ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán - Lớp 7 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Thời gian: 150’ (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5,0 điểm) a) Thực hiện phép tính: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 − − = − + + b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 Bài 2: (2,5 điểm) a) Cho a c c b b a == và a + b + c = 2007. Tính a, b, c. b) Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức 1≠ − + = − + dc dc ba ba ta có tỷ lệ thức d c b a = . Bài 3: (4,0 điểm) a, Tìm x biết: 11 5 15 11 ( ) ( ) 13 42 28 13 x− − = − b, Cho 1 2 x M − = Tìm x∈ Z và x < 50 để M có giá trị nguyên T×m x biÕt : 2. 35 − x - 2x = 14 Bài 4: (4,0 điểm): Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong dụng cụ hết 5 phút, người thợ phụ hết 9 phút. Nếu trong một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thì tiện được cả thảy 84 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được. Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC ⊥ ( ) H BC∈ . Biết · HBE = 50 o ; · MEB =25 o . Tính · HEM và · BME Phòng GD- ĐT Huyện Hòa An ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn : Toán 7 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Bài Điểm Bài 1 (5,0 điểm) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − − − = − = − + + + + − − = − + + − = − − = − = b) Với mọi số nguyên dương n ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + − − = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− × − × = × − × = 10( 3 n -2 n ) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 1,0 0,5 0,25 B i 2 (3 à điểm) 1 2007 2007 == ++ ++ === cba cba a c c b b a . ba b a =⇒=1 . Tương tự b = c 669 3 2007 ====⇒ cba 01 ≠⇒≠ − + b ba ba ; 01 ≠⇒≠ − + d dc dc 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 ))(())(( dcbadcba dc dc ba ba +=+ + = + adbc 22 = d c b a = (Do b, d 0 ) 0,5 0,5 Bi 3 (2 im) 2 35 x - 2x = 14 35 x = x + 7 (1) ĐK: x -7 ( ) ( ) 5 3 7 1 5 3 7 x x x x = + = + Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x 1 = 5/2 ; x 2 = - 2/3 0,5 1 0,5. Bi 4 ( 4 im) Gi x, y ln lt ca ngi th chớnh, th ph. Ta cú s dng c t l nghch vi thi gian lm vic nờn 1 1 5 9 x y = v x + y = 84 Nờn 84 84.45 270 1 1 1 1 14 14 5 9 5 9 45 x y x y+ = = = = = + Vy 1 270 .270 54 1 5 5 x x= = = 1 270 .270 30 1 9 9 y y= = = Vy: Ngi th chớnh lm c 54 dng c Ngi th ph lm c 30 dng c 1,0 1,5 0,5 0,5 0,5 Bi 5 (6 im) K H E M B A C I a/ Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) · AMC = · EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) ⇒ AC = EB Vì AMC ∆ = EMB∆ · MAC⇒ = · MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE) Suy ra AC // BE . b/ Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) · MAI = · MEK ( vì AMC EMB ∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) Suy ra · AMI = · EMK Mà · AMI + · IME = 180 o (tính chất hai góc kề bù ) ⇒ · EMK + · IME = 180 o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ Trong tam giác vuông BHE ( µ H = 90 o ) có · HBE = 50 o · HBE⇒ = 90 o - · HBE = 90 o - 50 o =40 o · HEM⇒ = · HEB - · MEB = 40 o - 25 o = 15 o · BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên · BME = · HEM + · MHE = 15 o + 90 o = 105 o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 1.0 1,0 . Huyện Hòa An ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn : Toán 7 NĂM HỌC: 2 011 – 2 012 Bài Điểm Bài 1 (5,0 điểm) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 . 3 2 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 12 5 .7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán - Lớp 7 NĂM HỌC: 2 011 – 2 012 Thời gian: 15 0’ (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5,0 điểm) a) Thực hiện phép tính: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6