Tính bền vững của khung chặt đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN VĂN LONG TÍNH BỀN VỮNG CỦA KHUNG CHẶT ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN QUỲNH NGA HÀ NỘI, 2013 i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo - Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Cô đã hướng dẫn chỉ bảo tác giả rất tận tình, tỉ mỉ những kiến thức quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quí thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Tổ Toán - tin Trường THPT Yên Lạc 2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 15 đợt 1 niên khóa 2011 - 2013 để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Trần Văn Long ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2013 Tác giả Trần Văn Long Mục lục Mở đầu 1 1 Tính chất của khung chặt đều 4 1.1 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ví dụ về khung chặt đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Xây dựng khung chặt đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Phân loại các khung chặt chuẩn hóa đều . . . . . . . . . . . 20 1.5 Mối liên quan với họ các không gian con của không gian Hilbert ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Khung đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Khung tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Khung chặt đều với cấu trúc nhóm 30 2.1 Khung chặt đều với một toán tử sinh . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Khung chặt đều với nhiều toán tử sinh . . . . . . . . . . . . 37 3 Tính bền vững của khung chặt đều 45 3.1 Tính bền vững khi một phần tử bị xóa . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Tính bền vững khi nhiều hơn một phần tử bị xóa . . . . . . 53 iii iv 3.3 Tính bền vững khi nhiều hơn một phần tử bị xóa. Một cách tiếp cận khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khung trong không gian Hilbert được R.J. Duffin và A.C. Schaeffer [5] đưa ra chính thức vào năm 1952 khi nghiên cứu một số bài toán về chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên, ý tưởng của Duffin và Schaeffer dường như không nhận được sự quan tâm rộng rãi của các nhà khoa học ngoài lĩnh vực đó, cho đến khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra đời vào năm 1986. Kể từ đó, lý thuyết khung bắt đầu phát triển mạnh mẽ và nhận được sự quan tâm rộng rãi của nhiều nhà Toán học, Vật lý học,v.v . . . Khung được ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử,v.v. . . Trong không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở cho phép biểu diễn mỗi thành phần trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên điều kiện là một cơ sở là khá chặt theo nghĩa là không có sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là không tìm được những cơ sở thoả mãn thêm một số điều kiện mong muốn khác. Đây là lý do ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy. Khung trong không gian Hilbert cho phép mỗi phần tử trong không gian có thể viết được như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử là không đòi hỏi. Goyal, Kovacevic và Vetterli [7] đã sử dụng tính thừa của khung để làm giảm đi những ảnh hưởng của việc mất đi thông tin trong quá trình truyền 1 2 đi các gói dữ liệu. Ở một thời điểm nào đó, hệ thống có thể xảy ra việc mất thông tin. Hiện tượng này có thể mô hình như một sự xoá đi các hệ số khung đã được truyền đi. Ở đầu thu, điều này như là khung ban đầu bị thiếu đi các vectơ tương ứng với các hệ số bị xoá. Nếu một gói dữ liệu bị mất mà độc lập với các dữ liệu đã truyền khác thì thông tin là thực sự bị mất đi ở đầu thu. Tuy nhiên, nếu có sự phụ thuộc giữa các gói dữ liệu được truyền thì ta có thể khôi phục được một phần hoặc hoàn toàn dù bị mất thông tin. Một câu hỏi đặt ra là khung có tính chất thế nào thì thích hợp nhất cho mục đích này. [6] chỉ ra rằng, một khung đều làm cực tiểu sai số bình phương trung bình khi và chỉ khi nó là chặt. Đây là một lý do làm ta quan tâm đến lớp khung chặt đều. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về khung chặt đều và được sự đồng ý hướng dẫn của TS.Nguyễn Quỳnh Nga, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Tính bền vững của khung chặt đều” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một cách có hệ thống về tính chất của khung chặt đều, khung chặt đều với cấu trúc nhóm và tính bền vững của khung chặt đều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất của khung chặt đều. Nghiên cứu khung chặt đều với cấu trúc nhóm và phân loại khung chặt đều. Nghiên cứu tính bền vững của khung chặt đều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tính bền vững của khung chặt đều. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên quan 3 đến “Tính bền vững của khung chặt đều”. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập, nghiên cứu các tài liệu có liên quan, phân tích và tổng hợp tài liệu. Đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Luận văn là một tài liệu tổng quan về tính bền vững của khung chặt đều. Chương 1 Tính chất của khung chặt đều Khung là một tập hợp thừa các vectơ trong không gian Hilbert cho phép biểu diễn tự nhiên mỗi vectơ trong không gian, nhưng nó có thể cho vô số các biểu diễn khác nhau cho một vectơ. Khung đã được sử dụng trong việc xử lý tín hiệu do khả năng phục hồi tín hiệu trước những tiếng ồn [4], khả năng phục hồi tín hiệu trước những quá trình lượng tử hóa [6] cũng như tính ổn định của việc khôi phục lại dữ liệu [4], và cho độ tự do hơn để nắm bắt các đặc trưng của tín hiệu [2]. Gần đây, một vài ứng dụng mới của khung đã được phát triển. Ứng dụng đầu tiên được phát triển bởi Goyal, Kovacevic và Vetterli [7], sử dụng tính thừa của khung để làm giảm sự tác dụng của những mất mát của hệ thống truyền dữ liệu dạng gói. Hệ thống truyền tin hiện đại chuyển các gói dữ liệu từ một nguồn đến một nơi tiếp nhận. Những gói dữ liệu này là các dãy bít thông tin với độ dài nào đó và được bao quanh bởi hệ thống kiểm soát lỗi, định vị và thông tin thời gian, chúng đảm bảo rằng gói dữ liệu này được truyền đi mà không có lỗi. Điều này được thực hiện bằng cách không truyền đi gói dữ liệu nếu có lỗi. Thất bại ở đây chủ yếu là do sự tràn bộ nhớ đệm tại các nút trung gian trong mạng. Vì vậy, đối với hầu hết người sử dụng, cách xử lý của mạng gói không được đặc trưng bởi sự mất mát ngẫu nhiên mà bởi thời gian truyền không thể đoán trước. Điều này là do một một chuỗi các nguyên lý điều khiển các dữ liệu được 4 5 truyền trong hệ thống, chúng sẽ truyền lại những gói dữ liệu bị mất và người dùng không thể nhận biết được. Việc truyền lại những gói dữ liệu này mất nhiều thời gian hơn so với quá trình truyền lần đầu. Trong nhiều ứng dụng, việc truyền lại các gói dữ liệu đã mất là không thể thực hiện được và khả năng chậm trễ là không được chấp nhận. Nếu gói dữ liệu bị mất độc lập so với những dữ liệu khác thì máy thu sẽ hoàn toàn không nắm được thông tin đó. Tuy nhiên nếu giữa chúng có một mối liên quan nào đó thì có thể khôi phục lại một phần hoặc hoàn toàn. Điều này khiến cho chúng ta một cách tự nhiên nghĩ đến việc sử dụng khung để mã hóa. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là: khung nào là tối ưu nhất cho mục đích này?. Với một mô hình giảm tiếng ồn, trong [6] tác giả đã chỉ ra rằng một khung đều có thể tối thiểu hóa sai số bình phương trung bình khi và chỉ khi nó có tính chặt. Một ứng dụng quan trọng khác gần đây của khung chặt đều chuẩn hóa là trong lĩnh vực thiết kế mã hóa các thiết bị thu phát sóng điện từ (angten) [2]. Trước khi nghiên cứu các tính chất của khung chặt đều chúng tôi sẽ trình bày lại một số kiến thức cơ sở về lý thuyết khung. 1.1 Khung trong không gian Hilbert Tập hợp các vectơ Φ = {ϕ i } i∈I trong không gian Hilbert H, được gọi là một khung nếu tồn tại các hằng số 0 < A ≤ B < +∞ sao cho Ax 2 ≤  i∈I |x, ϕ i | 2 ≤ Bx 2 , ∀x ∈ H (1.1) trong đó I là tập các chỉ số đếm được và các hằng số A, B được gọi là các cận khung. Trong luận văn này, tác giả tập trung chủ yếu vào không gian Hilbert R N hoặc C N (kí hiệu H N ) với các tích vô hướng thông thường. Khi kết quả có thể tổng quát hóa cho trường hợp không gian vô hạn chiều thì chúng tôi sẽ nói rõ ra. [...]... một khung chặt đều i=1 Các kết quả của phần này thực sự phân loại khi nào các khung chặt chuẩn hóa hoặc khung chặt chuẩn hóa đều có các khung đối ngẫu thay phiên chặt (tương ứng chặt đều) Tuy nhiên, chúng ta không biết trong trường hợp tổng quát khung nào (không chặt) có các khung đối ngẫu thay phiên chặt (tương ứng chặt đều) 28 1.7 Khung tương đương Một cách tiếp cận khác để phân loại các khung chặt. .. trường hợp Định lý 1.7.1 Nếu một khung {ϕi }i∈I với toán tử khung S là tương đương với một khung chặt đều thì S −1/2 ϕi i∈I là một khung chặt chuẩn hóa đều Đặc biệt, một khung chặt mà không đều không thể tương đương với bất kì khung chặt chuẩn hóa đều S −1/2 ϕi i∈I là một khung chặt chuẩn hóa và tương đương với {ϕk } Như vậy nếu {ϕk } là tương đương với một khung chặt đều, {ψk } và ψk = c với mọi k,... các giá trị riêng của S = F ∗ F Sau đây là tóm tắt các thuộc tính quan trọng của giá trị riêng Khung tổng quát: Đối với bất kỳ khung nào trong HN , tổng của các giá trị riêng của S = F ∗ F bằng tổng các độ dài của các vectơ khung N M λk = ϕi 2 (1.9) i=1 k=1 Khung đều: Đối với một khung đều, nghĩa là khi ϕi = c, i = 1, , M thì N M λk = ϕi 2 = M.c2 (1.10) i=1 k=1 Khung chặt: Do tính chặt nghĩa là A =... c N (1.20) 12 Khung chặt chuẩn hóa đều: Nếu một khung là một khung chặt chuẩn hóa đều, nghĩa là, cho A = B = 1 và nếu các vectơ khung có chuẩn c thì M N λk = N= k=1 ⇒ c2 = 2 ϕi = c2 M i=1 N ⇒c= M N M Như vậy, một khung chặt chuẩn hóa đều với c = 1 là một cơ sở trực chuẩn 1.2 Ví dụ về khung chặt đều Chúng ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản của một khung; ba vectơ trong không gian 2 chiều Khung này chúng... là một khung Chúng ta có một phân loại đầy đủ các khung theo tính bền vững của chúng với các tẩy xóa trong chương 3 1.3 Xây dựng khung chặt đều Như chúng tôi đã đề cập trong phần đầu chương, các khung chặt chuẩn hóa đều đã được sử dụng phổ biến trong các ứng dụng Đặc biệt, trong [6], các tác giả đi sâu các vấn đề truyền tải dữ liệu bền vững trên Internet bằng cách sử dụng khung Là tập dư thừa của các...6 Khi A = B thì khung được gọi là chặt Nếu A = B = 1 thì khung được gọi là chặt chuẩn hóa Một khung được gọi là đều nếu tất cả các phần tử của nó có cùng một chuẩn c, ϕi = c Với khung chặt đều, cận khung A cho thấy tỷ lệ thừa của khung Một khung chặt chuẩn hóa đều có các vectơ có chuẩn bằng 1 là một cơ sở trực chuẩn Trong không gian Hilbert... khung chặt chuẩn hóa đối với mọi khung {ϕi } Như vậy mỗi khung tương đương với một khung chặt chuẩn hóa Nếu {ϕi }i∈I là một khung với các cận khung A, B và nếu P là phép chiếu trực giao trên H thì từ (1.1) ta có {P ϕi }i∈I là một khung của P H với các cận khung A, B Đặc biệt, nếu {ϕi }i∈I là một khung chặt chuẩn hóa của H (ví dụ: nếu nó là cơ sở trực chuẩn của H ) thì {P ϕi }i∈I là một khung chặt chuẩn... hóa là xét các họ khung thu được từ một khung chặt chuẩn hóa bằng các quan hệ tương đương Ví dụ: Chúng ta biết rằng, mỗi khung tương đương với một khung chặt chuẩn hóa Điều đó có nghĩa là, cho bất kì khung {ϕi }i∈I với toán tử khung S, khung S −1/2 ϕi i∈I là một khung chặt chuẩn hóa và tương đương với {ϕi }i∈I Bởi vậy, ta mong muốn tìm cách để chuyển các khung về khung chặt chuẩn hóa đều Nhưng điều này... khung chặt đều cho HN với M phần tử, và tất cả các khung chặt chuẩn hóa đều cho HN với M phần tử đều thu được theo cách này Hệ quả 1.3.2 Nếu {ϕi }M là một khung chặt chuẩn hóa đều cho HN thì i=1 ϕi 1.4 2 = M N Phân loại các khung chặt chuẩn hóa đều Định lý sau đây cho thấy mỗi họ hữu hạn của các vectơ có chuẩn bằng 1 trong không gian Hilbert có thể được mở rộng để trở thành một khung chặt đều Định lý... được khung chặt chuẩn hóa trong HN với M phần tử Cụ thể, chúng ta lấy một cơ sở trực chuẩn {ei }M của HM và phép chiếu trực giao PHN của i=1 HM lên HN Khi đó {PHN ei }M là một khung chặt chuẩn hóa của HN với M i=1 phần tử Đặc biệt, có một tương ứng một-một tự nhiên giữa các khung chặt chuẩn hóa của HN với M phần tử và các cơ sở trực chuẩn cho HM Khi đó, các khung chặt chuẩn hóa đều cho HN là những khung . về tính chất của khung chặt đều, khung chặt đều với cấu trúc nhóm và tính bền vững của khung chặt đều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất của khung chặt đều. Nghiên cứu khung chặt đều. trúc nhóm và phân loại khung chặt đều. Nghiên cứu tính bền vững của khung chặt đều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tính bền vững của khung chặt đều. Phạm vi nghiên cứu:. 31 2.2 Khung chặt đều với nhiều toán tử sinh . . . . . . . . . . . . 37 3 Tính bền vững của khung chặt đều 45 3.1 Tính bền vững khi một phần tử bị xóa . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Tính bền vững