SKKN các phương pháp giải phương trình bậc bốn

A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn chuyên đề: Tốn học mơn khoa học tự nhiên, tốn học có vai trị quan trọng lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú, toán phương trình tốn khó, để giải tốn phương trình, bên cạnh việc nắm vững định nghĩa, bước giải tốn, cịn cần nắm phương pháp giải cụ thể áp dụng cho tong Có nhiều phương pháp giải phương trình ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi tốn giải phương trình áp dụng nhiều cách giải, phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Bài tốn giải phương trình vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, áp dụng trình khảo sát hàm số… Và sử dụng nhiều trình ơn tập, đặc biệt q trình học THPT… Vì học sinh cần phải nắm kiến thức giải phương trình bậc bốn Ai học mơn tốn biết đến tốn giải phương trình nói chung phương trình bậc bốn nói riêng có vai trị quan trọng chương trình tốn trường THCS học sinh tiếp tục học lên cấp học cao Khi giải tốn giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinh phải biết vân dụng kiến thức tồn chương trình, kỹ biến đổi từ dạng phức tạp dạng đơn giản cách linh hoạt Trong trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư lơgíc, khả tổng hợp vận dụng thành thạo kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi đồng kiến thức bất đẳng thức Thơng qua giúp học sinh rèn luyện tư lơgíc, khả tưởng tượng, phát huy cao độ tính tích cực, chủ động vận dụng kiến thức vào thực tiễn Mục đích nghiên cứu: Thông qua chuyên đề giúp học sinh hiểu sâu nắm phương pháp giải phương trình bậc bốn Từ nghiên cứu tìm tịi sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THCS học tập cấp học cao thi học sinh giỏi Đối tượng , phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp bậc trung học sở Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc bốn, đưa ví dụ minh hoạ cụ thể, dạng tập củng cố rèn luyện kỹ cho học sinh Tìm hiểu đề thi mà có dạng tập giải phương trình bậc bốn nhàm đưa phương pháp giải dạng tổng quát cho dạng tập thường gặp làm tài liệu bổ ích cho học sinh giáo viên tham khảo học tập Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu số phương pháp cách giải phương trình bậc bốn như: Phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp đặt ẩn phụ ( phương trình trùng phương, phương trình hồi quy….) Phương pháp nghiên cứu: Thơng qua q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thân tìm hiểu tích luỹ Thơng qua kiểm tra, kì thi chọn học sinh giỏi hàng năm để rút kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh Thông qua tài liệu bồi dưỡng, tập nâng cao B NỘI DUNG CHƯƠNG I - CƠ SỞ LÝ LUẬN Bài tốn giải phương trình bậc bốn trọng đề kiểm tra, kỳ thi học sinh giỏi cấp tất tài liệu nâng cao xuất nhiều đề tài nghiên cứu khoa học tập trí tốn học Các tài liệu viết dạng toán giải phương trình bậc bốn cịn tản mạn, tuỳ thuộc nhiều vào người viết cách hướng dẫn học sinh Do chưa có phương pháp cụ thể, rõ ràng chưa khắc sâu kiến thức cho học sinh Đối với học sinh kỹ giải phương trình bậc bốn cịn nhiều hạn chế, chưa rèn luyện thường xuyên Với nguyên nhân việc chọn chuyên đề “Rèn kĩ Giải phương trình bậc bốn học sinh THCS” cần thiết để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy học tập giáo viên học sinh CHƯƠNG II - KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TIỄN CHƯƠNG III - GIẢI PHÁP A - Kiến thức Định nghĩa phương trình bậc bốn ẩn: Phương trình bậc bốn ẩn phương trình có dạng: ax + bx + cx + dx + e = Trong đó: x gọi ẩn; a, b, c, d, e số cho ≠ trước gọi hệ số a Cách giải phương trình bậc hai ẩn: Phương trình: ax + bx + c = ∆ = b - 4ac (a ≠ 0) ∆ > phương trình cho có hai nghiệm phân biệt −b+ ∆ x = ; 2a ∆ −b− ∆ x = 2a = phương trình cho có nghiệm kép b x = x = - 2a ∆ < phương trình cho vơ nghiệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: B - Các phương pháp giải phương trình bậc bốn: Phương pháp phân tích thành nhân tử: Để giải phương trình bậc bốn dạng: ax + bx + cx + dx + e = (1) Ta đưa phương trình dạng phương trình tích mà nhân tử vế trái phương trình đa thức bậc bậc hai Ta dự đốn nghiệm phương trình (1) cách sau: + Nếu a + b +c +d +e = (1) có nghiệm x = + Nếu a - b +c - d +e = (1) có nghiệm x = -1 + Nếu a,b,c,d,e ngun (1) có nghiệm hữu tỉ p/q p, q theo thứ tự ước e a + Nếu phương pháp nhẩm nghiệm khơng có tác dụng ta vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Ý tưởng thường sử dụng chuyển đa thức bậc bốn dạng: A − B = ⇔ ( A − B )( A + B ) = ta tích hai tam thức bậc hai Do việc giải phương trình bậc bốn quy việc giải phương trình bậc hai Đây cách để giải phương trình bậc bốn Ví dụ: Giải phương trình sau: a) x − x − x + 16 x − 12 = b) x − 3x − x − = (1) (2) Giải: a) Ta thấy a + b + c + d + e = - - + 16 - 12 = Do phương trình (1) có nghiệm x =1 Khi phương trình (1) viết dạng: ( x − 1) ( x − 3x − x + 12) = (*) Ta thấy x=2 Do (*)  nghiệm phương trình x − 3x − x + 12 = ( x − 1)( x − 2) ( x − x − 6) =   x − = x =  x = x−2=0     x − x − =  x1 =    x = −2  Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: S = {1; 2; -2; 3} b) Ta thấy phương trình (2)khơng áp dụng phương pháp nhẩm nghiệm, nên ta vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: (2)  (x ) ( ) − 2x + − x + 4x + = 2  ( x − x − 3)( x + 2) = 10  (x )( ) − x − x2 + x +1 =  x − x − = 0(*)   x + x + = 0(**)    + 13  x1 =   Giải phương trình (*) ta  − 13  x2 =  Giải phương trình (*) vô nghiệm 1 − 13 + 13  ;  Vậy tập nghiệm phương trình (2) S =  2   Phương pháp đặt ẩn phụ: 2.1 - Dạng 1: Phương trình trùng phương: Giải phương trình: ax + bx + c = (1) Phương pháp: Bước 1: Đặt t = x với t Khi (1) ⇔ ≥ at + bt + c = (2) Đó phương trình bậc hai theo ẩn t 11 Bước 2: Kết luận nghiệm phương trình (1) Nếu (2) có nghiệm t ≥ (1) có nghiệm x = ± t0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x - 4x - = (*) Giải: Đặt x = t với t (*) ⇔ ≥ t - 4t - = giải phương trình bậc hai ta được: t = 1; t = 5; Kết hợp với điều kiện t ≥ ta có: t = không thoả mãn (loại) 2 Với t = ta có: x = ⇔ x = -5 x = Vậy phương trình cho có nghiệm: x = -5 x = 2.2 Dạng 2: Phương trình hồi quy có dạng: ax + bx +cx + dx + e = (a e d  ≠ = Với a  b  ; e   12 ≠ 0) (1) Cách giải: Bước 1: Nhận xét x = nghiệm phương trình cho Chia hai vế phương trình cho x ≠ ta được: e  d 1   ⇔ a  x2 +  + b  x +  + c = (1) (2) a x  b x   Bước 2: d 1 e d  x2 + = t − x+  Đặt t =  b x  suy a x b Khi đó: (2) ⇔ at + bt + c − 2a d =0 (3) b Đây phương trình bậc hai quen thuộc Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình (1) *Chú ý: - Trong trường hợp đặc biệt e =1 tức a phương trình có dạng:ax + bx + cx + bx + a = ta có cách giải tương tự 13 - Nhiều phương trình dạng ban đầu khơng phải phương trình hồi quy, nhiên với phép đặt ẩn phụ thích hợp ta đưa chúng dạng phương trình hồi quy Từ áp dụng phương pháp biết để giải 2.3 Dạng 3: Phương trình có dạng: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m với a + b = c + d Phương pháp: Bước 1: Viết lại phương trình dạng: [ x + (a + b) x + ab][ x + (c + d ) x + cd ] = m (2) Bước 2: Đặt t = x + (a + b)x + ab  x + (c +d)x + cd = t - ab + cd Khi đó: (2)  t(t - ab + cd) = m  t - (ab - cd)t - m =0 Đây phương trình bậc hai quen thuộc Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình (2) 14 * Chú ý: Dạng phương trình mở rộng tự nhiên cho 2 2 dạng phương trình: (a x+a )(b x+b )(c x+c )(d x+d ) = m a1 b1 = c1 d1 Với điều kiện: a1b2 + a b1 = d1c2 + d c1  2 Khi ta đặt t = (a x+a )(b x+b ) 4 2.4 Dạng 4: Phương trình có dạng (x + a) + (x + b) = c Phương pháp: a −b  x + a = t + a+b  t = x+ ⇒ Bước 1: Đặt x + b = t − a − b   Khi phương trình cho có dạng: a−b a−b 2t + 12  t + 2  =c     Đó phương trình trùng phương biết cách giải Bước 2: Kết luận nghiệm phương trình cho 2.5 Dạng 5: Phương trình bậc bốn không dạng trên: Giải phương trình: ax + bx + cx + dx + e = 15 ( a ≠ 0) Phương pháp: Bước 1: Biến đổi phương trình dạng: ( ) ( ) A x + b1 x + c1 B x + b1 x + c1 + c = Bước 2: Đặt t = x + b1 + c1 Khi phương trình cho có dạng: At + Bt + C = Đó phương trình bậc hai theo ẩn t biết cách giải Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình cho * Ta thấy cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù tốn, phương pháp trình bày minh hoạ vài dạng thường gặp chương trình toán bậc trung học sở C – Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: Bài 1: 16 a) 2x - 6x - x + 12x - 10 = b) 2x - 6x - 8x - = c) x – 2x + 6x – 12 = Bài 2: a) 2x – 8x – 10 = b) –x – 2x – 26 = 13 c) 2,6x + 1,8x = Bài 3: a) (x + 2)(x + 1)(x + 1)(x + 2) = b) (y – 6)(y + 5)(y – 2)(y + 1) = -2 c) (12 + y)(y – 9)(y – 6)(y + 9) = Bài 4: 4 a) (x + 2) + (x + 6) = 4 b) (x – 2) + (x – 3) = 10 4 c) (2 – x) + (3 – 6) = 100 17 Bài 5: Cho phương trình x – 2x + 6x – = m a) Giải phương trình với m = -1 b) Biện luận số nghiệm phương trình với giá trị m c) Tìm m để phương trình cho có nghiệm x = C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I NHỮNG KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Thông qua trình nghiên cứu trực tiếp giảng dạy, phần chuyên đề “Rèn kĩ Giải phương trình bậc bốn học sinh THCS” phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh Học sinh biết vận dụng kiến thức vào việc giải toán để đạt kết cao 18 Nhờ trình thường xuyên học hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm, tơi thường xun nâng cao chất lượng chuyên đề nghiên cứu thành chuyên đề có hiệu chất lượng THỐNG KÊ KẾT QUẢ LỚP BỒI DƯỠNG II BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Qua việc hướng dẫn học sinh làm tập cho thấy kiến thức đề tài kiến thức mở giáo viên đưa vào cuối luyện tập, tự chọn nên nội dung học sinh 19 cịn phức tạp, khó hình dung, cần đưa dạng từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao tập nhà, kiểm tra học sinh… Sau hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ làm tập cho học sinh Cần đưa nội dung vào dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động mà kết đạt không cao III NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT: Đối với học sinh cần có đủ sách giáo khoa, sách tham khảo tốn nâng cao tạp chí mơn tốn 20 Đối với giáo viên cần có đủ tài liệu nghiên cứu, có tinh thần học hỏi, tự nghiên cứu trau kiến thức, tích luỹ kinh nghiệm cho thân Thường xuyên quan tâm đến việc giải tập theo dạng Trong trình giảng dạy, cần tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu cách giải mới, lời giải hay Biết khắc sâu kiến thức bản, tập thường gặp nhằm đưa dạng tổng quát hoá Đối với cấp quản lý, cần tạo điều kiện cho giáo viên học tập lớp nâng cao trình độ, tổ chức lớp bồi dưỡng thường xuyên nâng cao chun mơn, nghiệp vụ, hỗ trợ nguồn kinh phí cung cấp cho thư viện trường đầu sách có giá trị, trọng tâm để giáo viên có tài liệu tham khảo Chuyên đề đồng chí có kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Trường THCS Việt Vinh - Huyện Bắc 21 Quang góp ý kiến bổ sung Tuy nhiên, chắn không tránh khỏi sai sót Một số ví dụ cịn giải tắt, ví dụ minh hoạ chưa hết cách giải Tôi mong nhận đóng góp ý kiến nhận xét tất thầy, cô bạn đồng nghiệp để tơi sửa chữa chỗ sai, chỗ cịn thiếu sót nhằm nâng cao chất lượng chuyên đề nghiên cứu thành chuyên đề thiết thực có hiệu cao Tôi xin chân thành cảm ơn! Bắc Quang, ngày 29 tháng 12 năm 2008 NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Ngọc Tuấn Xác nhận Hội đồng nghiên cứu khoa học cấp: 22 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Sách giáo khoa toán bậc THCS - Sách giáo viên toán bậc THCS - Thiết kế giảng toán bậc THCS - Sách giải tập toán nâng cao - Sổ tay toán THCS - Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học bậc THCS 24 MỤC LỤC TRANG A PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………… Lí chọn chuyên đề …………………………… Mục đích nghiên cứu ………………………………… Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ………………… Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………… …… … Phương pháp nghiên cứu ………………………… B NỘI DUNG ……………………………………………… Cơ sở lí luận ………………………………………… Điều tra khảo sát thực tiễn ………………………… Giải pháp ……………………………………………… Kiến thức ……………………………… Các phương pháp giải phương trình bậc bốn Bài tập áp dụng ………………………………… C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………… Những kết đạt …………………….……… Bài học kinh nghiệm ………………………………… Những kiến nghị đề xuất ………………… …… 25 ... ∆ < phương trình cho vơ nghiệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: B - Các phương pháp giải phương trình bậc bốn: Phương pháp phân tích thành nhân tử: Để giải phương trình bậc bốn. .. giới thiệu số phương pháp cách giải phương trình bậc bốn như: Phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp đặt ẩn phụ ( phương trình trùng phương, phương trình hồi quy….) Phương pháp nghiên... + B ) = ta tích hai tam thức bậc hai Do việc giải phương trình bậc bốn quy việc giải phương trình bậc hai Đây cách để giải phương trình bậc bốn Ví dụ: Giải phương trình sau: a) x − x − x + 16