C, D, E, ( H 2.5 ) Hình 2.5 Hình 2.6 Hình 2.7 3. Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng hình chiếu đứng P 1, tìm điểm B’ đối xứng với điểm B qua mặt phẳng hình chiếu bằng P 2? ( H 2.6 ) z A 1 A3 A2 Ax Ay Az X y o Ay’ Y’ E1 E 2 C 2 C1 B 2 B B 1 D 2 D 1 x A 2 A 1 A x A 1 A 2 B 1 B 2 A2 B2 A1 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 10 4. Cho điểm A ( A 1, A2 ) và hình chiếu bằng của điểm B là B2, xác định vị trí trục x và hình chiếu đứng của điểm B? ( H 2.7 ) 5. Vẽ hình chiếu cạnh của điểm A (A 1, A2 ), vẽ hình chiếu bằng của điểm B ( B 1, B3 ) ? ( H 2.8 ) Hình 2.8 XAx A1 A2 Y’ o X B 1 B3 Bz o y z Y’ z y [...]... qua A đường thẳng cắt cả b và c? (H 3.22 ) B1 a1≡ a2 C2 A1 c1 M1 b1 x x x M2 b2 D2 A2 A1 c2 Hình 3.20 Hình 3.21 22 Hình 3.22 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình Chương IV MẶT PHẲNG I HÌNH CHIẾU CỦA MẶT PHẲNG Hình chiếu của măt phẳng là hình chiếu của các yếu tố xác định mặt phẳng ấy, vì thế hình chiếu của mặt phẳng thường cho bởi: + Ba điểm không thẳng hàng ( H 4.1 a ) + Một đường... mα // x ) + Hình chiếu bằng của một hình phẳng trên mặt phẳng bằng là bằng hình thật ( ABC = A2B2C2 ) 2 Mặt phẳng mặt + Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Mặt phẳng ( α ) ( H 4.10 ) + Hình chiếu bằng suy biến thành đường thẳng song song với trục x ( A2B2C2 ≡ nα // x ) 27 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình + Hình chiếu đứng của một hình phẳng trên... Trên hình 3.12 b: AB là đường cạnh, qua hình chiếu đứng và hình chiếu bằng chúng ta không kết luận ngay được chúng có cắt nhau hay không Chúng ta có thể đi tìm hình chiếu cạnh của chúng nếu chúng thoả mãn trường hợp hình (3.12a ) thì chúng là hai đường thẳng cắt nhau trong không gian 17 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình z A1 A3 M1 M3 a1 a1 a3 B1 x A1 B3 y o a) B1 x a2 y A2 b) Hình. .. a2 Hình 3.17 Hình 3.18 5 Cho đường thẳng a tìm trên a các điểm : ( H 3.18 ) +A có độ cao bằng 0 +C có hai hình chiếu trùng nhau +B có độ xa bằng 0 +D có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục x 6 Xác định độ dài cạnh của đoạn thẳng AB? ( H 3.19 ) 21 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình 6 Cho hai đường thẳng bất kì a ( a1, a2 ) và b ( b1, b2 ) và hình chiếu đứng M1 của điểm M Tìm hình. ..Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình Chương III ĐƯỜNG THẲNG I HÌNH BIỂU DIỄN CỦA ĐƯỜNG THẲNG Để biểu diễn một đường thẳng bất kỳ, người ta cũng chiếu đường thẳng ấy lên các mặt phẳng hình chiếu P1, P2 như khi biểu diễn các điểm Vì hình chiếu của một đường thẳng là một đường thẳng và được xác định bởi hai điểm, nên muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta đi vẽ hình chiếu của hai điểm thuộc... thẳng là đường cạnh: Nếu trên đồ thức, hình chiếu cạnh của chúng là hai đường thẳng song song thì đồ thức đó biểu diễn hai đường thẳng song song trong không gian ( H 3.14 a ) 18 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình A1 z D1 b3 x a1 a3 b1 C1 x y B1 A2 C2 D2 y B2 a) b) Hình 3.14 Trên hình 3.14 b, AB và CD là hai đường cạnh, qua hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, chúng ta không kết luận... Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình A1 A1 P1 a d1 d1 B1 d b1 b A2 d2 β β x β x b2 P2 A2 d2 b2 Hình 3.4 2 Đoạn thẳng thuộc đường mặt (AB) song song và bằng hình chiếu đứng (A1B1) ( AB // = A1B1 ) 3 Góc tạo bởi đường thẳng hình chiếu đưng d1 với trục x chính là góc tạo bởi giữa đường mặt và mặt phẳng hình chiếu bằng P2, góc β c Đường cạnh + Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình. .. thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 13 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình Z α Z A1 P1 A1 α P3 a B3 β o x Y b1 d A2 β b x d3 b1 O b1 A3 d1 d3 d1 α A1 A2 Y β d2 d2 b2 Y b2 P2 Hình 3.5 + Tính chất: 1 .Hình chiếu đứng suy biến thành một điểm A1≡ B1 ≡ d1 ( Dấu hiệu đặc trưng cho đường thẳng chiếu đứng ) 2 .Hình chiếu bằng d2 vuông góc với trục x 3 .Hình chiếu bằng A2B2 song song... hình chiếu cạnh P3 Đó là vết ( pα ) Hình 4.2 Như vậy ta có hình biểu diễn của các vết như sau: + Vết đứng và vết bằng cắt nhau ( H 4.3 a ) + Vết đứng và vết bằng không cắt nhau ( H 4.3 b ) z z mα mα pα pα y x y x nα nα y y a) b) Hình 4.3 24 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình III NHỮNG MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT 3.1: Mặt phẳng chiếu Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình. .. x x b a2 d2 a2 p2 d2 b2 b2 Hình 3.6 b.Đường thẳng chiếu bằng + Định nghĩa: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 + Tính chất: 1 Hình chiếu bằng suy biến thành một điểm A2 ≡ B2 ≡ d2 14 http://www.ebook.edu.vn Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình ( Dấu hiệu đặc trưng cho đường thẳng chiếu bằng ) 2 Hình chiếu đứng d1vuông góc với trục x 3 Hình chiếu đứng A1B1 song . A S B P Hình 1.2 B P A' A S Hình 1.3 P A’ S Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 2 1.3: Chiếu một hình Ф từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Hình là. a 1 b1 b2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 19 a) b) Hình 3.14 Trên hình 3.14 b, AB và CD là hai đường cạnh, qua hình chiếu đứng và hình chiếu bằng,. chiếu. Hình 2.1 Hình 2.2 S2 P1 X A x A2 A1 A A 2 P2 S1 X A 1 Ax A2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 7 Hai mặt phẳng hình chiếu chia không gian