Câu 1(2,0 điểm). Cho biểu thức: (với ) . a) Rút gọn biểu thức . b) So sánh và . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải hệ phương trình: b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): và đường thẳng (d) có phương trình . Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy. Tìm để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: . Câu 4 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn , đường kính cố định. Vẽ tứ giác nội tiếp nửa đường tròn . Gọi là giao điểm của và ; là hình chiếu của trên . a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . b) Gọi là giao điểm
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm). Cho biểu thức: 2x : 1 1 1 1 x y x y x y y P xy xy xy + − + + = + + ÷ ÷ ÷ − − + (với 0, 0, 1x y xy≥ ≥ ≠ ) . a) Rút gọn biểu thức P . b) So sánh P và P . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 0 2 2 1 4 0 x y xy x y x y − + + + = − − + = b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): 2 y x= và đường thẳng (d) có phương trình y x m= + . Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thoả mãn: 2 3 2 3 6 3 10 2x y x y+ − =− . Câu 4 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn ( ) O;R , đường kính AD cố định. Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn ( ) ;O R . Gọi I là giao điểm của AC và BD ; K là hình chiếu của I trên AD . a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK . b) Gọi F là giao điểm của CK và BD . Chứng minh: . .BI DF BD IF= . c) Gọi E là trung điểm của ID . Chứng minh: 2 .ED EB EF= . d) Tính · BCD biết chu vi tam giác ABD lớn nhất. Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a 3b c+ + = . Chứng minh : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 4 a b b c c a + + ≥ + + + . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) ( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) 1,25 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 : 1 1 1 x y xy xy x y xy x y xy P xy xy xy + + + − − − + + + ÷ = ÷ − − + 0,5 2 2 1 . 1 1 x y x xy xy x y xy + − = − + + + 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 x y x x y x + = = + + + 0,25 b) 0,75 điểm Ta có : 0 0P x≥ ∀ ≥ 0,25 Lại có 1 2x x+ ≥ với 0x ≥ nên 2 2 1 1 2 x x P x x = ≤ = + 0,25 Vậy 0 1P P P≤ ≤ ⇒ ≤ . 0,25 Câu 2 a) 1,0 điểm ĐK : 1 0; 2 x y≥ ≥ Phương trình thứ nhất tương đương với ( 2 )( 1) 0x y x y+ − + = 2 ( ) 1 x y l x y = − ⇒ = − 0,25 Với 1x y= − Thế vào phương trình thứ hai ta được 2 1 2 2 1 4 0 8 1 7 19 19 7 49 330 425 0 y y y y y y y − − − + = ⇔ − = − ≥ ⇔ − + = 0,25 19 7 5 85 ( ) 49 y y y l ≥ ⇔ = = 0,25 Với 5y = thì 4x = . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 4;5x y = 0,25 b) Phương trình hoành độ giao điểm 2 0 (1)x x m− − = 0,25 2 1,0 điểm Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Điều kiện là 1 1 4 0 4 m m∆ = + > ⇔ > − Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ;A x x m B x x m+ + Theo Vi-ét : 1 2 1 2 1;x x x x m+ = = − (d) cắt Ox tại M(-m;0), (d) cắt Oy tại N(0;m) với m ≠ 0. 0,25 Diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2( ) 2 ( ) 4 4 1 0 AB MN AB MN x x m x x x x m m m = ⇔ = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − − = 0,25 2 5m⇔ = ± ( thoả mãn) 0,25 Câu 3 1,0 điểm 2 3 2 3 3 2 2 2 3 6 3 10 2 2 (3 5) (3 5) 7 (3 5)(2 1) 7 x y x y y x x x y + − = − ⇔ − + − = − ⇔ − + = − 0,25 2 2 2 2 3 3 3 3 3 5 1 3 5 1 3 5 7 3 5 7 ; ; ; 2 1 7 2 1 7 2 1 1 2 1 1 x x x x y y y y − = − = − − = − = − ⇔ + = − + = + = − + = 0,25 2 3 4 2 1 1 x x y y = = ± ⇔ = − = − 0,25 Vậy ( ) ( ) ( ) { } ; 2; 1 ; 2; 1x y ∈ − − − . 0,25 Câu 4 a) 1,0 điểm Ta có · 0 90ABD = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · 0 90AKI = (gt) Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp · · IBK CAD⇒ = 0,25 Lại có · · IBC CAD= (cùng chắn » CD ) Suy ra · · IBK IBC= ⇒ BI là phân giác góc · CBK 0,25 Chứng minh tương tự có CI là phân giác · BCK 0,25 Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK. 0,25 b) Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác của tam giác BCF, suy ra : 0,25 3 A K E F I B C D . O 1,0 điểm BI CB IF CF = (1) ( t/c đường phân giác của tam giác) Lại có · 0 90ACD CD CI= ⇒ ⊥ ⇒ CD là phân giác ngoài của tam giác BCF 0,25 suy ra : ( ) 2 BD CB DF CF = ( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25 Từ (1) và (2), có : . . BI BD BI DF BD IF IF DF = ⇔ = 0,25 c) 1,0 điểm Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD / 2KE ED ID⇒ = = ⇒ tam giác KED cân tại E · · 2BEK BDA⇒ = ( t/c góc ngoài của tam giác) Mà · · BDA BCA= (2 góc nội tiếp cùng chắn » AB ) Suy ra · · ( ) 2 3BEK BCA= 0,25 Mặt khác CI là phân giác · BCK ( chứng minh trên) · · ( ) 2 4BCK BCA⇒ = Từ (3) và (4) suy ra · · BEK BCK= , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp. 0,25 Suy ra · · · EKC EBC EBK= = EKF⇒ ∆ đồng dạng EBK ∆ . 2 .EK EB EF⇒ = 0,25 Mà EK ED= ( chứng minh trên) Suy ra : 2 .ED EB EF= 0,25 d) 1,0 điểm Chu vi tam giác ABD lớn nhất 2AB BD AD AB BD R⇔ + + = + + lớn nhất AB BD ⇔ + lớn nhất 0,25 Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8AB BD AB BD AD R+ ≤ + = = 2 2AB BD R⇒ + ≤ ( dấu "="xảy ra khi 2AB BD R= = ) 0,25 Như vậy chu vi tam giác ABD lớn nhất là (2 2 2)R+ khi AB =BD tức tam giác ABD vuông cân tại B 0,25 Khi đó · · 0 0 45 135BAD BCD= ⇔ = ( vì tứ giác ABCD nội tiếp ) 0,25 Câu 5 1,0 điểm Chứng minh 2 2 2 2 1 ( ) , , 0 3 x y z x y z x y z+ + ≥ + + ∀ > Dấu ‘=’ xảy ra khi x y z= = 0,25 Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 1 9 3 3 4 a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + ÷ + + + + + + ≥ = ÷ + + + + + 0,25 4 Vì 1 1 1 9 , , 0x y z x y z x y z + + ≥ ∀ > + + 0,25 Vậy 2 2 2 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 4a b b c c a + + ≥ + + + Dấu “=” 1a b c⇔ = = = 0,25 Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương. HẾT 5 . ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0. NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) ( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) 1,25 điểm (. tam giác OMN. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thoả mãn: 2 3 2 3 6 3 10 2x y x y+ − =− . Câu 4 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn ( ) O;R , đường kính AD cố định. Vẽ