Chứng minh rằng: a ABM đồng dạng ACN b góc AMN bằng góc ABC 2 Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC.. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK.. Chứng minh rằng: EF song s
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2012 - 2013
(Giải bởi Lê Văn Hoan)
Câu 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:
x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = x4 + 2013x2 + 2013x – x + 2013
= x4 – x + 2013x2 + 2013x + 2013
= x(x3 – 1) + 2013(x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + 2013(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 2013)
Câu 2 Rút gọn biểu thức:
2
2
2
1
2( 4) 4(2 ) (2 )
2( 4) (2 )(4 )
2( 4) ( 2)(4 )
M
2
2
( 2)( 2) 2 2 ( 1)( 1 1)
2( 2)( 4)
4 4 4 ( 1)( 2) 2( 2)( 4)
1 ( 1) 1
Câu 3 Chứng minh rằng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Giải:
a) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17
b) Áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẻ
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 vì 88 chia hết cho 44
Câu 4 Cho tam giác ABC ( AB > AC )
1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác Chứng minh rằng:
a) ABM đồng dạng ACN
b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK
Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Trang 2Giải:
1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN
b) Từ câu a suy ra:
AN
AM AC
AB
AMN đồng dạng ABC
AMN = ABC ( hai góc tương ứng)
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H
BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)
Suy ra:
CHA = CAH nên CAH cân tại C
do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK
BK = CA
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA Do đó EF // AH
hay EF // Ax ( ĐPCM)
Hoặc có cách khác:
Gọi giao của Ax vad BC là I, Trên EB lấy điểm L sao cho E là trung điểm của IL
Vì Ax là phân giác của góc A nên AC IC
AB IB mà AC = BK =>
AB IB <=>
2
(Vì EC = EB mà EI = EL => IC = LB)
AB AF AF LB
AB AF AF LB
FB AF LB
FB AF LB
BK LB
AB IB => KL//AI => tứ giác AKLI là hình thang có đáy là KL và AI mà F là
trung điểm của AK, E là trung điểm của IL => EF//AI (ĐPCM)
Câu 5 A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 4
Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1
x- y- 6 = 0 x = 7