ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CẤP HUYỆN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP HUYỆN PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 29 12 = cotg45 Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q x x 1 x x 1 � � � 1 � � � x 1 � x x 1 a) Tìm điều kiện x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q y x 1 x y xy 2 x yz y xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh x yz y xz với x �y, yz �1, xz �1, x �0, y �0, z �0 1 x y z x y z Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn biểu thức M Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: SMEF SABC Bài 6: (2đ) Từ điểm A ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh MK = MA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài Nội dung – Yêu cầu 29 12 2 3 3 6 5 1 Q có nghĩa � x x �2 Q 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ =1 = cotg450 2a 2b Điể m 1đ x x 1 x x 1 � � � 1 � � � x 1 � x x 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Q Q Q x 1 x 1 1 x 1 x2 4x x 1 1 x 2 x 1 1 x 1 1 x � x 1 2 x2 � x 1 x 1 1 x 1 1 x � x2 x 1 0,5đ x 1 x 1 x � 2 x x 1 Q 1 x 0,25đ Q 0,25đ * Nếu x > ta có: Q 0,75đ 0,25đ * Nếu < x < ta có: Q 0,75đ 0,5đ x 1 1 x 1 x � x2 x 1 0,25 x 1 0,25đ Với điều kiện x �1, y �4 ta có: M= x 1 x y4 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm, 1 x 1 x Ta có: x 1 x 1 � 2 x 1 (vì x dương) x 1 4 y4 y Và: y y � � 2 y4 (vì y dương) y y4 1 � y 4 � x = 2, y = Vậy giá trị lớn M Suy ra: M = x 1 x x yz y xz x yz y xz 0,75đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN � x yz y xyz y xz x xyz 0,25đ � x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz � x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z � xy x y xyz x y z x y xyz x y � x y � xy xyz x y z x y xyz � � � � xy xyz x y z x y xyz (vì x �y � x y �0 ) 0,5đ 0,5đ � xy xz yz xyz x y xyz 2 xy xz yz xyz x y xyz xyz xyz 1 � x yz x y z � (vì xyz �0 ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B M P E A N F K C Q Kẻ MP AB P, MQ AC Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ K cắt MF N Do �EMF = 450 nên tia ME, MF nằm hai tia MP MQ S MPEK SQAEK ( S FEN SQEK có chiều cao đáy � S MEN S MEK SFEN SQEK EN bé đáy EK) 2 Suy ra: SMEN SFEN S APMQ � SMEF S APMQ (*) Chứng minh được: SMAP SMAB S MAQ S MAC � S APMQ S ABC (**) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN 0,5đ Từ (*) (**) ta có: SMEF SABC 0,25đ B P O I A Q K C M Gọi P,Q trung điểm AB,AC Giao điểm OA PQ I AB AC hai tiếp tuyến nên AB = AC AO tia phân giác �BAC � PAQ cân A AO PQ Áp dụng Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 ( MKO vuông K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 ( MOI vuông I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) ( BOP vuông B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] ( IOP vuông I PA = PB) MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2 ( IAP vuông I) MK2 = MA2 ( IAM vuông I) � MK = MA 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ � 3 � �x � � Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q � �x x x 27 � � � x 1� � � � � � a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị Q x 2010 Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M Bài 3(1đ): Chứng minh với a,b,c ta có a b c �ab bc ac Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = T ìm giá trị lớn B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình x x2 x b/ x x Bài 6(2,5đ): Cho hình vng cạnh a Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB M D điểm đối xứng O qua C Đường thẳng Dx vng góc với CD D cắt � CM E CA cắt Dx F Đặt MDC � Tính độ dài DM, CE theo a a/ Chứng minh AM phân giác FCB b/ Tính độ dài CM theo a Suy giá trị sin ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1(1,5đ) Nội dung Biểu chấm a.(1đ) A = x x 3 x ĐKXĐ: x 0; x 3 x 1 x 27 x x 2 3x x x ( x )( x x 3) x x ( x 3) = 3x ( x )( x x 3) x b (0,5 đ) Thay x = +2010 vào A ta có: = 0.25 0.25 0.25 0.25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN A 2(1đ) x 3 2010 2010 0,5 Rút gọn biểu thức M M 4 4 1 M M 0.25 0.25 82 82 2 M 2 1 0.25 0.25 1 7 1 2 M 3(1đ) a b c �ab bc ac 0.25 � 2a 2b 2c �2ab 2bc 2ac 2 0.25 � a 2ab b b 2bc c a 2ac c �0 � a b b c a c �0 2 4(2đ) 0.5 a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 a b 2�b 2a A a2 a A 2a 4a A A 2a 2a 2a 2 2 2 A �2 Amin ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN x 2y � x 8 2y B y y y y2 8 � 2y b/ � � 2 y.2 2 2y 2 8� � � �8 Bmax 5(2đ) 0.5 a / x2 x2 x x 3 � x3 x3 0.25 � x 3 x3 � �� �� � �ptvn �x 3 x 3 0.25 nghiệm pt x=3 b / x2 x2 x2 x 4 0.25 t 1 � � t t � t2 t � � t0 � x �2 0.25 x�5 0.5 6(2.5đ) E 0.5 F A D O O B M C � 900 a/vì M thuộc đường trịn tâm O đuờng kính CD nên CMD � MCB � ( góc có Mà CA OB (đuờng chéo hình vng ) nên MCA cạnh vng góc) 0.5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN � MCB � � MCA 0.5 Do MC tia phân giác � ACB � � � Ta thấy ECF ACM � MDC � CD=2a nên DMC v ng M có MDC cos DM � DM DC.cos DC DEC vuông D có DM đường cao nên CE.CM=CD2 (1) Mà CM CD sin � CM 2a sin Từ (1) ta có CE CD 2a CM sin b/ gọi I tâm hình vng OABC ta có � 2� IM OM OI � IM a � 1 � � � � � � CM IM IC � CM 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 a2 2a 2 4 MIC vuông I a � CM a sin PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ CM 2 CD ĐỀ THI CHỌN HC SINH GII S Bài (1,5 điểm) Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a)A = 1 + 5 + 13 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = + 2001 2005 32 + + 2005 2009 3 2 Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 14 x b) 4 x x 16 x x y y y c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; Bµi 3: (2,0 ®iĨm) (với x ; y ngun) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN a) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta lu«n cã: �a b � � ��ab Dấu đẳng thức xảy ? b) Cho ba số thực a, b, c không âm cho a b c Chứng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy ? c) Với giá trị cđa gãc nhän th× biĨu thøc P sin cos có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 ngời thừa ngời Nếu bớt ô tô phân phối tất học sinh lên ô tô lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 ngời Bài ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1 2 R r a 8R 3r b) Chøng minh : S ABCD 2 ; ( KÝ hiƯu S ABCD lµ diÖn tÝch tø (R r ) a) Chøng minh : gi¸c ABCD ) � 1080 Chøng minh : BC 2) Cho tam giác ABC cân A có BAC AC số vô tỉ ======================================== ======= Bài Sơ lợc lời giải Cho điể m Bài 1.b áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a= (1,5 đ) a 0,75 2 , b= 3 2 biến đổi => x3 = + 3x Suy B = 2006 Cã A = 51 9 13 2005 2001 + + + + + 5 9 13 2005 2001 0,75 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN 2009 2005 2009 2005 Rót gọn, đợc A = Bài 2a (2,0 đ) b c Bài 3a (2,0 đ) 2009 Gii, xác định điều kiện: x 2 ;x � 2 � x x x 2 x = � ( x 2) ( x 7) �x 2 � �x � �� � �� x � x (Thỏa mãn) x �� � x 2 �� � x �0 (1) �2 (2) �x 16 �0 Điều kiện : � x �0 (3) � 2 �x y y �0 (4) � 2 Từ (2) � (x – 4)(x + 4) �0 � x �0 kết hợp với (1) (3) suy x=2 Thay vào (4): y2 – 2y + �0 ; Đúng với giá trị y Thay x = vào phương trình giải đúng, tìm y = 1,5 Vậy nghiệm phương trình: (x = 2; y = 1,5) Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = � x2 – 2y – = � x2 = 2y2 + � x lẻ Đặt x = 2k + ; ( k �Z ) � 4k2 + 4k +1 = 2y2 + � 2y2 = 4k2 + 4k – � y2 = 2(k2 + k – 1) � y chẵn Đặt y = 2n; (n �Z ) � 4n2 = 2(k2 + k – 1) � 2n2 + = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k k + hai số nguyên liên tiếp) � (*) vô nghiệm � pt cho vô nghiệm Ta cã: 0,25 0,25 0,25 0.5 0,25 0,25 0,25 a 2ab b a 2ab b �a b � ab ab � � 4 �2 � a b 0,25 �0, a, b �R ab� VËy: � � ��ab, a, b �R � a b �4ab, a, b �R �2 Dấu đẳng thức xảy a b 10 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN DF qua trung điểm AC (tính chất đường chéo hình bình hành ) Vậy DF đường trung tuyến tam giác ADC PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ (0,5 điểm) ĐỀ THI CHỌN HC SINH GII S 14 Câu I: Cho đờng th¼ng y = (m-2)x + (d) a) Chøng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn CâuII: Giải phơng trình: a) x x x x 6 b) x x x x 1 Câu III: xy yz zx a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa: A= z x y víi x, y, z số dơng x + y + z= x y z b) Giải hệ phơng tr×nh: x y z 12 c) B = x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x Tìm điều kiện xác định B Rút gọn B Tìm x để B cã x = KÕt luËn : x = - 0.5 TXĐ x =1 nghiệm b) ĐKXĐ: x + Đa d¹ng: 2x + x 4( x 1) + Pt : x + | - x| = + KÕt luËn 1 x nghiệm III a) Dùng BĐT Cô si (6 xy yz xy yz xy yz 2y hay 2 ®) z x z x z x yz zx t¬ng tù x y z ; 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 zx xy 2x y z 56 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN KL: A nhá nhÊt b»ng víi x = y = z = 0.5 b) ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ®a vỊ d¹ng: 0.5 3( x 1) 2( y 2) z 15 x y z 12 Giải tìm hệ số tỉ lệ Tính x = 6; y = 5; z = 0.5 0.5 c) Tìm ĐKXĐ B lµ x 0 vµ x 2 BiÕn đổi rút gọn có kết B = x x B< x x < ( x - 1)2 < Kết luận giá trị x: 1- < x< vµ 2 x < 1+ 0.5 0.5 0.5 IV + Vẽ hình xác , đẹp ghi GT , KL 0.5 (5 xác 0.25 đ) a) + OM // CD ( cïng vu«ng gãc víi AB) 0.25 + Do O trung điểm BC OM // CD M trung điểm BD b) Do AH // DB ( cïng vu«ng gãc víi BC) 0.5 AF FH theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lÐt DM MB 0.5 AF = FH hay F trung điểm AH + Chỉ E trung điểm AB EF đờng trung bình cđa tam gi¸c AHB hay EF// BC c) Gäi giao điểm NH với đờng thẳng BM P Do 0.5 AH//MP F trung điểm AH Chỉ B trung 0.5 điểm MP + Tam giác HMD cân đỉnh H ( HB vừa trung 0.5 tuyến, vừa đờng cao HB phân giác góc MHD + Vì HA vuông góc với HB nên suy AH tia phân 0.5 0.25 gi¸c cđa gãc MHN 0.25 d) + Chøng minh đợc ABC = BMO ( c.h- g.n) 0.5 có OB = 2cm; OM = 4cm + Tính đợc BM = ( cm) BC = 4cm; AC = BO = 2cm tÝnh AB = + Tính đợc chu vi ABC ( + ) cm 57 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CP HUYN V + Vẽ hình đúng, xác , đẹp AB.OH AC.OH (2 + Diện tích ABC S, viết đợc S = đ) + Tính đợc S + Do Smin = AB = AC, AC = CI VËy tam gi¸c ABC phải vuông cân A Từ có cách dùng ®iĨm A PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ 5 0.5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q 0.5 29 12 = cotg45 x x 1 x x 1 � � � 1 � � � x 1 � x x 1 a) Tìm điều kiện x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q y x 1 x y xy 2 x yz y xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh x yz y xz với x �y, yz �1, xz �1, x �0, y �0, z �0 1 x y z x y z Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn biểu thức M Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: SMEF SABC Bài 6: (2đ) Từ điểm A ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường 58 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh MK = MA PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ � 3 � �x � � Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q � �x x x 27 � � � x 1� � � � � � a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị Q x 2010 Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M Bài 3(1đ): Chứng minh với a,b,c ta có a b c �ab bc ac Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = T ìm giá trị lớn B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình x x2 x b/ x x Bài 6(2,5đ): Cho hình vng cạnh a Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB M D điểm đối xứng O qua C Đường thẳng Dx vng góc với CD D cắt � CM E CA cắt Dx F Đặt MDC � Tính độ dài DM, CE theo a a/ Chứng minh AM phân giác FCB b/ Tính độ dài CM theo a Suy giá trị sin PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ Bµi (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau : a)A = 1 + 5 + 13 b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = + 2001 2005 32 + Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: d) 3x2 + 4x + 10 = 14 x e) 4 x x 16 x x y y y 59 + 3 2 2005 2009 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN f) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (vi x ; y nguyờn) Bài 3: (2,0 điểm) d) Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta lu«n cã: �a b � ab Dấu đẳng thức xảy nµo ? e) Cho ba sè thùc a, b, c không âm cho a b c Chøng minh: b c �16abc Dấu đẳng thức xảy ? f) Với giá trị góc nhọn biểu thức P sin cos cã giá trị bé ? Cho biết giá trị bé Bài 4: (1,5 điểm)Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 ngời thừa ngời Nếu bớt ô tô phân phối tất học sinh lên ô tô lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 ngời Bài ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1 2 R r a 8R 3r S d) Chøng minh : ABCD ; ( KÝ hiƯu S ABCD lµ diƯn tÝch tø ( R r )2 c) Chøng minh : gi¸c ABCD ) � 1080 Chøng minh : BC 2) Cho tam giác ABC cân A có BAC AC số vô tỉ PHềNG GD-T THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ Bài 1(4đ) d) Tính tổng: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 2 2 15 35 63 399 a c b) Cho a, b, c, d số dương Hãy trục thức mẫu biểu b d thức sau: a b c d P Bài 2: (4đ) a) (2đ) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = 60 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Chứng minh : a2 b2 �2 a b c) (2đ) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho : � abc n � � cba n � với n số nguyên lớn Bài 3: (4đ) a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = x x x x với x 1 b) (2đ) Giải phương trình x 26 x x 8 Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m 2) ( m 3) y m c) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1) d) (1,5đ) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) ln ln qua điểm cố định Bài 5: (2 đ)Cho ABC điểm M nằm ABC cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ? Bài 6: (4,0 đ) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường trịn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a) Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b) Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: 2x x x2 x với x 2 Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: a x x x x b x 3x x x x x Bài 3: (2.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) 61 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ SỐ Bài 1: (2.0 điểm) b) Chứng minh bất đẳng thức: 1 � Với a; b số dương a b ab b) Cho x; y hai số dương x y Tìm giá trị nhỏ P ; xy M xy x y Bài 2: (2.0 điểm) x y 11 x xy y 3 Giải hệ phương trình: Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I a Tính góc CIF b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số ngun tố mà tích chúng năm lần tổng chúng 62 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP HUYỆN PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ Bài 1: (4điểm) Mỗi câu điểm e) Cho a, b số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 2 2 f) Tính tổng: P 15 35 63 399 Bài 2: (4điểm) Mỗi câu điểm b) Cho a, b, c số thực khác Chứng minh rằng: bc ca a b 2 (a b)( a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A x 2009 2010 x Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu điểm a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 7y = 55 b) Cho a, b, c, d số dương a c Trục thức mẫu biểu thức b d sau: a b c d Bài (4 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB M điểm nằm đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vng góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Đường thẳng IJ đường trịn (O’) ? Giải thích b) Xác định vị trí M đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Bài (4 điểm) a) Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M cho tổng độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp AMB BCM nhỏ b) Trong tất tam giác có đáy a, chiều cao h, tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn ? PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 3x x x 1 x 2 x x 3 x 1 x a/ Rút gọn K b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1) B = 111…….111 (m + chữ số 1) C = 666…….666 (m chữ số 6) 63 x �0; x �1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Chứng minh A + B + C + số phương Bài 3: (4 điểm) a/ Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab b bc c ac b/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x + 7y = 167 Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt hai điểm phân biệt A B Một đường thẳng d qua A cắt (O) M (O’) M’ a/ Chứng tỏ đường thẳng vuông góc với d M M’ qua điểm N N’ cố định thẳng hàng với B b/ Chứng tỏ trung điểm I N, N’ tâm đường tròn tiếp xúc với (O) (O’) Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B (O) C D, Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ SỐ Bài ( điểm ) Chứng minh : A 13 48 số nguyên 6 4) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = a2 b2 �2 Chứng minh : a b 5) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho : � abc n � � cba n � với n số nguyên lớn Bài : ( điểm ) � x 2 x �� 1 x � P � � Cho biểu thức : � � x 1 x x 1 � �� � �� � ( với x �0; x �1 ) d) Rút gọn P e) Chứng minh : < x < P > f) Tìm giá trị lớn P Bài : ( điểm ) ˆ 900 Trên Cho ABC nhọn Trên đường cao AD ( D �BC ) lấy điểm I cho BIC ˆ 900 Chứng minh : CI = CK đường cao BE ( E �AC ) lấy điểm K cho AKC Bài : ( điểm ) Cho ABC vuông A có M trung điểm BC Có đường thẳng di động vng góc với M, cắt đoạn thẳng AB , AC D E Xác định vị trí điểm D E để diện tích DME đđạt giá trị nhỏ 64 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 10 Baøi 1: (4,0 ñ) 1/ Cho A = 1+2+3+…… + 2004+2005 +2006 a/ Tính A (1,0 đ) b/ Nếu thay tổng hai số hạng ( chọn tổng A)ø hiệu hai số hạng tổng A số lẻ hay số chẵn (1,0 đ) 2/ Chứng minh số tự nhiên : A = 1.2.3………2003.2004 (1+ 1 1 + + + + ) 2003 2004 chia heát cho 2005 (2,0 đ) Bài 2: (4,0 đ) 1/ Chứng minh nếu: x2 + y2 = thì: � x y � (2,0 ñ) 2/ Tính giá trị biểu thức : 1 A = x2 + x4 x với x = (2,0 đ) 2 8 Bài 3: ( 4,0 ñ) 1/ Cho x> 0, y> thỏa mãn x+ y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 3x + 2y + x y 2/ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 5x y 3x 2y Bài 4: (4,0 đ) Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c nội tiếp đường tròn ( O; R) Đường cao AH a/ Chứng minh: bc = 2R AH b/ Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh: S 3 R Bài 5: (4,0 đ) Cho góc xOy điểm M chuyển động góc cho MH + MK = l ( dộ dài cho trước) với H K hình chiếu M Ox Oy Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHMK qua điểm cố định (khác điểm O) 65 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP HUYỆN PHỊNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 11 2x x- x - 5x x- a) Tìm điều kiện ca x để P có nghĩa rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P nguyên Cõu 2: (5,0 điểm) Câu 1: (4,0 điểm)Cho biÓu thøc : P Trên mặt phẳng tọa độ cho đờng thẳng (d): y vµ (d') : y 3x - 3x cắt C lần lợt cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục cm Câu 3: (4,0 điểm) a, Cho sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n a b2 c Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 a b c abc b, Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x 25 y ( y 6) Câu 4: (5,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A B ta vẽ hai dây cung AC BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đờng tròn cắt M Gọi P giao điểm hai đờng thẳng AD BC a, Chứng minh PN vu«ng gãc víi AB b, Chøng minh P,M,N thẳng hàng Câu 5: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 2000 PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 12 Bài 1) (3đ): 66 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP HUYỆN Cho biể u thứ c A=2(92009 92008 1) Chứ ng minh rằ ng A bằ ng tích củ a hai sốtựnhiê n liê n tiế p Bài 2) (4đ): a)Rú t gọn B 4 10 10 b)Tìm x đểbiể u thứ c sau cógiátrịnhỏnhấ t, tìm giátrịnhỏnhấ t đóC x x 2009 Bài 3) (4đ) a)Chứ ng minh rằ ng nế u a b c a3 b3 c3 abc b)Á p dụng tính chấ t trê n đểtính giátrịcủ a biể u thứ c sau vớ i x� yz xy xz yz 1 D neá u bieá t 0 z y x x y z Baøi 4) (3đ) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: E a b c �3 b c a a c b a b c Baøi 5) (3đ) Cho tam giác ABC từ điểm M thuộc miền tam giác kẻ MH, MK, ML vuông góc với cạnh AB, BC , AC có độ dài x, y, z Gọi H độ dài đường cao tam giác Chứng minh x2 y2 z2 � h2 Bài 6) (3đ) Cho tam giác ABC (AB < AC) M điểm cạnh BC vẽ BI AM, CK AM Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tổng BI + CK nhỏ PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ SỐ 13 Câu (3 điểm): Cho a, b, c > thỏa a + b + c = a b 1 c Chứng minh rằng: 1 1 1 64 Câu (3 điểm): Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn phương trình: x+y+z+4=2 x +4 y +6 z Câu (2 điểm): Cho x 2 1 1 1 A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003 Tính giá trị biểu thức: 67 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Câu (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 120 0, tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng DC N Chứng minh: 1 2 AM AN AB Câu (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông D, lấy C điểm thuộc cạnh AB Kẻ CH vng góc với AD (H AD) Đường phân giác góc BAD cắt đường trịn đường kính AB E, cắt CH F; DF cắt đường tròn K a) Chứng minh tứ giác AFCK nội tiếp b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I DK) Chứng minh CI = CB DF đường trung tuyến tam giác ADC PHÒNG GD-ĐT THANH CHƯƠNG TRƯỜNG THCS THANH MỸ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 14 C©u I: Cho ®êng th¼ng y = (m-2)x + (d) d) Chøng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với m e) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) f) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn CâuII: Giải phơng trình: a) x x x x 6 b) x x x x 1 Câu III: xy yz zx c) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa: A= z x y víi x, y, z số dơng x + y + z= x y z d) Gi¶i hƯ phơng trình: x y z 12 c) B = x x 2x x x 2x x x 2x x x 2x Tìm điều kiện xác định B Rút gọn B Tìm x để B