3 Tính bền vững của khung chặt đều
3.2 Tính bền vững khi nhiều hơn một phần tử bị xóa
xóa
Bây giờ chúng ta thử áp dụng những ý tưởng từ phần trước để phân loại các khung bền vững khi nhiều hơn một phần tử bị xoá. Việc phân loại các khung chặt chuẩn hóa đều với k phần tử bị xóa trong phần này rất hữu ích nếu chúng ta có M vectơ trong một không gian N-chiều và M - N là "nhỏ". Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ cung cấp một phân loại của họ này hoạt động tốt nhất khi M - N là "lớn".
Trong phần dưới đây, I ⊂ {1,2, ..., M} sẽ biểu thị tập hợp chỉ số bị xoá.
Mệnh đề 3.2.1. Cho {ei}Mi=1 là một cơ sở trực chuẩn của HM và cho P
là một phép chiếu trực giao của HM xuống một không gian con L-chiều
HL. Cố định I ⊂ {1,2, ..., M} với |I| = k ≤ L và đặt K = spani∈Icei.
Nếu {ϕi}Lj=1 là cơ sở trực chuẩn bất kì của HL và ta có ma trận L×M A = (hϕj, eii)
L M
j=1,i=1
thì
I]
Chứng minh. Ta có:
ker(I −P)|K = {f ∈ K|(I −P)f = 0} = [ker(I −P)]∩ K. Bây giờ, áp dụng sự rút gọn hàng (tương ứng với {ei}Mi=1) cho {ϕi}Li=1
bằng cách sử dụng các phần tử của các cột trong I. Điều này cho một tập độc lập tuyến tính {gj}Sj=1∪ {gj}j=Ls+1 căng K với s=hạng theo hàng của (hϕj, eii)j=1L,i∈I, gi ∈ K; s+ 1 ≤ j ≤L và (span1≤j≤sgj)∩K = 0. Do đó,
ker(I −P)∩K = spans+1≤j≤Lgj. Vậy
dim (ker(I −P)) ∩K = dim (ker(I −P))|K
= L −(s+ 1) + 1 = L−s.
Chúng ta đang tìm kiếm các khung chặt chuẩn hóa bền vững khi k phần tử bị xóa. Mệnh đề 3.2.1 thực sự cho một kết quả mạnh hơn. Cụ thể, nó cho các điều kiện cần và đủ để {P ei} được bền vững khi với một lựa chọn cụ thể k phần tử bị xóa. Chúng tôi nêu kết quả này theo hai dạng khác nhau trong hai mệnh đề tiếp theo.
Mệnh đề 3.2.2. Với các kí hiệu của mệnh đề 3.2.1, các điều sau là tương đương
1. {(I −P)ei}Mi=1 là bền vững khi các phần tử {(I −P)ei}i∈I bị xóa. 2. Ta có rank(I −P)|K = M −L.
3. Ta có dim [ker(I −P)|K] = L−k.
tử {(I −P)ei}i∈I khi và chỉ khi (I −P)|K có hạng đầy đủ là rank(I −P) = M −L.
(2) ⇔ (3) : theo mệnh đề 3.2.1
dim [ker(I −P)|K] = L−[hạng theo hàng của k cột của A với tập chỉ số I]≥ L−k.
Mặt khác, (I −P)|K có hạng đầy đủ khi và chỉ khi (I −P) (I −Pi) có hạng đầy đủ, với Pi là phép chiếu trực giao của HM xuống spani∈Iei. Do đó,
dim (ker(I −P) (I −Pi)) ≤ L. Nhưng ei ∈ ker(I −Pi), với mọi i ∈ I. Do đó,
dim (ker(I −P) (I −Pi)) = dim (ker(I −P)) +k ≤ L. Vậy dim (ker (I −P)) ≤L −k.
Hệ quả sau cung cấp thông tin chính xác khi nào một khung là bền vững với một lựa chọn cụ thể k phần tử bị xóa theo các hệ số của {ei}
tương ứng với cơ sở vectơ đơn vị của HL.
Hệ quả 3.2.3. Với các kí hiệu của mệnh đề 3..2.1, các điều sau là tương đương
1. {(I −P)ei}Mi=1 là bền vững khi các phần tử {(I −P)ei}i∈I bị xóa. 2. Hạng theo hàng của (hϕj, eii)j=1L,i∈I = k.
Áp dụng kết quả trên cho mỗi lựa chọn tẩy xóa dẫn đến định lý 3.2.4 và một phân loại khi nào khung của chúng ta là bền vững khi bất kỳ k phần tử nào bị tẩy xóa. Chúng ta đang làm việc ở đây với các khung tổng quát. Chúng ta sẽ có kết quả trên các khung đều ngay sau đây.
Định lý 3.2.4. Với các kí hiệu của mệnh đề 3.2.1, các điều sau là tương đương: 1. {(I −P)ei}Mi=1 là bền vững khi k phần tử bị xóa.
2. Với mỗi I ⊂ {1,2, ..., M} với |I| = k, hạng theo hàng của A = (hϕj, eii)j=1L,i∈I bằng k.
Lưu ý: vai trò quan trọng của các phần tử bị xóa trong định lý, vì trong phát biểu định lý, các chỉ số là từ I.
Tiếp theo chúng ta thấy điều gì để khung là đều. Ở đây, chúng ta gọi "góc" giữa hai vectơ khi đấy thực sự là cô-sin của góc. Lưu ý rằng kết quả này phân loại khi nào {(I −P)ei} là một khung chặt chuẩn hóa đều mà không cần nói đến các tẩy xóa.
Định lý 3.2.5. Với các kí hiệu của mệnh đề 3.2.1, các điều sau là tương đương 1. {P ei}Mi=1 là đều ( và do đó {(I −P)ei}Mi=1 là đều). 2. Với mỗi 1≤ i ≤ M ta có (A∗A)ii = L X j=1 |hϕj, eii|2 = L M.
Nghĩa là, các cột của A = {ϕj}Lj=1 tất cả có cùng tổng bình phương. Ngoài ra, góc giữa (I −P)ei và (I −P)ej được cho bởi tích vô hướng của các cột thứ i và thứ j của {ϕj}Lj=1.
Chứng minh. (1) ⇔ (2) : Chúng ta biết rằng {(I −P)ei}Mi=1 là đều khi và chỉ khi {P ei}Mi=1 là đều khi và chỉ khi các phần tử đường chéo của ma trận P đối với {ei}Mi=1 có môđun hằng số. Ta có
P ei = L X n=1 hei, ϕniϕn = M X m=1 L X n=1 hei, ϕni hϕn, emi ! em
Phần tử đường chéo của P ei là L X n=1 hei, ϕni hϕn, eii = L X n=1 |hϕn, eii|2.
Như vậy {P ei}Mi=1 là một khung chặt đều khi và chỉ khi với mỗi 1 ≤
i, j ≤ M ta có L X n=1 |hϕn, eii|2 = L X n=1 |hϕn, eji|2.
Để chứng minh góc giữa (I −P)ei và (I −P)ej được cho bởi tích vô hướng của các cột thứ i và thứ j của {ϕj}Lj=1, chúng ta tính toán cho 1≤ i 6= j ≤ M: h(I −P)ei,(I −P)eji = hei, eji − hP ei, eji − hei, P eji+hP ei, P eji = hP ei, P eji = hei, P eji và * ei, L X n=1 hej, ϕniϕn + = * ei, L X m=1 L X n=1 hej, ϕni hϕn, emi ! em + = L X n=1 hej, ϕni hϕn, eji
Phía bên phải của đẳng thức trên chính là tích vô hướng của cột thứ i và thứ j của {ϕj}Lj=1.
Hệ quả sau đây của kết quả trên đầu tiên gây sự ngạc nhiên. Nó nói rằng chúng ta có thể gần như không bao giờ có được (trong trường hợp thực) các khung bền vững khi k phần tử bị xóa bằng cách bước xuống từ khung bền vững khi một phần tử bị xóa, sau đó đến khung bền vững khi
hai phần tử bị xóa, v.v. . .
Hệ quả 3.2.6. Trong trường hợp thực, nếu M ≥ 3 thì không tồn tại các phép chiếu trực giao P1, P2 hạng-1 với P1P2 = 0 sao cho {(I −P1)ei}Mi=1
là đều và {(I −P2) (I −P1)ei}Mi=1 là đều và bền vững khi hai phần tử bị xóa.
Chứng minh. Giả sử tồn tại P1, P2 như vậy. Do {(I −P1)ei}Mi=1 là đều, theo định lý 3.2.5, có một vectơ ϕ1 = PM
i=1aiei ∈ HM với P1f =
hf, ϕ1iϕ1, với mọi f ∈ HM và |ai| = |aj|, với mọi 1 ≤ i, j ≤ M. Bây giờ chọn ϕ2 = PM
i=1biei ∈ HM như vậy P2f = hf, ϕ2iϕ2, với mọi f ∈ HM. Khi P1, P2 có hạng-1, P1P2 = 0 suy ra P2P1 = 0. Nghĩa là hϕ1, ϕ2i = 0. Đặt P = P1 + P2. Khi đó (I −P2) (I −P1) = I −P. Do {(I −P)}Mi=1 là đều, theo định lý 3.2.5 ta có
a2i +b2i = a2j +b2j
với mọi a ≤i, j ≤ M.
Do đó , b2i = b2j, với mọi 1≤ i, j ≤M. Do kϕ1k = kϕ2k = 1, sau đó a2i = b2i = 1
M với mọi 1≤ i, j ≤ M.
Do {(I −P)ei}Mi=1 là bền vững khi hai phần tử bị xóa, theo định lý 3.2.5
aibj −ajbi 6= 0 (3.2) với mọi 1≤ i, j ≤ M.
Tuy nhiên, với mọi i, j ta có ai = ±aj = bi. Do đó, tồn tại i, j với hoặc ai = ajvà bi = bj hoặc ai = −aj và bi = −bj. Trong bất kỳ trường hợp nào (3.2) không đúng.
hợp phức, chúng ta sẽ chỉ ra trong Hệ quả 3.3.3 rằng các khung điều hòa tổng quát có tính chất mà chúng ta có thể bước xuống khung bằng cách liên tục áp dụng các phép chiếu hạng-1 lên cơ sở trực chuẩn. Hệ quả 3.2.6 cho biết rằng nói chung chúng ta không thể bước xuống một chiều mỗi lần để xây dựng khung bền vững khi k phần tử bị xóa.
Điều này đặt ra câu hỏi liệu chúng ta có thể bước xuống một chiều mỗi lần như trong Hệ quả 3.2.6 nếu chúng ta chỉ yêu cầu mỗi cấp ta thu được khung đều. Câu trả lời là không như ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 3.2.7. Cho {ei}4i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H4 và cho
ϕ1 = √1 2e1 + 1 2e3 + 1 2e4, và ϕ2 = √1 2e2 + 1 2e3 + −1 2 e4,
Khi đó hϕ1, ϕ2i = 0, và nếu P là phép chiếu trực giao của H4 xuống bao tuyến tính của {ϕ1, ϕ2} thì theo định lý 3.2.5, {(I −P)ei}4i=1 là khung chặt chuẩn hóa đều. Tuy nhiên, không tồn tại phép chiếu trực giao hạng - 1 P1 của H4 vào miền giá trị của P sao cho {(I −P)ei}4i=1 là một khung đều.
Chứng minh. Theo định lý 3.2.5, để cho P1 như thế tồn tại thì phải có một vectơ trong P H4 có dạng P4
i=1biei với |bi| = |bj|, với mỗi 1 ≤ i, j ≤ 4. Cho a1, a2 bất kỳ a1ϕ1 +a2ϕ2 = √a1 2e1 + a2 √ 2e2 + a1 + a2 2 e3 + a1 −a2 2 e4. Nếu (|a1 +a2|)/2 = (|a1 −a2|)/2 thì a1 hoặc a2 bằng 0. Như vậy |a1| 6= |a2|.
như trong Hệ quả 3.2.6 nếu tất cả chúng ta muốn là khung của chúng ta bền vững khi j phần tử bị xóa ở cấp thứ j nhưng chúng ta sẵn sàng từ bỏ tính đều ở mỗi cấp. Đáng ngạc nhiên, câu trả lời ở đây là có.
Mệnh đề 3.2.8. Cho P là phép chiếu trực giao của HM xuống không gian con L−chiều của HL. Cho {ei}Mi=1 là một cơ sở trực chuẩn của HM. Nếu
{(I −P)ei}iM=1 là bền vững khi k phần tử bị xóa (k ≤L) thì có các phép chiếu trực giao hạng-1 {Pi}Li=1 từ HM vào HL sao cho
{(I −Pj) (I −Pj−1)...(I −P1)ei}Mi=1
là bền vững khi j phần tử bị xóa, với mọi 1 ≤ j ≤ k và bền vững khi k
phần tử bị xóa với mọi k ≤j ≤ L. Chứng minh. Với mỗi 1 ≤ j ≤L, đặt
gj=
M
P
i=1
hgj, eiiei,
là một cơ sở trực chuẩn của HL. Chúng ta sẽ xây dựng các phép chiếu
{Pj}Lj=1bằng quy nạp hữu hạn. Chúng ta bắt đầu vớiP1. Do{(I −P)ei}Mi=1
là bền vững khi một phần tử bị xóa, theo định lý 3.2.4, với mỗi1 ≤ i ≤ M, tồn tại 1 ≤ j ≤ L sao cho hgj, eii 6= 0. Chọn các số a1, a2, ..., aL sao cho với bất kì 1≤ j ≤L, nếu hgj, eii 6= 0 với một số 1≤ i ≤ M thì
|ajhgj, eii| ≥ 2 j−1 X k=1 |akhgk, eii|. Lúc đó dễ dàng có ϕ1 = PL j=1ajgj PL j=1ajgj .
chiếu trực giao xuống bao tuyến tính của {ϕ1} thì {(I −P)ei}Mi=1là bền vững khi một phần tử bị xóa, theo hệ quả 3.1.4.
Bây giờ ta giả sử tìm được các vectơ trực giao {ϕj}nj=1,n ≤ k −1 sao cho các phép chiếu Pj hạng-1 xuống bao tuyến tính của {ϕj} thỏa mãn mệnh đề và span{ϕj}nj=1 = span{gj}nj=1. Chúng ta sẽ xây dựng ϕn+1 và Pn+1. Cho {gj}Lj=1 là một cơ sở trực chuẩn cho phần bù trực giao của span{ϕj}nj=1 trong HL. Cho 1 ≤i1 ≤i2 ≤... ≤ in+1 ≤M. Do
{(I −Pn) (I −Pn−1)...(I −P1)ei}Mi=1
là bền vững khi nphần tử bị xóa, nếu chúng ta rút gọn hàng{ϕj}nj=1 bằng cách sử dụng các cột {i1, i2, ..., in} (và chuyển đổi hàng nếu cần thiết), chúng ta có được các vectơ {hj}nj=1 với span{ϕj}nj=1 = span{hj}nj=1và với mỗi 1≤ j ≤n ta có,
hhj, eili = σjl. Bây giờ, ta kiểm tra khẳng định sau đây
Khẳng định: Đối với tất cả trừ một số hữu hạn 0 < x <1, nếu
hn+1 = L X j=n+1 xjgj thì hạng theo hàng của (hhj, eili)nj,l+1=1 là n+1. Chứng minh. (Khẳng định) Cố định 0 < x < 1. Ta rút gọn hàng của ma trận này bằng cách lấy với mọi 1≤ l ≤ M,
− * L X j=n+1 xjgj, eil + hl +hn+1.
Khi đó chúng ta có một ma trận với các số 1 ở hàng thứ j và cột thứ i với 1 ≤ j ≤ n, các số 0 ở vị trí khác, các số 0 ở hàng thứ (n+ 1) với các cột ij cho tất cả 1≤ j ≤ n, và ở vị trí (n+ 1,n+ 1) chúng ta có: hn+1, ein+1− n X l=1 L X j=n+1 xjgj, eil hhl, eili.
Nếu số này là khác không thì ma trận có hạng n+ 1. Bây giờ ta kiểm tra điều gì để cho số này là khác không.
hn+1, ein+1− n X l=1 L X j=n+1 xjgj, eil hhl, eili = L X j=n+1 xjhgj, eili − L X j=n+1 xj n X j=1 hgj, eili hhl, eili = L X j=n+1 xj " gj, ein+1− n X l=1 hgj, eili hhl, eili # .
Theo các giả thuyết của mệnh đề,
(hgj, eili)L
n+1 j=1,l=1,
có hạng n+ 1. Ta suy ra tồn tại n+ 1 ≤ j ≤L sao cho gj, ein+1− n X l=1 hgj, eili hhl, eili 6= 0. Do đó, số lượng của x với
hn+1, ein+1 − n X l=1 * L X j=n+1 xjgj, eil + hhl, eili = 0
là hữu hạn.
Điều này chứng tỏ khẳng định đã được chứng minh.
Áp dụng khẳng định cho tất cả các lựa chọn của 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤
in+1 ≤ M, chúng ta thấy rằng đối với tất cả trừ một số hữu hạn0 < x < 1, với mỗi 1≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤in+1 ≤ L, hạng của
(hhj, eili)M n+1 j=1,l=1 là n+ 1. Đặt ϕn+1 = hn+1 khn+1k,
và gọi Pn+1 là phép chiếu trực giao của HM xuống span{ϕn+1}. Khi đó,
{(I −Pn+1) (I −Pn)...(I −P1)ei}Mi=1
là bền vững khi n+ 1 phần tử bị xóa theo định lý 3.2.4.
3.3 Tính bền vững khi nhiều hơn một phần tử bị xóa. Một cách tiếp cận khác
Trong các phần trước, chúng ta sử dụng phép chiếu trực giao P trên HM để phân loại khi nào {(I −P)ei}Mi=1 là bền vững khi k phần tử bị xóa và khi nào nó là đều. Tuy nhiên, nếu số chiều của P HM là lớn (nghĩa là, gần với số chiều của HM) những kết quả trở nên khó áp dụng vì nó đòi hỏi kiến thức về cơ sở trực chuẩn của không gian lớn chiều P HM. Trong trường hợp này, {(I −P)ei}Mi=1 có số lượng lớn các vectơ trong không gian nhỏ chiều (I −P)HM. Vì vậy trong trường hợp này làm việc trực tiếp với (I −P)H và {(I −P)ei} là dễ dàng. Hoặc một cách tương đương, với P H và {P ei} khi số chiều P H là nhỏ.
Mệnh đề 3.3.1. Cho{ϕi}Ni=1 là một dãy trực chuẩn trong HM, cho {ei}Mi=1
là một cơ sở trực chuẩn của HM và cho P là một phép chiếu trực giao của HM xuống bao tuyến tính của {ϕi}Ni=1. Khi đó khung chặt chuẩn hóa
{P ei}Mi=1 là tương đương unita với {gi}Mi=1 trong đó với 1≤ j ≤ M ta có
gi =
N
X
i=1
hϕi, ejiei.
Nghĩa là, {P ei}Mi=1 là khung thu được cách chuyển các cột của {ϕi}Ni=1
thành các vectơ hàng trong HN. Chứng minh. Với bất kì 1 ≤ i ≤M ta có P ei = L X n=1 hei, ϕniϕn.
Do {ϕn}Ln=1 là một dãy trực chuẩn, toán tử T ϕn = en, với 1 ≤ n ≤ L là một toán tử unita đưa P ei thành {gj}jM=1 với 1 ≤j ≤ M và ta có