Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 1 Chương I PHÉP CHIẾU Người ta dùng phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song ( mà trường hợp đặc biệt là phép chiếu vuông góc ) để biểu diễn các vật thể trong không gian. I.PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 1.1: Chiếu một điểm A từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Trong không gian lấy một mặt phẳng P và một điểm S không thuộc P. Chiếu một điểm A bất kỳ của không gian từ tâm S lên mặt phẳng P là: 1. Vẽ đường thẳng SA. 2. Xác định giao điểm A’ Của đường thẳng SA với mặt phẳng P (H 1.1 ) Khi đó người ta gọi A’ là hình chiếu của đi ểm A từ tâm S lên mặt phẳng P. Ta có các tên gọi: Hình 1.1 S : Tâm chiếu SA : Tia chiếu ( Đường thẳng chiếu) P : Mặt phẳng hình chiếu Vậy hình chiếu của điểm A là điểm A’. Dễ dàng thấy rằng nếu A thuộc mặt phẳng P thì A’ trùng với A. Hiển nhiên A’ không chỉ là hình chiếu của điểm A mà nó còn là hình chiếu của một điểm bất kỳ thuộ c của đường thẳng SA. Ví dụ A’ cũng là hình chiếu của các điểm B, C (H 1.2 ). 1.2: Chiếu một đường thẳng từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Như ta đã biết đường thẳng là tập hợp của vô số điểm nên để tìm hình chiếu của đường thẳng ta đi tìm hình chiếu của hai điểm thuộc đườ ng thẳng (H 1.3) A’≡ B’ ≡ C’ C A S B P Hình 1.2 B P A' A S Hình 1.3 P A’ S Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 2 1.3: Chiếu một hình Ф từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Hình là một tập hợp điểm. Chiếu một hình Ф từ tâm S lên mặt phẳng P tức là chiếu mọi điểm của hình Ф từ tâm S lên mặt phẳng P. Vậy hình chiếu của một hình Ф là tập hợp các hình chiếu của mọi điểm của hình Ф. Nhưng nh ư ta sẽ thấy, muốn vẽ hình chiếu của hình ta chỉ cần vẽ hình chiếu của các yếu tố xác định hình đó. ( H 1.4 ) 1.4: Tính chất của phép chiếu xuyên tâm Tính chất 1. Hình chiếu của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng. ( H 1.3 ) Tính chất 2. Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng. Giả sử A, B, C, D là 4 điểm thuộc đường thẳng k, hình chiếu của chúng lần lượt là A’, B’, C’, D’ thuộc đường thẳng k’ ( H 1.5 ) Ta có: '' '' : '' '' : B D DA B C CA D B AD CB AC = S A A’ P Hình 1.4 A B C D A’ B’ C’ S D’ P k k’ Hình 1.5 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 3 II. PHÉP CHIẾU SONG SONG 2.1: Định nghĩa Trong không gian lấy 1 mặt phẳng P và 1 đường thẳng s cắt mặt phẳng P ( s gọi là hướng chiếu song song ) hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng P theo hướng chiếu s là giao điểm A’ của đường thẳng đi qua A song song với s và mặt phẳng P. ( H 1.6 ) 2.2: Tính chất Tính chất 1. Trong phép chiếu song song hai đường thẳng song song chiếu thành hai đường thẳng song song. ( H 1.7 ) AB // CD → A’B’ // C’D’ Tính chất 2. Trong phép chiếu song song tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu của chúng. ( H 1.8 ). '' '' CB BA BC AB = Hình 1.7 Hình 1.8 Hệ quả: Trong phép chiếu song song tỷ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng. ( H 1.7 ) Giả sử AB // CD, A’B’ và C’D’ là hai hình chiếu của chúng khi đó ta có: '' '' DC BA CD AB = A S A’ P Hình 1.6 D C B A B' A' C' P S D' B' C' C B A P A' S Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 4 III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC 3.1: Định nghĩa. Phép chiếu thẳng góc ( phép chiếu vuông góc ) là phép chiếu song song có hướng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P. 3.2: Tính chất. Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song do đó nó có mọi tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn có tính chất sau: * Điều kiện ắt có và đủ để một góc vuông chiếu thành một góc vuông là, có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu, cạnh còn lại không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. ( H 1.9 ) có AB song song với mặt phẳng P còn BC không vuông góc với mặt phẳng P. Khi đó nếu góc ∠ ABC = 90° thì góc ∠ A’B’C’ = 90° VI. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC 4.1: Một số quan hệ song song trong không gian. a. Nếu đường thẳng a không thuộc mặt phẳng Q và a song song với đường thẳng b thuộc Q thì đường thẳng a song song với mặt phẳng Q. b. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng Q, mặt phẳng R chứa a và cắt Q theo giao tuyến b thì a song song với b. c. Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó hoặc song song hoặc đồng quy. d. Nếu 2 mặt phẳ ng P và Q cùng song song với đường thẳng a và cắt nhau theo giao tuyến c thì a song song với c. 4.2: Một số quan hệ vuông góc trong không gian. a. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng đó. A C C ' B' A' P B Hình 1.9 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 5 b. Nếu đường thẳng k vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng Q thì k vuông góc với Q. c. Qua một điểm bao giờ cũng chỉ dựng được một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. d. Nếu đường thẳng k vuông góc với mặt phẳng Q thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng k đều vuông góc với Q. 4.3: Khoảng cách. a. Khoả ng cách từ một điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc tính từ điểm đó đến mặt phẳng. b. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc tính từ điểm đó tới đường thẳng. c. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳ ng này đến mặt phẳng kia. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Nêu định nghĩa phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc? 2. Nêu các tính chất của phép chiếu song song? 3. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của tâm O và hai đỉnh A, B của hình bình hành ABCD là O’, A’, B’, vẽ hình chiếu của hình bình hành trên mặt phẳng đó? ( H 1.11 ) Hình 1.10 Hình 1.11 4. Cho hình chiếu song song trên một mặt phẳng của trọng tâm G và của hai đỉnh A, B của tam giác ABC lần lượ t là G’, A’, B’, vẽ hình chiếu của đỉnh thứ 3 C của tam giác. ( H 1.11 ) A’ B’ O’ A’ B’ G’ . O và hai đỉnh A, B của hình bình hành ABCD là O’, A’, B’, vẽ hình chiếu của hình bình hành trên mặt phẳng đó? ( H 1. 11 ) Hình 1. 10 Hình 1. 11 4. Cho hình chiếu song song trên. A S B P Hình 1. 2 B P A' A S Hình 1. 3 P A’ S Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 2 1. 3: Chiếu một hình Ф từ tâm chiếu S lên mặt phẳng hình chiếu P Hình là. k’ ( H 1. 5 ) Ta có: '' '' : '' '' : B D DA B C CA D B AD CB AC = S A A’ P Hình 1. 4 A B C D A’ B’ C’ S D’ P k k’ Hình 1. 5 Pham Duy Thuỳ Hình