ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)

Câu 1 (2,0điểm). a) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức: b) Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Câu 2 (2,5điểm). a) Giải phương trình . b) Giải hệ phương trình Câu 3 (2,0điểm). a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: và . Chứng minh: .

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0điểm). a) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 6 0a ab b − − = . Tính giá trị của biểu thức: . a b A a ab b + = + + b) Cho 0xy ≠ và 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 1 P x y xy = + + . Câu 2 (2,5điểm). a) Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 3 4 6 24x x x x + − + − = . b) Giải hệ phương trình 2 2 3 1 1 2 2 2 3 xy x y x x y y + + =    + =  + +  Câu 3 (2,0điểm). a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 1 , , 2a b c− ≤ ≤ và 0a b c+ + = . Chứng minh: 3ab bc ca+ + ≥ − . b) Tìm tất cả các cặp hai số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn: 4 3 2 1x x y− + = . Câu 4.(3,5điểm) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) lấy hai điểm M. N (M. N khác A và B) sao cho M thuộc cung » AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng 3R . a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R. b) Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo R. c) Tìm giá tri lớn nhất của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ DỰ BỊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) ( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 04 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) a ab 6b 0 a 3 ab 2 ab 6b 0 − − = ⇔ − + − = 0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 3 b 2 b a 3 b 0 a 2 b a 3 b 0 ⇔ − + − = ⇔ + − = 0.25 Vì a, b dương nên a 2 b 0 a 3 b a 9b + > ⇒ = ⇔ = . 0.25 Thay a 9b = vào P ta được 10 P 13 = . 0.25 b) 1,0 điểm Ta có x + y = 1 suy ra x 3 + y 3 + xy = (x+y)(x 2 + y 2 –xy) + xy = x 2 + y 2 0.25 ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 1 2 2 4 1 1 1 2 2 2 2 x x x x x x y xy x     = + − = − + = − +    ÷         ⇒ + + ≥ − + ≥  ÷   0.25 Đẳng thức xảy ra 1 2 x y⇔ = = . Vậy 3 3 x y xy+ + nhỏ nhất bằng 1 2 1 2 x y⇔ = = 0.25 Suy ra 3 3 1 P x y xy = + + lớn nhất bằng 2 1 2 x y⇔ = = 0.25 Câu 2 a) 1,25 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 6 24 1 4 2 3 24 2 3 2 8 24 x x x x x x x x x x x x + − + − = ⇔ − + − + = ⇔ + − + − = 0.25 Đặt y = 2 2 3x x+ − . Phương trình trở thành y(y-5) = 24 2 5 24 0y y⇔ − − = 3 8 y y = −  ⇔  =  0.5 2 2 2 2 0; 2 2 3 3 2 0 1 2 3 2 3 8 2 11 0 x x x x x x x x x x x = = −    + − = − + = ⇔ ⇔    = − ± + − = + − =    0.5 b) 1,5 điểm Hệ đã cho ⇔ ( ) ( ) 2 2 1 ( 1) 4 1 1 2 ( 1) 1 3 1 1 x y x y + + =   + =  + − + −  0.25 Đặt 1, 1u x v y= + = + Hệ đã cho trở thành 2 2 4 1 1 2 1 1 3 uv u v =    + =  − −  , ĐK : 1 1 u v ≠ ±   ≠ ±  (*) 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 1 uv u v u v u v =   ⇔  + − = − − +   2 2 4 8 uv u v =  ⇔  + =  4 4 uv u v =  ⇔  + = ±  0.5 2 2 u v u v = =  ⇔  = = −  ( TM(*)Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 1 3 ; 1 3 x x y y = = −     = = −   . 0.25 Câu 3 a) 1,0 Từ giả thiết a, b, c [ ] 1;2∈ − ta có 1 0; 2 0a a+ ≥ − ≤ 0.25 Do đó 2 ( 1)( 2) 0 2 0a a a a+ − ≤ ⇒ − − ≤ Tương tự 2 2 2 0; 2 0b b c c− − ≤ − − ≤ 0.25 Suy ra 2 2 2 2 2 2 ( ) 6 0 6 ( 0)a b c a b c a b c a b c+ + − + + − ≤ ⇔ + + ≤ + + = 0.25 ( ) 2 2 2 2 2( ) 6 2( ) 6 2( ) 3 a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ⇔ + + + + + ≤ + + + ⇔ + + ≤ + + + ⇔ + + ≥ − 0.25 b) 1,0 điểm +) Nếu 0x = thay vào phương trình ta được 1y = ± +) Nếu 2 1 3x y= − ⇒ = vô nghiệm +) Nếu 2 1 1 1x y y= ⇒ = ⇒ = ± 0.25 +) Nếu 2x ≥ ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 1 2 2 1y x x x x y x x= − + ⇒ − − < < − + ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 4 3 2 2 4 4 4 4 4 2y x x x x x x x x⇒ = − ⇔ − + = − + ⇔ = (do 2x ≥ ) 3y⇒ = ± 0.25 +) Nếu 2x ≤ − , đặt 2t x = − ≥ . Khi đó ta có 2 4 3 1y t t= + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 2 4 4 4 4 2 1 2 2 1y t t t t y t t⇒ = + + ⇒ + − < < + + ( ) ( ) 2 2 2 4 3 4 3 2 2 2 4 4 4 4 4 2y t t t t t t t t⇒ = + ⇔ + + = + + ⇔ = (do 2t ≥ ) 5y⇒ = ± 0.25 Kết luận ( ; ) (0;1);(0; 1);(1;1);(1; 1 );(2;3);(2; 3);( 2;5);( 2 ) ; 5 x y = − − − − − − 0.25 Câu 4 a) 1,0 điểm P H O' K I B' A' N A O B M Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên đường thẳng MN. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng MN thì OH MN ⊥ 0.5 Xét hình thang AA’B’B có OH là đường trung bình nên ( ) 1 3 ' ' 2 2 R OH AA BB= + = 2 2 2 2 3 2 4 2 R R MH OM OH R MN MH R= − = − = ⇒ = = 0.5 b) 1,25 Ta có · · · · 0 0 90 90AMB ANB KMI KNI= = ⇒ = = 0.25 Suy ra bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính KI 0.25 Vì MN = R nên tam giác OMN đều · · · · 0 0 1 30 60 2 KAN MAN MON AKN= = = ⇒ = Gọi O’ là trung điểm của IK thì O’ là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm M, N, I, K và R’ = O’M là bán kính của đường tròn này. 0.5 Do đó · · · 0 3 ' 2 2 120 ' 3 ' 3 R MO N MKN AKN MN R R= = = ⇒ = ⇒ = 0.25 c) 1,0 điểm Gọi P là giao điểm của IK và AB, do I là trực tâm của tam giác KAB nên KI AB⊥ , nên KP là đường cao tam giác KAB hạ từ K. Do O, O’ nằm trên trung trực đoạn MN, nên O, O’, H thẳng hàng. Xét tam giác MOO’ có · · · ( ) 0 0 0 ' 90 ' 30 ; ' 60OMO MOO MO O= = = Suy ra 2 ' 2 ' 3 R OO MO= = 0.25 Tam giác KAB có AB không đổi nên nó có diện tích lớn nhất khi KP lớn nhất Ta có 2 ' ' 3 3 3 R R KP KO OO R≤ + = + = 0.25 Đẳng thức xảy ra khi ' //P O OO AB MN AB KAB≡ ⇔ ⊥ ⇔ ⇔ ∆ cân tại K KAB ⇔ ∆ đều (do · 0 60AKB = ) 0.25 Do đó 2 1 . . 3 2 KAB S AB KP R KP R= = ≤ Kết luận diện tích tam giác KAB lớn nhất bằng 2 3R khi và chỉ khi MN//AB (hay KAB∆ đều) 0.5 Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương. HẾT . 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0điểm). a) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 6 0a ab b − − = . Tính giá trị của bi u thức: . a. TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin) ( Bản Hướng dẫn chấm thi gồm có 04 trang ) Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) a ab 6b 0 a 3 ab 2 ab 6b 0 − − = ⇔ − + − = 0.25 (. bi u thức: . a b A a ab b + = + + b) Cho 0xy ≠ và 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất của bi ̉u thức: 3 3 1 P x y xy = + + . Câu 2 (2,5điểm). a) Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 3 4 6