ĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊN ĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊN ĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊN ĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊNĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊNĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊNĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊNĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊNĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊNĐỀ THI HSG TOAN 9 CẤP HUYÊN
PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài:150 phút (Đề thi gồm 01 trang Ngày thi 16-10-2013 Câu 1( điểm) a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - )2 + 2013 Tính giá trị A x = 3 1 1 3 1 1 b) Cho (x + x 2013 ).(y + y 2013 )=2013 Chứng minh x2013+ y2013=0 Câu ( điểm) a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) b) Chứng minh x2 a b c , với a, b, c>0 bc ac ba Câu ( điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 Câu ( điểm) 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c Chứng minh sin Câu 5( điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 � a b c b c a c a b a b c Hết  a � bc ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu a) Nội dung x= 1 1 = 3( 3 1 1 = 3( 1) 3( 11 1) 1) 2 11 Thay x = vào biểu thức A ta có: A = (22 – – 1)2 + 2013 = + 2013 = 2014 Vậy x = Biểu điểm 0,25 3 1 3 1 1 giá trị biểu thức A 2014 - 0,25 0,25 0,25 (x + x 2013 ).(y + y 2013 )=2013 b) (x - x 2013 )(x + x 2013 ).(y + y 2013 )=2013(x - x 2013 ) 0,25 -2013.(y + y 2013 )=2013(x - x 2013 ) 0,25 -y - y 2013 =x - x 2013 Tương tự: -x - x 2013 = y - y 2013 a) b) 0,25 � x+y =0 � x =-y � x2013+ y2013=0 0,25 x2+ 5x +1 = (x+5) x x2+1 + 5x = (x+5) x x2+1 + 5x - x x - x =0 x ( x -x) +5(x- x )=0 ( x -x) ( x - 5) = ( x -x) = ( x - 5) = x =x x = x2+ = x2 (khơng có x thỏa mãn), x2+ = 25 x2 = 24 x = � 24 Vậy nghiệm PT x = � 24 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có bca bca � (b c ) a ۳ 2a bca 2a ۳ bc � a (b c ) a a 0,25 a 2a � bc abc b 2b c 2a � � , ac a bc ba abc a b c 2(a b c ) � 2 bc a c ba (a b c ) Tương tự: Dấu xảy b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều khơng có) a) b) (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x2+10x+16)( x2+10x+24) +2013 =( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013 =( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21 = y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998 (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998 A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014 Vậy minA = 2014 y =-1 x =0 0,25 0,25 a b c 2 bc ac ba Vậy 0,25 A 0,5 0, 0,5 0,5 0,25 E D B a) b) H C Vì D, E hình chiếu H AB, AC, nên DH AB, HE AC 0 � =90 0, � Tứ giácADHE có DAE ADH =90 , � AEH =90 Tứ giácADHE hình chữ nhật AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC Ta có AH2=BH.HC � AH3=BH.HC.AH AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC � AH3=BC.BD.CE 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A I B C D Vẽ đường phân giác AD tam giác ABC BD DC BD DC BD DC CB a � = AB AC AB AC AB AC AB AC b c � � Vẽ BI AD BI BD  BI �  BD  a Ta có sin sin � Vậy sin � AB AC bc AB Ta có 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Với x 0, y ta có ( x y ) �4 xy � x y �x y � 1 �1 � � � �(I) x y �x y � 0,25 a, b, c cạnh tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0, Áp dụng bđt(I) với số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có: 1 � a b c a c b a b c a c b a 1 � Tương tự: bac bca cbaabc b 1 � c b a c a b c b a c a b c 1 1 1 � � (đpcm) a b c b c a c a b a b c 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm 150 phút) Bài 1(6điểm) x y Cho P = 1 xy y x y xy : 1 xy xy x a, Rút gọn P b, Tính giá trị P với x= 2 c, Tìm giá trị lớn P Bài : (3đ) Giải phương trình sau : x 2002 x 2003 x 2004 3 m m m 1 Bài : ( 2đ) ( với m tham số ) Chứng minh a , b số dương thõa mãn : 1 0 Thì : a b c a c b c a b Bài : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động đoạn OC Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD Gọi I trung điểm đoạn MC , đường thẳng qua I vng góc với CD cắt (O) E F Đường thẳng ED cắt (O’) P Chứng minh điểm P, M , F thẳng hàng Chứng minh IP tiếp tuyến đường tròn (O’) Tìm vị trí M OC để diện tích tam giác IPO’ lớn Bài : (3đ) Tìm số nguyên x, y ,z thỏa mãn : 1 1 ( x y ) 3( y z ) 2( z x ) xyz xyz HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu 1: (6 điểm) x y Cho P= 1 xy y x y xy : 1 xy xy x a, Rút gọn P (2 điểm) Điều kiện để P có nghĩa : x 0 ; y 0 ; xy 1 Ta có : x y y : 1 x y xy xy xy xy x y xy x y xy xy x y xy : xy xy xy P= = = (0,5 đ) x x y x y y x x xy = x 2y x xy 1 x y 1 xy = x 1 y x 1 x 1 y x y x yy x : x y xy 1 xy (0,5đ) (0,5đ) b, Tính giá trị P với x= (1điểm) 2 thoả mãn điều kiện x 0 2 2 2 Ta có : x= = =4-2 =( -1)2 2 2 2 Ta thấy x= Thay x vào P = P= = 31 31 5 25 6 5 x , ta có: x 1 1 (0,5đ) 23 = = 52 5 52 0.25đ (0,5đ) 1 3 1 = 25 12 13 c, Tìm giá trị lớn P (2 điểm) Với x 0, ta có: (0,25đ) x 0 x x 0 x+1 x 1 (0,5đ) x 1 x ( x+1>0) x 1 1 x P 1 (0,25đ) Vậy giá trị lớn P =1 0.25đ x 0 0.25đ x 0 x 1 x=1 (0,5đ) Bài : (3 điểm) Từ phương trình ta có: x 2002 x 2003 x 2004 x 2003 m x 2003 m x 2003 m 1 1 1 � 0 m 1 m m 1 m 1 m m 1 � ( x 2003 m)( 1 ) m 1 m m 1 1.5đ + Nếu : 1 1 0 3m 1 m ; m m m m 1 3 phương trình có vơ số nghiệm (0,5đ) 1 + Nếu m -1;0;1 ; ; ; phương trình có nghiệm x= m-2003 0.5đ (0,5đ) Bài : (2điểm) Từ 1/a +1/b+1/c =0 mà a, b số dương suy c số âm ab+bc+ca = (0,25đ) Ta có : a c b c a b � a b 2c ab ac bc c a b � 2c ab ac bc c (1.25đ) � c c � c c 0.(dpcm) Bài :(6điểm) Do P thuộc (O’) mà MD đường kính suy góc MPD vng hay MP vng góc với ED Tương tự CE vng góc với ED Từ PM//EC (1) Vì EF dây cung, CD đường kính mà CD E F nên I trung điểm E F Lại cóI trung điểm CM nên tứ giác CE M F hình bình hành Vậy FM//CE.(2) Từ (1) (2) suy P, M , F thẳng hàng (2đ) ’ Ta có EDC = EFP (góc có cạnh tương ứng vng góc) Do tam giác PO D cân O’ nên EDC = O’PD Lại có EFP = IPF (do tam giácIPF cân) I PF= O’PD mà FPD =1v, suy IPO’ =900 nên IP O’P Hay IP tiếp tuyến (O’) (2đ) ’ ’ ’ Vì O M =1/2 MD IM =1/2MC nên IO =1/2 CD vậyIO =R áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S diện tích tam giác IO’P) Vậy 4S2 Max hay S Max PI = PO’ =R PO’ DM = R , Vậy M cách D khoảng R (1đ) mà DM =2 2đ E C D O O ’ F Bài ;(3điểm) � k �x y � 1 1 � k k � �y Đặt 6( x ) 3( y ) 2( z ) xyz y z x xyz � z � k �z x � 0.5đ Xét tích : 1 k3 k3 1 1 ( x )( y )( z ) � xyz ( y ) (x ) (z ) y z x 36 36 xyz z y x k3 k k k k3 k � 0�k 0 36 36 � ( xyz ) �xyz � �x y z �� �� �� �xy yz zx �x y z 1 �xy yz zx � 1đ 1đ Vậy (x, y , z) = (1,1,1) =(-1,-1,-1) cần tìm 0,5đ UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề �x y x y �� x y 2xy � : 1 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P � � � �1 xy �� xy xy � � � � a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x 2 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y x y x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) b) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vuông Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 2 AM AI a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O / ) Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E �( O ) F � ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN AD c) ME.MA = MF.MD Hết UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP Bài Đáp án ĐKXĐ: x �0; y �0; xy �1 a) Mẫu thức chung – xy ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) xy x y 2xy P : xy xy Điểm 0,5 đ x x y y y x x x y y y x xy xy x y xy 0,5 đ b) a) x 0,5 đ 2( x y x) x (1 y) x (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) x 0,5 đ 2(2 3) ( 1) 43 2 0,5 đ x ( 1) 0,5 đ P 2( 1) 32 ( 1) 0,5 đ P 2( 1) 13 52 0,5 đ � �x � y Đồ thị y x có : � 2 � �y � x �x x �0 Đồ thị y x � x x �0 � Đồ thị hình vẽ: 0,5 đ 0,5 đ 1đ 10 y N (L) (D) 3/2 -3 b) x Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) Ta có: OM = 12 12 � OM2 = ON = O M 32 ( 3) � ON2 = 18 MN = (1 3) (1 3) 20 � MN2 = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho x2 ta được: 6x 5x 38 x x 1 � 6(x ) 5(x ) 38 x x 1 Đặt y x thì: x y2 x x Ta pt: 6y – 5y – 50 = (3y – 10)(2y + 5) = 10 y Do đó: y 10 10 * Với y thì: x � 3x 10x x � x1 (3x – 1)(x – 3) = � � x2 � 5 * Với y thì: x � 2x 5x x 11 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ � x (2x + 1)(x + 3) = � � x 2 � A B M J I C D Vẽ Ax AI cắt đường thẳng CD J Ta có AIJ vng A, có AD đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 (1) AD AJ AI Xét hai tam giác vuông ADJ ABM, ta có: � BAM � AB = AD = a; DAJ (góc có cạnh tương ứng vng góc) � ADJ = ABM Suy ra: AJ = AM 1 1 (đpcm) Thay vào (1) ta được: 2 AD AM AI a 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ M E I F A O H B C D O/ N a) � CFD � 900 (góc nội tiếp chắn đường trịn) Ta có AEB Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O/), nên: OE EF OF EF => OE // O/F 12 0,5 đ � / D (góc đồng vị) => EAO � / � FO � FCO => EOB Do MA // FN, mà EB MA => EB FN � 900 Hay ENF �N � F$ 90O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) c) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD � INF � Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN � FDC � sđ FC � Mặt khác, đường tròn (O/): IFN � � => FDC HNC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) � DFC � 90O hay MN AD => NHC � FEN � Do MENF hình chữ nhật, nên MFE � EAB � sđ EB � Trong đường trịn (O) có: FEN � � => MFE EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) ME MF => , hay ME.MA = MF.MD MD MA 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không làm thay đổi tổng điểm (hoặc ý) nêu hướng dẫn này./ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 - 2014 Môn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm): a Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương b Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Câu (4,0 điểm): 13 a Cho A x xy x y yz y z zx z Biết xyz = 4, tính A a b c x y z x2 y z b Cho Chứng minh : x y z a b c a b c Câu (3,0 điểm): Giải phương trình : x + x2 =3 ( x 1) Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' BB' CC' 2 Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh rằng: a) BD.CE = BC b) DM, EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c số dương, chứng minh rằng: T= a b c + + 3a b c 3b a c 3c b a � Hết PHỊNG GD&ĐT PHÙ NINH Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp Năm học 2013 - 2014 Mơn: Tốn (Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi) Câu (5,0 điểm): 14 a ( 3,0 điểm) n 24 k Ta có: n 65 h � k2 24 h2 65 k h k h 89 1.89 k h 89 k 45 k h h 44 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 b ( 2,0 điểm) Với n = ta có A(0) = 19 M19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M 19 2(k + 1) Ta có: A(k + 1) = 7.5 + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.5 2n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n Câu (6,0 điểm): a (3,0 điểm) ĐKXĐ x,y,z �0 Kết hợp xyz = � x, y, z 0; xyz Nhân tử mẫu hạng tử thứ hai với x , thay mẫu hạng tử thứ ba xyz ta A x xy x xy xy x z z x xy 1 Suy A ( A>0) b (3,0 điểm) Từ : a b c ayz+bxz+cxy 0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z � ( )2 a b c a b c xy xz yz 2( ) ab ac bc cxy bxz ayz 2 1 abc Ta có : x2 y z a b2 c2 x2 y z � 2 2 a b c 2 x y z2 � 1(dfcm) a b c � Câu (1,0 điểm): 15 ĐK: x �- x x2 x2 x2 �( ) = 3–2 ) +2 -3=0 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x2 1� = => x1,2 = Hoặc = -3 vô nghiệm x 1 x 1 �(x- => Câu (6,0 điểm) (3,0 điểm): HA'.BC S HBC HA' a) (1,0đ) S ABC AA' AA'.BC S HAB HC' S HAC HB' Tương tự: ; S ABC CC' S ABC BB' HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC 1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) (1,0đ) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM c) (1,0đ) Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx - Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 - Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA ) 4 AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC * Kết luận ỳng (3 điểm): a) (1 điểm) Trong tam giác BDM ta cã : Dˆ 120 A Mˆ Vì M = 600 nên ta có: M 120 Mˆ y x Suy Dˆ Mˆ E 16 D B 2 M C Chøng minh BMD ~ CEM (1) BD CM , tõ ®ã BD.CE = BM.CM BM CE BC BC V× BM = CM = , nªn ta cã BD.CE = BD MD b) (1 điểm) Từ (1) suy mà BM = CM nªn ta cã CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED Tõ ®ã suy Dˆ Dˆ , ®ã DM tia phân giác góc BDE Suy Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác cđa gãc CED c) (1 ®iĨm) Gäi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn Câu (2,0 điểm): Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a => x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c => 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ; y ( x z) z ( x y) x ( y z) + + = y x z x z y z x y = 12 – ( + + + + + ) �12 -6 =6 => T y z x x y z => 10T = � Dấu xảy a = b = c _ PHÒNG GD - ĐT CẨM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 17 GIÀNG NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài:150 phút (Đề thi gồm 01 trang Ngày thi 16-10-2013 Sưu tầm: Phạm Văn Cát THCS Cẩm Định Cẩm Giàng HD Câu 1( điểm) a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - )2 + 2013 Tính giá trị A x = 3 1 1 3 1 1 b) Cho (x + x 2013 ).(y + y 2013 )=2013 Chứng minh x2013+ y2013=0 Câu ( điểm) a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) b) Chứng minh x2 a b c , với a, b, c>0 bc ac ba Câu ( điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 Câu ( điểm) 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c Chứng minh sin Câu 5( điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 � a b c b c a c a b a b c Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN (Thời gian làm 150 phỳt) 18  a � bc Bài 1(6điểm) x y Cho P = 1 xy y x y xy : 1 xy xy x a, Rút gọn P b, Tính giá trị P với x= 2 c, Tìm giá trị lớn P Bài : (3đ) Giải phương trình sau : x 2002 x 2003 x 2004 3 m m m 1 Bài : ( 2đ) ( với m tham số ) Chứng minh a , b số dương thõa mãn : 1 0 Thì : a b c a c b c a b Bài : (6đ) Cho đường trịn tâm (O) đường kính CD = 2R Điểm M di động đoạn OC Vẽ đường trịn tâm (O’) đường kính MD Gọi I trung điểm đoạn MC , đường thẳng qua I vng góc với CD cắt (O) E F Đường thẳng ED cắt (O’) P Chứng minh điểm P, M , F thẳng hàng Chứng minh IP tiếp tuyến đường trịn (O’) Tìm vị trí M OC để diện tích tam giác IPO’ lớn Bài : (3đ) Tìm số nguyên x, y ,z thỏa mãn : 1 1 ( x y ) 3( y z ) 2( z x ) xyz xyz UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề �x y x y �� x y 2xy � : 1 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P � � �1 xy �� xy � xy � � �� c) Rút gọn biểu thức P d) Tính giá trị P với x 2 19 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y x y x 2 c) Vẽ đồ thị (D) (L) d) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vuông Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 AM AI a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) ( O / ) Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) ( O/ ) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E �( O ) F � ( O/ ) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: d) Tứ giác MENF hình chữ nhật e) MN AD f) ME.MA = MF.MD Hết -PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm): a Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương b Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.5 2n + 12.6n chia hết cho 19 Câu (4,0 điểm): b Cho A x xy x y yz y Biết xyz = 4, tính z zx z A a b c x y z x2 y2 z b Cho x y z Chứng minh : a b c a b c 20 x2 Câu (3,0 điểm): Giải phương trình : x + =3 ( x 1) 2 Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ AA' BB' CC' nhất? Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh rằng: BC a) BD.CE = b) DM, EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c số dương, chứng minh rằng: T= a b c + + 3a b c 3b a c 3c b a � Hết 21 ... 89 1. 89 k h 89 k 45 k h h 44 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 b ( 2,0 điểm) Với n = ta có A(0) = 19 M 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M 19. .. +2013 =( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21 = y2- 2y+ 199 8 chia cho y dư 199 8 (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 199 8 A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014 Vậy... b = c _ PHÒNG GD - ĐT CẨM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 17 GIÀNG NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài:150 phút (Đề thi gồm 01 trang Ngày thi 16-10-2013 Sưu tầm: Phạm Văn Cát