ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 2016 Môn: Toán (Không chuyên)

Câu 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức: (với và ). a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tính giá trị của biểu thức Q biết . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải hệ phương trình: b) Giải phương trình: . Câu 3 (1,5 điểm). Cho phương trình: (với là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn : . Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Vẽ hình bình hành BHCE. a) Chứng minh . b) Chứng minh điểm E thuộc đường tròn (O) và . c) Gọi M là trung điểm của BC; F là giao điểm của AM và OH. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác ABC. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (1,5 điểm)

Q

   (với a>0 và a≠1)

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tính giá trị của biểu thức Q biết a= +3 2 2

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình: 2( 3) 3( 4) 1

x y

− − − = −



 − =



b) Giải phương trình: x−2 x− − =2 10 0

Câu 3 (1,5 điểm)

Cho phương trình: x2 − 2mx+ 4m− = 5 0 (1) (với mlà tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x thỏa mãn : 1, 2 x1− = −x2 6

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,

BI, CK cắt nhau tại H Vẽ hình bình hành BHCE

a) Chứng minh · BAC IHK + · = 1800

b) Chứng minh điểm E thuộc đường tròn (O) và · BAD CA= · E

c) Gọi M là trung điểm của BC; F là giao điểm của AM và OH Chứng minh F

là trọng tâm của tam giác ABC.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = AD BI CK

HD HI + + HK

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z + + = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A

-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:

UBND TỈNH HÀ NAM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Không chuyên)

( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 04 trang )

Câu 1

a)

1,0

điểm

Q

− + (với a>0 và a≠1).

1

Q

=

−

0,5

= 2 . 1

1

a a

+

= 2

b)

0,5

2

2 2 2

Q

a

Câu 2 a)

1,0

điểm

2( 3) 3( 4) 1 2 3 7 7 28

4 5

x

y

=



⇔  =



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 4;5 0,5

b)

1,0

điểm

x−2 x− − =2 10 0 ĐKXĐ: x≥2

(x 2) 2 x 2 8 0

Đặt x− = ≥2 t 0

Ta có: t2− − =2t 8 0

Giải được t1 =4

t2 = −2 (loại)

0,5

Với t = ⇒4 x− = ⇔2 4 x=18 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ={ }18

0,5

Câu 3

0,75

điểm

x2 − 2mx+ 4m− = 5 0 (1)

∆ = ' m2 − 4m+ = 5 m2 − 4m+ + 4 1 0,5 = (m− 2) 1 0 2 + >

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

0,25

b)

0,75

điểm

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2

Kết hợp hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 1

⇔

=> x x1 2 =(m−3)(m+ =3) m2−9 (*)

Mặt khác theo Vi-ét ta có x x1 2 =4m−5 (**) 0,25

Từ (*) và (**) => m2− =9 4m− ⇔5 m2−4m− = ⇔ = ±4 0 m 2 2 2

Câu 4

a)

1,0

điểm ·

· 1800

AIH +AKH =

=> Tứ giác AIHK nội tiếp 0,5

=> ·BAC IHK+· = 180 0 0,5

b)

1,0

điểm

Vì BHCE là hình bình hành

=> CH // BE

Mà CH ⊥ AB (gt)

=> BE ⊥ AB

=> ·ABE =900

0,25

Cm tương tự ta có: ·ACE =900

=> Tứ giác ABEC nội tiếp

=> E thuộc (O).

0,25

O A

C B

E

M D

F H

I K

suy ra ·CAE=CB· E ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE) 0,25

mà ·BAD=CBE· ( cùng phụ với ·ABC )

c)

1,0

điểm

Ta có MB = MC (gt)

=> OM ⊥ BC

Mà AH ⊥ BC (gt)

=> OM // AH

=> Hai tam giác AHF và MOF đồng dạng

=> MFAF =MO AH (1)

0,5

Lại có ·ABE =900 => AE là đường kính (O)

=> O là trung điểm của AE.

Tứ giác BHCE là hình bình hành => M cũng là trung điểm của HE

=> OM là đường trung bình của tam giác AHE

=> MO AH = 12 (2)

Từ (1) và (2) => MFAF =12

=> F là trọng tâm tam giác ABC.

0,5

d)

1,0

điểm

Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S Vì ∆ ABC nhọn nên trực

tâm H nằm bên trong ∆ ABC, do đó: S = S1 + S2 + S3

Ta có:

HD = S = S HI = S = S HK = S =S

0,25

Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được:

1 1 1

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có:

3

1 2 3 3 1 .2 3

S S= + + ≥S S S S S (4) ; 3

1 2 3 1 2 3

S +S +S ≥ S S S (5) 0,25

Nhân vế theo vế (4) và (5), ta được: T 9 ≥

Vậy GTNN của T là 9 khi S1=S2 =S3 hay H là trọng tâm của ∆ ABC,

nghĩa là ∆ ABC đều

0,25

Câu 5

1,0

điểm

Ta có: x x y2+y2 ≥ x y+2

+ ∀x y, >0 Dấu “=” xảy ra khi x = y. 0,25

Từ đó: 2x2+x y3xy y− 2 =3 (x x y+ − −x y) x2 y2

3 2 2 3 5

x y x y x y

x y

= − + ≤ − = (1)

0,25

Tương tự: 2y2+y z3yz z− 2 ≤5y z2−

+ (2)

2 2 3 2 5

2

z zx x z x

z x

+ (3)

0,25

Cộng theo vế (1), (2), (3) có:

x y y z z x

A≤ − + − + − = x y z+ + =

Vậy GTLN của A là 6 khi x y z= = =1.

0,25

Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.