Bài giải đề thi học sinh giỏi toán 8 cấp huyện năm học 2012 - 2013

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Giải bởi Lê Văn Hoan) Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2013x 2 + 2012x + 2013 = x 4 + 2013x 2 + 2013x – x + 2013 = x 4 – x + 2013x 2 + 2013x + 2013 = x(x 3 – 1) + 2013(x 2 + x + 1) = x(x – 1)(x 2 + x + 1) + 2013(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 2 – x + 2013) Câu 2. Rút gọn biểu thức: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 8 8 4 2 ( 2) 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) ( 2) 2 1 1 2( 4) (2 )(4 ) ( 2) 2 ( 1)( 1) ( 1) 2( 4) ( 2)(4 ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x M   −   − − −  ÷  ÷ + − + −         − − − = −  ÷  ÷ + − + −         − − − − = −  ÷  ÷ + − +       − − + − +  = +  ÷ + − +   = 2 2 2 2 ( 2)( 2) 2 .2 ( 1)( 1 1) 2( 2)( 4) 4 4 4 ( 1)( 2) 2( 2)( 4) 1 ( 1) 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x   ÷   − − + + − − = − + − + + + − = − + + + = = Câu 3. Chứng minh rằng: a) 8 5 + 2 11 chia hết cho 17 b) 19 19 + 69 19 chia hết cho 44 Giải: a) Ta có: 8 5 + 2 11 = (2 3 ) 5 + 2 11 = 2 15 + 2 11 =2 11 (2 4 + 1)=2 11 .17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17. b) Áp dụng đẳng thức: a n + b n = (a+b)(a n-1 - a n-2 b + a n-3 b 2 - …- ab n-2 + b n-1 ) với mọi n lẻ. Ta có: 19 19 + 69 19 = (19 + 69)(19 18 – 19 17 .69 +…+ 69 18 ) = 88(19 18 – 19 17 .69 + …+ 69 18 ) chia hết cho 44 vì 88 chia hết cho 44. Câu 4. Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng: a) ABM∆ đồng dạng ACN ∆ b) góc AMN bằng góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC. Giải: 1) a) chứng minh ∆ ABM đồng dạng ∆ CAN b) Từ câu a suy ra: AN AM AC AB = ⇒ ∆ AMN đồng dạng ∆ ABC ⇒ · AMN = · ABC ( hai góc tương ứng) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H · BAH = · CHA ( so le trong, AB // CH) mà · CAH = · BAH ( do Ax là tia phân giác) Suy ra: · CHA = · CAH nên ∆ CAH cân tại C do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK BK = CA Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA. Do đó EF // AH hay EF // Ax ( ĐPCM) Hoặc có cách khác: Gọi giao của Ax vad BC là I, Trên EB lấy điểm L sao cho E là trung điểm của IL Vì Ax là phân giác của góc A nên AC IC AB IB = mà AC = BK => BK IC AB IB = <=> 2AB AF LB AB IB − = (Vì EC = EB mà EI = EL => IC = LB)  AF AFAB LB AB AB AB IB − − =  AF AFAB LB AB AB IB − − =  AFFB LB AB AB IB − =  AFFB LB AB IB − =  BK LB AB IB = => KL//AI => tứ giác AKLI là hình thang có đáy là KL và AI mà F là trung điểm của AK, E là trung điểm của IL => EF//AI (ĐPCM) Câu 5. A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45 = x 2 + y 2 + 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 4≥ Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x = 7 . ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Giải bởi Lê Văn Hoan) Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2013x 2 + 2012x + 2013 = x 4 + 2013x 2 + 2013x – x + 2013 = x 4 . (a+b)(a n-1 - a n-2 b + a n-3 b 2 - - ab n-2 + b n-1 ) với mọi n lẻ. Ta có: 19 19 + 69 19 = (19 + 69)(19 18 – 19 17 .69 +…+ 69 18 ) = 88 (19 18 – 19 17 .69 + …+ 69 18 ) chia hết cho 44 vì 88 . A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45 = x 2 + y 2 + 3 6- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 4≥ Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x