Câu 1(2,0 điểm). Cho biểu thức: (với ) . a) Rút gọn biểu thức . b) So sánh và . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: . b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ các điểm tương ứng thuộc các tia , sao cho tổng có độ dài nhỏ nhất. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm số nguyên sao cho: là số chính phương. Câu 4 (4,0 điểm).
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm). Cho biểu thức: 2x : 1 1 1 1 x y x y x y y P xy xy xy + − + + = + + ÷ ÷ ÷ − − + (với 0, 0, 1x y xy≥ ≥ ≠ ) . a) Rút gọn biểu thức P . b) So sánh P và P . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 10x 1 3 5 9 4 2x 2x x+ + − = + + − . b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm ( ) 2;1I . Tìm tọa độ các điểm ,A B tương ứng thuộc các tia Ox , Oy sao cho tổng IA IB AB+ + có độ dài nhỏ nhất. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm số nguyên 2008n > sao cho: 2008 2012 2013 2014 2016 2 2 2 2 2 2 n + + + + + là số chính phương. Câu 4 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn ( ) O;R , đường kính AD cố định. Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn ( ) ;O R . Gọi I là giao điểm của AC và BD ; K là hình chiếu của I trên AD . a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK . b) Gọi F là giao điểm của CK và BD . Chứng minh: . .BI DF BD IF= . c) Gọi E là trung điểm của ID . Chứng minh: 2 .ED EB EF= . d) Xác định vị trí điểm B để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R . Câu 5 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2a 3 4 2015b c+ + = . Chứng minh : 3 4 2020 2a 4 2020 2a 3 2020 15 1 2a 1 3 1 4 b c c b b c + + + + + + + + ≥ + + + . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) ( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang ) Câu Nội dung Điể m Câu 1 a) 1,25 điể m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 : 1 1 1 x y xy xy x y xy x y xy P xy xy xy + + + − − − + + + ÷ = ÷ − − + 0,5 2 2 1 . 1 1 x y x xy xy x y xy + − = − + + + 0,5 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 x y x x y x + = = + + + 0,25 b) 0,75 điể m Ta có : 0 0P x≥ ∀ ≥ 0,25 Lại có 1 2x x+ ≥ với 0x ≥ nên 2 2 1 1 2 x x P x x = ≤ = + 0,25 Vậy 0 1P P P≤ ≤ ⇒ ≤ . 0,25 Câu 2 a) 1,0 điể m ĐK : 5 / 3x ≥ phương trình ban đầu trở thành : ( ) ( ) 10 1 9x 4 3x 5 2x 2 0x + − + + − − − = 0,25 3 3 0 10x 1 9x 4 9x 4 2x 2 x x− − ⇔ + = + + + + + − 0,25 ( ) 1 1 3 0 10x 1 9x 4 9x 4 2x 2 x ⇔ − + = ÷ + + + + + − 0,25 3x⇔ = (thỏa mãn) vì 1 1 5 0 3 10x 1 9x 4 9x 4 2x 2 x+ > ∀ ≥ + + + + + − Vậy pt có tập nghiệm { } 3S = . 0,25 b) 1,0 điể m Gọi K đối xứng với I qua tia Oy , suy ra ( ) 2;1K − Gọi H đối xứng với I qua tia Ox , suy ra ( ) 2; 1H − 0,25 Ta có: ,AI AH BI BK= = suy ra IA IB AB AH AB BK HK+ + = + + ≥ 0,25 Dấu "=" ⇔ , , ,H A B K thẳng hàng hay ,A B là giao điểm của đường thẳng HK với tia ,Ox Oy tương ứng. 0,25 2 phương trình 1 : 2 HK y x − = , suy ra ( ) 0;0A B O≡ ≡ . 0,25 Câu 3 1,0 điểm Ta có: ( ) ( ) 2008 2012 2013 2014 2016 2008 4 5 6 8 2008 2008 2008 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 369 2 n n n − − + + + + + = + + + + + = + là số chính phương khi và chỉ khi 2008 2 369 2 n b − + = với * b∈¥ . 0,25 Đặt 2008a n = − là số nguyên dương , ta có pt : 2 369 2 a b+ = Xét trong hệ đồng dư d3mo ta có: ( ) { } ( ) { } ( ) 2 369 0 mod3 ;2 1;2 mod3 ; 0;1 mod3 a b≡ ≡ ≡ Suy ra ( ) 2 1 mod3 a ≡ suy ra a là số chẵn hay * 2a c c= ∈¥ . 0,5 Phương trình trở thành : ( ) ( ) 2 2 2 369 2 41.3.3 2 2 c c c b b b= − ⇔ = − + Do 2 2 c c b b+ > − suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 2 ; 2 41;9 ; 369;1 ; 41.3;3 ;2 25;16 ; 185;184 ; 63;60 ; 25;4 c c c b b b b c + − ∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ Vậy 2008 2 2008 2016n a c= + = + = là số cần tìm. 0,25 Câu 4 a) 1,0 điểm Ta có · 0 90ABD = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · 0 90AKI = (gt) Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp · · IBK CAD⇒ = 0,25 Lại có · · IBC CAD= (cùng chắn » CD ) Suy ra · · IBK IBC= ⇒ BI là phân giác góc · CBK 0,25 Chứng minh tương tự có CI là phân giác · BCK 0,25 3 A K E F I B C D . O Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK. 0,25 b) 1,0 điểm Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác BCF, suy ra : BI CB IF CF = (1) ( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25 Lại có · 0 90ACD CD CI= ⇒ ⊥ ⇒ CD là phân giác ngoài của tam giác BCF 0,25 suy ra : ( ) 2 BD CB DF CF = ( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25 Từ (1) và (2), có : . . BI BD BI DF BD IF IF DF = ⇔ = 0,25 c) 1,0 điểm Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD / 2KE ED ID⇒ = = ⇒ tam giác KED cân tại E · · 2BEK BDA⇒ = ( t/c góc ngoài của tam giác) Mà · · BDA BCA= (2 góc nội tiếp cùng chắn » AB ) Suy ra · · ( ) 2 3BEK BCA= 0,25 Mặt khác CI là phân giác · BCK ( chứng minh trên) · · ( ) 2 4BCK BCA⇒ = Từ (3) và (4) suy ra · · BEK BCK= , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp. 0,25 Suy ra · · · EKC EBC EBK= = EKF⇒ ∆ đồng dạng EBK ∆ . 2 .EK EB EF⇒ = 0,25 Mà EK ED= ( chứng minh trên) Suy ra : 2 .ED EB EF= 0,25 d) 1,0 điểm Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy ra : 2r AB BD AD AB BD R = + − = + − Suy ra r lớn nhất AB BD⇔ + lớn nhất. 0,25 Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8AB BD AB BD AD R+ ≤ + = = 2 2AB BD R⇒ + ≤ ( dấu " =" xảy ra khi 2AB BD R= = ) 0,25 Suy ra ( ) 2 2 2 2r AB BD R R= + − ≤ − 0,25 Vậy ( ) max 2 2 1r R= − khi và chỉ khi » » AB BD AB BD= ⇔ = ⇔ B là điểm chính giữa » AD . 0,25 Câu 5 1,0 Đặt 2 1; 3 1; 4 1x a y b z c= + = + = + thì bất đẳng thức trở thành : cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 2018x y z+ + = chứng minh : 2018 2018 2018 15 y z x z x y x y z + + + + + + + + ≥ (*) 0,25 Ta có: 0,5 4 1 1 1 (*) 2018 9 2 2 2 2018. 15 x y y z z x VT y x z y x z x y z x y z = + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ≥ + + + = + + Dấu “=” 2018 2015 2015 2015 ; ; 3 6 9 12 x y z a b c⇔ = = = ⇔ = = = 0,25 Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương. HẾT 5 . ≥ phương trình ban đầu trở thành : ( ) ( ) 10 1 9x 4 3x 5 2x 2 0x + − + + − − − = 0,25 3 3 0 10x 1 9x 4 9x 4 2x 2 x x− − ⇔ + = + + + + + − 0,25 ( ) 1 1 3 0 10x 1 9x 4 9x 4 2x 2 x ⇔ − + = ÷ +. ≠ ) . a) Rút gọn biểu thức P . b) So sánh P và P . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 10x 1 3 5 9 4 2x 2x x+ + − = + + − . b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm ( ) 2;1I . Tìm tọa. thị 2: UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) ( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang ) Câu