Câu 5.3,00 điểm Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo.. Gọi M khác A,B là điểm thuộc đường tròn O.. Gọi I là tâm đường tròn tiếp xúc vơi a tại C và đi qua M, giả sử CD l
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
-Câu 1.(2,00 điểm) Tìm các giá trị của m để một nghiệm của phương trình2x2− 7x− 3m= 0 gấp ba lần một nghiệm của phương trình 2
4x − 8x m− = 0(m là tham sô).
Câu 2.(4,00 điểm) Giải phương trình: x2 + 2(2− x) x− −1 3x+ =2 0
Câu 3.(4,00 điểm) Giải hệ phương trình: 2 32 2 6
2 4 53
xy x y
Câu 4.(4,00 điểm) Giả sử x x là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 2 2
x − mx m+ − = Hãy
tìm các giá trị m sao cho bất đẳng thức sau đúng:
3 x x − x − x + −2 x + x + 2m − 4m− ≥1 2
Câu 5.(3,00 điểm) Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo Lấy E là điểm
trên OC sao cho CE = 2EO và M là giao điểm của DE và cạnh BC Trên đoạn thẳng DE lấy điểm F sao cho · EFC ODC= · Chứng minh rằng:
a) OMD∆ đồng dạng với FDC∆
b) ·EFA= 2OBA·
Câu 6.(3,00 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định Một đường thẳng a tiếp
xúc với (O) tại A Gọi M ( khác A,B) là điểm thuộc đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt a tại C Gọi I là tâm đường tròn tiếp xúc vơi a tại C và đi qua M, giả sử
CD là đường kính của đường tròn tâm I Goi J là giao điêm cua OC và đường tròn (I)
Chứng minh rằng:
a) J là trung điêm cua đoan thăng OC.
b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn (O).
-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…… ….……….……….;Số báo danh:……… ……… Chữ kí giám thị 1:……… ….……… …; Chữ kí giám thị 2:… … ………….……… …
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
-I- HƯỚNG DẪN CHUNG
- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi
- Điểm toàn bài thi không làm tròn số
II- ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1
(2,00đ) Tìm các giá trị m để một nghiệm của p/trình
2
2x − 7x− 3m= 0 (1) gấp ba lần một nghiệm của phương trình 4x2− 8x m− = 0(2)
Giả sử phương trình (2) có một nghiệm là a thì 3a là một nghiệm của
Khi đó ta có:
2(3 ) 7(3 ) 3 0 18 21 3(4 8 ) 0
2 2
4 8 (3)
6 3 0 (4)
0,50đ
Giải (4) ta được a= 0hoặc 1
2
a= −
Với a = 0 suy ra m = 0; với 1
2
a= − suy ra m = 5.
0,50đ
Vậy m = 0 hoặc m = 5 thì phương trình (1) có một nghiệm gấp ba lần
2
(4,00đ) Giải phương trình:
x + − x x− − x+ =
Với điều kiện: x≥ 1, phương trình viết lại là:
Đặt t = −x x−1, phương trình trở thành: t2− 4t 3 0 t t = 13
Với t = 1, ta có x− x− = ⇔1 1 x− 1( x− −1 1) = 0 0,50đ
Trang 31 0 1
2
1 1 0
x x
Với t = 3, ta có: ( )2
⇔ ( x− +1 1)( x− −1 2) = 0 0,50đ ⇔ x− − = ⇔1 2 0 x= 5 0,50đ Vậy tập nghiệm của phương trình là :S = {1;2;5} 0,50đ
3
(4,00đ)
Giải hệ phương trình: 2 32 2 6
2 4 53
xy x y
HPT 22 62 4 12
2 4 53
xy x y
2
2 2
⇔
Giải (1) ta được x + y = 13 hoặc x + y = -5. 0,50đ Với x y+ = 13⇔ y= 13− x Thế vào (2) ta được : x2− 12x+ 32 0= 0,50đ Giải ra ta được: x1 = 8,x2 = ⇒4 y1= 5,y2 = 9
Ta có hai nghiệm đầu tiên : (8 ;5), (4 ;9) 0,50đ Với x y+ = − ⇔5 y= − −x 5 Thế vào (2) ta được : x2+ 6x− =4 0
0,50đ Giải ra ta được:
Ta có hai nghiệm còn lại: (− +3 13; 2− − 13 , 3) (− − 13; 2− + 13)
0,50đ
Vậy hpt có các nghiệm:(8;5),(4;9), 3(− + 13; 2 − − 13 , 3) (− − 13; 2 − + 13) 0,50đ
4
(4,00đ)
3 x x − x − x + −2 x + x + 2m − 4m− ≥1 2(1), với
1, 2
x x là hai nghiệm của phương trình x2− 2mx m+ 2− =1 0
P/trình đã cho có: ∆ =' m2− m2+ = >1 1 0nên luôn có nghiệm m∀ 0,50đ Theo Vièt ta có: 1 2 2
1 2
2 1
x x m
(1)⇔ 3 x x − (x + x ) 2+ − x + x − 2x x + 2m − 4m− ≥1 2
0,50đ
3 m 1 2m 2 4m 2m 2 2m 4m 1 2
⇔ 3 m2− 2m+ −1 4m2− 4m+ ≥1 2 0,50đ
Trang 4Với 1
2
Với 1
1
2 ≤ m< : (2)⇔ −3(m− −1) (2m− ≥1) 2, không có m nào thỏa mãn. 0,50đ
Vậy m≤ 0 hoặc m≥ 4 là các giá trị cần tìm 0,50đ
5
(3,00đ)
Lưu ý: có vẽ hình mới chấm điểm câu này
a) Chứng minh OMD∆ đồng dạng với FDC∆ 1,00đ
Vì O là trung điểm của BD và CE = 2EO nên E là trọng tâm của BCD∆
và M là trung điểm BC, suy ra OM//CD, do đó · OMD FDC= ·(1) 0,50đ Theo giả thiết ·ODC= ·EFC nên:
· · · ·
ODM = ODC MDC− = EFC FDC− = FCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra OMD∆ đồng dạng với FDC∆ 0,50đ
ABCD là hình thoi nên , 1 1
AD CD OM= = CD= BC MC= ;
Do đó: AD DC DF DF
MD = MD = OM = MC
0,50đ
Hơn nữa AD//CM nên · FDA CMD= ·,
Suy ra ∆FDA:∆CMD⇒ · ·DFA MCD=
0,50đ
0
180 MCD ADC ABC 2OBA
O
M E
F
Trang 5(3,00đ)
a
O A
M D I
B E
C
J
F
Lưu ý: có vẽ hình mới chấm điểm câu này
a) Chứng minh J là trung điêm đoan thăng OC 1,00đ
Vì CM là tiếp tuyến của (O) và M ∈ (I) nên · · 0
90
CMD = CMO = nên
D,M,O thẳng hàng Do CA và CM là tiếp tuyến của (O) nên
· ·
DOC = AOC
0,50đ
Mà ·AOC = ·DCO (do AB//CD), suy ra ·DOC = ·DCO, hay ∆ DOC cân
tại D Kết hơp vơi DJ ⊥ OC DJC(· 90= 0) suy ra DJ là trung tuyến cua
∆DOC, do đó J là trung điêm cua đoan thăng OC.
0,50đ
Gọi F là trung điểm của AO, E là giao điểm của DF và BC
Vì OJ=JC (cmt) nên JF là đường trung bình ∆AOC, do đó JF⊥AB và
· ·
Mặt khác , ∆DJO :∆ JFO (g.g) nên DJ JO CO CO
JF = FO = AO = OB (2).
Kết hơp (1) và (2) ta đươc ∆DJF :∆ COB.
0,50đ
Do đó ·JDE = JCE· nên tứ giác CDEJ nội tiếp đường tròn (I) và
· 900
Vậy khi M di động, đường thẳng qua D vuông góc với BC luôn đi qua
F cố định , F là trung điểm của OA. 0,50đ