ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1. Cho số x thoả mãn điều kiện: x 2 + = 7 Tính giá trị các biểu thức: A = x 3 + và B = x 5 + 2. Giải hệ phương trình: Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: () có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 3: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: + + = 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p 2 +1 và 6p 2 +1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm) 1. Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại . Một đường thẳng qua , cắt cạnh tại và cắt đường thẳng tại . Gọi là giao điểm của các đường thẳng và . Chứng minh rằng: . 2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA=.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: . Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức ,trong đó . Chứng minh rằng: . .Hết . ( ) 0; >∈ xRx 2 1 x 3 1 x 5 1 x 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y  + − =     + − =   2 0ax bx c+ + = 0a ≠ 1 2 ,x x 1 2 0 2x x≤ ≤ ≤ 2 2 2 2 3 2 a ab b Q a ab ac − + = − + 2 − x 2009 + y 2010 − z )( 2 1 zyx ++ ABCD EA BC M CDNK EM BNCK BN⊥ 2 0 45 1222 <≤− DE bdacdcbaP +++++= 2222 1 =− bcad 3 ≥ P Đáp án chính thức Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang) SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Câu ý Nội dung Điểm 1 1 Từ giả thiết suy ra: (x +) 2 = 9 ⇒ x + = 3 (do x > 0) ⇒ 21 = (x +)(x 2 + ) = (x 3 +) + (x +) ⇒ A = x 3 +=18 ⇒ 7.18 = (x 2 + )(x 3 +) = (x 5 +) + (x +) ⇒ B = x 5 += 7.18 - 3 = 123 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Từ hệ suy ra (2) Nếu thì nờn (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y thế vào hệ ta giải được x=1, y=1 0.5 0.5 2 Theo Viét, ta có: , . Khi đó = ( Vì a 0) = Vì nên và Do đó Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc Tức là Vậy max=3 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3 1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phương trình đã cho tương đương với: x + y + z = 2 +2 +2 ⇔ (- 1) 2 + (- 1) 2 + (- 1) 2 = 0 - 1 = 0 x = 3 - 1 = 0 ⇔ y = - 2008 - 1 = 0 z = 2011 0.25 0.25 0.25 0.25 x 1 x 1 x 1 2 1 x 3 1 x x 1 3 1 x 2 1 x 3 1 x 5 1 x x 1 5 1 x x y y x 1 2 11 2 1 −+=−+ yx 11 > xy 1 2 1 2 −>− 1 2 b x x a + = − 1 2 . c x x a = 2 2 2 2 3 2 a ab b Q a ab ac − + = − + 2 2 3. 2 b b a a b c a a   − +  ÷   − + 0a ≠ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( ) ( ) 2 ( ) x x x x x x x x + + + + + + + 1 2 0 2x x≤ ≤ ≤ 2 1 1 2 x x x≤ 2 2 4x ≤ ⇒ 2 2 1 2 1 2 4x x x x+ ≤ + ( ) 2 1 2 1 2 3 4x x x x⇒ + ≤ + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( ) 3 4 3 2 ( ) x x x x Q x x x x + + + + ≤ = + + + 1 2 2x x= = 1 2 0, 2x x= = 4 4 4 2 2 0 0 b a c c b a a b a b c a c a   − =        = − =  =     ⇔ = −        − = =          =     Q 2 − x 2009 + y 2010 − z 2 − x 2009 + y 2010 − z 2 − x 2009 + y 2010 − z ∆∆ BEIMEC ∠=∠ ⇒ ∆ BCEEMI ∠==∠ 0 45 AN MN CB CM AB IB == ⇒ BKEEMIBCE ∠=∠=∠ ⇒ 0 180 =∠+∠ BKCBEC 00 9090 =∠⇒=∠ BKCBEC CK BN⊥ 2 ∆∆∆∆ ( ) 4 2 yx + ≤ 0 ≥ 222 −≥ ≤− 222 2222222222 22)()( cbabcddadbabcdcabcadbdac +−+++=−++ ( ) ( ) ( )( ) 2222222222 dcbacdbdca ++=+++= 1 =− bcad ( )( ) )1()(1 2222 2 dcbabdac ++=++ ( ) ( ) 2222 ; dcba ++ ( )( ) bdacdcbabdacdcbaP ++++≥+++++= 22222222 2 ( ) bdacbdacP ++++≥⇒ 2 12 0 > P ( ) 2 2 12 bdacbdac +>++ bdacx += xxP ++≥ 2 12 ( ) ( ) 341411414 2222222 +++++=++++≥⇔ xxxxxxxxP ( ) 3321 2 2 ≥+++= xx 3 ≥ P D C N A BI K M E O C B D E M A x x y . đi m) Cho phương trình: () có hai nghi m thoả m n điều kiện: .T m giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 3: (2,0 đi m) 1. Giải phương trình: + + = 2. T m tất. Chứng minh rằng: . 2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và m t đi m A sao cho OA=.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp đi m) .M t góc