Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thời gian: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức + + + = 6xx x9 x3 2x x2 3x : 9x x3x 1P a. Rút gọn biểu thức P b. Tìm giá trị của x để P = 1 Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4) a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng b. Cho Parabol (P): y = ax 2 + bx + c Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C c. Qua O có thể kẻ đợc đờng thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ? Bài 3: (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau a) 01x4x 5x4x 5 2 2 =+ + b) =+ =++ 7yx 4y1x Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH vẽ đờng tròn tâm O đờng kính AH. Đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại D và E. a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng b. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC. c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: xy1 2 y1 1 x1 1 22 + + + + với x 1, y 1 Ngời ra đề Nguyễn Thị Tuyết đáp án Bµi Néi dung §iÓm 1a. ®k ≠ ≠ ≥ ⇔ ≠− ≠− ≥ 4x 9x 0x 0x2 09x 0x 0,5 Ta cã: +− −+−−++− −+ − −= )x3)(x2( x9)x2)(2x()x3)(3x( : 3x)(3x( )3x(x 1P 0,5 = +− −− + x3)(x2( 4xx4 : 3x 3 0,5 = −− +− + 2 )x2( )x3)(x2( . 3x 3 0,5 = 2x 3 − VËy P = 2x 3 − 0,5 b. Ta thÊy P = 1 1 2x 3 = − ⇔ 25x5x32x =⇔=⇔=−⇔ 0,5 0,5 VËy víi x = 25 th× P = 1 0,5 2a. Ta nhËn thÊy y B = y C = 4 -> B,C n»m trªn ®êng th¼ng d song song víi trôc hoµnh c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; 4) 0,25 Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d : y = 4 0,25 Do y A = -2 => A ∉ d 0,25 VËy 3 ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng 0,25 b. Parabol (P) ®i qua 3 ®iÓm A(-1; -2); B (-3; 4), C (2, 4) nªn ta cã hÖ ph¬ng tr×nh =− =− −=+− ⇔ =++ =+− −=+− 0b5a5 6b2a8 2cba 4cb2a4 4cb3a9 2cba 0,25 0,25 0,25 −= = = ⇔ +−−= = =+ ⇔ 2c 1b 1a ba2c ba 6b3a3 0,25 0,25 0,5 VËy ph¬ng tr×nh cña Parabol (P) lµ y = x 2 + x - 2 0,25 c. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua 0 vµ cã hÖ sè gãc k cã d¹ng : y = kx 0,5 Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm nÕu cã cña (P) vµ d lµ 0,5 x 2 + x - 2 = kx x 2 + (1 - k)x - 2 = 0 (*) Ta có : = (1 - k) 2 + 8 > 0 k Phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt k do đó đờng thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt k R 0,5 Vậy không có đờng thẳng d nào đi qua 0 và tiếp xúc với (P) 0,5 3a. Đặt t = x 2 - 4x + 5 đk: t = x 2 - 4x + 4 + 1 = (x - 2) 2 + 1 1 0,5 Ta có: = = = =+ 5t 1t 1t 05t4t 1t 04t t 5 1t 2 t = 5 0,5 Khi đó ta có: x 2 - 4x + 5 = 5 x 2 - 4x = 0 0,5 x(x - 4) =0 = = 4x 0x Vậy phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 4 0,5 b. Đk + 0y 1x 0y 01x 0,5 Đặt = += yv 1xu với u 0; v 0 Ta có = += yv 1xu 2 2 0,5 => u 2 + v 2 = x + y + 1 Khi đó hệ đã cho trở thành = = = =+ =+ =+ 2v 2u 4v.u 4vu 8vu 4vu 22 0,5 Với u = 2, v = 2 ta có = = = =+ 4y 3x 2y 21x (thoả mãn) 0,5 Vậy hệ phơng trình trên có nghiệm là (3; 4) 4a. 0,5 A E CNHM D O Tứ giác ADHE có: BAC = 90 0 (vì ABC vuông ở A) AEH = ADH = 90 0 (góc nối tiếp chắn nửa đờng tròn) Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật + Vì O là trung điểm của AH, tứ giác ADHE là hình chữ nhật (chứng minh trên) => O là trung điểm của DE hay D, O, E thẳng hàng 0,5 b. Ta có MD = MH (tính chất của tiếp tuyến) OD - OH (bằng bán kính đờng tròn (o)) 0,5 => OM là trung trực của DH => OMDH => AD //OM Mặt khác ADDH 0,5 Trong AHB: O là trung điểm AH => OM là đờng trung bình AHB OM // AB => M là trung điểm HB + Ta có: NE = NH (tính chất của tiếp tuyến) OE = OH (bán kính đờng tròn (o)) => ON là trung trực của EH 0,5 => ON EH => AE // ON Mặt khác AE EH Trong AHC ta có ON là đờng trung bình AHC => N là trung điểm HC 0,5 c. Xét MDO và MHO có : MD = MH OD = OH => MDO = MHO MO chung (c.c.c) 0,5 => S MDO = S MHO (1) Xét HON và EON có : OE = OH NE = NH => HON = EON ON chung (c.c.c) 0,5 => S HON = S EON (2) Từ (1) và (2) => S MDEN = 2S MOH + 2S NOH 0,5 = 2(S MOH + S NOH ) = 2S MON Mặt khác S MON = ON.OM 2 1 = )cm(99.8. 8 1 AC.AB 8 1 2 AC . 2 AB . 2 1 2 === 0,5 B Suy ra: S MDEN = 2.9 = 18 (cm 2 ) 5. Ta có + + + + + = + + + + xy1 1 y1 1 xy1 1 x1 1 xy1 2 y1 1 x1 1 2222 0,5 = )xy1)(y1( yxy )xy1)(x1( xxy 2 2 2 2 ++ + ++ 0,5 = )xy1)(y1)(x1( )x1)(yx(y)y1)(xy(x 22 22 +++ +++ = [ ] )xy1)(y1)(x1( )yxyxyx)(xy( )xy1)(y1)(x1( )x1(y)y1(x)xy( 22 22 22 22 +++ + = +++ ++ 0,5 = [ ] 0 )xy1)(y1)(x1( )1xy()xy( )xy1)(y1)(x1( )xy()xy(xy)xy( 22 2 22 +++ = +++ 0,5 (Vì x 1, y 1) Ngời lập đáp án Nguyễn Thị Tuyết tài liệu tham khảo 1. Tuyển tập đề thi môn toán THCS (NXB GD) 2. Toán nâng cao Đại số 9 (NXB Hà Nội ) 3. Toán phát triển và bồi dỡng học sinh giỏi hình học 9 (NXB Đại học quốc gia) 4. Toán phát triển và bồi dỡng học sinh giỏi Đại số 9 (NXB Đại học quốc gia) . tập đề thi môn toán THCS (NXB GD) 2. Toán nâng cao Đại số 9 (NXB Hà Nội ) 3. Toán phát triển và bồi dỡng học sinh giỏi hình học 9 (NXB Đại học quốc gia) 4. Toán phát triển và bồi dỡng học sinh. giáo dục & đào tạo thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thời gian: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức + + + = 6xx x9 x3 2x x2 3x : 9x x3x 1P a. Rút gọn biểu thức P b = x 2 - 4x + 5 đk: t = x 2 - 4x + 4 + 1 = (x - 2) 2 + 1 1 0,5 Ta có: = = = =+ 5t 1t 1t 05t4t 1t 04t t 5 1t 2 t = 5 0,5 Khi đó ta có: x 2 - 4x + 5 = 5 x 2 - 4x = 0 0,5