Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 23 Chương IV MẶT PHẲNG I. HÌNH CHIẾU CỦA MẶT PHẲNG Hình chiếu của măt phẳng là hình chiếu của các yếu tố xác định mặt phẳng ấy, vì thế hình chiếu của mặt phẳng thường cho bởi: + Ba điểm không thẳng hàng. ( H 4.1 a ) + Một đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng đó ( H 4.1 b ) + Hai đường thẳng song song ( H 4.1 c ) + Hai đường thẳng cắt nhau ( H 4.1 d ) a) b) b) d) Hình 4.1 x A1 B1 C1 A2 C2 B2 A2 A1 x b 2 b1 b2 b1 x a 1 x b 2 b1 a2 a1 a2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 24 II VẾT CỦA MẶT PHẲNG Là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu.( H 4.2 ) 2.1. Vết đứng Vết đứng của mặt phẳng α là giao tuyến của mặt phẳng α với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1. Đó là vết ( mα ) 2.2. Vết bằng Vết bằng của mặt phẳng α là giao tuyến của mặt phẳng α với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2. Đó là vết ( nα ) 2.3. Vết cạnh Vết cạnh của mặt phẳng α là giao tuyến của mặt phẳng α với mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3. Đó là vết ( pα ) Như vậy ta có hình biểu diễn của các vết như sau: + Vết đứng và vết bằng cắt nhau ( H 4.3 a ) + Vết đứng và vết bằng không cắt nhau ( H 4.3 b ) a) b) Hình 4.3 x p α o y P 1 mα nα z P3 Hình 4.2 x p α y mα nα z y x p α y mα nα z y Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 25 III. NHỮNG MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT 3.1: Mặt phẳng chiếu. Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. 1. Mặt phẳng chiếu đứng. + Măt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1 ⇒ Hình chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng. ( H 4.4 ) Hình 4.4 + Nếu mặt phẳng chiếu đứng được biểu diễn bằng hai vết ( m α, nα ). Thì vết bằng n α vuông góc với trục x. ( H 4.5 ) Hình 4.5 + Góc ( mặt phẳng α, mặt phẳng P 2 ) = Góc ( vết đứng mα, trục x ) 2. Mặt phẳng chiếu bằng. + Măt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P 1 ⇒ Hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng. ( H 4.6 ) + Nếu mặt phẳng chiếu bằng được biểu diễn bằng hai vết ( m α, nα ). Thì vết đứng m α vuông góc với trục x. ( H 4.7 ) C C 2 C 1 P2 A A 1 P 1 A 2 x B 2 B B 1 C2 C 1 A 1 A 2 x B 2 B1 nα m α α x P2 P 1 nα m α x Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 26 Hình 4.6 Hình 4.7 + Góc ( mặt phẳng α, mặt phẳng P 1 ) = Góc ( vết bằng nα, trục x ) 3. Mặt phẳng chiếu cạnh +Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3 ⇒ Hình chiếu cạnh suy biến thành đường thẳng. ( H 4.8 ) Hình 4.8 C C 2 C 1 P2 A A1 P 1 A 2 x B 2 B B 1 C2 C 1 A1 A 2 x B 2 B1 nα m α α x P2 P 1 nα m α x nα y p α x z y mα o nα P1 p α x z y mα o P 3 P 2 α Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 27 + Góc ( mặt phẳng α, mặt phẳng P 1 ) = Góc ( vết cạnh pα, trục z ) + Góc ( mặt phẳng α, mặt phẳng P 2 ) = Góc ( vết cạnh pα, trục x ) + Nếu mặt phẳng chiếu cạnh được biểu diễn bằng hai vết ( m α, nα ). Thì vết bằng n α. vết đứng mα đều song song với trục x. ( H 4.8 ) 3.2 Mặt phẳng đồng mức Mặt phẳng đồng mức là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu. Tương ứng với ba mặt phẳng hình chiếu, có ba loại mặt phẳng đồng mức, chúng có định nghĩa và tính chất tương tự nhau. 1. Mặt phẳng bằng + Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P 2. Mặt phẳng ( α ) ( H 4.9 ) Hình 4.9 + Hình chiếu đứng suy biến thành đường thẳng song song với trục x. ( A 1B1C1 ≡ mα // x ) + Hình chiếu bằng của một hình phẳng trên mặt phẳng bằng là bằng hình thật ( ABC = A 2B2C2 ) 2. Mặt phẳng mặt + Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1. Mặt phẳng ( α ) ( H 4.10 ) + Hình chiếu bằng suy biến thành đường thẳng song song với trục x. ( A 2B2C2 ≡ nα // x ) C C 2 C 1 P2 A A 1 P 1 A 2 x B 2 B B 1 mα α C1 B 2 C 2 A 1 mα B1 A2 x Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 28 + Hình chiếu đứng của một hình phẳng trên mặt phẳng mặt là bằng hình thật ( ABC = A 1B1C1 ) Hình 4.10 1. Mặt phẳng cạnh + Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P 3, mặt phẳng ( α ) ( H 4.10 ) Hình 4.11 + Vết đứng và vết bằng nằm trên đường thẳng vuông góc với trục x + Hình chiếu cạnh của hình phẳng nằm trên mặt phẳng cạnh là bằng hình thật ( ABC = A 3B3C3 ) C C 2 C 1 P2 A A 1 P 1 A 2 x B 2 B nα α B1 C2 C 1 A 1 A 2 x nα B1 B 2 C C2 C 3 y A A3 P 1 A 2 x B mα α B3 P 3 P 2 B 2 nα A 1 z B 1 C 1 C2 C3 y A 3 A 2 x mα B3 B 2 nα A 1 z B 1 C 1 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 29 IV. SỰ LIÊN THUỘC CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Ta có hai mệnh đề làm cơ sở cho sự tương quan liên thuộc giữa điểm và đường thẳng với mặt phẳng: Mệnh đề 1: Đường thẳng d thuộc mặt phẳng P nếu d có hai điểm thuộc mặt phẳng P. Mệnh đề 2: Điểm A thuộc mặt phẳng P, nếu A thuộc đường thẳng nào đó của P. Từ đó ta thấy rằng việc bi ểu diễn sự liên thuộc của điểm với mặt phẳng hay của đường thẳng với mặt phẳng đưa về việc biểu diễn sự liên thuộc của một điểm với đường thẳng mà ta đã nghiên cứu ở trên. Để là sáng tỏ ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1 : Cho mặt phẳng ABC, vẽ một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng đó Gi ải : Lấy hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng, chẳng hạn điểm M thuộc AB, điểm N thuộc BC, đường thẳng b mà hình chiếu đứng b 1 ≡ M1N1 và hình chiếu bằng b 2 ≡ M2N2 là đường thẳng phải vẽ ( H 4.12 ) Hình 4.12 Hình 4.13 Ví dụ 2 : Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau p và q. Vẽ một đường bằng bất kỳ thuộc mặt phẳng ấy? ( H 4.13 ) Giải : Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu b ằng P2, giả sử b là đường bằng phải vẽ, Thì hình b2 M 1 x N 1 M 2 p 2 p 1 b1 q1 q2 b2 C 2 N 2 M 1 x N 1 M 2 B 2 A 1 b1 B 1 C 1 A2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 30 chiếu đứng b 1 của nó phải song song với trục x. Gọi M, N là giao điểm của b với p và q, khi đó ta có M 1 là giao của b1 với p1, N1 là giao của b1 với q1, từ M1 ⇒ M2 thuộc p 2, từ N1 ⇒ N2 thuộc q2. Đường thẳng b2 đi qua M2 và N2 là hình chiếu bằng của đường thẳng phải vẽ. Ví dụ 3 : Cho mặt phẳng ABC. Qua A vẽ một đường mặt thuộc mặt phẳng đó? Giải: Đường mặt của mặt phẳng ABC là đường thẳng của mặt phẳng ấy và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P 1. Giả sử gọi m là đường mặt phải vẽ ⇒ hình chiếu bằng m 2 của nó phải đi qua A2 và song song với trục x. Gọi E là giao điểm của m với BC, ta tìm được E 2 là giao của m2 và B2C2 từ E 2 ⇒ E1 thuộc B1C1 đường thẳng m 1 đi qua A1 và E1 là hình chiếu đứng của đường mặt phải vẽ. ( H 4.14 ) CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Trình bày cách biểu diễn một mặt phẳng ? 2. Thế nào gọi là mặt phẳng chiếu, có mấy loại mặt phẳng chiếu, nêu định nghĩa và các tính chất của chúng? 3. Thế nào gọi là mặt phẳng đồng mức, có mấy loại mặt phẳng đồng mức, nêu định nghĩa và các tính chất của chúng? 4. Định nghĩa vết của mặt phẳng? 5. Cho mặt phẳng xác định bởi 3 điểm A, B, C và điểm D thuộc mặt phẳng đó. Biết hình chiếu đứng của điểm D là D 1 tìm D2? ( H 4. 15 ) 6. Cho điểm A ( A 1, A2 ) và đường thẳng a ( a1, a2 ). ( H 4.16 ) + Qua điểm A dựng mặt phẳng chiếu đứng ( α ) nghiêng với mặt phẳng hình chiếu bằng một góc 30°? + Qua đường thẳng a dựng mặt phẳng chiếu bằng ( β )? m2 C 2 E 1 x C1 E 2 B 2 A 1 m1 B 1 Hình 4.14 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 31 Hình 4.15 Hình 4.16 7. Vẽ hình chiếu còn thiếu của đoạn thẳng AB biết AB song song Với mặt phẳng chiếu đứng ( α ) ? ( H 4.17 ) 8. Biết điểm A thuộc mặt phẳng ( α ), biết hình chiếu bằng A 2 tìm A1 ? ( H 4.18 ) Hình 4.17 Hình 4.18 C2 E 1 x C1 B2 A 1 B1 a2 x a1 A 1 A 2 x mα n α A 2 x mα B 2 nα A 1 . cắt nhau ( H 4. 1 d ) a) b) b) d) Hình 4. 1 x A1 B1 C1 A2 C2 B2 A2 A1 x b 2 b1 b2 b1 x a 1 x b 2 b1 a2 a1 a2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình . bằng ( β )? m2 C 2 E 1 x C1 E 2 B 2 A 1 m1 B 1 Hình 4. 14 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 31 Hình 4. 15 Hình 4. 16 7. Vẽ hình chiếu. Với mặt phẳng chiếu đứng ( α ) ? ( H 4. 17 ) 8. Biết điểm A thuộc mặt phẳng ( α ), biết hình chiếu bằng A 2 tìm A1 ? ( H 4. 18 ) Hình 4. 17 Hình 4. 18 C2 E 1 x C1 B2