Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 7 pot

Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 48 Chương VII BIỂU DIỄN MẶT I. MẶT ĐA DIỆN 1.1. Khái niệm về mặt đa diện Mặt đa diện là một mặt kín được tạo thành bởi các đa giác phẳng gắn liền với nhau bởi các cạnh. Các đa giác tạo thành đa diện gọi là các mặt của đa diện. Các cạnh và các đỉnh của đa giác gọi là các cạnh và các đỉnh của đa diện. Trong các bài toán thường gặp đa diện có thể là những hình chóp, hình lăng trụ, hình h ộp, hoặc một vài đa diện bất kì như trên ( H 7.1 ) Hình 7.1 1.2. Biểu diễn đa diện Đa diện được biểu diễn trên các hình chiếu bởi các cạnh. Hình biểu diễn đó cũng được xét thấy khất, người ta quy ước theo một hướng chiếu với đa diện mặt ở phía trước theo hướng chiếu thì nhìn thấy và mặt này che khuất phần mặt ở phía sau. ( Hình 7.2 ) biểu diễn tứ diện SABC. Trên hình chiếu đứng đường gẫy khúc kín S1A1B1C1 là đường bao quanh hình chiếu đứng. Trên hình chiếu bằng đường gẫy khúc kín S2A2B2C2 là đường bao quanh hình chiếu bằng. Muốn sét xem trong hai cạnh SB và AC cạnh nào là cạnh nhìn thấy trên hình chiếu đứng chúng ta thực hiện như sau : Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 49 Vẽ đường thẳng chiếu đứng I J cắt SB ở I và cắt AC ở J. Theo hình vẽ theo hình vẽ ta thấy rằng điểm I có độ xa lớn hơn độ xa của điểm J, do đó nhìn từ ngoài vào thì đường thẳng chiếu đứng I J sẽ cắt SB trước khi cắt AC. Vậy SB sẽ là đường thẳng thấy và AC là khuất. Tương tự bằng cách vẽ đường thẳng chiếu bằng GH cắ t SA và BC. Ta sẽ xét được trong hai cạnh SA và BC cạch nào thấy cạnh nào khuất trên hình chiếu bằng. Theo hình vẽ ta thấy cạnh SA là thấy cạnh BC là khuất trên hình chiếu bằng. Vậy trên mỗi hình chiếu thì đường bao quanh hình chiếu bao giờ cũng nhìn thấy được, vẽ bằng nét liền đậm. Cạnh nào có hình chiếu ở bên trong đường bao quanh hình chiếu thì phải xét thấy khuất cạnh thấy vẽ bằng nét liền đậm, cạnh khuất vẽ bằng nét đứt. 1.3 Biểu diễn điểm thuộc đa diện + Để vẽ điểm thuộc cạnh đa diện ta áp dụng bài toán vẽ điểm thuộc đường thẳng. Như điểm H ( H 7.3 ) + Để vẽ điểm thuộc mặt đa diện ta áp dụng bài toán xác định điểm thuộc mặt phẳng. Như điểm I ( H 7.3 ) Chú ý : * V ẽ điểm thuộc mặt bên của một hình chóp thì điểm đó thường được gắn vào đường thẳng đi qua điểm đó và đỉnh chóp. Điểm I ( H 7.3 ) * Vẽ điểm thuộc mặt bên của một hình lăng trụ thì ta thường áp dụng gắn điểm đó vào đường thẳng song song với cạnh bên của lăng trụ. J1 G1 A1 B1 C 1 S1 H1 I1 J 1 A1 C1 G1 I1 B1 H1 S 1 Hình 7.2 K2 K1 D2 D1 I2 I1 H 2 H1 A1 B1 C1 C2 A2 B2 S2 S1 Hình 7.3 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 50 * Trên hình chiếu đang xét của đa diện một điểm thuộc mặt thấy của đa diện thì điểm đó thấy, một điểm thuộc mặt khuất thì điểm đó khuất. 1.4. Giao của mặt phẳng với đa diện Giao của mặt phẳng với đa diện là một đa giác. Đỉnh của đa giác này là giao điểm củ a một cạnh đa diện với mặt phẳng cắt. cạnh của đa giác là giao tuyến của một mặt đa diện với mặt phẳng cắt. Ví dụ : Tìm giao của mặt phẳng chiếu đứng R với khối đa diện SABC. ( H 7.4 ) Giải : Ta thấy mặt phẳng R giao với đa diện SABC tại 4 mặt phẳng đó là 3 mặt bên SAC, SBC, SAB và mặt đáy ABC.Do đó giao tuy ến là đa giác có bốn cạnh, các cạnh đó là giao của các mặt phẳng trên với mặt phẳng R. Các đỉnh của đa giác là giao của các cạnh SC, SB, AB, và AC với mặt phẳng R. Nếu ta gọi các đỉnh của đa giác lần lượt là I, N, H, K . Khi đó bài toán chở nên tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu đã biết ở trên. 1.5. Giao của đường thẳng với đa diện Giao của đường thẳng với đa diện, thực chất là tập hợp các giao điểm của đương thẳng với các mặt phẳng tạo thành đa diện, mà giao của đường thẳng với măt phẳng ta đa biết cách giải ở trên. Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa diện, người ta thương dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. Nộ i dung của phương pháp đó như sau: + Qua đường thẳng đã cho dựng mặt phẳng chiếu gọi là mặt phẳng phụ trợ. + Tìm giao của mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho. Giao này gọi là giao phụ. + Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho với giao phụ. Tập hợp các điểm đó là giao phải tìm. R1 N 2 N 1 B2 C2 A2 H2 I2 K2 I1 H1≡ K1 C1 B1 A1 S1 S2 Hình 7.4 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 51 Ví dụ : Xác định giao của đường thẳng d với khối chóp SABC. Giải : Dựng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng R chứa đường thẳng d. Sau đó tìm các giao tuyến phụ giữa mặt phẳng phụ trợ R với các mặt phẳng hình chóp SAB là GE, SBC là HE. Sau đó tìm các giao điểm của các giao tuyến phụ với đường thẳng d là I,J đó chính là giao điểm của đường thẳng d với khối chóp SABC. ( H 7.5 ) và cách vẽ được thể hiện trên đồ thức ( H 7.6 ) II. MẶT CONG 2.1. Mặt trụ tròn xoay 2.1.1. Hình biểu diễn. Để hình biểu diễn của mặt trụ đơn giản người ta thường đặt mặt đáy của mặt trụ song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Khi đó hình chiếu bằng sẽ là đường tròn, hình chiếu đứng là hình chữ nhật. (H 7.7 ) Để tìm điểm thuộc mặt trụ ta gắn điểm vào đường sinh thuộc mặt trụ. Khi đó hình chiếu bằng của điểm thuộc đường tròn hình chiếu bằng. Điểm A ( H 7.7 ) R1 ≡ d1 J 1 B2 C2 A2 H2 I2 J2 I1 H1 C1 B1 A1 S1 S2 G1 E1 E2 G2 Hình 7.6 d2 R G H E I J C B A S d Hình 7.5 A 1 A 2 Hình 7.7 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 52 2.1.2. Giao của đường thẳng với mặt trụ Như ta đã biết một đường thẳng cắt mặt trụ tại hai điểm, để tìm hình chiếu của hai giao điểm này ta tìm được ngày hình chiếu bằng của chúng chính là giao của đường thẳng hình chiếu bằng và đường tròn hình chiếu bằng của mặt trụ, trên ( H 7.8 ) để tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt trụ ta tìm được ngay hai hình chiếu bằng của giao điểm là A2, B2.Từ hình chiếu bằng này ta tìm được hình chiếu đứng A1, B1. A, B chính là giao điểm của đường thẳng d với mặt trụ. 2.1.3. Giao của mặt phẳng với mặt trụ Khi mặt phẳng giao với mặt trụ, tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt trụ mà ta có các dạng giao tuyến khác nhau: + Khi mặt phẳng song song với trục c ủa mặt trụ ta có giao tuyến là hình chữ nhật. + Khi mặt phẳng vuông góc với trục của trụ ta có giao tuyến là đường tròn. + Khi mặt phẳng nghiêng với trục của trụ và cắt tất cả các đường sinh ta có giao tuyến là đường elíp. 2.2 Mặt nón tròn xoay 2.2.1. Hình biểu diễn Để hình biểu diễn của mặt nón đơn giản người ta thường đặt mặt đáy của mặt nón song song với mặt phẳng hình chi ếu bằng P2. Khi đó hình chiếu bằng sẽ là đường tròn, hình chiếu đứng là một tam giác cân. (H 7.9) Để vẽ điểm thuộc mặt nón ta áp dụng bài toán gắn điểm vào đường sinh của nón điển A ( H 7.9 ). Hoặc gắn vào đường tròn song song với mặt đáy. Điểm B ( H 7.9 ) A2 A1 B2 B1 Hình 7.9 A2 A1 B2 d1 B 1 Hình 7.8 d2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 53 2.2.2. Giao của đường thẳng với mặt nón. Trường hợp đường thẳng là đường thẳng chiếu thì ta dễ dàng tìm được một hình chiếu của giao điểm việc tìm hình chiếu còn ta đã biết cách tìm, ( H 7.10 ) Trường hợp đường thẳng là đường thẳng thương ta phải sử dụng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng đó và đi qua đỉnh của nón, ( H 7.11 ) Trên ( H 7.11 ) chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đỉnh S. Sau đó ta tìm giao tuyến NT của mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng đáy ⇒ S2I2, S2J2, chính là giao tuyến phụ với nón từ đây ta dễ dàng tim được A2, B2 ⇒ A1, B1. 2.2.3. Giao của mặt phẳng với mặt nón Khi mặt phẳng giao với mặt nón, tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặ t phẳng và mặt nón mà ta có các dạng giao tuyến khác nhau: + Khi mặt phẳng vuông góc với trục của nón giao tuyến là đường tròn. + Khi măt phẳng nghiêng với trục của nón và cắt tất cả các đường sinh giao tuyến là đường elíp. d1 ≡ B1≡ A1 A2 B2 d2 Hình 7.10 A2 d1 B2 Hình 7.11 d2 A1 B1 I2 J1 T2 N 2 N 1 T1 S2 S1 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 54 + Khi mặt phẳng chứa đỉnh nón giao tuyến tam giác cân. + + 2.3 Mặt cầu 2.3.1 Hình biểu diễn Hình biểu diễn của mặt cầu luôn luôn là các đường tròn có cùng bán kính với mặt cầu. Để tìm hình chiếu của điểm thuộc mặt cầu ta gắn điểm vào các đường tròn trên mặt cầu thuộc các mặt phẳng song song với một trong các mặt phẳng hình chiếu. Điểm A trên ( H 7.12 ) là ta gắn vào đường tròn song song với m ặt phẳng hình chiếu bằng. 2.3.2. Giao của đường thẳng với mặt cầu Nếu đường thẳng là đường thẳng chiếu thì việc tìm là dễ dàng ( H 7.13 ) Nếu đường thẳng là đường thẳng thường, thì ta không thể chỉ dùng mặt phẳng phụ trợ để tìm giao điểm được, mà ta phải áp dung phương pháp này với phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu. ( H 7.14 ) A 2 A 1 . tròn hình chiếu bằng. Điểm A ( H 7. 7 ) R1 ≡ d1 J 1 B2 C2 A2 H2 I2 J2 I1 H1 C1 B1 A1 S1 S2 G1 E1 E2 G2 Hình 7. 6 d2 R G H E I J C B A S d Hình 7. 5 A 1 A 2 Hình 7. 7 Pham Duy Thuỳ Hình học. J 1 A1 C1 G1 I1 B1 H1 S 1 Hình 7. 2 K2 K1 D2 D1 I2 I1 H 2 H1 A1 B1 C1 C2 A2 B2 S2 S1 Hình 7. 3 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 50 * Trên hình chiếu đang xét của đa. (H 7. 9) Để vẽ điểm thuộc mặt nón ta áp dụng bài toán gắn điểm vào đường sinh của nón điển A ( H 7. 9 ). Hoặc gắn vào đường tròn song song với mặt đáy. Điểm B ( H 7. 9 ) A2 A1 B2 B1 Hình 7. 9