Bài giảng Mô Hình Nền

MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐẤT NỀN THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG 1. Mô hình Winkler: 2. Mô hình Đàn hồi tuyến tính: 3. Mô hình đàn hồi phi tuyến 4. Mô hình MohrCoulomb 5. Các mô hình cho giới hạn đàn hồi – dẻo khác: 6. Mô hình CamClay 7. Mô hình Camclay cải tiến

ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

BỘ MÔN CƠ HỌC ĐẤT – NỀN MÓNG

MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐẤT NỀN THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

(Bản thảo)

TS Phạm Quang Hưng

Hà nội 06 – 2007

MỤC LỤC

1 Mô hình Winkler:

Mô hình Winkler là mô hình nền biến dạng cục bộ Nói cách khác, nền chỉ biến dạng tạinơi có tải trọng, khu vực lân cận không bị biến dang (Hình 1a) Trong thực tế, dưới tácdụng của tải trọng bên ngoài, khu vực lân cận của vùng chịu tải trọng cũng có biến dạngđáng kể (Hình 1b).l

Hình 1 Mô hình Winkler: a) Giả thiết về biến dạng dưới tải trọng ngoài; b) biến dạng

thực tế; c) Các thông số của mô hìnhTrong mô hình Winkler, người ta mô tả đất nền đàn hồi bằng các lò so như trong Hình1c Quan hệ ứng suất – biến dạng của mô hình Winkler được thể hiện dưới dạng biểuthức sau:

a) Mô hình Winkler b) Biến dạng thực tế

a) Các hệ số trong mô hình Winkler

Hệ số nền K của đất có thể chọn bằng hằng số hoặc thay đổi tùy thuộc vào tải trọng tácdụng Bên cạnh hệ số nền theo phương đứng (Kz), các hệ số nền theo phương ngang (Kh)cũng được sử dụng trong tính toán và mô hình hóa Hệ số nền thường được xác định theocác cách sau đây:

- Thí nghiệm bàn nén hiện trường,

- Thí nghiệm nén ngang,

- Theo kinh nghiệm tùy thuộc vào loại đất nền (Bảng 1)

Bảng 1 Hệ số nền (K) của một vài loại đất đá.

2 Mô hình Đàn hồi tuyến tính:

Mô hình đàn hồi tuyến tính có thể coi là một trong những mô hình cơ bản nhất đã vàđang được sử dụng rộng rãi trong ngành cơ học nói chung Ứng xử của vật liệu trong môhình này tuân theo định luật Hook Phương trình cơ bản của định luật Hook mô tả sự giãn

nở khi chịu kéo của một thanh vật liệu “đàn hồi tuyến tính” có chiều dài L và tiết diệnngang là A như sau (1 chiều):

Trong đó:

= Độ dãn dài theo phương dọc trục, = Lực kéo,

= Mô đun đàn hồi của vật liệu, và

= Ứng suất theo phương dọc trục

Quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu đàn hồi tuyến tính được thể hiện trên Hình 2.Định luật Hook cũng có thể viết như sau:

Trong đó:

= Biến dạng theo phương dọc trục

Hình 2 Biểu đồ quan hệ ứng suất – biến dạng của mô hình đàn hồi tuyến tính

Biến dạng

Ứ

ng su ất

εσ

E

Trong trường hợp tổng quát (3 chiều), phương trình của định luật Hook có thể viết nhưsau:

(3)(4)

(5)Trong đó:

E = Mô đun đàn hồi

υ = Hệ số Poisson

Về mặt lý thuyết, mô hình đàn hồi tuyến tính chỉ yêu cầu có 2 thông số về vật liệu là: 1)

Mô đun đàn hồi (E), và hệ số Poisson (υ) Bất cứ tham số thứ 3 về vật liệu xuất hiệntrong phương trình đều có thể biến đổi thành hàm số của hai thông số trên Trên thực tế,người ta sử dụng rất nhiều các thông số về vật liệu khác nhau như: 1) Mô đun biến dạngthể tích (K); 2) Hằng số Lame (λ); 3) Mô đun đàn hồi cắt (µ = G) Các thông số này cóthế được thể hiện bằng hàm số của mô đun đàn hồi (E), và hệ số Poisson (υ) như dướibảng 2

Bảng 2 Bảng chuyển đổi giữa các thông số về vật liệu trong mô hình đàn hối tuyến tính.

Mô đun đàn hồi, E, có thể xác định trực tiếp thông qua thí nghiệm trong phòng và hiệntrường như: thí nghiệm Oedometer, nén 3 trục, bàn nén, nén ngang trong lỗ khoan, v.v.Bên cạnh đó mô đun đàn hồi, E, cũng có thể được lấy gần đúng thông qua tên và trạngthái của đất hay từ kết quả xuyên tĩnh CPT, kết quả xuyên tiêu chuẩn CPT.

Mô hình đàn hồi tuyến tính là một mô hình đơn giản và là một trong những mô hình được

sử dụng rộng rãi nhất trong lĩnh vực xây dựng Ứng dụng của mô hình này được sử dụngtrong tính toán kết cấu thép, kết cấu bê tông cốt thép và cả trong tính toán nền móng

3 Mô hình đàn hồi phi tuyến

Trong thực tế, biến dạng của đất trong hầu hết các trường hợp là biến dạng phi tuyến Dovậy, việc mô tả biến dạng của đất thông qua quan hệ đàn hồi tuyến tính sẽ làm kết quả sailệch nhiều so với thực tế Mô hình đàn hồi phi tuyến được sử dụng nhằm khắc phục cácnhược điểm này Quan hệ ứng suất biến dạng của đất nền có thể được mô tả như trênHình 3

Hình 3 Quan hệ ứng suất – biến dạng trong mô hình đàn hồi phi tuyến

Dựa trên thực nghiệm để xác đinh quan hệ giữa mô dun tiếp tuyến ban đầu và áp lực tiếptuyến (Janbu, 1963):

a a

i

p kp

ur

p p k

mô hình Mohr-Coulomb để mô hình hóa đất nền Quan hệ ứng suất biến dạng của môhình Mohr-Coulomb có thể biểu diễn như trong Hình 4

Hình 4 Biểu đồ quan hệ ứng suất – biến dạng của mô hình đàn hồi tuyến tính

Trong mô hình Mohr-Coulomb, quan hệ ứng suất – biến dạng của đất nền được chia làmthành 2 giai đoạn tách biệt: 1) Đàn hồi tuyến tính và 2) Dẻo tuyệt đối Trong giai đoạnđàn hồi tuyến tính, ứng xử của đất nền đối với tải trọng ngoài giống như của mô hình đànhồi tuyến tính Trong giai đoạn dẻo tuyệt đối, ứng suất không tăng nhưng biến dạng tiếptục tăng Nói cách khác, đất nền đã bị phá hoại ở giai đoạn dẻo tuyệt đối Điều kiện dẫnđến trạng thái phá hoại của vật liệu chính là thuyết bền Mohr-Coulomb (hay cường độcủa đất nền) được thể hiện bằng công thức sau:

Trong Hình 5 đường giới hạn trạng thái chảy dẻo của đất là một đường xiên với gócnghiêng là φ Trong hệ truc tọa độ 3 chiều của các ứng suất chính σ1, σ2, σ3, mặt giới hạnđược thể hiện như trong Hình 6 Mặt giới hạn này được thể hiện qua 3 phương trình sau:

2 2 2 2

σ − + + =

Trong đó:

σy = ứng suất tới hạnTrong trường hợp 3 chiều, công thức có thể viết như sau:

4.1 Các biến ứng suất:

Các biến ứng suất của một phân tố đất được thể hiện trên Hình 6 Ba ứng suất chính tạimột điểm trong đất thường được ký hiệu là: σ1 ≥σ2 ≥ σ3 Về cơ bản, 3 ứng suất chínhnày đủ để mô tả trạng thái ứng suất của một điểm trong lòng đất Trong cơ học đất ởtrạng thái tới hạn, người ta sử dụng các biến ứng suất sau đây:

2 1 3

2 3 2

2 2

(2

1'= σ −σ + σ −σ + σ −σ

=q

3

1

3 2

1

'= σ1+σ2 +σ3

Trong trường hợp thí nghiệm nén 3 trục σ =2 σ3(σ =2' σ3') Trong trường hợp nén hoặc

nở, vai trò của ứng suất chính σ1 và σ3được đảo lại Để tránh nhầm lẫn, người ta thườnggọi ứng suất dọc trục trong thí nghiệm nén 3 trục là σa, và ứng suất theo phương bán kính là σr Do vậy, ta có:

)''(

q

)'2'(3

4.2 Khái niệm về trạng thái tới hạn

Cụm từ “tới hạn” được sử dụng đầu tiên bởi Casagrande khi thực hiện thí nghiệm vềcường độ trên đất cát rời và cát chặt ở đập Fort Peck Ông đã thực hiện thí nghiệm đất cátbằng dụng cụ cắt trực tiếp và phát hiện ra rằng sau khi bị cắt, hệ số rỗng của đất cát chặt

và cát rời là gần như nhau (Hình 7) Khi biểu thị kết quả này trên đồ thị τ−σ , Casagrande

đã gọi đường cong thể hiện trạng thái của đất sau khi bị cắt là đường hệ số rỗng tới hạn.Khi một mẫu đất đã ở trạng thái tới hạn, mẫu đất này sẽ tiếp tục bị cắt với giá trị ứng suấtcắt và hệ số rỗng không đổi Trạng thái tới hạn này có thể hiện qua phương trình sau:

0

= d

d

= d

đất; b) Biến dạng của cát chặt và cát rời trong quá trình cắt

Rất nhiều nhà nghiên cứu đã chứng minh sự tồn tại của đường trạng thái tới hạn thôngqua thực nghiệm Quỹ tích của đường trạng thái tới hạn (CSL – Critical State Line) trên

các mặt phẳng khác nhau có thể thể hiện trên mặt phẳng: (q – p’), (v – p’) và (v-ln(p’)) như trên Hình 8 Độ dốc của đường tới hạn trên trục tọa độ (q – p’) được kỹ hiệu là M

(Hình 8a) Rất nhiều kết quả thí nghiệm đã chứng minh rằng, đường cố kết thường (σ1 =

σ2 = σ3 trên máy nén 3 trục) song song với đường trạng thái tới hạn (CSL) khi thể hiện

trên mặt phẳng (v-ln(p’)) Kết quả thí nghiệm cũng cho thấy rằng đường nén cố kết 3

chiều và 1 chiều là song song với nhau (Hình 8c) Trạng thái ứng suất dùng để tham khảo

thường được chọn tại p’ = 1 kPa Tại trạng thái này, thể tích riêng của đất trong trường

hợp nén 3 trục là N, nén 1 trục là N0 Giao điểm của đường trạng thái tới hạn với đườngthằng đi qua điểm có p’ = 1 kPa là Γ

Hình 8 Quỹ tích của đường tới hạn: a) trên mặt (q-p’); b) trên mặt (v-p’) và c) trên mặt (v-ln(p’)).

4.3 Đường ứng suất của các mẫu đất khác nhau trong thí nghiệm nén 3 trục:

Để hiểu rõ hơn bản chất của đường trạng thái tới hạn Đường ứng suất thể hiện trang tháiứng suất của các mẫu đất trong thí nghiệm nén 3 truc được thể hiện trên hình 9 và 10.Trong đó, có đất cát chặt, cát rời, sét cố kết thường và quá cố kết trong điều kiện nénthoát nước và không thoát nước Đường ứng suất đi từ điểm A đến B, đến C rồi D Chú ýrằng trong trường hợp không thoát nước, thể tích của mẫu đất không đổi

Hình 9 Đường ứng suất cho đường gia tải trong thí nghiệm nén 3 trục cho đất cát chặt vàrời

Hình 10 Đường ứng suất cho đường gia tải trong thí nghiệm nén 3 trục cho đất cát chặt

và rời

Khi thể hiện đường ứng suất của một loại đất trên hệ tọa độ 3 chiều (ví dụ như: v-q-p),

mặt thoát nước và không thoát nước được thể hiện trên hình 11 và 12 Thể tích và các

thành phần ứng suất của đất tại trạng thái phá hoại (v f , q’ f , p’ f) có thể được tính toán dựatrên công thức (14) đến (19) Ứng xử của cát chặt giống như đất sét quá cố kết và của đấtcát rời giống như của sét cố kết thường Tuy nhiên, đất cát chặt và những vật liệu dạnghạt rời khác có đặc điểm là bị nở ra khi bị cắt

Hình 11 Hình chiếu của đường trạng thái tới hạn trên các mặt cơ bản và mặt phẳng

không thoát nước

Hình 12 Hình chiếu của đường trạng thái tới hạn trên các mặt cơ bản và mặt phẳng thoát

nước

Khi một mẫu đất được nén đến phá hoại trong trường hợp không thoát nước (Hình 12),

thể tích của mẫu đất ở trạng thái tới hạn là v 0 Các thông số về đất ở trạng thái phá hoại cóthể được tính như sau:

[( )/λ]exp

[( )/λ]exp

'3

)3/(

'3

4.4 Mặt Roscoe – Mặt bao trạng thái của đất:

Rất nhiều thí nghiệm đã được thực hiện và cho thấy rằng chuỗi những đường ứng suấtnằm trong mặt thoát nước và trong mặt không thoát nước cùng tạo 1 mặt cong (Henkel,1990) Mặt cong duy nhất này được gọi là mặt Roscoe Khi mà vẽ các đường ứng suấtcủa một mẫu đất cố kết thường hoặc dưới cố kết trong trục tọa độ đã được đồng nhất(q’/p’e – p’/p’e), tất cả các đường ứng suất tiếp cận với mặt Roscoe và hội tụ đến đườngtrạng thái tới hạn (Hình 13)

Figure 13 Đường ứng suất trên trục q’/p’e – p’/p’e và mặt Roscoe

Áp lực tương đương, p’e là ứng suất ban đầu của thí nghiệm có thể tính toán bằng côngthức sau:

[( )/λ]exp

4.5 Mặt Hvoslave – mặt bao trạng thái của đất

Cũng như mặt Roscoe, mặt Hvoslev cuyngx là một mặt bao trạng thái của đất Rất nhiều thí nghiệm đã được thực hiện và cho thấy rằng tất cả các đường ứng suất của đất quá cố kết hay cát chặt trong mặt phẳng (q’/p’e – p’/p’e) tiệm cận với mặt Hvoslev và sau đó tiến

đên đường trạng thái tới hạn Đường 1:3 phái bên trái là mặt giới hạn trong đường nén

của thí nghiệm nén 3 trục Độ dốc của đường chiếu của mặt Hvoslev là h như trên Hình

13 Phương trình của mặt Hvoslev có thể viết như sau:

'exp

)(

M

Figure 14 Đường ứng suất trên mặt q’/p’e – p’/p’e và minh họa của mặt Hvoslev

4.6 Mặt bao trạng thái hoàn chỉnh của đất:

Kết hợp 2 mặt bao trạng thái đã được trình bày ở trên (Roscoe và Hvoslev), ta có được một mặt bao trạng thái hoàn chỉnh của đất (Hình 15)

Hình 15 Mặt trạng thái hoàn chỉnh của đất

Biến dạng đàn hồi:

Cùng xem xét ứng xử của 1 loại đất trong trường hợp gia tải và dỡ tải đẳng hướng (Hình16) Đường cong dỡ tải B-C thể hiện biến dạng đàn hồi Đường nén cố kết thường A-Bthể hiện biến dạng dẻo Trong mô hình trạng thái tới hạn, khi mà đường ứng suất tiếnđến mặt bao giới hạn, đất sẽ thể hiện quan hệ ứng suất biến dạng: đàn hồi – dẻo Khi màđường ứng suất nằm bên dưới mặt bao trạng thái, ứng suất, ứng xử của đất là đàn hồi.Mặt đứng chạy dọc theo đường dỡ tải thể hiện mặt đàn hồi (Hình 17)

Hình 16 Biến dạng đàn hồi và đàn dẻo của đất

Hình 17 Mặt đàn hồi của đất

Khi mà ứng xử của đất là đàn hồi, định luật Hooke có thể được áp dụng Phương trìnhbiểu diễn quan hệ ứng suất biến dạng như sau:

'.0''

1

q p K

'.'3

1'

Rõ ràng rằng trong trường hợp biến dạng đàn hồi đẳng hướng, biến dạng thể tích phụ

thuộc vào p’ và biến dạng cắt phụ thuộc vào q’ Do độ dốc của đường dỡ tải là κ; phươngtrình (23) và (24) có thể được viết lại như sau:

')'/( vp p

')'21('9

)'1(2

q vp

ν

νκδε

'= vp −

Phương trình (27) cho thấy rằng trong trường hợp thoát nước p’ sẽ thay đổi với tải trọng

và vì vậy mô đun E’ sẽ không phải là một hằng số (thậm chí khi giả thiết rằng hệ số poisson v là hằng số) Trong trường hợp không thoát nước, E = constant Do vậy, ta có

thể kết luận rằng trong trường hợp không thoát nước, đất ứng xử đàn hồi tuyền tính.Trong trường hợp thoát nước ứng xử của đất là đàn hồi không tuyến tính Khi mà đườngứng suất chạm với mặt bao trang thái, biến dạng dẻo sẽ xảy ra

Biến dạng dẻo:

Hình 18 Hệ đường giới hạn dẻo

Một hệ đường giới hạn dẻo được thể hiện trên Hình 18 Hãy Khi đất chuyển trạng thái từđiểm D sang điểm E, đất sẽ có biến dạng

Hình 19 Biến dạng dẻo của đấtVấn đề đặt ra là làm sao tính toán được biến dạng dẻo (biến dạng thể tích và biến dạngcắt) khi đường giới hạn dẻo được mở rộng Luật phát triển biến dạng dẻo được mô tả quanhư trên Hình 19 Ứng với đường ứng suất tác dụng (OA), ta có vector biến dạng dẻo

1

p q M

4.7 Mô hình Cam-clay:

Có 3 giả thiết cơ bản cho mô hình Cam-Clay:

1 Luật chảy dẻo tuân theo điều kiện chuẩn (vector biến dạng vuông góc vớiđường tiếp tuyến của đường biên giới hạn dẻo) Vì vậy sẽ chỉ có một quan hệduy nhất giưa p

v

p

s δε

δε / và đường ứng suất tác dụng

2 Luật phát triển biến dạng dẻo tuân theo công thức sau (28):

)'/'(

1

p q M

p v

p s

−

=δε

Mp

q p

v=Γ+λ−κ −λ − λ−κ

Hình 20 Đường giới hạn dẻo theo mô hình Cam-clay

Một họ đường giới hạn dẻo theo mô hình Cam-clay được thể hiện trên Hình 21

Hình 21 Họ đường dẻo theo mô hình Cam-clay trên hệ tọa độ 3 chiều.

4.8 Tính toán biến dạng dẻo sử dụng mô hình Cam-clay (điều kiện thoát nước):

Giả thiết rằng một mẫu đất bị chảy dẻo khi đường ứng suất đi từ điểm D (q’ d , p’ d ) tới

điểm E (q’ e , p’ e ) trong điều kiện thoát nước (Hình 22) Biến dạng thể tích và biến dạng

cắt có thể được tính toán như dưới đây Biến dạng thể tích có thể được tính toán bằngcách lấy vi phân phương trình (30) như sau:

2

'

'')('

')(''

'

Mp

p q Mp

q p

p

δ =− − − + − (31)

Khi ứng sất p’ tăng, biến dạng đàn dẻo và đàn hồi sẽ xuất hiện Biến dạng thể tích

đàn hồi có thể có tính toán như sau:

)'/'( p q

k v

v v

v v

p e

Biến dạng cắt dẻo có thể được tính toán như sau (luật phát triển biến dạng dẻo):

p v

p

s

p q

δε

)'/'(

1

−

Hình 22 Dẻo hóa và cứng hóa theo mô hình Cam-clay (thoát nước).

4.9 Tính toán biến dạng dẻo và áp lực nước lỗ rỗng sử dụng mô hình Cam-clay

(không thoát nước):

Giả thiết rằng một mẫu đất bị chảy dẻo từ điểm E (q’ e , p’ e ) đến điểm D (q’ d , p’ d ) trong

điều kiện không thoát nước (Hình 23) Khi mà mẫu đất chuyển từ trạng thái của điểm E

sang điểm D, sẽ có sự thay đổi của p’ Rõ ràng rằng, sẽ có một biến dạng thể tích đàn hồi.

Trong trường hợp không thoát nước, thể tích của đất sẽ không thay đổi Vì vậy sẽ có mộtbiến dạng dẻo ngược lại để đảm bảo rằng thể tích của mẫu đất là không thay đổi Biếndạng thể tích đàn hồi và dẻo được tính toán như sau:

e

v

κδδε

Biến dạng cắt dẻo có thể được tính toán như sau (luật phát triển dẻo):

p v

p

s

p q

δε

)'/'(

1

−

Hình 23 Dẻo hóa và cứng hóa theo mô hình Cam-clay (không thoát nước).

Áp lực nước lỗ rỗng có thể tính toán như sau:

Trong đó:

p’ được tính toán bằng cách giải phương trình (30).

4.10 Mô hình Cam-clay cải tiến

Về cơ bản, mô hình Cam-clay nguyên bản và mô hình Cam-clay cải tiến là gần như nhau

Mô hình Cam-clay nguyên bản mô tả mặt biên trạng thái của đất thông qua việc sử dụnghàm logarit có dạng hình vỏ ốc như là có thể thấy trên hình 23 Trong khi đó, mô hìnhCam-clay cải tiến lại sử dụng phương trình của Elip như là có thể thấy trên hình 24 Giảthiết của mô hình Cam-clay cải tiến như sau:

'

G

q

e q

δ

δε =

2/ Luật phát triển dẻo tuân theo điều kiện chuẩn