Phòng GD& ĐT Hoà An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: Toán 9 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4đ) Cho hàm số f(x) = 44 2 +− xx a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = 4 )( 2 −x xf khi x ≠ 2± Câu 2: (2đ) Giải hệ phương trình +−=+− −+=− )3)(72()72)(3( )4)(2()2( yxyx yxyx Câu 3: ( 4đ) Cho biểu thức A = − + − − − − + 1 : 1 1 1 1 x x x x x x xx với x > 0 và x ≠ 1 a) Rút gọn A 2) Tìm giá trị của x để A = 3 Câu 4: (4đ) Một ô tô tải và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ thành phố A đến thành phố B. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn vận tốc của xe tải là 20 km/h do đó nó đến B trước xe tải 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Biết rằng khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 100 km. Câu 5: (6đ) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./. Phòng Giáo dục và Đào tạo Hòa An ĐÁP ÁN+HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 TT Hướng dẫn chấm Số điểm Câu 1 a) f(x) = 2)2(44 22 −=−=+− xxxx Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3 b) −= = ⇔ −=− =− ⇔= 8 12 102 102 10)( x x x x xf c) )2)(2( 2 4 )( 2 +− − = − = xx x x xf A Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 2 1 + = x A Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 2 1 + −= x A 1đ 1đ 2đ Câu 2 = = ⇔ =+ −=− ⇔ −+−=−+− −−+=− ⇔ +−=+− −+=− 2y -2x 0 4 2167221762 8422 )3)(72()72)(3( )4)(2()2( yx yx xyxyxyxy xyxyxxy yxyx yxyx 2đ Câu 3 a) Ta có: A = − + − − − − + 1 : 1 1 1 1 x x x x x x xx = − + − − − − − +− +−+ 11 )1( : 1 1 )1)(1( )1)(1( x x x xx x x xx xxx = − +− − − − − +− 1 : 1 1 1 1 x xxx x x x xx = 1 : 1 11 −− +−+− x x x xxx = 1 : 1 2 −− +− x x x x = x x x x 1 1 2 − ⋅ − +− = x x−2 2đ b) A = 3 => x x2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3 2 Bi 4 (4 ): Gọi vận tốc xe tải là x (km/h), x > 0. Vận tốc xe du lịch là: x + 20 (km/h). Thời gian xe tải đi từ A đến B là: (h) Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là: 100 20x + (h) Vì xe du lịch đến B trớc 50 phút = (h) nên ta có ph- ơng trình: - 100 20x + = Giải phơng trình đợc: x 1 = 40 (thoả mãn) x 2 = - 60 (loại) Vậy, vận tốc của xe tải là 40 km/h, của xe du lịch là 60 km/h. 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 Cõu 5: (6) a) Do HA // PB (Cựng vuụng gúc vi BC) nờn theo nh lý Ta let ỏp dng cho tam giỏc CPB ta cú CB CH PB EH = ; (1) Mt khỏc, do PO // AC (cựng vuụng gúc vi AB) => POB = ACB (hai gúc ng v) => AHC POB Do ú: OB CH PB AH = (2) Do CB = 2OB, kt hp (1) v (2) ta suy ra AH = 2EH hay E l trung im ca AH. b) Xột tam giỏc vuụng BAC, ng cao AH ta cú AH 2 = 1 2 O B C H E A P BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) và do AH = 2EH ta có .)2( 2PB AH.CB 2PB AH.CB AH 2 −= R ⇔ AH 2 .4PB 2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB 2 = 4R.PB.CB - AH.CB 2 ⇔ AH (4PB 2 +CB 2 ) = 4R.PB.CB 2 222 222 222 2222 d Rd.2.R 4R)R4(d Rd.8R (2R)4PB 4R.2R.PB CB4.PB 4R.CB.PB AH − = +− − = + = + =⇔ 3đ . Phòng GD& ĐT Hoà An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: Toán 9 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4đ) Cho hàm số f(x) = 44 2 +−. theo R và d. Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./. Phòng Giáo dục và Đào tạo Hòa An ĐÁP ÁN+HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 TT Hướng dẫn chấm