Một phương pháp khác để phân loại các khung chặt chuẩn hóa là qua các khung đối ngẫu thay phiên cho một khung đã cho. Để làm điều này, chúng ta cần định nghĩa khung đối ngẫu thay phiên
Định nghĩa 1.6.1. Cho {ϕi}i∈I là một khung của một không gian Hilbert H. Một họ {ψi}i∈I được gọi là một khung đối ngẫu thay phiên của {ϕi}i∈I
nếu f = P
i∈I
hf, ψiiϕi, với mọi f ∈ H.
Trong định nghĩa 1.6.1, nếu ta gọi F1 (tương ứng F2) là các toán tử phân tích của {ϕi} (tương ứng {ψi}), thì chúng ta thấy rằng F2∗F1 = I.
Có rất nhiều khung đối ngẫu thay phiên cho một khung đã cho. Trong thực tế, một khung có một khung đối ngẫu thay phiên duy nhất (khung đối ngẫu chính tắc) khi và chỉ khi nó là một cơ sở Riesz [2]. Hơn nữa, không có hai khung đối ngẫu thay phiên phân biệt cho một khung đã cho là tương đương [2]. Đối với một khung chặt chuẩn hóa, khung đối ngẫu chính tắc của nó bản thân là khung chặt chuẩn hóa do
∼
F = F S−1 = F.I = F
Mệnh đề 1.6.2. Nếu {ϕi}i∈I là một khung chặt chuẩn hóa của HN, thì khung đối ngẫu thay phiên chặt chuẩn hóa duy nhất cho {ϕi}i∈I là chính nó.
Chứng minh. Gọi F1 là toán tử phân tích của {ϕi}i∈I. Cho {ψi}i∈I là khung đối ngẫu thay phiên chặt chuẩn hóa bất kì của {ϕi}i∈I với toán tử phân tích F2. Khi đó F1, F2 là các phép đẳng cự
F2∗(F1 −F2) = F2∗F1 −F2∗F2 = I −I = 0. Do đó, với mỗi f, g ∈ H ta có
hF2∗g,(F1 −F2)fi = hg, F2∗(F1 −F2)fi = hg,0i = 0. Do {ϕi}i∈I là một khung chặt chuẩn hóa, với mỗi f ∈ H ta có
kfk2 =
M
X
i=1
|hf, ϕii|2 = kF1fk2 (1.23) Chúng ta có thể khai triển tiếp là
kF1fk2 = k(F1 ±F2)fk2 = kF2fk2 + k(F1 −F2)fk2 + hF2∗(F1 −F2)f, fi | {z } 0 +hF2∗(F1 −F2)f, fi∗ | {z } 0 .
Tuy nhiên, do F2 tương ứng với một khung chặt chuẩn hóa nên ta cũng được
kF2fk2 + k(F1 −F2)fk2 = kfk2 + k(F1 −F2)fk2 (1.24) Từ phương trình (1.23) và (1.24), ta được
Do đó, F1 = F2 và ϕi = ψi, với mọi i ∈ I.
Nếu chúng ta yêu cầu khung đối ngẫu chỉ là chặt nhưng không chuẩn hóa thì ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.6.3. Nếu {ϕi}Mi=1 là một khung chặt chuẩn hóa của HN và
M < 2N thì chỉ có một khung đối ngẫu chặt của {ϕi}Mi=1 là chính nó. Nếu
M ≥ 2N thì có vô số (không tương đương) khung đối ngẫu thay phiên chặt của {ϕi}Mi=1.
Chứng minh. Với các kí hiệu trong chứng minh mệnh đề 1.6.2, chỉ có thay đổi duy nhất là khung đối ngẫu là chặt và không chặt chuẩn hóa, có cận khung A>0 sao cho
kF2k2 = Akfk2
với mỗi f ∈ H.
Khi đó, như trong chứng minh của mệnh đề 1.6.2, ta có
kfk2 = kF1fk2 = kF2fk2 + k(F1 −F2)fk2 = Akfk2 + k(F1 −F2)k2
Do đó, k(F1 −F2)fk2 = (1−A)kfk2, với mỗi f ∈ H.
Vậy hoặc F1 − F2 = 0 và A = 1 cho khung chặt chuẩn hóa như trong mệnh đề trước đó, (và như vậy ϕi = ψi với mọi 1 ≤ i ≤ M) hoặc 1√1−A (F2 −F1) là một phép đẳng cự trên HN.
Trong trường hợp sau dim (F1HN)⊥ ≥ N và như vậy M ≥ 2N. Vậy nếu M <2N thì chỉ có khung đối ngẫu chặt là chính nó.
Mặt khác, nếu M ≥ 2N, với bất kì F :HN → `M2 là một hằng số nhân một phép đẳng cự và với F1HN⊥F HN thì F1 +F định nghĩa một khung chặt là một khung đối ngẫu thay phiên của {ϕi}.
Tuy nhiên, chúng ta thực sự quan tâm đến trường hợp đều.
Mệnh đề 1.6.4. Cho M = 2N và cho {ϕi}Mi=1 là một khung chặt chuẩn hóa của HN với toán tử phân tích F1 : HN → `M2 . Nếu tồn tại một đẳng
cự F : HN → `2M với F1HN⊥F HN và F1∗ei⊥F∗ei, với mọi 1≤ i ≤ M thì
{ϕi}Mi=1 có vô số khung đối ngẫu thay phiên chặt đều.
Chứng minh. Một lần nữa chúng ta sử dụng kí hiệu trong chứng minh của mệnh đề 1.6.2.
Chọn F2 = aF trong đó a 6= 0. Khi đóF1+F2 xác định một khung đối ngẫu thay phiên chặt của{ϕi}Mi=1 làψi = (F1∗ +F2∗)ei, với mọi1 ≤ i ≤ M. Chúng ta cần phải kiểm tra khung này là đều. Cho P : `M2 → F1HN là phép chiếu trực giao, sao cho P ei = F1ϕi, với mọi 1 ≤ i ≤ M. Ta suy ra
kP eik2 = MN và k(1−P)eik2 = 1− MN , với mọi 1 ≤i ≤M. Bây giờ,
ψi = F1∗ei+F2∗ei = ϕi +F2∗(I −P)ei. Như vậy, có a>0 sao cho với mọi 1 ≤ i ≤M ta có
kψik2 = kψik2 +kF2∗(I −P)eik2 = N M +ak(I −P)eik2 = N M +a 1− N M = a+ (1−a) N M. Do đó, {ψi}Mi=1 là một khung chặt đều.
Các kết quả của phần này thực sự phân loại khi nào các khung chặt chuẩn hóa hoặc khung chặt chuẩn hóa đều có các khung đối ngẫu thay phiên chặt (tương ứng chặt đều). Tuy nhiên, chúng ta không biết trong trường hợp tổng quát khung nào (không chặt) có các khung đối ngẫu thay phiên chặt (tương ứng chặt đều).