Định lý sau đây cho thấy mỗi họ hữu hạn của các vectơ có chuẩn bằng 1 trong không gian Hilbert có thể được mở rộng để trở thành một khung chặt đều.
Định lý 1.4.1. Nếu {ϕi}Mi=1là một họ các vectơ có chuẩn bằng 1 trong một không gian Hilbert H thì có một khung chặt đều của H chứa họ {ϕi}Mi=1.
Chứng minh. Với mỗi 1 ≤ i ≤ M chọn một cơ sở trực chuẩn {eij}j∈J cho H mà chứa vectơ ϕi. Bây giờ họ {eij}M
i=1,j∈J bao gồm các vectơ có chuẩn bằng 1 và với bất kỳ f ∈ H, ta có M X i=1 X j∈J |hf, eiji|2 = M X i=1 kfk2 = Mkfk2
Trong xây dựng trên chúng ta nhận được một cận khung chặt bằng số lượng của các phần tử M trong họ {ϕi}Mi=1. Nói chung, đây là tốt nhất có thể. Ví dụ, chỉ cần cho ϕi = ϕj là các vectơ có chuẩn bằng 1 với tất cả 0≤ i, j ≤M. Khi đó
M
X
j=1
|hϕi, ϕji|2 = M.
Do đó, bất kỳ khung chặt nào có chứa họ {ϕi} có cận khung chặt ít nhất là M.
Kết quả dưới đây cho chúng ta biết rằng tất cả các khung chặt chuẩn hóa đều với M = N + 1 là tương đương unita. Nó là một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.4.1 từ [6], nơi nó được nêu cho các khung chặt đều với chuẩn bằng 1.
Định lý 1.4.2. (Goyal, Kovacevic và Kelner [6])
Một họ {ϕi}Ni=1+1 là một khung chặt chuẩn hóa đều cho HN nếu và chỉ nếu
{ϕi}Ni=1+1là tương đương unita với khung {P ei}iN=1+1 với {ei}Ni=1+1 là một cơ sở trực chuẩn của HN+1và P là phép chiếu trực giao của HN+1lên phần bù trực giao của không gian con một chiều của HN+1căng bởi PN+1
i=1 ei.
Vì có các khung điều hòa với N + 1 phần tử trong HN, nên mỗi khung chặt chuẩn hóa đều của HN với N + 1 phần tử là tương đương unita với một khung điều hòa.