!"#$%!"#& '()*+, ( */+0+1(,#2"3*4)(không kể thời gian giao đề) 056)*+,!"%"!%!"#& (Đề thi này gồm 05 câu trong 01 trang) 78#, (4.0 điểm). Cho biểu thức: ( ) x 3 x 2 x x 1 1 P : x 0 và x 1 x 1 x x 2 x 1 x 1 + + + = − + > ≠ ÷ ÷ ÷ − + − + − a) Rút gọn P b. Tìm x để 1 x 1 1 P 8 + − ≥ 78!, (4.0 điểm) #9Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − (với m tham số, m 2≠ ) a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. b) Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. !9 Giải phương trình: .122 32 +=+ xx 78$, (4.0 điểm) #9 Giải hệ phương trình: 2 2 3 1 2 x y xy x x y + − = = + !9 Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2014 2014 zy yx − − là số hữu tỉ và 2 2 2 x y z+ + là số nguyên tố. 78&, (6.0 điểm) #9Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy 2 điểm P và Q sao cho AP = PQ = QB. Vẽ bán kính OK qua P và bán kính OL qua Q. Chứng minh: AK < KL !9 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC (I không nằm trên cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P. a) Chứng minh: AI BI CI 2 AM BN CP + + = . b) Chứng minh: ( ) 2 1 1 1 4 AM.BN BN.CP CP.AM 3 R OI + + ≤ − . 782, (2.0 điểm) Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện yxyxxy +=− )( . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x+y Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị không giải thích gì thêm :; <= !"#$%!"#& '()*+, ( 056)*+,!">"!>!"#& 78 ? .3.(@5*AB(0CD(E*FG +HG # 1 I!JK . 1 1 1 1 : 1 2 23 − + + − + − −+ ++ = xx x xx xx xx P ( )( ) ( ) ( ) +− + + +− − +− + − +− ++ = )1)(1( 1 )1)(1( 1 : 11 )1( )2)(1( 21 xx x xx x xx xx xx xx = )1)(1( 2 : 11 1 +− − − − + xx x x x x x = x xx x 2 )1)(1( . 1 1 +− − = x x 2 1+ Vậy P = x x 2 1+ 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 L I!JK Ta có: 01 8 1 1 2 1 8 11 ≥− + − + ⇔≥ + − x x xx P 0 )1(8 )1(8 )1(8 )1( )1(8 16 2 ≥ + + − + + − + ⇔ x x x x x x 0 )1(8 )3( 2 ≥ + −− ⇔ x x 03 =−⇒ x . Vì 0 )1(8 )3( 2 ≤ + −− x x )/(9 3 MTx x =⇔ =⇔ Vậy x = 9 thì 1 8 11 ≥ + − x P 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 ! #91 I#JK (d): 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − ; với m tham số, 2m ≠ Gọi I 0 0 ( ; )x y là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có: 0 0 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + − − , với mọi 2m ≠ 0 0 0 0 2 2 2 2my y x mx⇔ − = − + , m ∀ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 ( 2 ) 2 2 2 0; 2 2 2 0 2 y x x m y x y x m y x y + = = ⇔ + − − − = ∀ ⇔ ⇔ − − − = = − Vậy điểm cố định (d) luôn đi qua là I(1;-2) 0.25 0.25 0.25 0.25 #9L I#92JK Xét 1 2m y = ⇒ = − . Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 2 Xét 1 ≠ m . Tìm được: Tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A 1 ;0 1m ÷ − Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 2 0; 2m ÷ − Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên: 2 2 2 1 1 1 OH OA OB = + hay 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 2) ( 1) 4 A B m m OH x y OH − = + ⇔ = − + 2 2 2 2 4 2 4( 1) ( 2) 5 12 8 OH OH m m m m ⇔ = ⇔ = − + − − + 2 2 2 5 6 4 4 5( ) 5 5 5 OH m ⇔ = ≤ = − + Dấu “=” xảy ra khi 6 5 m = . Vì 2 5< nên ax 6 5 5 m OH m = ⇔ = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ! I#92JK ĐK: 1 −≥ x . Ta có: 122 32 +=+ xx ( ) ( ) 0112111211 2232 =+−+−+−++⇔+=+−++⇔ xxxxxxxxxx ( ) 011011 2 2 2 =+−−+⇔=+−−+⇔ xxxxxx ( ) 020211 22 =−⇔=−⇔+−=+⇔ xxxxxxx Suy ra 0 = x ; 2 = x (TMĐK) Vậy tập nghiệm của phương trình là: { } 2;0 = S 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 $ 1 I!JK 2 2 3 1(1) 2 (2) x y xy x x y + − = = + Thay (1) vào (2) được 2x 3 = (x+y)(x 2 +y 2 -xy) = x 3 +y 3 yx =⇔ Thay x = y vào (2) ta được : 2x 3 = 2x ⇔ 2x(x-1)(x+1)=0 Suy ra: x=0 hoặc x=1 hoặc x=-1 Thử lại: +) Với x=y=0 thay vào (1) không thoả mãn. +) Với x=y=1 thay vào (1) thoả mãn. +) Với x=y =-1 thay vào (1) thoả mãn. Vậy nghiệm của hệ phương trình: (x;y) = (1;1),(-1;-1). 0.5 0.5 0.5 0.5 L I!JK Ta có )1( 2014 2014 n m zy yx = − − , trong đó m, n là các số nguyên thỏa mãn n ≠ 0, (m, n) = 1. )2)((2014)1( mznymynx −=−⇔ Vì 2014 là số vô tỉ và m, n, x, y, z là các số nguyên nên ta có (2) <=> nx – my = ny – mz = 0 2 nx my xz y ny mz = ⇒ ⇒ = = . Ta lại có : ( ) 2 2 2 2 2 2x y z x z xz y+ + = + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 x z y x y z x y z= + − = + + − + Vì 2 2 2 x y z+ + là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1 nên x – y + z = 1. Do đó 2 2 2 (3)x y z x y z+ + = + + Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên 2 2 2 ; ;x x y y z z≥ ≥ ≥ Suy ra x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z => x = y = z = 1. Khi đó 1 2014 2014 = − − zy yx và 2 2 2 3x y z+ + = (thỏa mãn) Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 & # I!JK -Vẽ đường kính AN -Chỉ ra được OP là đường trung bình của AQN ⇒ PO // QN ONQAOP ∠=∠⇒ (đồng vị) 0.25 0.25 0.25 0.25 Q P O N B L K A OQNPOQ ∠=∠⇒ (So le trong) - Xét ONQ có OQ < ON OQNONQ ∠<∠⇒ OQPAOP ∠<∠⇒ hay OLKAOK ∠<∠ ⇒ Sđ AK < Sđ KL ⇒ AK < KL 0.25 0.25 0.25 0.25 !1 I!JK !L I!JK Kẻ IK, AH vuông góc với BC tại K, H. Ta có: IBC ABC SIM IK AM AH S = = Tương tự, ta có: IAC IAB ABC ABC SIN IP S , BN S CP S = = Suy ra: IM IN IP 1 AM BN CP + + = )(2 1 AM AI-AM đpcm CP CI BN BI AM AI CP CICP BN BIBN =++⇔ = − + − +⇔ Ta có: AI BI CI OA OI OB OI OC O I 2 AM BN CP AM BN CP − − − = + + ≥ + + ( ) ( ) 1 1 1 2 R OI AM BN CP 2 1 1 1 vì R OI R OI AM BN CP ⇔ ≥ − + + ÷ ⇔ ≥ + + > − Chứng minh: ( ) ( ) 2 x y z 3 xy yz zx + + ≥ + + (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z Áp dụng (*) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 AM.BN BN.CP CP.AM 3 AM BN CP 1 2 4 ñpcm 3 R OI 3 R OI + + ≤ + + ÷ ≤ = ÷ − − Khi tam giác ABC đều thì dấu đẳng thức xảy ra. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 !J Do x, y > 0 và yxyxxy +=− )( ta suy ra x > y > 0 và xy(x-y) 2 = (x+y) 2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a 2 ≥ 4b) Ta có: (1) 2222 4)1()4( bbaabab =−⇔=−⇔ 0.25 0.25 K H P N M I C B A O Suy ra: b-1 > 0 và 1 4 2 2 − = b b a Lại có: 42 1 1 ).1(22 1 1 )1( 1 1 1 1 2 =+ − −≥+ − +−= − ++= − b b b b b b b b (theo bđt cô si) Do đó: .16 2 ≥ a Mà a > 0 nên 44 ≥+⇒≥ yxa Dấu “=” xảy ra khi 21)1( 1 1 1 2 =⇔=−⇔ − =− bb b b Khi đó: −= += ⇔ = =+ 22 22 2 4 y x xy yx (Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi 22;22 −=+= yx . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Lưu ý: Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. . + !9 Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2014 2014 zy yx − − là số hữu tỉ và 2 2 2 x y z+ + là số nguyên tố. 78&, (6. 0 điểm) #9 Trên dây cung. !"#$%!"#& '()*+, ( */+0+1(,#2"3*4)(không kể thời gian giao đề) 0 56 )*+,!"%"!%!"#& (Đề thi này gồm 05 câu trong 01 trang) 78#, (4.0 điểm). Cho biểu thức: (. 0 )1(8 )1(8 )1(8 )1( )1(8 16 2 ≥ + + − + + − + ⇔ x x x x x x 0 )1(8 )3( 2 ≥ + −− ⇔ x x 03 =−⇒ x . Vì 0 )1(8 )3( 2 ≤ + −− x x )/ (9 3 MTx x =⇔ =⇔ Vậy x = 9 thì 1 8 11 ≥ + − x P 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 ! #91 I#JK (d):