Câu 1 (1,5 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: ; . Câu 2 (2,5 điểm). 1) Giải hệ phương trình: 2) Cho phương trình bậc hai: . a) Giải phương trình (1) khi m = 4. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức : .
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,5 điểm).
Rút gọn các biểu thức sau:
A= 20+3 45− 2.250; B 1 15 12
5 2
−
−
Câu 2 (2,5 điểm).
1) Giải hệ phương trình: 2(x 1) (x y) 1
3x 8y 19
− + −
= −
2) Cho phương trình bậc hai: x2−mx + m 1= 0 (1)−
a) Giải phương trình (1) khi m = 4
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x ;x1 2thỏa mãn hệ thức : 1 2
1 2
x x
+
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho hàm số (P): y = 1 x2
4 . a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số đó
b) Xác định a, b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng –2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hoành độ bằng 2
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho đường tròn (O; R), dây cung BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp
b) Giả sử BAC 60· = 0, hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R
c) Chứng minh đường thẳng kẻ qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định
d) Phân giác góc ·ABD cắt CE tại M, cắt AC tại P Phân giác góc ·ACE cắt BD tại N, cắt AB tại Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
Câu 5 (0,5 điểm):
Chứng minh rằng: 21. a 1 3. b 1 31
+ + + >
(với a b, 0> ).
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ DỰ BỊ
HƯỚNG DẪN
CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Không chuyên)
( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 03 trang )
Câu 1 a)
0,75
điểm
b)
0,75
điểm
3 5 2
−
−
0,25
3 2 3
2
Câu 2 1.
1,0
điểm
+ Tìm được y = 2 ( hoặc x = 1)
+ Tìm được giá trị còn lại
+ Kết luận nghiệm (x; y ) = ( 1; 2 )
0,5 0,25 0,25
2)
1,5
điểm
a) +Khi m = 4 phương trình (1) trở thành x 2 − 4x 3 0 + =
+ Tìm được hai nghiệm x1 = 1 ; x2 = 3
0,5 0,5
b) Cách 1:
+ Chứng tỏ ∆ ≥ 0 nên được P/t (1) có nghiệm với mọi m 0,25
+ Áp dụng hệ thức Viét : 1 2
1 2
+ Biến đổi hệ thức 1 2
+ + = thành m m
0,5
+ Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m =
2016(tmđk)
0,5
Cách 2:
+ Chứng tỏ a + b + c = 0 nên được P/t (1) có nghiệm với mọi m 0,25 + Viết được x1 = 1; x2 = m – 1 0,25 + Biến đổi hệ thức 1 2
+ + = thành m m
0,25
+ Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m =
2016(tmđk)
0,25
Câu 3 a)
0,75
+ Lâp bảng giá trị có ít nhất 5 giá trị
+ Biểu diễn đúng 5 điểm trên mặt phẳng tọa độ
0,25 0,25
Trang 3điểm + Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm 0,25
b)
0,75
điểm
+ Xác định đúng hệ số b = –2
+ Tìm được điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 là điểm (2; 1)
+ Xác định đúng hệ số a = 32
0,25 0,25 0,25
Câu 4
a)
1,0
điểm
Tứ giác ADHE có D + E 180µ µ = 0 nên là tứ giác nội tiếp 0,25
b)
1,0
điểm
Kẻ OI⊥BC (I BC ∈ ), nối O với B, O với C
Có ·BAC= 60 0 ⇒ ·BOC=120 0 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng
chắn một cung)
0,5
OBC
Suy ra OI R
2
c)
1,0
điểm
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với DE
Qua A kẻ tiếp tuyến sAt với đường tròn (O;R)⇒AO⊥ sAt
BEDC
◊ nội tiếp (E, D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông)
ACB =AED
⇒ (cùng bù với·BED)
0,25
Mặt khác BAs ACB· = · =12sdAB»
⇒ BAs AED· = · ⇒sAt // DE (hai góc ở vị trí so le trong)
⇒ ⊥
0,5
⇒Đường thẳng (d) luôn đi qua điểm O cố định
0,25
d)
1,0
điểm
2
QEC
∆ vuông tại E⇒ ECQ EQC 90 · + · = 0
0,5
Trang 4CQ BP
Mà BP, CQ là các phân giác nên MP, NQ cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
Vậy có MNPQ là hình thoi
0,25
Câu 5
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
-HẾT -0,5
điểm
* Ta có: + ÷+ + ÷= + + +
Với a b, > 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:
21a+ ≥3 2 21a× =3 6 7
(1)
3b 2 3b 6 7
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
× + ÷+ × + ÷ ≥
Mà: 12 7 = 144.7 = 1008 ; 31 = 31 2 = 961 ⇒ 12 7 31 >
⇒ 21 a 1 3 b 1 > 31
× + ÷+ × + ÷