không gian Hilbert ban đầu
Ở đây, chúng ta bắt đầu phân loại các khung chặt chuẩn hóa và các khung chặt chuẩn hóa đều bằng cách cung cấp một tương ứng với các không gian con của không gian Hilbert ban đầu. Chúng ta đưa ra hai kết quả, một cho khung chặt chuẩn hóa và một cho khung chặt chuẩn hóa đều với sự tương ứng một-một.
Như chúng ta đã thấy trong Định lý 1.1.3, có một cách duy nhất để có được khung chặt chuẩn hóa trong HN với M phần tử. Cụ thể, chúng ta lấy một cơ sở trực chuẩn {ei}Mi=1 của HMvà phép chiếu trực giao PHNcủa HMlên HN. Khi đó{PHNei}Mi=1là một khung chặt chuẩn hóa của HN với M phần tử. Đặc biệt, có một tương ứng một-một tự nhiên giữa các khung chặt chuẩn hóa của HN với M phần tử và các cơ sở trực chuẩn cho HM. Khi đó, các khung chặt chuẩn hóa đều choHN là những khung mà kP eik= kP ejk, với mọi1≤ i, j ≤M. Chúng tôi sử dụng phần này để trình bày một tương ứng tự nhiên giữa các họ này và các không gian con nhất định của HM. Ở đây chúng tôi coi hai khung giống nhau nếu chúng là tương đương unita.
Định lý 1.5.1. Cho P là một phép chiếu trực giao hạng N trên HM và cho
{ei}Mi=1 là một cơ sở trực chuẩn của HM. Tồn tại một tương ứng tự nhiên một-một giữa các lớp tương đương các khung chặt chuẩn hóa của P HM với M phần tử và họ của tất cả các không gian con N-chiều của HM.
Chứng minh. Nếu {ϕi}Mi=1là khung chặt chuẩn hóa của P HM, thì theo Định lý 1.1.3, có một cơ sở trực chuẩn e0i Mi=1của HM sao cho P e0i = ϕi. Xác định một toán tử unita U trên HM bởi U ei = e0i. Khi đó, ϕi = P U ei là tương đương unita với ϕ0i = U∗P U ei. Vì vậy, chúng ta sẽ liên kết khung chặt chuẩn hóa {ϕi} với không gian con U∗P U HM.
Bây giờ chúng ta cần phải kiểm tra sự tương ứng này là một-một. Cho
gian con của HM, cụ thể là U∗P U HM. Khi đó có một cơ sở trực chuẩn
e00i và một toán tử unita V ei = e00i với V∗P V = U∗P U và P V ei = ψi. Do đó,
V∗ψi = V∗P V ei = U∗P U ei = U∗ϕi.
Điều này nghĩa là các khung chặt chuẩn hóa {ϕi}Mi=1 và {ψi}Mj=1 là tương đương unita (và do đó giống nhau).
Cuối cùng, chúng ta cần phải chỉ ra rằng tương ứng này là toàn ánh. Nếu W là không gian con N chiều bất kỳ củaHM, chúng ta có thể xác định một toán tử unita U trên HM sao cho U W = P HM. Khi đó, U∗P U = PW và {P U ei}Mi=1 là một khung chặt chuẩn hóa cho P HM.
Một trong những hệ quả của kết quả trên là nếu chúng ta có một khung chặt chuẩn hóa cho HN thì tất cả những khung khác có thể thu được từ nó theo quá trình này.
Bây giờ chúng ta chuyển sang khung đều.
Định lý 1.5.2. Cố định một cơ sở trực chuẩn {ei}Mi=1 của HMsao cho nếu P là một phép chiếu trực giao của HM lên HN thì {P ei}Mi=1 là một khung chặt chuẩn hóa đều của HN. Khi đó, có một sự tương ứng tự nhiên một - một giữa khung chặt chuẩn hóa đều của HN với M phần tử và các không gian con W của HM mà kPWeik2 = MN, với mọi 1≤ i ≤ M.
Chứng minh. Chúng ta đã phân loại các khung chặt chuẩn hóa theo tất cả các không gian con. Bây giờ chúng ta cần phải biết các không gian con nào của các không gian con này tương ứng với các khung chặt chuẩn hóa đều. Giả sử U là toán tử unita bất kì trên HM sao cho {P U ei} là một khung chặt chuẩn hóa đều của P HM. Khi đó, khung này liên kết với không gian con
W = U∗P U HM
và PW = U∗P U. Do đó, P U ei = U PWei, với mọi i. Tuy nhiên, {P U ei} là một khung chặt chuẩn hóa đều của P HM và do đó kP U eik2 = MN,
với mọi i. Do đó
kP U eik2 = N
M = kU PWeik2 = kPWeik2
Vì vậy, sự liên kết giữa các khung chặt chuẩn hóa và các không gian con được đưa ra trong Định lý 1.5.1 xác định sự liên kết các không gian con W của HM mà kPWeik2 = MN, với mọi i và các khung chặt chuẩn hóa đều của HN với M phần tử.